新版 模糊数学 A卷 R10 考试 11-11定稿 - 个人解答
2022-2023学年全国高中高三上数学人教A版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高三上数学月考试卷考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，，则 A.B.C.D.2. 的展开式中的常数项为 A.B.C.D.3. 甲、乙两名同学在次数学考试中，成绩统计后用如图所示的茎叶图表示，若甲、乙两人的平均成绩分别用，表示，则下列结论正确的是A.，且甲比乙成绩稳定B.，且乙比甲成绩稳定C.，且甲比乙成绩稳定M ={x|−x −12>0}x 2N ={x|−4<x <5}M ∩N =()R(−3,4)(4,5)(−4,−3)∪(4,5)x(1−)1x−√5()−55−10106x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙( )>x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙>x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙=¯¯¯¯¯¯D.，且乙比甲成绩稳定4. 已知是角的终边上的点，则 A.B.C.D.5. 在 中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，.若，，，则的最小值为( )A.B.C.D.6. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是( )A.B.C.D.7. 将甲、乙等位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有（ ）=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙P(3,4)αcos(π+α)=()4535−35−45△ABC P =3BP −→−PC −→−P AB AC M N =λAM −→−AB −→−=μAN −→−AC −→−(λ>0,μ>0)λ+μ+13–√2+12–√23252(0,+∞)y =x 3y =|x |+1y =−+1x 2y =2|x|5A.种B.种C.种D.种8. 某班主任对全班名学生进行了认为作业量多少的调查，数据如下表所示，则认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握大约为( )分类认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏不喜欢玩电脑游戏总数参考公式：.A.B.C.D.9. 已知等比数列的各项均为正数，满足，，记等比数列的前项和为，则当取得最大值时，( )A.或B.或C.或D.或10. 如图，面积为的矩形中有一块阴影部分，若往矩形中随机投掷个点，落在矩形的非阴影部分中的点数为个，则据此估计阴影部分的面积为（ ）A.B.C.240180150540501892781523262450=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)99%95%90%97.5%{}a n ⋅=16a 2a 16=+a 6a 7+a 3a 418a n n T n T n n =89910101111124ABCD ABCD 1000ABCD 6001.21.41.6D.11. 已知函数为奇函数，则( )A.B.C.D.12. 已知函数若方程 有四个不等的实数根，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若复数（为虚数单位），则的模为________．14. 学校要求用种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔．则该板报有_________种书写方案．（用数字填写答案）15. 某学校早上开始上课，假设小王和小马在早上之间到校，且每人在该时段的任何时刻到校都是等可能的，则小王比小马至少早分钟到校的概率为________．16. 已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中不超过的所1.8f (x)=+1−a2x 12a =−2−11f(x)= ，x >0，1+2ln x x −4x −2，x <0，x 3f(x)=ax a (−1,1)(0,1)(1,+∞)(，e)1e z =1−2i 3−ii z 68:308:00−−8:205{}a n n S n =2+2S 2a 1=4a 5a 3{}a n 2021有项的和为________．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ） 17. 已知是递增的等比数列，，且成等差数列．求数列的通项公式；设．求数列的前项和. 18. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了年月日至月日的每天昼夜温差与实验室每天每颗种子中的发芽数，得到如下表：日 期月日月日月日月日月日温差发芽数（颗）该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再对被选取的两组数据进行检验.求选取的组数据恰好是不相邻的天数据的概率；若选取的是月日与月日的两组数据，请根据月日至月日的数据，求出关于的线性回归方程，并预报当温差为时，种子发芽数.附：回归直线方程：，其中，． 19. 已知函数.求的最小正周期；求图象的对称轴方程和对称中心的坐标．20. 已知函数.讨论的单调性；若有三个零点，求的取值范围．21.已知函数讨论函数的单调性.若恒成立，求实数的取值范围.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程，{}a n =1a 12,,a 232a 3a 4(1){}a n (2)=,n ∈b n 1⋅log 2a n+1log 2a n+2N ∗{}b n n S n 2019121125100121122123124125x C)(∘101113128y 232530261623(1)22(2)121125122124y x =x +y ˆb ˆaˆC 14∘=x +y ˆb ˆa ˆ=b ˆ−n ∑i=1n x i y i x ¯¯¯y ¯¯¯−n ∑i=1n x i 2x ¯¯¯2=−a ˆy ¯¯¯b ˆx¯¯¯f(x)=sin x ⋅cos x −x +(x ∈R)3–√cos 23–√2(1)f(x)(2)f(x)f (x)=−kx +x 3k 2(1)f (x)(2)f (x)k f(x)=2ln x +(a −1)x +1，a ∈R.(1)f(x)(2)g(x)=−f(x)≥0x 2e 2x a xOy C 1{x =t cos α,y =1+t sin αt O x C 2+8ρcos θ+4ρsin θ+16=0ρ2C 2(0,1)C C A |PA|+|PB|=10C（2）已知点的直角坐标为，曲线与交于，两点，若，求曲线的普通方程． 23. 已知函数．（1）当时，求不等式解集；（2）若的解集包含，求的取值范围．P (0,1)C 1C 2A B |PA|+|PB|=10C 1f(x)=|x +a|+|x +2|(a ∈R)a =−1f(x)≥5f(x)≤|x +4|[0,2]a参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵或，，∴.故选.2.【答案】D【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】此题暂无解析【解答】解： 的展开式为：,令，则，故所求常数项为.故选.3.【答案】M ={x|−x −12>0}={x|x <−3x 2x >4}N ={x|−4<x <5}M ∩N =(−4,−3)∪(4,5)D x(1−)1x −√5x ⋅(−=(−1C r 515−r 1x−√)r )r C r 5x 1−r 21−=0r 2r =2(−1=10)2C 25D茎叶图极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】根据平均数和方差的定义进行计算即可求解．【解答】解：学生甲的平均成绩，学生乙的平均成绩.又，，则，，即乙的成绩更稳定.故选．4.【答案】C【考点】任意角的三角函数诱导公式【解析】利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得的值．【解答】解：∵是角的终边上的点，∴，则.故选.5.【答案】==82x ¯¯¯甲68+76+79+86+88+956==82x ¯¯¯乙71+75+82+84+86+946=×[++s 2甲16(68−82)2(76−82)2(79−82)2+++]=77(86−82)2(88−82)2(95−82)2=×[++s 2乙16(71−82)2(75−82)2(82−82)2+++]=(84−82)2(86−82)2(94−82)21673=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙>s 2甲s 2乙D cos(π+α)P(3,4)αcos α=35cos(π+α)=−cos α=−35C向量的共线定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴,∴,∵,，∴,∵三点共线,,.当且仅当,即时等号成立.∴ 的最小值为.故选.6.【答案】C【考点】=3BP −→−PC −→−−=3(−)AP −→−AB−→−AC −→−AP −→−=+AP −→−14AB −→−34AC −→−=λAM −→−AB −→−=μAN −→−AC −→−=+AP −→−14λAM −→−34μAN −→−P,M,N ∴+=114λ34μ∴λ+μ=(λ+μ)(+)14λ34μ=+++1434μ4λ3λ4μ≥1+2⋅μ4λ3λ4μ−−−−−−−√=1+2×3–√4=1+3–√2=μ4λ3λ4μλ=,μ=1+3–√43+3–√4λ+μ+13–√2A奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数奇偶性和单调性的定义结合函数的性质进行判断即可．【解答】解：，是奇函数，不满足条件，故错误；，是偶函数，当时，单调递增，不满足条件，故错误；，是偶函数，且在上单调递减，满足条件，故正确；，是偶函数，当时，单调递增，不满足条件，故错误.故选.7.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】D【考点】独立性检验【解析】根据条件中所给的计算出的观测值的数据，把观测值同临界值进行比较，得到认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为．【解答】解：由题意，得，则，A y =x 3A B y =|x |+1x >0y =x +1B C y =−+1x 2(0,+∞)C D y =2|x|x >0y =2x D C 1−0.025=97.5%=≈5.059K 250×(18×15−8×9)227×23×24×26P(≥5.024)=0.025K 2所以认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握大约为.故选.9.【答案】C【考点】等比中项等差数列的前n 项和【解析】根据，推断出，进而表示出和，联立方程求得公比，进而根据等比数列的通项公式求得，进而求得，然后令求得的范围，答案可得．【解答】解：∵，，∴可得，，，.时，，或时，取得最大值.故选10.【答案】C【考点】模拟方法估计概率【解析】根据若往矩形投掷个点，落在矩形的非阴影部分中的点数为个可估计落在阴影部分的概率，而落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积与矩形的面积比，从而可求出所求．【解答】解：根据几何概率的计算公式可得，向距形内随机投掷个点，落在矩形的非阴影部分中的点数为个，则落在矩形的阴影部分中的点数为个，设阴影部分的面积为，落在阴影部分为事件，∴落在阴影部分的概率，解得．故选．