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(完整word版)《三角函数》教材分析及教学建议

《三角函数》教材分析及教学建议一、新旧教材对比分析三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用.这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。

三角恒等变换在数学中有一定的应用。

三角函数与三角恒等变换是高中数学课程的传统内容，因此，本模块的内容属于“传统内容”。

与以往的教科书相比较,本书在内容、要求以及处理方法上都有新的变化.1．以基本概念为主干内容贯穿本书，削枝强干,教材体系更显合理。

“标准”设定的三角函数与三角恒等变换学习目标是:（1）通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用；（2)运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。

根据上述学习目标,在编写教科书过程中,特别注意突出主干内容,强调模型思想、数形结合思想.“三角函数"一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。

即通过现实世界的周期现象，在学生感受引入三角函数必要性的基础上，引出三角函数概念，研究三角函数的基本性质，并用三角函数的基础知识解决一些实际问题。

与传统的处理方法不同,这里把三角恒等变换从三角函数中独立出来，其目的也是为了在三角函数一章中突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线。

为了实现削枝强干的目标，教科书除了将三角恒等变换独立成章外，还在具体内容上进行了处理.在三角函数部分删减了任意角的余切、正割、余割，已知三角函数值求角以及符号等内容。

任意角、弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，周期函数与最小正周期，三角函数的奇偶性等内容都降低了要求。

三角恒等变换中，两角和与差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出。

积化和差、和差化积、半角公式都作为三角恒等变换基本训练的例题，不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂的恒等变形。

三角函数教学设计

三角函数教学设计教学设计思路：新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式把学习的主动权还给学生。

以此为宗旨，我采用自主学习、合作探究方法引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合，并体现以下几个特点（1）苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者”本节课正是抓住学生的这心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学。

（2）注重信息反馈，坚持师生间的多向交流。

当学生接触新知一周期性、单调性、值域等性质时以及利用性质画出图象时，要引导学生多思多说、多练，要充分暴露他们所遇到的知识障碍，并在师生之间的多向交流中，不断的得到解决，伸知识深化。

本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦函数线和诱导公式的基础上进行的，不仅是对前面所学知识应用的考察，也是后续学习正余弦函数性质的'基础：对函数图像清晰而谁确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具，本小节内容是三角函数的图象与性质，是本章知识的重点。

有看求前启后的作用美国华盛顿一所大学有句名言：“我听见了，就忘记了我看见了，就记我做过了，就理解了”要想让学生深刻理解三角函数性质和图像，就生主动去探素，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程学生情况分析：知识上，通过高一对函数的学习，学生已经具绘图技能，能够类比推理画出图像，并通过观察图像，总结性质，心具备了一定的分语言表达能力，初步形成了辩证的思想。

一.教学目标1．知识与技能（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。

（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。

2．过程与方法（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。

（2）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

人教A版高中数学第五章三角函数教材分析与教学建议

从本章的地位与作用、本章的学习目标、教材的编写特点、内容的主要变化、本章如何贯彻实施“单元整体教学”以及个人的教学建议六个方面谈一谈我对这一章的认识和理解。

一、本章的地位与作用三角函数是一类最典型的周期函数，是学生在高中阶段系统学习的最后一个基本初等函数，在高考中历来是重点热点之一；在高中数学课程中把“函数概念与性质、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、函数应用”视为一个整体；帮助学生从整体上把握三角函数的概念、性质和应用，理解“三角函数”与“函数概念与性质”及“幂函数、指数函数对数函数”等内容的联系，掌握利用三角函数构建数学模型的方法和技能，通过三角函数的概念、性质和应用等内容的学习，提升数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等核心素养。

本章内容比较丰富，就自身来说，主要包含三角函数的图像与性质、三角恒等变换、诱导公式等等；就其他章节来说，本章涉及面比较广，比如与解三角形、向量、导数等结合，所以本章有着重要的地位和作用.让学生学好本章，必须练好基本功，特别注意化简、计算、证明恒等变形的技巧方法以及三角函数模型的实际应用。

这也正是本章的重难点.只有这样，学生在考试才能游刃有余，取得理想分数.二、本章的学习目标1.角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。

2.三角函数概念和性质①借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。

借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（2πα±，πα±的正弦、余弦、正切）。

②借助图象理解正弦函数、余弦函数在]2,0[π上，正切函数在)2,2(ππ-上的性质。

③结合具体实例，了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义；能借助图象理解参数ω，ϕ，A 的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。

3.同角三角函数的基本关系式理解同角三角函数的基本关系式：1cos sin22=+αα，αααtan cos sin =. 4.三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。

