迭代法简述
迭代法
2 迭代法2.1 迭代法的一般概念迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。
迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。
首先取一个精糙的近似值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止。
对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性天收敛速度以及误差估计。
这里，主要看看解方程迭代式的构造。
对方程(1.1)，在区间],[b a 内，可改写成为：)(x x ϕ= (2.1)取],[0b a x ∈，用递推公式： )(1k k x x ϕ=+, ,2,1,0=k(2.2)可得到序列：∞==0210}{,,,,k k k x x x x x (2.3)当∞→k 时，序列∞=0}{k k x 有极限x ~，且)(x ϕ在x ~附近连续，则在式(2.2)两边极限，得，)~(~x x ϕ=即，x ~为方程(2.1)的根。
由于方式(1.1)和方程(2.1)等价，所以， x x ~*= 即，*lim x x k k =∞→式(2.2)称为迭代式，也称为迭代公式；)(x ϕ可称为迭代函数。
称求得的序列∞=0}{k k x为迭代序列。
2.2 程序和实例下面是基于MATLAB 的迭代法程序，用迭代格式)(1n n x g p =+，求解方程)(x g x =，其中初始值为0p 。
**************************************************************************function[p,k,err,P]=fixpt(f1021,p0,tol,max1) % f1021是给定的迭代函数。
% p0是给定的初始值。
% tol 是给定的误差界。
% max1是所允许的最大迭代次数。
% k 是所进行的迭代次数加1。
% p 是不动点的近似值。
% err 是误差。
% P = {p1,p2,…,pn}P(1) = p0;for k = 2:max1P(k) = feval('f1021', P(k-1)); k, err = abs(P(k) - P(k-1))p = P(k); if(err<tol), break;endif k == max1disp('maximum number of iterations exceeded');end end P=P;****************************************************************************例2.1 用上述程序求方程0sin 2=-x x 的一个近似解，给定初始值5.00=x ，误差界为510-。
迭代算法简析
迭代算法简析算法设计之迭代法军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A 交替出现。
但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。
也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A操作），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上……直到占领所有的阵地，前进结束。
像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称之为迭代法。
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。
它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。
管理学原理 迭代法
管理学原理迭代法
迭代法是一种管理学原理，它主要用于解决复杂问题。
迭代法的核心思想是通过反复试验和修改来逐步接近问题的最佳解决方案。
通过这种方法，可以逐步深入了解问题，找到最优解。
迭代法的应用范围非常广泛，可以用于各种类型的问题解决。
在软件开发中，迭代法是一种非常常见的开发方法。
开发团队会将问题分解成多个小问题，并在每个迭代中解决其中的一些小问题。
每个迭代结束后，团队会对开发过程进行评估和反馈，并根据反馈结果进行修改和优化。
迭代法还可以用于产品设计和市场营销等领域。
在产品设计中，可以通过迭代法逐步完善产品的功能和用户体验；在市场营销中，可以通过迭代法不断测试和优化广告和宣传策略，以提高转化率。
迭代法的优点在于可以逐步深入了解问题，并根据反馈结果进行修改和优化。
这种方法可以确保最终解决方案具有高度的精确性和可靠性。
另外，迭代法还可以提高团队合作和沟通能力，因为每个团队成员都需要积极参与到迭代过程中，提供反馈和建议。
尽管迭代法具有很多优点，但也存在一些缺点。
首先，迭代过程可能会比较漫长，需要耗费大量的时间和资源。
其次，迭代法需要团队成员之间的密切合作和沟通，如果团队成员之间的协作不够紧密，可能会导致迭代过程中的问题得不到很好的解决。
总的来说，迭代法是一种非常有用的管理学原理，可以帮助团队解决复杂问题。
在使用迭代法时，我们应该注意团队成员之间的协作和沟通，以确保顺利地完成迭代过程。
同时，我们也应该不断学习和改进迭代方法，以使其更加高效和精确。
迭代法(iterative method
迭代法(iterative method
迭代法是一种数学方法，通过不断地迭代逼近来求解数学问题。
这种方法通常用于求解方程、优化问题、积分问题等。
迭代法的基本思想是：给定一个初始值或初始解，然后根据一定的规则进行迭代，每次迭代都得到一个新的解，直到满足某个终止条件为止。
这个终止条件可以是精度要求、迭代次数限制等。
常见的迭代法包括：
1.牛顿迭代法：用于求解非线性方程的根，通过不断地逼近方程的根来求解。
2.梯度下降法：用于求解最优化问题，通过不断地沿着负梯度的方向搜索来找到最优
解。
3.牛顿-拉夫森方法：结合了牛顿法和二分法的优点，用于求解非线性方程的根。
4.雅可比迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。
5.高斯-赛德尔迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。
使用迭代法时需要注意初始值的选择、迭代规则的合理性、终止条件的设定等问题，以确保迭代过程的收敛性和有效性。
同时，迭代法也有一定的局限性，对于一些非线性问题或复杂问题，可能需要进行多次迭代或者采用其他方法进行求解。
迭代法
迭代法
迭代法也叫辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。
对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k 无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序列为迭代序列。
求通项公式的方法（用迭代法）已知数列{An},a1=2,an=2a(n-1)-1(n>或=2）求通项公式
an=2a(n-1)-1 an-1=2(a(n-1)-1 ) n>或=2
所以an-1 为等比数列
an-1=(a1-1)*2^(n-1)
an-1=2^(n-1)
an=2^(n-1)+1
牛顿迭代法求开方
数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收
敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
用迭代法求平方根
对于A>1,求其平方根可构造用如下公式迭代：
f(x)=(1/a)(x+a/x),a=A/(A-1),迭代初值x0=[√A]+1,[x]为x的取整.如想求70的平方根,可令初值x0=9.