11.1−0.025=97.5%D =lg b n a n =a n 10b n a 3a 6q a n b n ≥0b n n ⋅=16a 2a 16=+a 6a 7+a 3a 418=4a 9q =12∴=2a 10=1a 11n >12<1a n ∴n =10n =11T n C.ABCD 1000ABCD 6001000ABCD 600ABCD 400S A P(A)==4001000S 4S =1.6C【答案】D【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据奇函数求解即可得答案．【解答】解：因为函数为奇函数，所以,所以,整理得： ，解得.故选.12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：方程有四个不等的实数根，等价于的图象与直线 有个交点，①当 时，，易知在上单调递增，在上单调递减，②当 时，，易得在上单调递减，在上单调递增，综合①②得 的图象与直线 的图象的位置关系如图所示：f (−x)+f (x)=0f (x)=+1−a 2x 12f (−x)=+=+1−a 2−x 122x 1−a ⋅2x 12f (x)+f (−x)=+++=02x 1−a ⋅2x 121−a 2x 12−2a ⋅+1−a +(+1)−a =0()2x 22x ()2x 2a 22x a =1D f(x)=ax y =g(x)= ,2ln x +1x 2−−4,x 22x x >0,x <0,y =a 4x >0(x)=g ′−4ln x x 3y =g(x)(0,1)(1,+∞)x <0(x)=2x +=g ′2x 22(+1)x 3x 2y =g(x)(−∞,−1)(−1,0)y =g(x)y =a则实数的取值范围是 .故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】直接利用复数的模运算法则化简求解即可．【解答】解：复数（为虚数单位），则．a 0<a <1B 2–√2z =1−2i3−i i |z |=||1−2i3−i =|1−2i ||3−i |=+(−212)2−−−−−−−−−√+(−132)2−−−−−−−−−√=5–√10−−√=2–√2–√故答案为：．14.【答案】【考点】分步乘法计数原理【解析】此题暂无解析【解答】解：数学天地有种颜色，理综世界有种颜色，语文学院有种颜色，英语角有种颜色，则一共有种书写方案.故答案为：.15.【答案】【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】【考点】等比数列的前n 项和等比数列的性质【解析】2–√260065546×5×5×4=6006002046此题暂无解析【解答】解：设的公比为，由已知得解得，所以，令，则，解得，所以数列中的前项的和为：．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17.【答案】解：设数列}的公比为，由题意及，知．，，成等差数列，∴ ，，即．解得或（舍去）．．数列的通项公式为．∵ ，．【考点】数列的求和等比数列的通项公式等差数列的性质【解析】求等比数列的通项公式，较简单.暂无【解答】{}a n q (q >0){(1+q)=2+2，a 1a 1≥4,a 1q 4a 1q 2=q =2a 1=a n 2n <2021a n <20212n n ≤10{}a n 102++++⋯+=222324210=20462(1−)2101−22046(1){a n q =1a 1q >1∵2a 232a 3a 43=+2a 3a 4a 2∴3=+2q q 2q 3−3q +2=0q 2q =2q =1∴q =2∴{}a n =a n 2n−1(2)===−b n 1⋅log 2a n+1log 2a n+21n (n +1)1n 1n +1∴=(1−)+(−)+⋯+(−)S n 1212131n 1n +1=1−1n +1=n n +1(1){解：设数列}的公比为，由题意及，知．，，成等差数列，∴ ，，即．解得或（舍去）．．数列的通项公式为．∵ ， ．18.【答案】解：设抽到不相邻两组数据为事件，则事件包括，，，，，，，，，，从组数据中选取组数据共有种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有种，所以.由数据，求得：，，由公式，求得，；∴关于的线性回归方程为.当时，.【考点】古典概型及其概率计算公式求解线性回归方程【解析】(1){a n q =1a 1q >1∵2a 232a 3a 43=+2a 3a 4a 2∴3=+2q q 2q 3−3q +2=0q 2q =2q =1∴q =2∴{}a n =a n 2n−1(2)===−b n 1⋅log 2a n+1log 2a n+21n (n +1)1n 1n +1∴=(1−)+(−)+⋯+(−)S n 1212131n 1n +1=1−1n +1=n n +1(1)A (1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)52104P(A)=1−=41035(2)==12x ¯¯¯10+11+13+12+85=27y ¯¯¯23+25+30+26+165=b ˆ52=−a =−3a ˆy ¯¯¯x ¯¯¯y x =x −3y ˆ52x =14=32yˆ此题暂无解析【解答】解：设抽到不相邻两组数据为事件，则事件包括，，，，，，，，，，从组数据中选取组数据共有种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有种，所以.由数据，求得：，，由公式，求得，；∴关于的线性回归方程为.当时，.19.【答案】解：∵，的最小正周期为：.由，可得对称轴为，，由，可得对称中心为，.【考点】三角函数的恒等变换及化简求值正弦函数的对称性三角函数的周期性及其求法【解析】（1）用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简，进而根据求得最小正周期．(1)A (1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)52104P(A)=1−=41035(2)==12x ¯¯¯10+11+13+12+85=27y ¯¯¯23+25+30+26+165=b ˆ52=−a =−3a ˆy ¯¯¯x ¯¯¯y x =x −3y ˆ52x =14=32y ˆ(1)f(x)=sin x ⋅cos x −x +3–√cos 23–√2=sin 2x −×+123–√cos 2x +123–√2=sin 2x −cos 2x 123–√2=sin(2x −)π3∴f(x)T ==π2π2(2)2x −=+kππ3π2x =+5π12kπ2k ∈Z 2x −=kππ3(+，0)π6kπ2k ∈Z T =2πwx −=+kπππx −=kππ（3）由正弦函数的对称性可知，利用求得函数的对称轴，由求得对称中心．【解答】解：∵，的最小正周期为：.由，可得对称轴为，，由，可得对称中心为，.20.【答案】解：由题意可得，定义域为，.①当时，，函数在上单调递增；②当时，，当时，即，解得或，则在或上单调递增，在上单调递减.由可知，当时，不可能有三个零点，故舍去；要使得有三个零点，则，，且，即解得.【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的单调性2x −=+kππ3π22x −=kππ3(1)f(x)=sin x ⋅cos x −x +3–√cos 23–√2=sin 2x −×+123–√cos 2x +123–√2=sin 2x −cos 2x 123–√2=sin(2x −)π3∴f(x)T ==π2π2(2)2x −=+kππ3π2x =+5π12kπ2k ∈Z 2x −=kππ3(+，0)π6kπ2k ∈Z (1)R (x)=3−k f ′x 2k ≤0(x)>0f ′f (x)R k >0(x)=3−k f ′x 2(x)>0f ′3−k >0x 2x <−k 3−−√x >k 3−−√f(x)(−∞,−)k 3−−√(,+∞)k 3−−√f(x)(−,)k 3−−√k 3−−√(2)(1)k ≤0f (x)f (x)f(−)>0k 3−−√f()<0k 3−−√k >0 (−−k ⋅(−)+>0，k 3−−√)3k 3−−√k 2(−k ⋅()+<0，k 3−−√)3k 3−−√k 2k >0,0<k <427【解析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意可得，定义域为，.①当时，，函数在上单调递增；②当时，，当时，即，解得或，则在或上单调递增，在上单调递减.由可知，当时，不可能有三个零点，故舍去；要使得有三个零点，则，，且，即解得.21.【答案】解：定义域为，当时，恒成立，所以的递增区间为；当时，令得，所以的递增区间为；令得，所以的递减区间为.综上当时，在上递增，当时，在递减，在递增.恒成立，即恒成立，(1)k (2)k (1)R (x)=3−k f ′x 2k ≤0(x)>0f ′f (x)R k >0(x)=3−k f ′x 2(x)>0f ′3−k >0x 2x <−k 3−−√x >k 3−−√f(x)(−∞,−)k 3−−√(,+∞)k 3−−√f(x)(−,)k 3−−√k 3−−√(2)(1)k ≤0f (x)f (x)f(−)>0k 3−−√f()<0k 3−−√k >0 (−−k ⋅(−)+>0，k 3−−√)3k 3−−√k 2(−k ⋅()+<0，k 3−−√)3k 3−−√k 2k >0,0<k <427(1)f(x)(0,+∞),(x)=f ′(a −1)x +2x a ≥1(x)≥0f ′f(x)(0，+∞)a <1(x)>0f ′0<x <21−a f(x)(0,)21−a (x)<0f ′x >21−a f(x)(,+∞)21−aa ≥1f(x)(0，+∞)a <1f(x)(,+∞)21−a (0,)21−a (2)g(x)=−2ln x −(a −1)x −1≥0x 2e 2x a −1≤−2ln x −1x 2e 2x x(x)=−2ln x −122x令，设，则，易知当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以当且仅当时等号成立.所以，当且仅当时等号成立，易知存在唯一使其成立，所以所以，得.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：定义域为，当时，恒成立，所以的递增区间为；当时，令得，所以的递增区间为；令得，所以的递减区间为.综上当时，在上递增，当时，在递减，在递增.恒成立，即恒成立，令，设，则，易知当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以当且仅当时等号成立.所以，当且仅当时等号成立，h(x)=−2ln x −1x 2e 2x x k(x)=−x −1e x (x)=−1k ′e x x <0(x)<0,k(x)k ′x >0(x)>0,k(x)k ′k(x)≥k(0)=0≥x +1e x x =0=≥2x +2ln x +1x 2e 2x e 2x+2ln x 2ln x =−2x x h(x)≥=22x +2ln x +1−2ln x −1x a −1≤2a ≤3(1)f(x)(0,+∞),(x)=f ′(a −1)x +2x a ≥1(x)≥0f ′f(x)(0，+∞)a <1(x)>0f ′0<x <21−a f(x)(0,)21−a (x)<0f ′x >21−a f(x)(,+∞)21−a a ≥1f(x)(0，+∞)a <1f(x)(,+∞)21−a (0,)21−a (2)g(x)=−2ln x −(a −1)x −1≥0x 2e 2x a −1≤−2ln x −1x 2e 2x x h(x)=−2ln x −1x 2e 2x x k(x)=−x −1e x (x)=−1k ′e x x <0(x)<0,k(x)k ′x >0(x)>0,k(x)k ′k(x)≥k(0)=0≥x +1e x x =0=≥2x +2ln x +1x 2e 2x e 2x+2ln x 2ln x =−2x易知存在唯一使其成立，所以所以，得.22.【答案】【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的参数方程参数方程与普通方程的互化【解析】【解答】23.【答案】【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答x h(x)≥=22x +2ln x +1−2ln x −1x a −1≤2a ≤3。