三角函数教材分析

三角函数教材分析学号::105012011112 姓名：冯远翔班级:教师3-2班一、内容组织1、内容简介本章内容主要包括三角寒素任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、诱导公式、三角函数的图象和性质、三角函数模型及其应用.三角函数是一种基本初等函数，它是描述周期现象的数学模型，在数学与其他领域中具有重要的作用，三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习的基础.本章内容可以看成是数学中“函数”一章的延伸和拓展，因此，在学习过程中药注意体会三角函数与一般函数之间的关系，即共性与个性的关系.三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数.也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义.三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具.三角函数也属于函数范畴，那么，之前学习函数时所研究函数的图像及性质，对于三角函数同样的需要研究.函数的种类很多，而三角函数则是函数研究几何的一种工具，通过角度来认识代数关系.三角函数同样有函数的三要素、符号和表达式.为了更好的学习三角函数，教材引进了任意角和弧度制的概念作为基础认识.本节教材重点研究三角函数的诱导公式、三角函数线、三角函数()b x A y ++=ϕωsin 的奇偶性，单调性、周期性、最大和最小值. 以下是三角函数的定义.设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为()y x P ,1，由于角απ+的终边与角α的终边关于原点对称，角απ+的终边与单位圆的交点2P 与点1P 关于原点O 对称，因此点2P 的坐标是()y x --,，由三角函数的定义得：y =αsin x =αcos xy=αtan y -=+)sin(απ x -=+)cos(απ xy=+)tan(απ 从而得到：公式一公式二公式三公式四我们可以用下面一段话来概括公式一道四：)(2Z k k ∈•+πα，α-απ±的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.如图，设任意角α的终边与单位位圆的交点1P 的坐标为),(y x .由于角απ-2的终边与角α的终边关于直线x y =对称.角απ-2的终边与单位圆的交点2P 与点1P 关于直线x y =对称,因此2P 的坐标为),(x y .于是我们有x =αcos y =αsin y =-)2cos(απ x =-)2sin(απ从而得到公式五公式六ααπsin )sin(-=+ ααπsin )cos(-=+ααπtan )tan(=+ααsin )sin(-=-ααcos )cos(=-ααtan )tan(-=-ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=- απαsin )2sin(=*+k απαcos )2cos(=*+k απαtan )2tan(=*+k 其中Z k ∈x=-)2sin(απy =-)2cos(απααπsin )2cos(-=+ααπcos )2sin(=+（由于⎪⎭⎫⎝⎛--=+αππαπ22，则由公式四及公式五得到公式六）公式五及六可以概括如下απ±2的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.利川公式五.或公式六，.可以实现正弦函数和余弦函数之间的转化，公式一到六都叫故诱导公式.由前面的例子可以看出，函数b x A y ++=)sin(ϕω及函数b x A y ++=)cos(ϕω（其中A ，ω，ϕ为常数，且0≠A ,0>ω）的周期仅与自变量的系数有关（1）周期性其周期为ωπ2=T .（2）奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称，由诱导公式ααααcos )cos(,sin )sin(=--=-，可知：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.（3）单调性我们可以先在正弦函数的一个周期区间上（如⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ）讨论他们的单调性，再利用他们的周期性，将他们的单调性扩展到整个定义域上.正弦函数在每一个闭区间)(22,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ上都是增函数，其值从1-增大到1；每一个闭区间)(223,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ上都是增函数，其值从1增大到1-. （4）最大值与最小值正弦函数当且仅当)(22Z k k ∈+ππ取得最大值1，当且仅当)(22Z k k ∈+-ππ取得最小值1-.正弦函数当且仅当)(2Z k k ∈π取得最大值1，当且仅当)(2Z k k ∈+ππ取得最小值1-. 2、来龙去脉在初中，学生没有学习过三角函数，而是学习了一次函数、二次函数、反比例函数等简单的函数类型.但是学生有学习过平面几何以及函数的基本知识，这为以后的学习打下了基础.初中学习的相似三角形、全等三角形、平角、直角、特殊角等通过这些认识了教的应用、到高中，初次学习三角函数，是在学习了函数的概念及其性质之后，知道三角函数为任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.运用函数的相关知识来理解三角函数则更加清晰明了.另外，高中的三角函数是从几何图形抽象为代数语言，其形式更加严密、更加准确，但也更加难懂，着也是高中数学的特点.今后，学生还将学习三角恒等变换、解三角形等等知识都需要运用到三角函数的知识来解决.并且更加深入的了解三角函数在学习、生活、工作中的应用.重新认识三角函数在高中知识体系中的地位与作用.3、核心内容三角函数的核心与函数的核心是有不同，函数的概念的核心是函数的对应法则，具有相同的定义域和对应法则的函数是同一函数，但是三角函数是周期函数，并且其几何性质改变了三角函数的函数着一特点.就是可以有不同的对应法则是同一个函数.三角函数的核心在于在对应法则在最简的时候同时有相同的定义域，呢么才是同一个函数.另外，三角函数的诱导公式决定了这一性质.在三角变换中、截三角形等问题中其对应法则的唯一性与多样性是特别注意的.另外一方面，三角函数一般是在任意角与弧度制的基础上运算更加快捷，但是不能只知道运用弧度制来做，需要变通才行.