5第五章第2讲函数依赖公理体系
主键，超键，外键，候选键，函数依赖，第一范式，第二范式，第三范式，BCNF，第四范式
主键，超键，外键，候选键，函数依赖，第⼀范式，第⼆范式，第三范式，BCNF，第四范式最近回顾了下数据库的相关知识，正好借着这个机会，把其中⼀些概念重新理⼀理，也加深⼀些印象。
⾸先我们来看看数据库中的基本概念：超键（super-key）：在⼀个关系中能唯⼀地标志⼀个元组。
候选键（candidate）：最⼩的超键，其任意真⾃⼰都不能成为⼀个超码。
例如，（⾝份证号，姓名）和（⾝份证号）都可以试超键，但（⾝份证号）是候选码。
主键（primary key）:⽤户选作元组标识的⼀个候选键程序主键。
主键通常由⽤户从候选码中选择出来的。
外键（foreign key）:假设存在两组关系，r和s，其中r(A, B, C), s(B, D)，在关系r上的属性B称作参照s的外键，r也成为外码依赖的参照关系，s叫做外码被参照关系。
参照关系中外键的值必须在参照关系中存在或者null主属性：包括在候选键中的属性。
熟悉了这些概念之后我们来看看范式。
范式（Normal Form）⽬前常见的范式包括第⼀范式(1NF)，第⼆范式(2NF)，第三范式(3NF)，Boyce-Codd(BCNF)和第四范式(4NF)。
第⼀范式：关系模式中的所有熟悉的域都是原⼦的。
如果某个域中元素被认为是不可分的，则成这个域为原⼦的。
如姓名，可以拆分为姓和名，因此，这⾥的姓名是⾮原⼦的。
1NF的缺点是存在数据的冗余以及当插⼊更新删除是容易出现异常。
第⼆范式：在满⾜第⼀范式的关系模式中，每⼀个⾮主属性完全函数依赖于任何⼀个候选键，则R属于第⼆范式。
满⾜第⼀范式的关系模式可以通过模式分解，⽣产满⾜第⼆范式的多个关系模式。
模式分解需要满⾜⼀下两个条件⽆损分解：在分解之后，n个分解关系通过⾃然连接（⾃然连接是在等值连接的基础上去掉相同的列，如果⾃然连接中找不到等值信息那么⾃然连接就等价于笛卡尔积）形成的⼆维表和没分解之前关系的⼆维表是等价的（元组没有增加也没有减少），则称这种分解形成的关系模式保持⽆损连接性；R1∩R2→（R1-R2）或R1∩R2→（R2-R1）保持函数依赖（functional dependency）：函数依赖借助了数学上的函数概念α→β，即在属性集α上的值相同时，其在属性集β上的值也相同，我们称β函数依赖与α，α函数决定β。
[总结]关系数据库设计基础（函数依赖、无损连接性、保持函数依赖、范式、……）
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[总结]关系数据库设计基础（函数依赖、⽆损连接性、保持函数依赖、范式、……）≏≎≟≗≖≍≭∼∽≁≃≂≅≊≈≉≇≳⪞⪆⋧⪊≵≲⪝⪅⋦⪉≴⊂ subset ⋐⊄⊊ ⊈⊃⊇ ⋑⊅⊋ ⊉≺⪯≼⋞≾⪷⋨⪵⪹⊀≻⪰≽⋟≿⪸⋩⪶⪺⊁ in ∋∉∌∝≬⊸函数依赖（Function Dependency）定义设关系模式R（U），属性集合U= {A1，A2，…，An}，X，Y为属性集合U的⼦集，如果对于关系模式R(U)的任⼀可能的关系r，r中的任意两个元组u、v，若有 u[X]=v[X]，就有u[Y]=v[Y]，则称X函数决定Y，或称Y函数依赖于X。
⽤符号X→Y表⽰。
其中X为决定因素，Y为被决定因素。
若对于R（U）的任意⼀个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值性等，⽽在Y上的属性值不等。
(1) 函数依赖是语义范畴的概念，只能根据语义来确定⼀个函数依赖关系。
(2) 函数依赖X→Y的定义要求关系模式R的任何可能的关系r中的元组都满⾜函数依赖条件。
术语 (1)若X→Y，则X称作决定因素（Determinant） (2)若X→Y，Y→X，称作X<->Y。
(3)若Y不函数依赖于X，称作X -/-> Y。