对于A1,用如上方法求出平方根后,在成10^(-n),即得结果.。
迭代法求数列通项
迭代法求数列通项迭代法求解数列通项式可以说是高中数学中非常重要的一部分。
迭代法是一种基于数学递推公式的方法，用来求解数列的通项式。
迭代法的核心是利用数列的前一项和一定的递推关系，推导出数列的下一项，不断重复这个过程，最终得到数列的通项式。
1.迭代法的基本思想迭代法的基本思想是利用数列的递推公式，依次求出数列的每一项。
利用递推公式，先求出数列的第一项，然后根据递推公式，求出数列的第二项，再根据递推公式求出第三项，以此类推。
我们可以定义一个变量，将数列的第一项赋给它，然后利用递推公式，计算变量的值，得到数列的第二项。
再将变量的值赋给另一个变量，以此类推，直到求出数列的所有项。
2.迭代法的实现步骤(1)查找数列的递推公式：寻找数列每一项与前一项之间的关系，得到数列的通项公式。
(2)定义变量：定义一个变量来存储数列的第一项。
(3)利用递推公式求解：利用递推公式，求出数列的第二项，并将其赋给另一个变量。
(4)重复计算：将变量的值不断更新，并根据递推公式计算出数列的其他项，重复这个过程直到求出所有项。
(5)编写程序：根据上述步骤，编写迭代法的求解程序，求解数列的通项式。
3.迭代法的实例这里以斐波那契数列为例，介绍迭代法的详细实现过程。
斐波那契数列的递推公式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0, F(1) = 1。
(1)定义变量：我们可以定义两个变量a和b，分别表示数列的前两项。
(2)利用递推公式求解：利用斐波那契数列的递推公式，可以得到数列的第三项，即F(2) = F(1) + F(0) = 1。
(3)重复计算：将变量的值更新为b和a+b，分别代表数列的前两项和前三项，继续根据递推公式计算出数列的其他项，例如F(4) = F(3) + F(2) = F(2) + F(1) + F(1) + F(0) = 5。
(4)编写程序：根据上述思路，我们可以编写出求解斐波那契数列的程序，如下所示：```def Fibonacci(n):if n == 0 or n == 1:return nelse:a = 0b = 1for i in range(2,n+1):c = a + ba = bb = creturn bprint(Fibonacci(10))```程序输出结果为：55，即斐波那契数列的第十项。
迭代法求方程的近似解
迭代法求方程的近似解在数学中，方程是一种重要的数学工具，它可以描述各种自然现象和数学问题。
解方程是数学学习中的基本内容之一，而求解方程的近似解是数值计算中的重要问题之一。
本文将介绍一种常用的方法——迭代法，用于求解方程的近似解。
一、什么是迭代法迭代法是一种通过逐步逼近的方式求解方程的方法。
其基本思想是从一个初始值开始，通过不断迭代计算，逐步逼近方程的解。
迭代法的优点在于简单易行，适用于各种类型的方程。
二、迭代法的基本原理迭代法的基本原理是通过不断迭代计算，逐步逼近方程的解。
具体步骤如下：1. 选择一个初始值x0作为方程的近似解。
2. 根据方程的特点，构造一个递推公式xn+1=f(xn)，其中f(x)是方程的函数表达式。
3. 通过不断迭代计算，得到xn+1的值。
4. 判断xn+1与xn之间的差距是否小于给定的精度要求，如果满足要求，则停止计算，否则返回第3步继续迭代计算。
三、迭代法的实例下面通过一个实例来说明迭代法的具体应用。
假设我们要求解方程x^2 - 2 = 0的近似解。
首先选择一个初始值x0=1作为方程的近似解。
然后，根据方程的特点，构造递推公式xn+1=(xn+2/xn)/2。
通过不断迭代计算，得到如下结果：初始值x0=1，迭代1次得到x1=1.5迭代1次得到x1=1.5，迭代2次得到x2=1.4167迭代2次得到x2=1.4167，迭代3次得到x3=1.4142迭代3次得到x3=1.4142，迭代4次得到x4=1.4142通过迭代计算，我们得到了方程x^2 - 2 = 0的近似解x≈1.4142。
可以发现，随着迭代次数的增加，近似解逐渐逼近方程的真实解。
四、迭代法的注意事项在使用迭代法求解方程的过程中，需要注意以下几点：1. 初始值的选择：初始值的选择对迭代结果有很大影响，一般需要根据方程的特点和实际情况进行选择。
2. 迭代公式的构造：迭代公式的构造需要根据方程的特点进行合理设计，以确保迭代过程的收敛性和稳定性。
迭代法
第三章 线性代数方程组数值解法（迭代法）迭代法是解线性方程组的另一类方法，特别是适用于解大型稀疏线性方程组，如由某些偏微分方程数值解法中转化来的高阶线性代数方程组。
事实上，迭代法是求解多种数值问题的基本方法。