而三角函数的其他性质都与函数的概念及性质类似的可以认识学习.4、三角函数的属性与层次三角函数的概念与性质是逐步形成并深化的，它的属性有概念、表示、性质、运算，在中学，没有三角哈数的概念，但是学习了基本初等函数的知识，为高中的学习做好了准备.三角函数本身也是函数，它具备函数所以的内容，并且还具有自身的独特性.它是高中学习的一个超越函数，运用牙就函数的方法来研究三角函数，通过直观的几何背景，总结出运用比例值来表示角，规定弧度制来刻画这一命题.再探究其表示方法、函数线图像、函数的单调性、奇偶性、最值、周期性等.在这一层次探索三角函数的本质特性.不同于其他函数的，是它有自己的领域.用代数的符号来解决几何中一些难题.从角度过度到弧度，这是跨领域的桥梁.运用数形结合的思想来了解几何背后的代数问题.三角函数的个特殊的函数体系，在纵轴上的有限于在横轴上的无限体现了数学的自然美.更体现出其特殊.5、学习三角函数概念与性质的关键环节对三角函数的概念的认识，应明确(1）三角函数也是函数，它具备函数的任何条件.同样有哈数的三要素（定义域、对应法则、值域）.(2）深刻理解三角函数的定义域为整个实数域.因为受弧度制的影响或没有清楚地分开弧度与角度的关系，导致理解错误.(3）因为三角函数具有周期性，其正弦和余弦是可以通过变换转化的，因此，对应法则不一定相同但也可能是同一个函数.(4）对三角函数的本质要认识清楚.任意角的函数值可能相同，也可能不同.正角与负角只是方向的相反.图像的平移，伸缩变换要通过亲自动手才鞥深刻的体会到三角函数的变换过程.对三角函数基本性质的教学与函数的教学相似.关键是强调研究函数性质的“三部曲“，建立研究函数性质的策略知识.具体地，研究三角函数性质是的”三部曲“如下1)观察图像，发现函数图像特征；2)结合图、表，用自然语言描述函数图像特征；3)用数学的符号语言定义函数的性质.6、不同的概念体系人教 B 版——先以研究正弦函数为重点，从研究的方法到产生的结论，形成完整的研究过程.苏教版突出了三角函数周期性的地位，更符合新课标的要求.人教版教材关于三角函数的性质以并列的形式呈现，但事实上对于学生而言，各条性质的学习在难易程度上是有很大区别的.三角函数出现了周期性，使学生没有任何经验可供类比，加之周期函数概念的抽象，造成了一个学习难点.而对三角函数周期性的理解，又关系到求极值点和单调性的学习.因此，周期性体现了三角函数性质的特殊性.二、学生理解1、学生理解三角函数概念及性质的基础学生在学习了函数的概念及性质后再学习三角函数，他们会把函数的知识套用到三角函数上，这样做其实是正确的.但是，要注意的是，三角函数又具有它自身的特点，三角函数的本质是角度对应任意两边的比值为因变量的函数.初学者没有抓住三角函数的这样的特点，很难理解它的符号含义.学生在初中已经学习过函数的三种表示方法，在函数的概念及性质那一节中又学习了函数和映射，对三角函数的认识提高了很多.但是，三角函数在一开始首先介绍任意角和弧度制，旨在让学生从新的角度来认识三角函数，区别于普通函数的概念.弧度制的引入为更好的解决三角函数定义域中实数与角度的关系，更利于计算.在之后的章节里则很轻易的运用以前学过的函数知识解决了三角函单调性、周期性、奇偶性、最值等问题. 2、学生自发的方法（1）求三角函数值，代入化简求值是学生自发解决；（2）类比函数的概念及性质，学习了解三角函数的概念及性质；（3）对三角函数单调性和周期性的判断，学生会自发通过画图进行治肝炎判断；（4）对三角函数奇偶性的判断，学生会组发同哟图像对称型进行直观判断；（5）研究函数的最大、最小智时，学生会自发借助数形结合思想进行简单判断. 3、学生的学习能力限度在学习了函数的概念之后，大多数学生会通过类比到三角函数学习.然而，三角函数特别于其他函数的是它的定义域和对应法则，定义域通常会用弧度制，对应法则为超越函数符号.在没有真正认识三角函数的本质及其内容很难理解.三角函数的函数性质的研究需要学生动手去做.三角函数的变换很容易混淆，左右平移的方向、伸缩的正负方向都容易做错. 4、具体内容的难易正弦函数、余弦函数、正切函数等各个三角函数的定义，三角函数的单调性、平移变换、伸缩变换、对称性、诱导公式都是三角函数教学的重点.高中一开始接触三角函数符号很难理解它的含义，没有认识到三角函数的几何意义，对三角函数的认识与掌握有一定的难度.三角函数的变换常常会使得学生晕头转向，错误的判断变换的方向和大小，由于新学习的任意角与弧度制不够熟悉，无法直接从几何角度的维度过度到代数运算的层面.由于三角函数的定义域一般为角度，那么第一节中介绍的任意角及其周期性，再结合三角函数变换中很容易导致学生遗漏所求得的角度.与必修一学习的函数的概念及其性质相似，三角函数的概念及其性质的研究方法也可以通过同样的方式来探索，往往通过给出几个特殊具体的几何图形归结出三甲函数，让学生通过观察获得函数的几何定义或函数性质的直观认识，在利用图表探究函数的数量关系特征，并通过代数运算，验证法相的数量特征对定义域中的数用弧度制更加的方便灵活，最后概括道一般而形成基本性质的定义. 5、学生典型误解与认知重组（1）关于符号x x x tan ,sin ,cos 等等，tan cos/sin/是函数，x x x tan ,sin ,cos 是将tan cos/sin/施加于x 的结果，在学习过函数的前提下，学生知识对tan cos/sin/的含义不熟悉.在三角函数的计算过程中学生很可能会对同一个三角函数值y 对应的x 产生遗漏，因为三角函数是一个周期函数，在三角函数的定义域内，多个因变量可以对应同一个函数值.三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.（2）三角函数是周期函数，也是对称型函数，它的周期与对称轴的求解比较简单，，而特殊的地方在于变换，很多学生会凭借着初中学习过得函数知识来模仿学习三角函数，平移变换和伸缩变换的教学特别要注意，学生很容易走入一个误区就是，增加x 就是向正方向变换，减少x 就是向负方向变换.显然，平移变换和伸缩变换都不属于上述情况，而是相反.当我们用惯性思维去思考的时候可能会不如愿.所以，在这里需要学生认知重组，用数量关系的变化认识变量的增减性，体会三角函数的变换规律.（3）三角函数的导公式也是一个难点，诱导公式的变换可以使得三角函数之间互相转化，使得不相同的函数存在唯一的对应法则.如果死记硬背三角公式，那么三角公式又太多，因此，造成学生学习三角函数的苦恼.然而，其实诱导公式的记忆并不需要背很多，只要多加练习三角函数之间的转化就能熟练地掌握它了.三、效果评估1、典型题目及其变式（1）若角α满足条件0sin2<α，0sin cos <-αα，则α在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：0cos 2sin sin2<=ααα ∴0cos sin <αα即αsin 与αcos 异号，∴α在二、四象限，又0sin cos <-αα ∴ααsin cos <由图4—5，满足题意的角α应在第二象限变式：（2）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°， ∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B.