(4)X→Y，若Y不包含X,即X ⊄ Y，则称X→Y为⾮平凡的函数依赖。
正常讨论的都是⾮平凡的函数依赖。
(5)X→Y，若Y包含X，即X ⊂ Y，则称X→Y为平凡的函数依赖。
(6)完全函数依赖(full functional dependency)：在R(U)中，设X、Y是关系模式R（U）中不同的属性⼦集(即X ⊂ U,Y ⊂ U), 若存在 X→Y，且不存在 X的任何真⼦集X'(即 X' ⊊ X)，使得 X'→Y，则称Y完全函数依赖 ( full functional dependency ) 于X。
记作 X-F->Y。
(7)部分函数依赖：在关系模式R（U）中，X、Y是关系模式R（U）中不同的属性⼦集(即X ⊂ U,Y ⊂ U), 若X→Y成⽴，如果X中存在任何真⼦集X'(即 X' ⊊ X)，⽽且有X'→Y也成⽴，则称Y对X是部分函数依赖，记作：X-P->Y。
关系数据理论课后答案
关系数据理论课后答案第五章关系数据理论习题解答和解析1.理解并给出下列术语的定义：函数依赖、部分函数依赖、完全函数依赖、传递依赖、候选码、主码、外码、全码(All-key)、1NF、2NF、3NF、BCNF、多值依赖、4NF。
解析：解答本题不能仅仅把《概论》上的定义写下来。
关键是真正理解和运用这些概念。
答：函数依赖：设R(U)是一个关系模式,U是R的属性集合,X和Y是U的子集。
对于R(U)的任意一个可能的关系r,如果r中不存在两个元组,它们在X上的属性值相同,而在Y上的属性值不同,则称"X函数确定Y"或"Y函数依赖于X",记作X→Y。
解析：(1)函数依赖是最基本的一种数据依赖,也是最重要的一种数据依赖。
(2)函数依赖是属性之间的一种联系,体现在属性值是否相等。
由上面的定义可以知道,如果X→Y,则r中任意两个元组,若它们在X上的属性值相同,那么在Y上的属性值一定也相同。
(3)要从属性间实际存在的语义来确定他们之间的函数依赖,即函数依赖反映了(描述了)现实世界的一种语义。
(4)函数依赖不是指关系模式R在某个时刻的关系(值)满足的约束条件,而是指R任何时刻的一切关系均要满足的约束条件。
答：完全函数依赖、部分函数依赖：在R(U)中,如果X→Y,并且对于X的任何一个真子集X',都有X'Y,则称Y对X完全函数依赖,记作:若X→Y,但Y不完全函数依赖于X,则称Y对X部分函数依赖,记作:?→Z,则称Z对X传递函数依赖。
传递依赖：在R(U)中,如果X→Y,(Y候选码、主码：设K为R<u,f>中的属性或属性组合,若K→U(完全依赖)则K为R的候选码(Candidate key)。
若候选码多于一个,则选运其中的一个为主码(Pdmary key)。
解析：1)这里我们用函数依赖来严格定义码的概念。
在第二章中我们只是描述性地定义码(可以复习若关系中的某一属性组的值能惟一地标识一个元组,则称该属性组为候选码(Candidate key)。
函数依赖闭包
函数依赖闭包⼀、函数依赖的逻辑蕴涵定义：设有关系模式R(U)及其函数依赖集F，如果对于R的任⼀个满⾜F的关系r函数依赖X→Y都成⽴，则称F逻辑蕴涵X→Y，或称X→Y可以由F推出。
例：关系模式 R=(A,B,C),函数依赖集F={A→B,B→C}, F逻辑蕴涵A→C。
证：设u,v为r中任意两个元组：若A→C不成⽴，则有u[A]=v[A],⽽u[C]≠v[C]⽽且A→B, B→C,知u[A]=v[A], u[B]=v[B], u[C]=v[C],即若u[A]=v[A]则u[C]=v[C]，和假设⽭盾。
故F逻辑蕴涵A→C。
