小升初奥数专题训练

第一讲数的整除问题
教学目标
数的整除性是数论的基础内容，学生能否熟练掌握该内容对以后进一步深入学习数论至关重要.
本讲需要教授的内容有：
1、掌握并熟练运用能被
2、
3、
4、
5、
6、9、11等整除的自然数性质，这类知识在（Ⅰ、Ⅱ类）题中运用很多.
2、训练学生对自然数的快速分解，记住并会运用几个特殊数（111、1001等）的分解情况对于解决（Ⅲ类）有很大的帮助.
3、自然数乘法末位数规律.
4、基础好的学生还应该掌握分式的化简方法.
基本概念和知识点
1．整除——约数和倍数
一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b = c，即整数a除以整数b（b≠0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b︱a。

否则，称为a不能被b整除（或b不能整除a）。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或因数）。

2．数的整除性质
性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

3．数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是
11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减
小）能被7（11或13）整除。

4.部分特殊数的分解
111=3×37； 1001=7×11×13； 11111=41×271； 10001=73×137；
1995=3×5×7×19； 1998=2×3×3×3×37； 2007=3×3×223； 2008=2×2×2×251；
2007+2008=4015=5×11×73; 10101=3×7×13×37.
【例1】（全国希望杯数学邀请赛）若四位数9a8a能被15整除，则a代表的数字是．
【例2】把三位数3ab接连重复地写下去，共写1993个3ab，所得的数33 (3)
(19933)
ab ab ab
ab
个
恰是91的倍数，求ab=？
【例3】如果有一个九位数A1999311B 能被72整除，试求A、B两数的差(大减小)．例题详解
【例4】(2003年祖冲之杯小学数学邀请赛)三个连续自然数的和能被13整除,且三个数中最大的数被9除余4,那么符合条件的最小的三个数是_____,________,_______
【例5】要使15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C分别是多少？
【例6】求能被26整除的六位数___________ 1991
x y。

【例7】(2005年全国小学数学奥林匹克竞赛)如果20052005 (200501)
n
144424443
个2005能被11整除,那么n最小值是_____.
【例8】(1998年香港圣公会小学数学奥林匹克竞赛)一个六位数,前四位是2857,即2857,这个六位数能被11和13整除,请你算出后两位数.
【例9】(2001年全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)在算式+91=☺中,已知盖住的是一个能被9整除的两位数,☺盖住的是7的倍数,问☺盖住的数是多少?
【例10】（香港圣公会小学数学奥林匹克）这个199位整数：19910010010011001L 144424443位
被13除，余数是多少？
分数裂项求和方法总结
（一） 用裂项法求
1
(1)
n n +型分数求和 分析：因为
11
1n n -
+＝11(1)(1)(1)
n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：
111
(1)1
n n n n =-++
【例1】 求111
(101111125960)
+++
⨯⨯⨯的和。

111111()()......()101111125960111060112
=-+-++-=-= （二） 用裂项法求
1
()
n n k +型分数求和 分析：
1
()
n n k +型。

（n,k 均为自然数）
因为
11111()[]()()()
n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111
()
()n n k k n n k =-++
【例2】 计算11111577991111131315++++
⨯⨯⨯⨯⨯
111111*********()()()()()25727929112111321315
=
-+-+-+-+-
11111111111[()()()()()]2577991111131315
=
-+-+-+-+- 111[]2515
115
=-=
（三） 用裂项法求
()
k
n n k +型分数求和 分析：()
k
n n k +型（n,k 均为自然数）
11
n n k -
+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()
k n n k + 所以
()k n n k +＝11
n n k
-+
【例3】 求
2222
(1335579799)
++++
⨯⨯⨯⨯的和
1111111(1)()()......()
3355797991
1999899
=-+-+-++-=-=
（四） 用裂项法求
2()(2)
k
n n k n k ++型分数求和
分析：2()(2)
k
n n k n k ++（n,k 均为自然数）
211
()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-
+++++
【例4】 计算：
4444
(135357939597959799)
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
11111111()()......()()1335355793959597959797991113979932009603
=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯=
（五） 用裂项法求
1
()(2)(3)
n n k n k n k +++型分数求和
分析：
1
()(2)(3)
n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）
1111
()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)
n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++
【例5】 计算：111
......1234234517181920+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
1111111
[()()......()]3123234234345171819181920111[]3123181920
113920520
=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--⨯⨯⨯⨯=
（六） 用裂项法求
3()(2)(3)
k
n n k n k n k +++型分数求和
分析：
3()(2)(3)
k
n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）
311
()(2)(3)()(2)()(2)(3)
k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++
【例6】 计算：
333
(1234234517181920)
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
111111
()()......()12323423434517181918192011
12318192011396840
=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--⨯⨯⨯⨯=
（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）。