2022-2023学年全国高中高三下数学人教A版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高三下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则 A.B.C.D.2. 设（为虚数单位），则 等于( )A.B.C.D.3. 已知：，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.4. 甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为，乙投中的概率为，而且不受其他投篮结果的影响．设甲投篮的次数为，若甲先投，则等于（ ）M ={x|0<x <3}N ={x|1<x <4}M ∪N =(){x|0<x <4}{x|1<x <3}{x|3<x <4}{1,2,3}z =+2−3i 1−2i 2+i i z −i−4i 1452−3i2−4isin α+cos β=32cos 2α+cos 2β[−2,2][−,2]32[−2,]32[−,]32320.40.6ξP(ξ=k)×0.4k−1A.B.C.D.5. 已知点是椭圆上的动点，，为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是 A.B.C.D.6. 已知函数的最小正周期为，若 在上的最大值为，则的最小值为( )A.B.C.D.7.已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有．记，，，则（ ）A.B.C.D.×0.40.6k−1×0.760.24k−1×0.60.4k−1×0.240.6k−1P +=1(xy ≠0)x 216y 212F 1F 2O M ∠P F 1F 2⋅=0M F 1−→−−MP −→−||OM −→−()(0,2)(0,)3–√(0,4)(2,2)3–√f (x)=2sin(ωx +φ)+hπ|f (x)|[0,]π4M M 22–√2–√12−2–√2f(x)R x 1x 2<0f ()−f ()x 2x 1x 1x 2−x 1x 2a =f ()40.240.2b =f ()0.420.42c =f ( 4)log 0.2 4log 0.2c <b <aa <b <ca <c <bc <b <a(,)28. 已知抛物线的焦点为， 为该抛物线上一点，若以为圆心的圆与的准线相切于点， ，则抛物线的方程为( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 关于二项式的展开式，下列结论错误的是 A.展开式所有项的系数和为B.展开式二项式的系数和为C.展开式中不含项D.常数项为10. 某校学习兴趣小组通过研究发现形如，，不同时为)的函数图象可以通过反比例函数的图象通过平移变换而得到，则对于函数的图象及性质的下列表述正确的是( )A.图象上点的纵坐标不可能为B.图象关于点成中心对称C.图象与轴无交点D.函数在区间上是减函数11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）A.B.C :=2py (p >0)x 2F M (,)x 023M C A ∠AMF =120∘=4yx 2=8yx 2=12yx 2=8yx 23–√(−)x 22x 6()132x 3120y =(ac ≠0ax +b cx +d b d 0y =x +2x −11(1,1)x (1,+∞)ABCD −A 1B 1C 1D 1A 660∘A =6C 16–√A ⊥DB C 1−→−−→−C.向量与的夹角是D.与所成角的余弦值为12. 对于直线：和圆：，下列结论中正确的是（ ）A.当时，与相交B.，与相交C.存在，使得与相切D.如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知对满足的任意正实数，，都有，则实数的取值范围为________．14. 若，则________．15. 如图，在三棱锥中，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为________.16. 已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数的取值范围为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 已知等差数列和等比数列满足，，，．求和的通项公式；数列和中的所有项分别构成集合、，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前项和． 18. 如图所示，已知三棱锥中，底面是等边三角形，且，点是的中点．C B 1−→−AA 1−→−60∘BD 1AC 6–√3l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0C +=9(x −1)2(y +1)2t =−2l C ∀t ∈R l C t ∈R l C l C x +4y =xy x y +2xy +−ax −ay +1≥0x 2y 2a x 2=1log 3−=4x 2−x P −ABC AB =AC =PB =PC =5,PA =4BC =6M PBC AM =15−−√AM BC αcos αf (x)=(x +1)sin x +cos x ，∈[0,](≠)x 1x 2π2x 1x 2|f()−f()|<a|−|x 1x 2e x 1e x 2a {}a n {}b n =5a 1=2b 1=2+1a 2b 2=+5a 3b 3(1){}a n {}b n (2){}a n {}b n A B A ∪B {}c n {}c n 50S 50S −ABC △ABC SA =SB =AC =2E SC AB ⊥SC（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值． 19. 已知平面四边形中，，求的长；求的面积．20. 已知函数.若，证明：；若只有一个极值点，求的取值范围，并证明：. 21. 已知双曲线中心在原点，焦点在轴上，过左焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于，两点，为双曲线的右焦点，且轴，如图．求双曲线的离心率；若，求双曲线的标准方程．22. 某电视娱乐节目的游戏活动中，每个人需要完成，，三个项目，已知选手甲完成，，三个项目的概率分别为、、．每个项目之间相互独立．（1）选手甲对，，三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率；（2）该活动要求项目，各做两次，项目做三次，如果两次项目都完成，则进行项目，并获得积分，两次项目都完成，则进行项目并获得积分，三次项目只要二次成功，则该选手闯关成功并获得积分（积分不累记），且每个项目之间相互独立，用表示选手所获得积分的数值，写出的分布列并求数学期望．AB ⊥SC SC =6–√A −SB −C ABCD AB//DC,∠BAC =π4∠ABC =,AB =+1,BD =.π33–√7–√(1)BC (2)△BCD f (x)=x ln x −a (a ≠0)x 2(1)a =1f (x)+x ≤0(2)f (x)x 0a f ()>−x 01e x F 130∘l A B F 2A ⊥x F 2(1)(2)|AB |=16A B C A B C A B C A B C A B a B C 3a C 6a X X参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，，所以.故选.2.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：本题考查负数的运算，.故选.3.【答案】M ={x|0<x <3}N ={x|1<x <4}M ∪N ={0<x <4}A z =+2−3i =−i +2−3i =2−4i1−2i2+i DD【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】根据二倍角公式化简，消去其中一个角，转化思想，利用三角函数的有界限求解范围即可．【解答】∵，可得：，∵．可得：．那么：，∵，则：，∴．4.【答案】B【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲投篮的次数为，甲先投，则表示甲第次甲投中篮球，而乙前次没有投中，甲也没有投中或者甲第次未投中，而乙第次投中篮球，根据公式写出结果．【解答】解：∵甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，∵每次投篮甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲投篮的次数为，甲先投，则表示甲第次投中篮球，而甲与乙前次没有投中，或者甲第次未投中，而乙第次投中篮球．根据相互独立事件同时发生的概率得到；次甲不中的情况应是，故总的情况是．sin α+cos β=32cos β=−sin α32−1≤−sin α≤132≤sin α≤112cos 2α+cos 2β=1−2α+2β−1=2(β−α)sin 2cos 2cos 2sin 2=2(cos β+sin α)(cos β−sin α)=2××(−2sin α)=−6sin α323292sin α∈[,1]12−6sin α∈[−6,−3]cos 2α+cos 2β=−6sin α∈[−,]923232ξξ=k k k −1k −1k k 0.40.6ξξ=k k k −1k k ××0.4=×0.40.4k−10.6k−10.24k−1k ××0.60.4k−10.6k ×0.4+×0.6×0.6=×0.760.24k−10.24k−10.24k−1故选．5.【答案】A【考点】椭圆的应用【解析】作出椭圆的图象，通过观察图象可以发现，当点在椭圆与轴交点处时，点与原点重合，此时取最小值．当点在椭圆与轴交点处时，点与焦点重合，此时取最大值．由此能够得到的取值范围．【解答】解：如图，当点在椭圆与轴交点处时，点与原点重合，此时取最小值为．当点在椭圆与轴交点处时，点与焦点重合，此时取最大值为．∵，∴的取值范围是．故选．6.【答案】D【考点】三角函数的最值正弦函数的图象【解析】B +=1x 216y 28P y M O ||OM −→−0P x M F 1||OM −→−22–√||OM −→−P y M O ||OM −→−0P x M F 1||OM −→−||==2OM −→−16−12−−−−−−√xy ≠0||OM −→−(0,2)A此题暂无解析【解答】解： 的最小正周期为,，即.则 在上的最大值有种可能：当时，，当时，，当时，，，解得,且，，此时,解得，的最小值.故选.7.【答案】C【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由题意知，，得，∴．同理当时，．令函数，则在区间上单调递减，且函数为偶函数．∴，∵f(x)π∴ω==22ππf(x)=2sin(2x +φ)+h |f (x)|[0,]π43sin(2x +φ)=1=|2+h|M 1x =0=|2sin φ+h|M 2x =π4=|2cos φ+h|M 3∴=M 2M 3φ=π42sin φ+h <02cos φ+h <0==−−h =2+h M 2M 32–√h =−2−2–√2∴M =2+=−2−2–√22−2–√2D 0<<x 2x 1f ()−f ()<0x 2x 1x 1x 2f ()<f ()x 2x 1x 1x 2<f ()x 1x 1f ()x 2x 20<<x 1x 2>f ()x 1x 1f ()x 2x 2g(x)=f(x)x g(x)(0,+∞)g(x)a ==g()f ()40.240.240.2==g()f ()2，，∵，∴,即.故选．8.【答案】B【考点】抛物线的性质抛物线的定义【解析】过点作轴于.由题可知，，因为，所以，所以，，解得，抛物线方程为.选．【解答】解：过点作轴于.由题可知，，因为，所以，所以，即，解得，抛物线方程为.故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】二项展开式的特定项与特定系数b ==g()f ()0.420.420.42c ==g(4)=g(−4)=g(4)f (4)log 0.24log 0.2log 0.2log 5log 50<=0.16<0.5<4<1<0.42log 540.2g()<g(4)<g()40.2log 50.42a <c <b C M MB ⊥y B |MA|=+23P 2|BF|=−P 223∠AMF =120°∠BMF =30°2|BF|=|MF|+=2(−)23P 2P 223p =4=8y x 2B M MB ⊥y B |MA|=+23p 2|BF|=−p 223∠AMF =120°∠BMF =30°2|BF|=|MF|+=2(−)23p 2p 223p =4=8y x 2B【解析】本题主要考查二项式定理和二项式的展开式．