（3）在()π2,0内，ααcos sin <使成立的x 取值范围为（） ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛45,2,4.ππππ A⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4.ππB ⎪⎭⎫ ⎝⎛45,4.ππC ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23,45,4.ππππ D 答案：C解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π，图4—5由图4—6可得C 答案.图4—6 图4—7解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）（3）若αsin ＞αtan ＞αcot （－2π＜α＜2π)，则α∈（） A.（－2π，－4π） B.（－4π，0）C.（0，4π）D.（4π，2π）答案：B解法一：取α＝±3π，±6π代入求出αsin 、αtan 、αcot 之值，易知α＝－6π适合，又只有－6π∈（－4π，0），故答案为B. 解法二：先由αsin <αtan 得：α∈（－2π，0），再由αtan ＞αcot 得:α∈（－4π，0）评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系. (4)函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是（） A.6π B.2π C.32π D.3π答案：C解析：y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）＝5［54sin （3x ＋4π）＋53cos （3x ＋4π）］＝5sin （3x ＋4π＋ϕ）（其中tan ϕ＝43）所以函数y ＝sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是T ＝32π.故应选C.评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝22b a +sin （α＋ϕ），其中sin ϕ＝22ba b +，cos ϕ＝22ba a +，及正弦函数的周期性.（5）tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值是_____. 答案：3 解析：tan60°=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan ，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.（6）函数x x y cos )62sin(π-=的最小值是 .答案：43-解析：21)62sin(21662sin 21cos 6sin --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππx x x x y ，当162sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx 时，函数有最小值，y 最小4321121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 2、典型解题方法及使用范围（7）已知函数x x y cos sin 3+=，R x ∈1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；2）该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? .解：（1）()R x x x x x x x x y ∈+=+=+=+=),6sin(2)6sin cos 6cos(sin 2cos sin 3cos sin 3πππy 取得最大值必须且只需,,226Z k k x ∈+=+πππ即Z k k x ∈+=,23ππ所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛Z k k x ∈+=,23ππ｝2）变换的步骤是：①把函数x y sin =的图象向左平移6π，得到函数)6sin(π+=x y 的图象； ②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数)6sin(2π+=x y 的图象；经过这样的变换就得到x x y cos sin 3+=函数的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.已知函数12()log (sin cos )f x x x =-1)求它的定义域和值域； 2)求它的单调区间； 3)判断它的奇偶性； 4)判断它的周期性.解1）x 必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及52244k x k ππππ+<<+，k∈Z ∴ 函数定义域为)452,42(ππππ++k k ，k ∈Z ∵sin cos )4x x x π--∴当x ∈5(2,2)44k k ππππ++时，0sin()14x π<-≤∴0sin cos x x <-121log 2y -≥∴ 函数值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21;2)函数)(x f 在定义域内单调递减，因为对数函数的底数为121<； 3）∵()f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,.∴()f x 不具备奇偶性; 4）∵ )()2(x f x f =+π∴ 函数f(x)最小正周期为2π注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分x x cos sin -的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分x x cos sin +的符号. （8）已知)(325cos 35cos sin 5)(2R x x x x x f ∈+-= 1）求)(x f 的最小正周期； 2）求)(x f 单调区间；3）求)(x f 图象的对称轴，对称中心。