满⾜F依赖集的所有元组都函数依赖X→Y（X→Y不属于F集），则称F逻辑蕴涵X→Y（X→Y由F依赖集中所有依赖关系推断⽽出）⼆、Armstrong公理1、定理：若U为关系模式R的属性全集，F为U上的⼀组函数依赖，设X、Y、Z、W均为R的⼦集，对R(U,F)有：F1(⾃反性)：若X≥Y(表X包含Y），则X→Y为F所蕴涵；(F1':X→X)F2(增⼴性): 若X→Y为F所蕴涵，则XZ→YZ为F所蕴涵；(F2':XZ→Y)F3(传递性): 若X→Y,Y→Z为F所蕴涵，则X→Z为F所蕴涵；F4(伪增性)：若X→Y，W≥Z(表W包含Z）为F所蕴涵，则XW→YZ为F所蕴涵；F5(伪传性): 若X→Y，YW→Z为F所蕴涵, 则XW→Z为F所蕴涵；F6(合成性): 若X→Y,X→Z为F所蕴涵，则X→YZ为F所蕴涵；F7(分解性): 若X→Y,Z≤Y (表Z包含于Y）为F所蕴涵，则X→Z为F所蕴涵。
函数依赖推理规则F1∽F7都是正确的。
2、Armstrong公理：推理规则F1、F2、F3合称Armstrong公理；F4 ∽ F7可由F1、F2、F3推得，是Armstrong公理的推论部分。
三、函数依赖的闭包定义：若F为关系模式R(U)的函数依赖集，我们把F以及所有被F逻辑蕴涵的函数依赖的集合称为F的闭包，记为F+。
第3-4讲函数依赖和公理
定义(传递FD):设关系模式R，X、Y、Z是R的属性子集， 若FD X→Y，Y → X，Y→Z，则有FD X→Z，称FD X→Z为 传递函数依赖。
函数依赖、完全依赖、传递依赖等基本概念是第四章关系 数据库范式的基础。
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算法3.2.3
判定F是否蕴涵X→Y的成员测试算法
输入：函数依赖集F和FD X→Y。
输出：若F蕴涵X→Y输出为true，否则为false MEMBER(F, X→Y) begin if Y CLOSURE(X,F) then return(true) eles return(false) end.
={AB→E，E→G， BE→I， GI→H}
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定义(函数依赖集F的闭包 F +)
设F是关系r(R)上的函数依赖集，F所蕴含的所有FD的集
合称为F的闭包，记作F +。 F
+
= { X→Y
|
所有F |= X→Y }
例：设F={AB→C，C→B}。 求F+
14
设F={AB→C，C→B}。 F+ 为： F+ = {A→A, AB→A, AC→A, ABC→A, B→B, AB→B, BC→B，ABC→B，C→C，AC→C，BC→C,ABC→C，AB→AB， ABC→AB，AC→AC，ABC→AC，BC→BC, ABC→BC, ABC→ABC, AB→C, AB→AC, AB→BC, AB→ABC，C→B,
（3）并比较两种方法更好用语言来实现。
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（1）设F ={AB→C,B→D,CD→E,CE→GH,G→A}，
数据库原理第五章关系数据库的规范化设计
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模式分解是关系规范化的 主要方法(二)
与TDC相比，分解为三个关系模式后，数据的冗余度明显 降低。 当新插入一个系时，只要在关系D中添加一条记录。 当某个教师尚未讲课，只要在关系T中添加一条教师记录， 而与TC授课关系无关，这就避免了插入异常。 当某个系的教师不再讲课时，只需在TC中删除该教师的 全部授课记录，而关系D中有关该系的信息仍然保留，从 而不会引起删除异常。 同时，由于数据冗余度的降低，数据没有重复存储，也不 会引起更新异常。
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2.2 完全函数依赖和部分函数依赖
例如：学生成绩表中
姓名 王一 王二 王三 王一
学号 1 2 3 4
年龄 16 15 16 16
籍贯 河北 山东 北京 天津
姓名不能推出年龄，学号也不能推出年龄，但是 姓名 + 学号能推出年龄，故完全依赖；