【解答】解：因为二项式，令可得所有项系数和为，展开式中二项式的系数和为，展开式的通项为，当时，得常数项为；当时，可得项，所以错误的应选．故选．10.【答案】A,B,D【考点】函数的图象变换函数的图象【解析】可以看做将反比例函数图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，作出函数的图象，利用函数的图象求解即可.【解答】解：可以看做将反比例函数图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，作出函数图象如图所示.由图可知，图象上点的纵坐标不可能为 ，故正确；图象关于点成中心对称，故正确；图象与轴有交点，故错误；(−)x 22x6x =11=6426==T r+1C r 6x 2(6−r)(−)2xr C r 6(−2)r x12−3r r =4240r=3x 3BCD BCD y ===1+x +2x −1x −1+3x −13x −1y =3x y ===1+x +2x −1x −1+3x −13x −1y =3x1A (1,1)B x C (1,+∞)函数在区间上是减函数，故正确.故选.11.【答案】A,B【考点】异面直线及其所成的角数量积表示两个向量的夹角【解析】应用空间向量的基本定理，选取向量为基底，对每一选项进行逐一判断即可得到答案．【解答】解：因为以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，所以，，则，所以正确；，所以正确；显然为等边三角形，则，因为，且向量与的夹角是，所以与的夹角是，所以不正确；因为，，所以，，，所以，所以不正确．故选．12.【答案】(1,+∞)D ABD ,,AA 1−→−AB −→−AD −→−A 660∘⋅AA 1−→−AB −→−=⋅AA 1−→−AD −→−=⋅AD −→−AB −→−=6×6×cos 6=180∘(++)AA 1−→−AB −→−AD −→−2=+++2⋅+2⋅+2AA 1−→−2AB −→−2AD −→−2AA 1−→−AB −→−AB −→−AD −→−AA 1−→−AD −→−=36+36+36+3×2×18=216||=|++|=6AC 1−→−AA 1−→−AB −→−AD −→−6–√A ⋅=(++)⋅(−)AC 1−→−DB −→−AA 1−→−AB −→−AD −→−AB −→−AD −→−=⋅−⋅+AA −→−1AB −→−AA 1−→−AD −→−AB −→−2−⋅+⋅−=0AB −→−AD −→−AD −→−AB −→−AD −→−2B △A D A 1∠A D =A 160∘=C B 1−→−D A 1−→−D A 1−→−AA 1−→−120∘C B 1−→−AA 1−→−120∘C =+−BD 1−→−−AD −→−AA 1−→−AB −→−=+AC −→−AB −→−AD −→−||==6BD 1−→−−(+−)AD −→−AA 1−→−AB −→−2−−−−−−−−−−−−−−−−−√2–√||==6AC −→−(+)AB −→−AD −→−2−−−−−−−−−−−√3–√⋅=(+−)⋅(+)=36BD 1−→−−AC −→−AD −→−AA 1−→−AB −→−AB −→−AD −→−cos , ===BD 1−→−−AC −→−⋅BD 1−→−−AC −→−||⋅||BD 1−→−−AC −→−366×62–√3–√6–√6D ABA,B,D【考点】直线与圆的位置关系【解析】由直线恒经过圆内一定点，可知正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.【解答】解：对于直线：，可化为，由可得∴直线恒经过定点，∵在圆：内部，∴直线与圆相交，故正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：依题意，则，，当且仅当，时等号成立．由，，为正实数得AB C l C CP D l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0(x +2y −5)t +(2x −3y −3)=0{x +2y −5=0，2x −3y −3=0，{x =3，y =1，P (3,1)P (3,1)C +=9(x −1)2(y +1)2l C AB C l C CP D ABD a ≤829x +4y =xy +=11y 4x x +y =(x +y)(+)1y 4x =5++≥5+2=9x y 4y x ⋅x 2y 4y x−−−−−−−√=x y 4y xx =2y =6+2xy +−ax −ay +1≥0x 2y 2x y −a (x +y)+1≥02，整理得.令，则在上单调递增，所以时有最小值，所以．故答案为：．14.【答案】【考点】对数及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】【考点】直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】略16.【答案】【考点】利用导数研究不等式恒成立问题−a (x +y)+1≥0(x +y)2a ≤x +y +1x +yt =x +y ≥9t +1t [9,+∞)t =9t +1t 9+=19829a ≤829a ≤8295–√5a ≥1利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，，则，故在上单调递增，不妨设，则，，∴由，可得成立，即.令，则，令，分离参数得，∴，∴在上单调递减，故，即的取值范围为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，可得，，∴，．易知的前项中含有的前项且含有的前项，∴．【考点】等差数列的通项公式等比数列的通项公式数列的求和【解析】无f(x)=(x +1)sin x +cos x =x sin x +sin x +cos x (x)=sin x +x cos x −sin x +cos x =(x +1)cos x >0f ′f(x)[0,]π2>x 1x 2>e x 1e x 2f()>f()x 1x 2|f()−f()|<a|−|x 1x 2e x 1e x 2f()−f()<a −a x 1x 2e x 1e x 2f()−a <f()−a x 1e x 1x 2e x 2g(x)=x sin x +sin x +cos x −ae x (x)=cos x +x cos x −a ≤0g ′e x h(x)=cos x +x cos x a ≥h(x)=F(x)e −x (x)=(−sin x −x sin x −x cos x)≤0F ′e −x F(x)[0,]π2a ≥F(x =F(0)=1)max a a ≥1a ≥1(1){}a n d {}b n q {5+d =4q +1,5+2d =2+5,q 2d =4q =2=4n +1a n =b n 2n (2){}c n 60{}b n 7{}a n 43=+=3827+254=4081S 5043(5+173)22(1−)271−2无【解答】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，可得，，∴，．易知的前项中含有的前项且含有的前项，∴．18.【答案】（Ⅰ）证明：连结，因为，底面是等边三角形，点是的中点，所以，，又因为，所以平面，又因为平面，所以．（Ⅱ）解：解法一：因为，取的中点，连结，由（Ⅰ）可知，，而，所以，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以，取平面的一个法向量，设平面的法向量为，因为，所以即令，则，所以．由题易知，二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为．解法二：由（Ⅰ）以及题意，可得平面，即点在平面内的投影为点，记二面角为，所以．(1){}a n d {}b n q {5+d =4q +1,5+2d =2+5,q 2d =4q =2=4n +1a n =b n 2n (2){}c n 60{}b n 7{}a n 43=+=3827+254=4081S 5043(5+173)22(1−)271−2EA ，EB SA =SB =AC △ABC E SC EA ⊥SC EB ⊥SC EA ∩EB =E SC ⊥ABE AB ⊂ABE SC ⊥AB SA =SB =AC =2AB F FS ，FC FS =FC =3–√SC =6–√FS ⊥FC F FB ，FC ，FS x ，y ，z A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,,0)，S(0,0,)3–√3–√ABS =(0,1,0)m →CBS =(x,y,z)n →=(1,−,0)，=(0,−,)CB −→−3–√CS −→3–√3–√ ⋅=0，CB −→−n →⋅=0，CS −→n →{x −y =0，3–√−y +z =0，3–√3–√y =1=(,1,1)n →3–√cos ， ===m →n →⋅m →n →||||m →n →15–√5–√5A −SB −C A −SB −C 5–√5CF ⊥SAB C SAB F A −SB −C θcos θ===S △FSB S △SBC 3–√215−−√25–√5【考点】空间点、线、面的位置【解析】本题考查空间中线线的位置关系的证明、空间角的求法、空间向量．【解答】（Ⅰ）证明：连结，因为，底面是等边三角形，点是的中点，所以，，又因为，所以平面，又因为平面，所以．（Ⅱ）解：解法一：因为，取的中点，连结，由（Ⅰ）可知，，而，所以，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以，取平面的一个法向量，设平面的法向量为，因为，所以即令，则，所以．由题易知，二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为．解法二：由（Ⅰ）以及题意，可得平面，即点在平面内的投影为点，记二面角为，EA ，EB SA =SB =AC △ABC E SC EA ⊥SC EB ⊥SC EA ∩EB =E SC ⊥ABE AB ⊂ABE SC ⊥AB SA =SB =AC =2AB F FS ，FC FS =FC =3–√SC =6–√FS ⊥FC F FB ，FC ，FS x ，y ，z A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,,0)，S(0,0,)3–√3–√ABS =(0,1,0)m →CBS =(x,y,z)n →=(1,−,0)，=(0,−,)CB −→−3–√CS −→3–√3–√ ⋅=0，CB −→−n →⋅=0，CS −→n →{x −y =0，3–√−y +z =0，3–√3–√y =1=(,1,1)n →3–√cos ， ===m →n →⋅m →n →||||m →n →15–√5–√5A −SB −C A −SB −C 5–√5CF ⊥SAB C SAB F A −SB −C θ–√所以．19.【答案】解：在中，，，，则，由正弦定理得，所以．因为，所以，在中，由余弦定理得，即，即，则，所以．【考点】正弦定理解三角形余弦定理【解析】cos θ===S △FSBS △SBC 3–√215−−√25–√5(1)△ABC ∠BAC =π4∠ABC =π3AB =+13–√∠ACB =5π12=AB sin ∠ACB BC sin ∠BAC BC ==AB ⋅sin ∠BAC sin ∠ACB (+1)sin 3–√π4sin 5π12==2(+1)sin 3–√π4+6–√2–√4(2)AB//DC ∠BCD =2π3△BCD B =B +C −2BC ⋅CD ⋅cos ∠BCDD 2C 2D 2=C +2CD +4D 2C +2CD +4=7D 2C +2CD −3=0D 2CD =1=BC ⋅CD ⋅sin ∠BCD =S △BCD 123–√2无无【解答】解：在中，，，，则，由正弦定理得，所以．因为，所以，在中，由余弦定理得，即，即，则，所以．20.【答案】证明：，要证，即证，设，，令得，且，，单调递增；，，单调递减，，即成立，即．