高中数学三角函数教材分析与教学建议

●在基本初等函数的研究中，我们已经反复说明，由图象到性质不是唯一的研究路径．在幂函数、指数函数和对数函数的研究中，通过代数运算得出函数性质是非常重要的方法；三角函数的研究中，根据定义和单位圆的性质就可以得出性质．在得出一些性质后，利用这些性质会使得作图更加精确、简捷．所以，在这里有意识地按“先性质再图象”的方式安排教材内容．正切函数的最小正周期、奇偶性由诱导公式直接得出，利用这些性质简化作图过程，即先画出图象，再根据奇偶性、周期性进行拓展．因为课程标准已经去掉三角函数线，所以先利用正切函数的定义和
本章教材与原教材相应内容的主要区别和联系
5.3诱导公式内容的变化
●对公式的引入发生了变化，主要体现在“探究”部分.两个版本都先说明了利用圆的对称性来研究三角函数的对称性.与老教材不同的是，既然说到对称，新教材就先利用圆关于原点对称特性得到角终边与单位圆交与点P2，问两角的三角函数值有什么关系；而老教材事先给出一个角，然后探究等角的终边与角终边的关系，他们的三角函数值之间有什么关系。两种思路相比，新教材的做法更加“循循善诱”，回归三角函数定义的本质。
5.2三角函数的概念内容的变化
● 原教材是从锐角三角函数引入的，原教材试图通过将锐角三角形先放入到单位圆中，再推广到任意角的三角函数，这样使得不少学生误认为 “任意角三角函数是锐角三角函数的推广”。锐角三角函数从本质上来说是一种边长的比值，它适用于刻画锐角三角形中的边角关系，因此锐角三角函数不能称为真正意义上的三角函数。也就是说，锐角三角函数和任意角的三角函数其实是两种完全不同的定义方式，正是二者的这个差异，导致从锐角三角函数概念推广到任意角的三角函数概念的过程是极不自然的。虽然，原教材最后利用单位圆来定义任意角三角函数，但还是借助锐角三角函数的概念，并且没有对单位圆可以定义任意角三角函数的合理性、科学性做出明确的表述。由于受到锐角三角函数的影响，一些学生对三角函数值出现负数的情况不能理解，在求特殊角三角函数值时还是要作直角三角形。为此，新教材直接利用质点的匀速圆周运动来构建任意角三角函数模型。如图：单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况。引导学生发现任意角 α 可以用单位圆上点 P 的坐标来唯一刻画，从而自然地用坐标来定义任意角的三角函数.从而自然获得任意角三角函数的定义，让学生对终边所在的象限决定三角函数值的正负的理解更深刻。