迭代法作为一种求解数值问题的通用方法，其基本思想是针对求解问题预先设计好某种迭代格式，从而产生求解问题的近似解的迭代序列，在迭代序列收敛于精确解的情况下，按精度要求取某个迭代值作为问题解的近似值，这就是求解数值问题的迭代法。
在这一章，我们的求解问题是线性方程组，下一章是非线性方程和非线性方程组，在不少其他问题中还会用到。
迭代法的内容包括下述两个主要方面： ① 针对具体问题构造具体的迭代格式。
② 研究迭代格式(序列)的收敛性并作误差分析。
3.1 解线性方程组迭代法的基本概念和基本迭代公式解线性代数方程组 b Ax = （3.1.1） (nn RA ⨯∈非奇异,0),,,(21≠=T n b b b b , Tn x x x x ),,,(21 =为解向量 )的迭代法的具体做法是： 把方程组(3.1.1)变形为等价形式)(x F x =我们这里只研究如上式的线性的形式 f Bx x +=(其中nn R B ⨯∈，nR f ∈ )例如把A分解为nn R M N M A ⨯∈-=,则（ b M Nx Mx b x N M 11)(--+=→=- ）如果令 N M B 1-=， b M f 1-= 这就是前面的迭代格式 f Bx x +=。
（对应的迭代公式是： ),,2,1,0()()1(n k f Bx xk k =+=+ 其中每一步迭代值仅依赖于前一步的迭代值。
称为单步迭代。
） 如果{)(k x }当 ∞→k 时有极限*x 存在， *)(lim x xk k =∞→则称迭代公式是收敛的；3.2 Jacobi 迭代法/Gauss —Seidel 迭代法这是解线性方程组的两种基本的方法。
1. Jacobi 迭代公式设方程组b Ax =中 nn ij Ra A ⨯∈=)(，ni R b b ∈=且 ),,2,1(0n i a ii =≠。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x n +1
1 a . = xn + 2 xn
迭代的终止条件为数列前后两项之差的绝对值小于10^(-5) 迭代的终止条件为数列前后两项之差的绝对值小于 解： 上述迭代公式给出了一个由通项表达的数列.数列的某 上述迭代公式给出了一个由通项表达的数列 数列的某 一项能否视为 敛有关。 敛有关。 的近似值？精度如何？ a 的近似值？精度如何？这与数列是否收
a xn + x n . = 2
x n +1
1）由 ）
x+ y ≥ 2
xy
即算术平均数大于等于几何平均数有x 即算术平均数大于等于几何平均数有 n>=sqrt(a)，即数 ， 列下方有界。 列下方有界。 2）又因为 ） xn-xn+1>=0 即单调下降
所以数列极限存在。 所以数列极限存在。 3）设xn的极限为 ，则xn+1的极限也是 。 ） 的极限为s， 的极限也是s。 在迭代公式两边取极限，就有s=0.5*(s+a/s)，解得 在迭代公式两边取极限，就有 ， s=sqrt(a)。 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
容易证明， 容易证明，数列收敛的柯西准则
∀ ε > 0 , ∃ N s.t . n,m > N | x n - x m |< ε
等价于“相邻准则” 等价于“相邻准则”
∀ ε > 0 , ∃ N s .t . n > N | x n - x n +1 |< ε
利用“相邻准则”可以证明当前的数列收敛于 利用“相邻准则” a 把通项公式右边改写为
x -
1 a x+ 2 x
则重新赋值
1 a x= x+ 2 x 重复上述过程。 重复上述过程。
% 5的开方程序 的开方程序 a=5; x=1; %数列的第一项 数列的第一项 n=0; %记录迭代次数 记录迭代次数 while abs(x-0.5*(x+a/x) )>10^(-5) x=0.5*(x+a/x); n=n+1; %记录迭代次数 %记录迭代次数 end x,n 存盘起名ssqrt.m 存盘起名 >>ssqrt 回车
下面考虑MATLAB编程求解 编程求解 下面考虑
a
在数学中， 在数学中，可通过第一项和通项公式给出数列
x1 ， x2 ， … xn ， …
在计算机中，我们只需根据前一项算出后一项， 在计算机中，我们只需根据前一项算出后一项，然后 计算两项之差，并与精度要求比较即可。因此， 计算两项之差，并与精度要求比较即可。因此，设置 一个变量
x。
；
首先， 首先，
x = 数列前一项
然后， 然后，利用 1 x + a 算出数列后一项 2 x
即
x=
如果 则可把 如果
1 a x+ 2 x
；
x x
1 a x+ 2 x
的绝对值小于10^(-5) 的绝对值小于
看成是
的近似值； a 的近似值； 的绝对值>=10^(-5) 的绝对值