解：根据题意可得，则，当时，在上恒成立，则在上单调递增，又，，令，显然在上单调递减，则，∴，(1)△ABC ∠BAC =π4∠ABC =π3AB =+13–√∠ACB =5π12=AB sin ∠ACB BC sin ∠BAC BC ==AB ⋅sin ∠BAC sin ∠ACB (+1)sin 3–√π4sin 5π12==2(+1)sin 3–√π4+6–√2–√4(2)AB//DC ∠BCD =2π3△BCD B =B +C −2BC ⋅CD ⋅cos ∠BCDD 2C 2D 2=C +2CD +4D 2C +2CD +4=7D 2C +2CD −3=0D 2CD =1=BC ⋅CD ⋅sin ∠BCD =S △BCD 123–√2(1)∵x >0∴f(x)+x =x ln x −+x ≤0x 2ln x −x +1≤0φ(x)=ln x −x +1(x)=−1φ′1x (x)=0φ′x =1x ∈(0,1)(x)>0φ′φ(x)x ∈(1,+∞)(x)<0φ′φ(x)∴φ(x)≤φ=φ(1)=0(x)max ln x −x +1≤0f (x)+x ≤0(2)g(x)=(x)=1+ln x −2axf ′(x)=−2ag ′1x (i)a <0(x)>0g ′(0,+∞)g(x)(0,+∞)g()=−>01e 2a eg()=a(1−2)e a−1e a−1h(a)=1−2e a−1h(a)(−∞,0)h(a)>h(0)=1−>02e a(1−2)<0e a−1(,)−11∴必存在唯一使得，∴符合题意；当时，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.∴.①当，即时，在上恒成立，则在上单调递减，又，故无极值点，舍去；②当，即时，，又，且，∴存在，使得,又当时，，则存在使得，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，有两个极值点，不合题意，综上，实数的取值范围为.证明：∵，∴，，又，令，，则，∴在上单调递减，∴当时，，即，得证．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题【解析】构造函数利用导数易得，即证得结论．（2）求得，分及讨论，求得函数的单调性与最值，结合函数的性质，即可得出结论．∈(,)x 0e a−11e g()=0x 0a <0(ii)a >0(x)=−2a =0g ′1x x =12a x ∈(0,)12a (x)>0g ′g(x)x ∈(,+∞)12a (x)<0g ′g(x)g =g()=−ln 2a (x)max 12a 2a ≥1a ≥12g(x)≤0(0,+∞)f (x)(0,+∞)f(0)=0f(x)0<2a <10<a <12g()=−ln 2a >012a g()=−<01e 2a e <1e 12a ∈(,)x 11e 12ag()=0x 1x →+∞g(x)<0lim x→+∞∈(,+∞)x 212a g()=0x 2x ∈(0,)x 1f (x)<0f (x)x ∈(,)x 1x 2f (x)>0f (x)x ∈(,+∞)x 2f (x)<0f (x)f (x)a (−∞,0)()=1+ln −2a =0f ′x 0x 0x 0a =1+ln x 02x 0∈(,)x 0e a−11e f ()=ln −a =(ln −1)x 0x 0x 0x 2012x 0x 0m(x)=x (ln x −1)12x ∈(,)e a−11e (x)=ln x <0m ′12m(x)(,)e a−11e x ∈(,)e a−11e m(x)>m()=−1e 1e f ()=m()>−x 0x 01e(1)φ(x)=ln x +1φ(x)≤φ(1)=0f (x)=1+ln x −2ax,(x)=−2a f ′1x a <0a >0【解答】证明：，要证，即证，设，，令得，且，，单调递增；，，单调递减，，即成立，即．解：根据题意可得，则，当时，在上恒成立，则在上单调递增，又，，令，显然在上单调递减，则，∴，∴必存在唯一使得，∴符合题意；当时，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.∴.①当，即时，在上恒成立，则在上单调递减，又，故无极值点，舍去；②当，即时，，又，且，∴存在，使得,又当时，，则存在使得，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，有两个极值点，不合题意，综上，实数的取值范围为.证明：∵，(1)∵x >0∴f(x)+x =x ln x −+x ≤0x 2ln x −x +1≤0φ(x)=ln x −x +1(x)=−1φ′1x (x)=0φ′x =1x ∈(0,1)(x)>0φ′φ(x)x ∈(1,+∞)(x)<0φ′φ(x)∴φ(x)≤φ=φ(1)=0(x)max ln x −x +1≤0f (x)+x ≤0(2)g(x)=(x)=1+ln x −2axf ′(x)=−2ag ′1x (i)a <0(x)>0g ′(0,+∞)g(x)(0,+∞)g()=−>01e 2a eg()=a(1−2)e a−1e a−1h(a)=1−2e a−1h(a)(−∞,0)h(a)>h(0)=1−>02e a(1−2)<0e a−1∈(,)x 0e a−11e g()=0x 0a <0(ii)a >0(x)=−2a =0g ′1x x =12a x ∈(0,)12a (x)>0g ′g(x)x ∈(,+∞)12a (x)<0g ′g(x)g =g()=−ln 2a (x)max 12a 2a ≥1a ≥12g(x)≤0(0,+∞)f (x)(0,+∞)f(0)=0f(x)0<2a <10<a <12g()=−ln 2a >012a g()=−<01e 2a e <1e 12a ∈(,)x 11e 12ag()=0x 1x →+∞g(x)<0lim x→+∞∈(,+∞)x 212a g()=0x 2x ∈(0,)x 1f (x)<0f (x)x ∈(,)x 1x 2f (x)>0f (x)x ∈(,+∞)x 2f (x)<0f (x)f (x)a (−∞,0)()=1+ln −2a =0f ′x 0x 0x 0=1+ln (,)−11∴，，又，令，，则，∴在上单调递减，∴当时，，即，得证．21.【答案】解：将代入双曲线的方程得，，在中，，即，解得.由得，设双曲线的方程为，设直线的方程为，将其代入双曲线方程消去，得，，解得，，将，代入①，得，，故，，故，∴，∴双曲线的方程为．【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】（1）将代入双曲线方程求出点的坐标，通过解直角三角形列出三参数，，的关系，求出离心率的值；（2）设双曲线的方程为，直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，求出线段的长，利用，求双曲线的标准方程．a =1+ln x 02x 0∈(,)x 0e a−11e f ()=ln −a =(ln −1)x 0x 0x 0x 2012x 0x 0m(x)=x (ln x −1)12x ∈(,)e a−11e (x)=ln x <0m ′12m(x)(,)e a−11e x ∈(,)e a−11e m(x)>m()=−1e 1e f ()=m()>−x 0x 01e (1)x =c y =±b 2a A(c,)b 2aRt △AF 1F 2tan =30∘b 2a 2c =−c 2a 22ac 3–√3e ==c a 3–√(2)(1)b =a 2–√−=1x 2a 2y 22a 2AB y =(x −a)3–√33–√y 5+2ax −9=0x 23–√a 2=−a x 13–√=a x 233–√5x 1x 2=−2a y 1=−a y 225A(−a,−2a)3–√B(a,−a)33–√525|AB |=(a +(a 83–√5)285)2−−−−−−−−−−−−−−√=a =16165a =5−=1x 225y 250x =c M abc −=1x 2a 2y 22a 2AB A B AB |AB |=16【解答】解：将代入双曲线的方程得，，在中，，即，解得.由得，设双曲线的方程为，设直线的方程为，将其代入双曲线方程消去，得，，解得，，将，代入①，得，，故，，故，∴，∴双曲线的方程为．22.【答案】设选手甲对，，三个项目记为事件，，，至少完成一个项目为事件，则；的取值分别为，，，，，，，∴的分布列为：．【考点】离散型随机变量的期望与方差(1)x =c y =±b 2a A(c,)b 2aRt △AF 1F 2tan =30∘b 2a 2c =−c 2a 22ac 3–√3e ==c a 3–√(2)(1)b =a 2–√−=1x 2a 2y 22a 2AB y =(x −a)3–√33–√y 5+2ax −9=0x 23–√a 2=−a x 13–√=a x 233–√5x 1x 2=−2a y 1=−a y 225A(−a,−2a)3–√B(a,−a)33–√525|AB |=(a +(a 83–√5)285)2−−−−−−−−−−−−−−√=a =16165a =5−=1x 225y 250A B C A B C D X 2a 3a X X 0a2a 6aP离散型随机变量及其分布列【解析】（1）设选手甲对，，三个项目记为事件，，，且相互独立，至少完成一个项目为事件，利用对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式能求出结果．（2）的取值分别为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．【解答】设选手甲对，，三个项目记为事件，，，至少完成一个项目为事件，则；的取值分别为，，，，，，，∴的分布列为：．A B C A B C D X 0a 3a 6a X A B C A B C D X 2a 3a X X 0a2a 6aP。
2021年高三数学11月联考试题 理 新人教A版
2021年高三数学11月联考试题 理 新人教A 版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A. B. C. D.2. 复数在复平面上对应的点的坐标是A ． B ． C ． D ．3. 已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于A. B. C. D.4.是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知角的终边经过点，则的值为A. 3B. -3C.D. 5第Ⅱ卷二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11. 已知命题，那么该命题的否定是_____________.12. 已知，则=_____________．13. 若等比数列满足，，则公比_________；前项和_______________________.14．函数)22,0)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的 部分图象如图所示，则=______________；=____________________.15. 若函数，则=_______________,函数的的值域是 .16. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图像恰好通过个整点，则称函数为n 阶整点函数，有下列函数：① ② ③④其中，是一阶整点函数的是_____________________.东城区普通校xx学年第一学期联考试卷答案高三数学（理科）第Ⅰ卷三、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345答案B D C A A第Ⅱ卷四、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．24878 612E 愮27280 6A90 檐25047 61D7 懗25855 64FF 擿37380 9204 鈄htV23708 5C9C 岜34701 878D 融M20582 5066 偦21921 55A1 喡39528 9A68 驨。
2022-2023学年人教A版高三下数学普通考试(含解析)
（1）求双曲线C 的方程；
（2）设经过双曲线右焦点的直线l的斜率为−m ，当直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点A、 B时，求实数m的取值范围，并证明AB 的中点M 在曲线(x − 1)2 − y2 = 1 上.