第28章《锐角三角函数》教材分析与教学建议(人教新课标九年级下)doc

第二十八章“锐角三角函数”教材分析与教学建议本章“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。

从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。

在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。

在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。

无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。

锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。

研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。

本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。

锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。

难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。

至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。

本章内容与已学“相似三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。

本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：28．1 锐角三角函数约6课时28．2 解直角三角形约4课时数学活动小结约2课时一、教科书内容与课程学习目标（一）本章知识结构框图本章知识的展开顺序（二）教科书内容本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。

初中数学_三角函数的应用(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思.docx

初中数学九年级上册第二章第五节《三角函数的应用》（第一课时）教学设计2、通过探究活动二及达标检测达成目标2采用启发引导式、提问式相结合的教学方法.启发式：教师利用多媒体的演示和讲解，引导学生观察总结，再让学生讨论，使学生在丰富感性认识的基础上探索新知，理解新知，应用新知，从而巩固和深化新知.提问式：教师通过设计问题，指明学习方向，营造探究新知的氛围，有目的、有计划、有层次地启迪学生的思维，让学生成为学习的主人，使学生在观察、比较、讨论、研究等活动中参与教学全过程，从而使学生主动学习、掌握知识、形成技能. 引导学生采用自主探索与合作交流相结合的学习方式，尽量让每一个学生都能参与研学法设计究，并最终学会学习. 一、创设情境导入新课活动1：【教师活动】 1、教师独白：这就是我们伟大祖国坚定捍卫的钓鱼岛，钓鱼岛及其附属岛屿都是我国固有领土，中国领土主权神圣不可侵犯。

2、在巡航时测钓鱼岛最高峰“高华峰”海拔高，引导学生在读题（图1）时自行发现疑问：“仰角是什么角？ ” 【导入问题】：国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航.，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A 测得高华峰顶F 点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B 点后测得F 点俯角为45° , 请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米.（结果保留准确值）教辅手段教学过程PPT 教学课件、无线同屏、几何画板教法设计情境导入（附：图1）【学生活动】学生对照屏幕认真读题，找出问题疑惑。

【设计意图】教师通过国际热门话题钓鱼岛问题入手，通过巧设问题情境。

通过教师铿锵有力的独白，培养学生爱国主义情感，由巡航测钓鱼岛最高峰“高华峰”的海拔高，自然引出本节课的课题。

并且在读题时自行发现疑问“俯角”，激发求知欲，为下面环节的学习做好铺垫。

【活动预期】通过将题干中“俯角”改变颜色，学生能顺利发现疑问“仰角是什么角？ ” 激发学生的求知欲。

北师大版九年级数学下册：1.3《三角函数的计算》教学设计

北师大版九年级数学下册：1.3《三角函数的计算》教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册1.3《三角函数的计算》是学生在学习了锐角三角函数的概念、正弦、余弦、正切的定义和性质的基础上进行的一节实践活动课。

本节课通过计算一些具体的三角函数值，让学生进一步理解和掌握三角函数的概念和性质，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的基本概念和性质，对正弦、余弦、正切的定义和性质有一定的了解。

但是，学生在计算三角函数值时，可能会对一些特殊角的三角函数值记忆不牢，需要在教学中进行巩固。

此外，学生在解决实际问题时，可能对如何运用三角函数的性质和公式进行计算还不够熟练，需要通过本节课的教学进行提高。

三. 教学目标1.让学生理解和掌握三角函数的概念和性质。

2.让学生能够熟练计算常见角的三角函数值。

3.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：让学生理解和掌握三角函数的概念和性质，能够熟练计算常见角的三角函数值。

2.难点：培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，以学生为主体，教师为指导，引导学生通过自主学习、合作学习、探究学习，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教师准备PPT，内容包括：三角函数的概念和性质，常见角的三角函数值，实际问题案例。

2.学生准备笔记本，用于记录知识点和做练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾锐角三角函数的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现常见角的三角函数值，让学生自主学习，理解并掌握三角函数的概念和性质。

3.操练（10分钟）教师给出一些具体问题的案例，让学生运用三角函数的性质和公式进行计算，提高学生的实际操作能力。

4.巩固（10分钟）教师引导学生通过小组合作，共同解决一些实际问题，巩固学生对三角函数的理解和运用。

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《三角函数》教材分析及教学建议一、新1日教材对比分析三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域屮具有重要的作用。