学号能直接推出籍贯，故是部分依赖
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2.3 传递函数依赖
当关系中的元组增加、删除或更新后都不能被破 坏这种函数依赖。因此，必须根据语义来确定属 性之间的函数依赖，而不能单凭某一时刻关系中 的实际数据值来判断。
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函数依赖的定义和性质（六）
函数依赖可以保证关系分解的无损连接性
设R(X,Y,Z)，X,Y,Z为不相交的属性集合，如果X Y或X Z，则有R(X,Y,Z)=R[X,Y]*R[X,Z]，其中，R[X,Y]表示关 系R在属性(X,Y)上的投影，即 R等于其投影在X上的自然连 接，这样便保证了关系R分解后不会丢失原有的信息，称为 关系分解的无损连接性
函数依赖的公理系统资料
定义4.15 最小覆盖. 满足下列条件的函数依赖集F称为最小覆盖(最 小依赖集, 极小依赖集)，记作Fmin：
(1) 单属性：F中任一函数依赖 XA，A必是单属 性。 (2) 无冗余性：F中不存在这样的函数依赖X A， 使得 F与 F {X A}等价。 (3) 既约性：F中不存在这样的函数依赖 X A， X是多属性，在X中有真子集 Z，使得 F 与 F {X A} {Z A}等价。
2
函数依赖集的闭包F+
定义 4.12 在关系模式 R<U，F> 中，被 F 所 逻辑蕴涵的函数依赖的全体所构成的集合称 作F的闭包，记作 F+ = {XY | F├ XY} + 显然，F F 。 F+的计算很麻烦，F不大，其F+也可能很大。 例如： 设 R<U, F>, U={X, Y, Z}, F = {XY, YZ} F+ = { XX， XY，X Z, YY, YZ, Z Z, XYX，XYY，XYXY, XZ→X, ……}
函数依赖的公理系统
建立函数依赖推理系统的目的:
(1) 求关系模式的候选码 (2) 判断关系模式的范式级别 (3) 给定一组函数依赖，需要导出另外一些函数依赖， 或判断另外的函数依赖是否成立。例如： FD={A B，B C}，判断 A C是否成立？
本节内容:
1. 逻辑蕴涵； 2. Armstrong函数依赖公理系统； 3. 函数依赖集的闭包； 4. 属性集闭包； 5. 函数依赖集的等价和覆盖； 6. 最小函数依赖集。
XY
t[XZ] = s[XZ]
t[Y] = s[Y] t[Z] = s[Z]
t[YZ] = s[YZ]
函数依赖的公理系统
函数依赖集的等价和覆盖
求最小函数依赖集的方法：
应用分解规则，使F中每一个依赖的右部单一化。 去掉各函数依赖左部多余的属性。
方法：检查F中左边是非单属性的依赖，如： XY→A， 要判定Y是否多余，只要求X闭包，若X闭包A，则Y 是多余的，以X →Y 代替XY→A。
去掉多余的依赖。
方法：从第一个依赖开始，若要从F中去掉X →Y ，则在 剩下的依赖中求X闭包，若X闭包包含Y,则去掉X →Y
属性集闭包计算举例
练习 已知R<U,F>, U= (A, B, C, G, H, I)，F={AB, AC, CGH,
CGI, BH}，计算(AG)+。 – 算法第一次循环的执行步骤： 步骤 FD closure
1．
2． 3． 4． 6． 6．
初值
AB AC CGH CGI BH
增广律得证。
定理 Armstrong推理规则是正确的
(3) 传递律：若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则 X→Z为 F所蕴含。
证：设X→Y及Y→Z为F所蕴含。
对R<U，F> 的任一关系 r中的任意两个元组 t，s。 若t[X]=s[X]，由于X→Y，有 t[Y]=s[Y]；
再由Y→Z，有t[Z]=s[Z]，所以X→Z为F所蕴含.