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参考答案与试题解析
2022-2023学年高中高三下数学普通考试
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
(1)求证：MQ ⊥ A1B
(2)求直线MB 与面A1MC 所成角的正弦值． 20. 如图，在三棱锥P − ABC 中，△P AB是正三角形，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， ∠ABC = 90∘ ．
求证：
(1)DE// 平面PBC ；
(2)AB ⊥ PE ． 21. 已知函数f(x) = ln x ．
【答案】
D
【考点】
极差、方差与标准差 众数、中位数、平均数、百分位数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设原来的数据为x1，x2，⋯ ，xn ，
则所得的新数据为x1 + 60 ，x2 + 60 ，⋯ ，xn + 60 .
由题意得x1 + x2 + ⋯ + xn = 4.8n ，
(x1 − 4.8) 2+ (x2 − 4.8) 2 + ⋯ + (xn − 4.8) 2 = 3.6n ，
卷I（选择题）
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
1. 设全集U＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ，集合A＝{1, 2, 3}，B＝{3, 4, 5, 6}，则A ∩ (∁UB) ＝（ ） A.{1, 2} B.{2, 3} C.{1, 2, 3} D.{0, 1, 2, 3}
2011年高考数学新课标卷及参考答案(新课标)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题： (1)复数212ii+-的共轭复数是（ ） （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ） （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ）（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（ ）（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）（A （B ） （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（ ）（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2022-2023学年全国高中高三下数学人教A版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高三下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 若集合，，且，则的值为 A.B.C.或D.或或2. 已知直线与过点，的直线垂直，则直线的倾斜角是 A.B.C.D.3. 平面内的一条直线将平面分成部分，两条相交直线将平面分成部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成部分，.则平面内五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为 A.B.C.D.4. 已知，且，则( )A.B.C.A ={−1,1}B ={x |mx =1}A ∪B =A m ()1−11−11−10l M(−,)3–√2–√N(,−)2–√3–√l ()π32π3π43π4247⋯()15161718η=3ξ+18D (ξ)=10D (η)=103090241D.5. 已知，，，则（ ）A.B.C.D. 6. 如图所示网格纸中小正方形的边长均为，向量如图所示，若从，，，中任选两个点作为向量的始点与终点，则的最大值为（ ）A.B.C.D.7. 对任意实数，，，有以下命题中，正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则8. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是A.B.2418a <b <cb <a <cb <c <ac <a <b1a →A B C D b →⋅a →b →8642a b c a <b c 2c 2a <ba >b >1a b>1a 21b2a <|b|a >1>b >0(a −b)>0log a E :x 2=2py(p >0)F AB CD P Q(1,2)+=1|AB |1|CD |14|PF |+|PQ |( )12C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列命题中正确的是( )A.若，，则B.若，，则，C.若，，则D.若，，则10. 我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫“等长正棱柱（锥）”，而与其所有棱都相切的球称为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥）”的棱长都为，则下列说法中正确的有( ).A.正方体的棱切球的半径为B.正四面体的棱切球的表面积为C.等长正六棱柱的棱切球的体积为D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为11. 居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出．消费支出包括食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通通信、教育文化娱乐、医疗保健和其他用品及服务八大类．国家统计局采用分层、多阶段、与人口规模大小成比例的概率抽样方法，在全国个省（区、市）的个县（市、区）随机抽选万个居民家庭作为调查户．国家统计局公布的我国年和年全国居民人均消费支出及构成，如图和图所示，则下列说法中正确的有( )A.年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐这一类的支出高于年B.年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重低于年C.年和年全国居民人均居住消费在八大类中所占比重最大D.年全国居民人均消费支出低于年全国居民人均消费支出12. 函数，下列结论正确的是 A.时，有两个零点34a >bc >d ac >bda >b >c a +b +c =0a >0c <0a >b >0m >0>b +m a +m b aa >b ab >0<1a 1b12–√π24π357π1231180016201920201220202019202020192019202020202019f (x)=−3x +m −2ln xx 2()m =3f (x)f (x)B.时，的极小值点为C.时，恒成立D.若只有一个零点，则卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设复数满足＝，且使得关于的方程＝有实根，则这样的复数的和为________．14. 设向量，，则向量在向量上的投影为________．15. 如图，过椭圆上的动点引圆的两条切线与，其中，分别为切点，，若椭圆上存在点，使四边形为正方形，则该椭圆离心率的范围为________．16. 平面直角坐标系中，已知圆：＝，点为直线＝上的动点，以为直径的圆交圆于，两点，点在上且满足，则点的轨迹方程是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 的内角，，的对边分别为，，，且满足，．求角的大小；求周长的范围．18. 某校高一年级举办《中华诗词知识比赛》活动，比赛分三个环节，前一个环节的题目都答对，方可进入下一个环节，否则活动停止．第一个环节有一个必答题，每人答对的概率为，答对者得分，否则不得分；m =2f (x)2m =1f (x)≥0f (x)m =2+2ln 2z |z |1x z +2x 2x +30z =(2,−1)a =(3,4)b a b C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2M O :+=x 2y 2b 2MA MB A B M OAMB xOy C (x −1+)2y 21P y x +2PC C A B Q PC AQ ⊥PB Q △ABC A B C a b c a =2a cos B =(2c −b)cos A (1)A (2)△ABC 3413第二个环节有两个必答题，每人每题答对的概率均为，都答对者得分，否则不得分；第三个环节有一个必答题，每人答对的概率为，答对者得分，否则不得分．设每个学生参加活动总得分为，求的分布及期望；若规定，得分及分以上的同学获优胜奖，现有名学生参加该活动，求获得优胜奖的学生人数的期望． 19. 如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，分别为，的中点，过的平面与侧面交于．求证：；若平面平面，，求点到平面的距离．20. 已知数列满足求数列的前项和设，求数列的前项和. 21. 双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为．求双曲线的标准方程；过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点．证明：；是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．22. 已知函数的图象在点处的切线方程为.证明：；若是的极值点，且若，且．证明：342122(1)ξξ(2)33128P −ABC PBC 2M N AB AP MN PBC EF (1)MN//EF (2)PBC ⊥ABC AB =AC =3M PAC {}a n =2(n ∈),=1,=2a n+2a n N ∗a 1a 2(1){}a n 30S 30(2)=(n ∈)b n 1⋅log 4a 2n log 4a 2n+2N ∗{}b n n T n C O x y =±2x 2(1)C (2)P (0,2)l C A B M N (ⅰ)AM =BN (ⅱ)l =S △OMN S △OAB 25–√5l f (x)=−−2x e ax x 2(0,1)y =1(1)f (x)+≥1x 2(2)x 0f (x)<0.x 0f ()=f ()x 1x 2<<0x 2x 1ln(++2)x 1x 2>ln 2+2.x 0参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】利用，写出的子集，求出各个子集对应的的值．【解答】解：∵ ，∴，∴分； ； 三种情况.当时，；当时，；当 时，；故的值是或或.故选.2.【答案】C【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系直线的斜率直线的倾斜角【解析】先根据条件和斜率公式求出直线的斜率，由垂直关系可得直线的斜率，进而可得其倾斜角．【解答】解：∵直线过点，，∴直线的斜率为，由垂直关系可得直线的斜率为，∵直线的倾斜角满足，A ∪B =A ⇒B ⊆A A m A ∪B =A B ⊆A B =∅B ={−1}B ={1}B =∅m =0B ={−1}m =−1B ={1}m =1m 01−1D MN M(−,)3–√2–√N(,−)2–√3–√MN =−1−(−)2–√3–√−−3–√2–√l 1l αtan α=1=π解得.故选．3.【答案】B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：条直线，将平面分为个区域；条直线，增加了个平面区域；条直线，增加了个平面区域；条直线增加了个平面区域；条直线，增加个平面区域；所以条直线分平面的总数为，∴时，.故选.4.【答案】C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】直接用方差的性质公式计算．