这是学生在高屮阶段学习的最后一个基本初等函数。

三角恒等变换在数学屮有一定的应用。

三角函数与三角恒等变换是高屮数学课程的传统内容，因此，木模块的内容属于“传统内容”。

与以往的教科书相比较，本书在内容、要求以及处理方法上都有新的变化。

1. 以基本概念为主干内容贯穿本书，削枝强干，教材体系更显合理。

“标准”设定的三角函数与三角恒等变换学习H标是：（1）通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题屮的作用；（2）运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。

根据上述学习Fl标，在编写教科书过程屮，特别注意突出主干内容，强调模型思想、数形结合思想。

“三角函数”一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。

与传统的处理方法不同，这里把三角恒等变换从三角函数屮独立出来，其H的也是为了在三角函数一章屮突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线。

为了实现削枝强干的Fl标，教科书除了将三角恒等变换独立成章外，还在具体内容上进行了处理。

在三角函数部分删减了任意角的余切、正割、余割，已知三角函数值求角以及符号arcsin x, arccos x, arctan x等内容。

任意角、弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，周期函数与最小正周期，三角函数的奇偶性等内容都降低了要求。

三角恒等变换屮，两角和与差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出。

积化和差、和差化积、半角公式都作为三角恒等变换基本训练的例题，不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂的恒等变形。

根据上述考虑，本模块先安排三角函数，再安排平面向量，然后再把三角恒等变换作为平面向量的一个应用，安排在第3章，紧接着再安排解三角形的内容（放在数学5的第1章）。

这样的教材体系的合理性在于：（1）以已有的集合与函数、指数函数与对数函数的知识为基础，三角函数置于其上位概念（即函数）之下，使三角函数的学习有一•个好的“先行组织者”，找到一个有力的“固着点”-三角函数的学习是一种“逐渐分化”式的学习。

（2）三角函数的学习为平面向量的学习作了必要的准备，因为平面向量的某些内容（向量的数量积）需要用到钝角的三角函数。

（3）将三角恒等变换安排在平而向量Z后，使学生能够切实感受到平面向量的威力（用向量为工具推导三角变换公式非常简捷，而用其他方法都比较繁琐）。

另外, 由于三角恒等变换与“函数”讨论的主题关系较远，作为平面向量的一个应用而独立成章，对三角函数的系统性没有破坏。

（4）将解三角形的内容安排在平面向量Z后，可以使正弦定理、余弦定理的证明获得更多途径，能更好地体现向量的工具性作用。

2. 强调联系、类比等思想方法的应用，强调教科书的思想性，加强思维能力的培养。

在讨论三角函数及其性质时，经常提醒学生注意用数学1屮获得的一般函数概念及其思想方法作指导。

例如，教科书小有这样的话：“遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图彖的形状，看看有没有特殊点，并借助图彖研究一下它的性质，如：单调性、奇偶性、最大值、最小值等。

特别的，三角函数具有'周而复始'的特性到底应当如何描述？”这段话实际上是提示学生，在思考三角函数性质到底研究的是哪些问题以及应半如何研究时，应半与自己在数学1屮建立的关于函数性质的己有经验联系起来，显然, 这对学生把握三角函数基本性质的讨论方向是非常有用的。

3. 加强几何直观，强调数形结合思想。

本书的内容为加强几何直观，引导学生用数学结合的思想方法研究数学问题提供了很好的条件，同时，几何直观对学生理解三角函数、向量等概念也发挥了重要作用。

三角函数一章，特别强调了单位圆的直观作用，借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象，借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图彖与x轴的交点等性质。

这里我们特别说明一下用单位圆上点的坐标定义正弦函数、余弦函数的意义。

这样来定义三角函数，除了考虑到使学生在三角函数学习Z初就能感受到单位圆的重要性，为后续借助单位圆的直观讨论三角函数的图彖与性质奠定坚实的基础外，主要还是为了这样的定义能够更好地反映三角函数的本质。

事实上，任意角的三角函数可以有不同的定义方法。

过去习惯于用角的终边上点的坐标及它到原点的距离的“比值”来定义，这种定义的一个基本理由是可以反映从锐角三角函数到任意角三角函数的推广，有利于引导学生从自己己有认知基础出发学习三角函数。

但它对准确把握三角函数的本质也有一•定的不利影响，因为锐角三角函数与解三角形是直接相关的，血任意角的三角函数与解三角形却没有任何关系，它是一个最基本的、最有表现力的周期函数，这才是三角函数最本质的地方。

本章利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。

这样定义的好处就是直接用（弧度制下）任意角的集合到区间［-1, H上的映射来定义，去掉了“求比值”这一小间过程，有利于学生理解任意角的三角函数屮自变量与函数值Z间的对应关系。