引理: X→A1 A2…Ak成立的充分必要条件 是X→Ai成立（i=l，2，…，k）。
总结:函数依赖(FD)的推理规则
函数依赖有一个正确的和完备的推理规则集——Armstrong 推理规则：
设有关系模式R(U)，X，Y，Z，W均是U的子集，F是R上只涉及到U 中属性的函数依赖集， 推理规则如下：
候选码的判断
设有关系R({A1,A2,…,An},F)，F为R的函数依赖集，X为
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四、候选键的求解方法 3、候选键的一般求解法 ⑥ 在剩余的属性中依次取两个属性、三个属 性，…，将其记为集合B，并求(XB)F+ ：若 (XB)F+包含了R的全部属性，且自身不包含已 求出的候选键，则XB为R的一个候选键； ⑦ 重复⑥，直到Y中的属性按⑥的组合依次取完 为止； ⑧ 输出候选键，算法结束。
B→C}，求函数依赖集F的闭包F+。(P103)
A→ ， AB→ ， AC→ ， ABC→ ， B→ ， C→
A→ A， AB→ A， AC→ A， ABC→ A， B→ B， C→ C A→ B， AB→ B， AC→ B， ABC→ B， B→ C，
+= A→ C， AB→ C， AC→ C， ABC→ C， B→ BC， F A→ AB， AB→ AB， AC→ AB， ABC→ AB， BC→ ，
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③
F 3=
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3、举例（续四）
例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
法2：（步骤一：分解规则 ）步骤二：去掉F中冗余的函数依赖 ① F 1=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGB CGD，CEA,CEG
ABC，CA，BCD， DE，DG，BEC， CGB，CEG
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4、定理5.2 如果Ai(i=1,…,n)是关系模式R的属性,则 XA1A2…An成立的充分必要条件是XAi(i= 1,…,n)均成立。
作用：将一个FD分解成若干个右边是单属性 的FD。用于确定关系的主键。
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二、X关于F的闭包及其计算 例：已知关系模式R(A,B,C)，其函数依赖集为F={A→B，
A→ AC， AB→ AC， AC→ AC， ABC→ AC， BC→ B， A→ BC， AB→ BC， AC→ BC， ABC→ BC， BC→ C， A→ ABC，AB→ ABC，AC→ ABC，ABC→ ABC，BC→ BC，
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1、X关于F的闭包 设 有 关 系 模 式 R(U,F) 和 属 性 集 U={A1,A2,…,An}的子集X。则称所有用阿姆斯特 朗公理从F推导出的函数依赖X→Ai的属性Ai组成 的集合称为X关于F的闭包，记为XF+ ，通常简记 为X+。即 XF+={Ai|用公理从F推出的X→Ai}
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②
F22=
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3、举例（续三）
例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
步骤三：去掉左端多余的属性
②
F22=
ABC，CA，BCD， ACDB，DE，DG， BEC，CGD，CEG ABC，CA，BCD， CDB，DE，DG， BEC，CGD，CEG
（1）X(0)=X。
（2）从F中找出满足条件VX(i) 的所有函数依赖 V→W，并把所有的V→W中的属性W组成的集合记 为Z；也即从F中找出那些其决定因素是X(i)的子 集的函数依赖，并把由所有这样的依赖的被决 定因素组成的集合记为Z。 （3）若ZX(i)，则转（5）。(当X(i)只决定自己时)
由u、v的任意性，并根据函数依赖的定义， 可得 XY。
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3、 阿姆斯特朗公理的推论
合并规则：若XY且XZ，则XYZ (增广律)
分解规则：若XY，且ZY，则XZ (自反律)
伪传递规则：若XY且WYZ，则WXZ
证： XY 增广律 WX→WY WY→Z
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2、定理5.1
Armstrong公理是正确的。
方法：从函数依赖的定义出发
A1 自反律：若YX，则XY (增广律,传递律证明类 似,P104)
证：设u、v为r的任意两个元组。
若u[X]=v[X]，则u和v在X的任何子集上必然 相等。
由条件YX ，所以有：u[Y]=v[Y]，
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②
F21=
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3、举例（续二）
例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
(步骤二：去掉F中冗余的函数依赖 ）
② F21=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG ， BEC ， CGD ， CEA,CEG ABC，CA，BCD， ACDB，DE，DG， BEC，CGD，CEG