【解答】解：．α=π4C 12223344n n n 1+(1+2+3+4+5+6+7+8+⋯+n)=+n +2n 22n =5+n +2n 22=25+5+22=16B D (η)=D (3ξ+)=9D (ξ)=9×10=9018C故选．5.【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】只需考虑向量与夹角为锐角的情况即可．若，，则，若，则，若，，，则．故选．【解答】解：只需考虑向量与夹角为锐角的情况即可．若，，则，若，则，若，，，则．故选．7.【答案】A,C【考点】命题的真假判断与应用C b →a →=b →DA −→−CB −→−⋅=2×2=4a →b →=b →DB −→−⋅=2x a →b →3=6=b →DC −→−AB −→−CA −→−⋅=2×1=2a →b →B b →a →=b →DA −→−CB −→−⋅=2×2=4a →b →=b →DB −→−⋅=2×a →b →3=6=b →DC −→−AB −→−CA −→−⋅=2×1=2a →b →B基本不等式对数函数的图象与性质类比推理不等式的概念与应用【解析】【解答】8.【答案】C【考点】抛物线的性质直线与抛物线结合的最值问题【解析】由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的斜率为，则直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理，得，因为，所以直线的斜率为，所以，所以，解得.设点到准线的距离为，由抛物线的性质，得，则当轴时，的值最小，最小值为.【解答】解：由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程消去，得.设，，∴，.由抛物线的性质，得.∵，∴直线的斜率为，∴，AB 0AB k AB y =kx +p 2|AB |=++p =2p +2p y 1y 2k 2AB ⊥CD CD −1k |CD |=2p(−+2p =+2p =1k )22p k 22p +2pk 2k 2+=+==1|AB |1|CD |12p +2p k 2k 22p +2pk 2+1k 22p +2pk 214p =2P y =−1d |PF |+|PQ |=d+|PQ |QP ⊥x d+|PQ |2+1=3AB 0AB k AB y =kx +p 2{ y =kx +,p 2=2py,x 2y −2pkx −=0x 2p 2A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=2pk x 1x 2+=k(+)+p =2p +p y 1y 2x 1x 2k 2|AB |=2p +2p k 2AB ⊥CD CD −1k |CD |=2p(−+2p 1k )2=+2p 2p k 2=2p +2pk 2k 2+2∴，即，解得，∴抛物线方程为，准线方程为.设点到准线的距离为，由抛物线的性质，得，则当轴时，的值最小，最小值为，∴的最小值为.故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】不等式的基本性质不等式比较两数大小【解析】利用不等式性质，分别对四个选项逐一进行判断，即可得到答案.【解答】解：由题意，若，，则由不等式性质可知，故错误；若，，则有，即，即，，故正确；若，，则，即，故正确；若，，则由不等式性质可知，即，故正确.故选.10.【答案】B,C,D【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积球内接多面体+1|AB |1|CD |=+12p +2p k 2k 22p +2pk 2=+1k 22p +2pk 2=142p +2p =4+4k 2k 2p =2=4y x 2y =−1P y =−1d |PF |+|PQ |=d+|PQ |QP ⊥x d+|PQ |2+1=3|PF |+|PQ |3C 0>a >b 0>c >d ac <bd A a >b >c a +b +c =0c +c +c <a +b +c <a +a +a 3c <0<3a a >0c <0B a >b >0m >0−=>0b +m a +m b a m(a −b)a(a +m)>b +m a +m b a C a >b ab >0>a ab b ab <1a 1b D BCD利用新定义，对选项逐个判断即可.【解答】解：，由新定义可知，正方体的棱切球的半径为正方体的中心到各棱的距离，故半径为，故错误；，由新定义可知，正四面体的棱切球的球心为正四面体的中心，球心到正四面体的顶点的距离为，故半径为，故棱切球的表面积为，故正确；，由新定义可知，等长正六棱柱的棱切球的球心为等长正六棱柱的中心，故半径为，棱切球的体积为，故正确；，由新定义可知，棱切球在每个面的截面即为该面的棱切圆，故底面的截面面积为，侧面的截面面积为，故截面面积之和为，故正确.故选.11.【答案】B,D【考点】扇形统计图【解析】此题暂无解析【解答】解：，年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐这一类的支出低于年，故选项错误；，年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重低于年，故选项正确；，年和年全国居民人均食品烟酒消费在八大类中所占比重最大，故选项错误；，年全国居民人均消费支出低于年全国居民人均消费支出，故选项正确.故选.12.【答案】A,B,D【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性A =+()122()122−−−−−−−−−−−−√2–√2A B ×=−12(×)3–√2232−−−−−−−−−−−−−−√346–√4=−()6–√42()122−−−−−−−−−−−−−−√2–√44π×=()2–√42π2B C 1×=4π3134π3C D π×=()122π4π×=(×)3–√2132π12+4×=π4π127π12D BCD A 20202019B 20202019C 20192020D 20202019BD【解析】【解答】解：，当时，，其定义域为，则.令，得．当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又，，所以在定义域内有两个零点，故正确；，由上面的推导过程可知，当时，的极小值点为，故正确；，当时，，故错误；，若只有一个零点，则方程只有一个根，即方程只有一个根．令，，则函数的图象与直线只有一个交点．．令，得．当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为当时，；当时，，所以函数的图象与直线只有一个交点时，，即，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】-【考点】复数的模【解析】先设＝，代入方程后结合复数相等条件可求，，进而可求．【解答】设＝，由＝得，＝，＝，则＝，A m =3f (x)=−3x +3−2ln xx 2(0,+∞)(x)=2x −3−==f ′2x 2−3x −2x 2x (2x +1)(x −2)x (x)=0f ′x =20<x <2(x)<0f ′x >2(x)>0f ′f (x)(0,2)(2,+∞)f =f (2)=1−2ln 2=1−ln 4<0(x)min f (1)=1>0f (3)=3−2ln 3>0f (x)A B m =2f (x)2B C m =1f (2)=4−6+1−2ln 2=−1−2ln 2<0C D f (x)−3x +m −2ln x =0x 2−m =−3x −2ln x x 2g(x)=−3x −2ln x x 2x >0g(x)y =−m (x)=2x −3−g ′==2x 2−3x −2x 2x (2x +1)(x −2)x (x)=0g ′x =20<x <2(x)<0g ′x >2(x)>0g ′g(x)(0,2)(2,+∞)g =g(2)=−2−2ln 2(x)min x →0g(x)→+∞x →+∞g(x)→+∞g(x)y =−m −m =−2−2ln 2m =2+2ln 2D ABD z a +bi(a,b ∈R)a b z a +bi(a,b ∈R)|z |1+a 2b 21z +2x 2x +30(a +bi)+2(a −bi)x +3x 20a +2ax +3+(b −2bx)i22即＝，所以，若＝，则＝或＝，检验得，＝时，得＝（舍），当＝时，＝或＝，＝，当时，得＝或＝，当，＝时，此时不存在，当，＝时，＝-，＝，此时＝，故-＝-．14.【答案】【考点】平面向量数量积的含义与物理背景【解析】利用向量在向量上的投影公式进行计算即可．【解答】∵向量，，∴，设、的夹角是，则，∴向量在向量上的投影为：；15.【答案】【考点】圆与圆锥曲线的综合问题椭圆的离心率【解析】由及圆的性质，可得，故，，由此可得到椭圆离心率a +2ax +3+(b −2bx)i x 2x 20b 0a 1a −1a 1x −1a −1x 1x −3z −1b ≠0x 0x 2b ≠0x 0x b ≠0x 2a b z i −1−25a b ||cos θa =(2,−1)a =(3,4)b ||==a 22+(−1)2−−−−−−−−√5–√a b θcos θ===⋅a b||×||a b 2×3−1×4×5–√32+42−−−−−√255–√a b||cos θ=×=a 5–√255–√25[,1)2–√2∠AMB =90∘|OM |=b 2–√|OM =2≤|2b 2a 2≤2a 2c 2的取值范围．【解答】解：根据题意可知，圆的半径为，由是正方形，可得此正方形的边长为，则，∴，又，∴，∴，解得，．故答案为：16.【答案】【考点】轨迹方程【解析】延长交于点，则，设＝，结合三角形全等，求出为线段的垂直平分线，求出的坐标，求出的轨迹方程即可．【解答】延长交于点，则，设＝，以为直径的圆交圆于点，，故＝＝，如图示：，则＝＝，故＝，在和中，＝，＝，∴，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝，∵＝，＝，＝，则为的中点，且，∵＝，，＝，则为的中点，设点，则＝，＝，的中点坐标为（，），O b OAMB b |OM |=b 2–√|OM =2≤|2b 2a 2=+a 2b 2c 2≤2a 2c 2≥e 212≤e <12–√2[,1)2–√2AQ PB M AM ⊥PB PC ∩AB N AB CQ E Q AQ PB M AM ⊥PB PC ∩AB N PQ C A B ∠PAC ∠PBC 90∘∠BPC +∠PQM ∠BPC +∠BCP 90∘∠PQM ∠PCB Rt △PAC Rt △PBC |PC ||PC ||AC ||BC |Rt △PAC ≅Rt △PBC ∠ACP ∠BCP ∠AQC ∠PQM ∠ACP ∠AQC |AQ ||AC ||AC ||BC |∠ACP ∠BCP PC ∩AB N N AB PC ⊥AB |AQ ||AC |AB ⊥PC PC ∩AB N N QC P(,)x 0y 0y 0+2x 0|PC |PC以线段为直径的圆的方程为+＝，即＝，将圆与圆＝的方程相减得：＝，即直线的方程为＝，即＝，由，解得：，故直线过定点（，），由于为线段的垂直平分线，则＝＝＝，故点的轨迹方程为+＝，四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由已知，得，由正弦定理，得，即，因为，所以．因为，所以．因为，所以． 由余弦定理得，得，即．因为，所以，即(当且仅当时等号成立).又因为，即，所以，即周长的范围为 ．