事实上，在弧度制(用半径来度量角)下，角度和长度的单位是统一的，这样，我们可以用下述方式来描述这两个函数的对应关系：把实数轴想彖为一条柔软的细线，原点固定在单位点/ (1, 0),数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数 (点)(被缠绕到单位圆上的点P (cos/, sin/),也即是正弦函数把R小的实数/对应到区间［-1, 1］上的实数y, j^=sin/；余弦函数把R屮的实数f对应到区间［-1, 1］上的实数X, X= COSZo 上述定义可以很容易地让我们看到三角函数的“周而复始”的变化规律。

因此，我们认为这样的定义可以更好地反映三角函数的本质，也正是三角函数的这种形式决定了它们在数学(特别是应用数学)屮的重要性。

事实上，后续的内容，特别是在微积分小，最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函数。

4. 改进呈现方式，用恰时恰点的问题引导学生学习。

通过改进呈现方式，提供直观感矢口、观察发现、归纳类比、空间想象、抽彖概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维活动的载体，达到体现数学教育新理念，促使学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习，引导教师改进教学方式，提高教学质量，使学生打好数学基础，提高数学思维能力。

在保证内容体系的合理性、科学性的前提下，加强教材的问题性和思想性，在知识的发生发展过程屮，利用“观察”“思考” “探究”等栏提出恰时恰点的问题, 把数学概念的概括过程和数学思想方法的形成过程设计成为一系列的问题，启发学生的积极主动思维。

这样，可以使学生感到概念的发展和数学思想方法的形成是自然的，不是强加于人的。

例如，三角函数的诱导公式是通过这样两个问题情景引出的：思考：我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性。

能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢？例如，能否从单位圆关于X轴、尹轴、直线y二X 的轴对称性以及关于原点O的中心对称性等出发，获得一些三角函数的性质呢？探究：给定一个角a o(1)终边与角u的终边关于原点对称的角与u有什么关系？它们的三角函娄:之间有什么关系？(2)终边与角么的终边关于x轴或尹轴对称的角与么有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？(3)终边与角a的终边关于直线尹二x对称的角与么有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？其屮，“思考”屮的问题是上位的，它对利用单位圆的性质讨论三角函数的性质具有一般思想方法的引导作用；“探究”屮的问题比较具体，可以直接引起学生对诱导公式的探究活动。

设计这样的问题系列，就是希望学生在问题的引导下，开展积极主动的思维活动，自己独立推导出三角函数的诱导公式，相信有这样的问题引导，是可以做到这一点的。

另外，这样的做法对于学生思考“应当从哪些方而来研究三角函数”，即应当如何提出问题，也是有启发的。

5. 使用信息技术的考虑。

本模块小，比较适合用信息技术的内容是三角函数及其性质的研究。

例如，求三角函数值，求解测量问题，分析y = Asin^x +（p）屮参数变化对函数的影响等” o根据“标准”的要求和建议，本模块对使用信息技术问题作了如下处理：（1）用计算器进行角度制与弧度制的互换；（2）用计算器求三角函数的值；（3）用计算器的sin" > cos" > tan-1键求角;（4）讨论y二/sin（弧+切的图象时，在边空屮提示，“可以用'五点法'作图, 有条件的也可以用计算器或计算机作图。

在计算机的帮助下，A,对函数y = As\n{cox + （p）的图象变化的影响能直观地得到反映”；（5）在用三角函数模型解决问题的过程小，提倡使用计算机进行函数拟合等。

相应的，在角的两种度量制的互换、求三角函数值、作函数图彖等方而都降低了要求，这样做可以为学生借助信息技术探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动提供时间和空间。

因为有了信息技术，教科书屮引进了一些计算量大、需要根据数据选择和修正函数模型才能解决的问题。

16课时8课时8课时二、课时分配三角函数三角恒等变换正弦定理、余弦定理三、使用本书的几个建议1.充分利用三角函数与学生已有经验的联系创设问题情景。

三角函数是描述周期现象的重要数学模型。

在学生的已有经验屮，像日出日落，月圆月缺，春夏秋冬，24节气时针旋转…… 都是口常经验，对于这些周期变化现象及出现的原因，学生在地理课屮都接触过、学习过；单摆，圆周运动，弹簧振子……是学生在物理屮学习过的，这些都是认识周期现象的变化规律，体会三角函数模型的意义的很好载体，教学屮可以充分利用它们來创设三角函数的学习情境。

2.充分利用相关知识的联系性，引导学生用类比的方法进行学习，加强教学的“思想性”。

三角函数与《数学1》的函数概念是一般与特殊的关系，教学屮应半注意发挥学生头脑小函数概念及在指数函数、对数函数的学习屮建立的经验的指导作用。