对比
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F+和X+
集合元素
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2、定理5.3
设有关系模式R(U，F)，U={A1,A2,…,An}是R 的属性集，F是R的属性集U上的函数依赖集，X、 Y是U的子集，则
XY能用Armstrong公理从F导出YX＋。 该定理把判定XY是否能由F根据Armstrong 公理导出的问题
Z=EG
BD=X(0)
(1)X（0）=BD。({B}、{D}、{B，D}） X＋ 、 {D} 、 （ 1 ） =BDEG （ {B} =ABCDEG {E} 、 {G} 、 {B 、 (2)X D}…2n-1个子集) ＋，故BD→A成立 A∈BD (3)X（2）=BCDEG
(4)X（3）=ABCDEG
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步骤三：去掉左端多余的属性
②
F21=
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四、候选键的求解方法 1、属性分类 对于给定的关系R（U）和函数依赖集F，可 将其属性分为4类：
① L类：仅出现在F的函数依赖左部的属性；
② R类：仅出现在F的函数依赖右部的属性；
③ N类：在F的FD左右两边均未出现的属性；
④ LR类：在F的FD左右两边均出现的属性。
（5）若X是R的N类属性和L类属性组成的属性集，且X＋ 包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选键。
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四、候选键的求解方法 3、候选键的一般求解方法 ① 将所有属性分为L、R、N和LR四类，并令X代 表L和N类，Y代表LR类；
② 求XF+：若XF+包含了R的全部属性，则X是R的 唯一候选键，转⑧；
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3、举例
例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
ABC，CA，BCD， F= ACDB，DEG，BEC， CGBD，CEAG 法1：（步骤一：分解规则 ） ① F1=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG
第2讲 函数依赖的公理体系
授课人： 李朔 Email:chn.nj.ls@
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主要内容
阿姆斯特朗公理及推论
X关于F的闭包及其计算
最小函数依赖集
候选键的求解方法
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一、阿姆斯特朗公理及推论 问题引入：
F=X→Y F+ 侯选键 X→Y在R 中是否成立
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求解方法（续二）
（3）去掉左端多余的属性
对于F中左端是非单属性的函数依赖 （XYA），假设要判断Y是否是多余的属性
① G = (F-{XYA})∪{XA}；
② 求X关于F的闭包XF+；
③ 如果A不属于XF+ ，则XA不在F+ 中，说明Y 不是多余的属性，接着判别X是否是多余的属性； 如果A属于XF+，则说明Y是多余的属性，F=G。
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1、函数依赖集的等价与覆盖 定义5.5 设F和G是两个函数依赖集，如果F＋＝G＋，则 称F和G等价。如果F和G等价，则称F覆盖G，同 时也称G覆盖F。
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定理
定理5.4 F＋＝G＋的充要条件是FG＋和GF＋。
所 有
F
F ＋= G ＋
求出X＋，判定Y是否为X＋的子集的问题。
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3、X关于F的闭包X＋的计算 算法5.1 求属性集X关于函数依赖集F的闭包X＋ 输入： 关系模式R的全部属性集U,U上的函数依赖集 F，U的子集X。 输出：
X关于F的闭包X＋。
计算方法：
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3、X关于F的闭包X＋的计算（续）
③ 对F中的任何FD:XA和X的任何真子集Z，
(F-{XA})∪{ZA}不等价于F。
每个FD左端无多余的属性
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求解方法 （1）用分解规则将F中的所有函数依赖分解成右 端为单个属性的函数依赖； Armstrong公理的推论 分解规则：若XY，且ZY，则XZ
传递律
WX→Z
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例5.2简化版 P105 对关系模式R(A,B,C),依赖集F={C->A,AB->C}, 候选键为AB和CB,证明BC->ABC.
证明:已知有C->A,由增广律可得BC->AB,
又已知AB->C,由增广律可得AB->ABC
综上由传递律可得 BC->ABC
X→Y
G＋
F＋ (G＋)+
FG＋,
FG＋ GF＋
定理意义:P107 不计算F+与G+,对于F(或G)中 每个X->Y,只通过求Xg+中是否 包含Y来判断FG＋, XF+来判断GF