【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式余弦定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析PC +−(+1)x −y +x 2y 2x 0y 0x 00C +−(+1)x −y +x 2y 2x 0y 0x 00(−1)x +y −x 0y 0x 00AB (−1)x +(+2)y −x 0x 0x 00(x +y −1)+(2y −x)x 00AB E AB CQ |EQ ||EC |Q (1)a cos B +b cos A =2c cos A sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos Asin(A +B)=2sin C cos A sin(A +B)=sin C sin C =2sin C cos A sin C ≠0cos A =120<A <πA =π3(2)=+−2bc cos A a 2b 2c 2bc +4=+b 2c 2(b +c =3bc +4)2bc ≤(b +c 2)2(b +c ≤(b +c +4)234)2b +c ≤4b =c =2b +c >a 2<b +c ≤44<a +b +c ≤6(4,6]【解答】解：由已知，得，由正弦定理，得，即，因为，所以．因为，所以．因为，所以．由余弦定理得，得，即．因为，所以，即(当且仅当时等号成立).又因为，即，所以，即周长的范围为 ．18.【答案】解：由题意可知的取值可能为，，，，，，，，．设学生参加活动总得分为，则，又，∴．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】无无【解答】解：由题意可知的取值可能为，，，，(1)a cos B +b cos A =2c cos A sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos A sin(A +B)=2sin C cos A sin(A +B)=sin C sin C =2sin C cos A sin C ≠0cos A =120<A <πA =π3(2)=+−2bc cos A a 2b 2c 2bc +4=+b 2c 2(b +c =3bc +4)2bc ≤(b +c 2)2(b +c ≤(b +c +4)234)2b +c ≤4b =c =2b +c >a 2<b +c ≤44<a +b +c ≤6(4,6](1)ξ0135P (ξ=0)=14P (ξ=1)=×(1−)=349162164P (ξ=3)=××=349161227128P (ξ=5)=××=349161227128ξ0134P 32128421282712827128Eξ=1×+3×+5×=42128271282712812964(2)ξP (ξ≥3)=×=349162764X ∼B (128,)2764E (X)=128×=542764(1)ξ0135P (ξ=1)=×(1−)=3921，，，，．设学生参加活动总得分为，则，又，∴．19.【答案】证明：因为，分别为，的中点，所以.又平面，所以平面.因为平面平面，所以．解：取中点，连接，.因为是等边三角形，所以.因为平面平面，所以平面.因为，所以.又，为中点，易得，，.在中，，所以，所以，，所.设点到平面的距离为.因为，所以，解得，所以点到平面的距离为．【考点】P (ξ=0)=14P (ξ=1)=×(1−)=349162164P (ξ=3)=××=349161227128P (ξ=5)=××=349161227128ξ0134P 32128421282712827128Eξ=1×+3×+5×=42128271282712812964(2)ξP (ξ≥3)=×=349162764X ∼B (128,)2764E (X)=128×=542764(1)M N AB AP MN//PB MN ⊂PBC MN//PBC MNFE∩PBC =EF MN//EF (2)BC O PO AO △PBC PO ⊥BC PBC ⊥ABC PO ⊥ABC AB =AC =3AO ⊥BC BC =2M AB PO =3–√AO =22–√PA =11−−√△PAC cos ∠PCA ==P +A −P C 2C 2A 22PC ⋅AC 16sin ∠PCA =35−−√6=PC ⋅AC sin ∠PCA =S △PAC 1235−−√2==×BC ×AO =S △AMC 12S △ABC 12122–√=××=V P−AMC 132–√3–√6–√3M PAC d =V M−PAC V P−AMC ×d =1335−−√26–√3d =2210−−−√35M PAC 2210−−−√35点、线、面间的距离计算两条直线平行的判定【解析】【解答】证明：因为，分别为，的中点，所以.又平面，所以平面.因为平面平面，所以．解：取中点，连接，.因为是等边三角形，所以.因为平面平面，所以平面.因为，所以.又，为中点，易得，，.在中，，所以，所以，，所.设点到平面的距离为.因为，所以，解得，所以点到平面的距离为．20.【答案】解：（1）由已知，所以，当时，.所以， 的通项公式 (1)M N AB AP MN//PB MN ⊂PBC MN//PBC MNFE∩PBC =EF MN//EF (2)BC O PO AO △PBC PO ⊥BC PBC ⊥ABC PO ⊥ABC AB =AC =3AO ⊥BC BC =2M AB PO =3–√AO =22–√PA =11−−√△PAC cos ∠PCA ==P +A −P C 2C 2A 22PC ⋅AC 16sin ∠PCA =35−−√6=PC ⋅AC sin ∠PCA =S △PAC 1235−−√2==×BC ×AO =S △AMC 12S △ABC 12122–√=××=V P−AMC 132–√3–√6–√3M PAC d =V M−PAC V P−AMC ×d =1335−−√26–√3d =2210−−−√35M PAC 2210−−−√35=1,=2,=2,=4,=4,=8a 1a 2a 3a 4a 5a 6n =2k −1,(k ∈)N ∗===a n a 2k−12k−12n −12{}a n =lg a ,n 为奇数2n −12，n 为偶数,2n 2=++⋯+=(1+2++⋯+)+(2++⋯+)214215=−1+2⋅−2=3×−3151515.解：（2）由已知，同理，所以,…，【考点】数列的求和数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由已知，所以，当时，.所以， 的通项公式.解：（2）由已知，同理，所以,…，.21.【答案】解：设双曲线：，易得焦点到渐近线的距离为，故，又，所以，故所求双曲线的方程为．证明：设过点的直线：，联立消去，整理得：，，．设，，，．=++⋯+=(1+2++⋯+)+(2++⋯+)S 30a 1a 2a 302221422215=−1+2⋅−2=3×−3215215215===log 4a 2n log 42n log 222n n 2=log 4a 2n+2n +12==b n 1⋅log 4a 2n log 4a 2n+24n ⋅(n+1)=++T n 41⋅(1+1)42⋅(2+1)+4n ⋅(n +1)=4(1−+−+121213+−)=1n 1n +14n n +1=1,=2,=2,=4,=4,=8a 1a 2a 3a 4a 5a 6n =2k −1,(k ∈)N ∗===a n a 2k−12k−12n −12{}a n =lg a ,n 为奇数2n −12，n 为偶数,2n 2=++⋯+=(1+2++⋯+)+(2++⋯+)S 30a 1a 2a 302221422215=−1+2⋅−2=3×−3215215215===log 4a 2n log 42n log 222n n 2=log 4a 2n+2n +12==b n 1⋅log 4a 2n log 4a 2n+24n ⋅(n +1)=++T n 41⋅(1+1)42⋅(2+1)+4n ⋅(n +1)=4(1−+−+121213+−)=1n 1n +14nn +1(1)C−=1x 2a 2y 2b 2F (c,0)b b =2=2b a a =1C −=1x 2y 24(2)(ⅰ)P l y =kx +2 y =kx +2,−=λ(λ=0或1),x 2y 24y (4−)−4kx −4−4λ=0k 2x 2Δ>0k ∈(−2,2)A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2M (,)x 3y 3N (,)x 4y 4=4k当时，，即中点横坐标为，当时，，即中点横坐标为，故线段，的中点重合，所以．解：由，，，所以．．又，所以，满足，故存在这样的直线：．【考点】双曲线的标准方程双曲线的渐近线圆锥曲线中的定点与定值问题直线与双曲线结合的最值问题【解析】无无【解答】解：设双曲线：，易得焦点到渐近线的距离为，故，又，所以，故所求双曲线的方程为．证明：设过点的直线：，联立消去，整理得：，，．设，，，．当时，，λ=1+=x 1x 24k 4−k 2AB 2k 4−k 2λ=0+=x 3x 44k 4−k 2MN 2k 4−k 2AB MN AM =BN (ⅱ)(ⅰ)+=+=x 1x 2x 3x 44k 4−k 2=x 1x 2−84−k 2=x 3x 4−44−k 2|MN|=(1+)[−4]k 2(+)x 3x 42x 3x 4−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=81+k 2−−−−−√|4−|k 2|AB|=(1+)[−4]k 2(+)x 1x 22x 1x 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=4(1+)(8−)k 2k 2−−−−−−−−−−−−−√|4−|k 2==S △OMN S △OAB |MN||AB|25–√5k =±3–√Δ>0l y =±x +23–√(1)C −=1x 2a 2y 2b 2F (c,0)b b =2=2b a a =1C −=1x 2y 24(2)(ⅰ)P l y =kx +2 y =kx +2,−=λ(λ=0或1),x 2y 24y (4−)−4kx −4−4λ=0k 2x 2Δ>0k ∈(−2,2)A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2M (,)x 3y 3N (,)x 4y 4λ=1+=x 1x 24k 4−k 22k即中点横坐标为，当时，，即中点横坐标为，故线段，的中点重合，所以．解：由，，，所以．．又，所以，满足，故存在这样的直线：．22.【答案】证明：因为，所以，则，解得，故．令，则．由，得；由，得．所以在上单调递减，在上单调递增，故，即．由可知，则．设，则．由，得；由，得．在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，．因为，，所以，使得，即．因为，所以由得，则在上单调递减．设，AB 2k 4−k 2λ=0+=x 3x 44k 4−k 2MN 2k 4−k 2AB MN AM =BN (ⅱ)(ⅰ)+=+=x 1x 2x 3x 44k 4−k 2=x 1x 2−84−k 2=x 3x 4−44−k 2|MN|=(1+)[−4]k 2(+)x 3x 42x 3x 4−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=81+k 2−−−−−√|4−|k 2|AB|=(1+)[−4]k 2(+)x 1x 22x 1x 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=4(1+)(8−)k 2k 2−−−−−−−−−−−−−√|4−|k 2==S △OMN S △OAB |MN||AB|25–√5k =±3–√Δ>0l y =±x +23–√(1)f (x)=−−2x e ax x 2(x)=a −2x −2f ′e ax (0)=a −2=0f ′a =2f (x)=−−2x e 2x x 2g(x)=f (x)+=−2x x 2e 2x (x)=2−2g ′e 2x (x)>0g ′x >0(x)<0g ′x <0g(x)(−∞,0)(0,+∞)g(x)≥g(0)=1f (x)+≥1x 2(2)(1)f (x)=−−2x e 2x x 2(x)=2−2x −2f ′e 2x h (x)=(x)=2−2x −2f ′e 2x (x)=4−2h ′e 2x (x)>0h ′x >−ln 22(x)<0h ′x <−ln 22h (x)(−∞,−)ln 22(−,+∞)ln 22(x)f ′(−∞,−)ln 22(−,+∞)ln 22=(−)=ln 2−1f ′(x)min f ′ln 22(−1)=>0f ′2e 2(−)=ln 2−1<0f ′ln 22∃∈(−1,−)x 0ln 22()=0f ′x 0=+1e 2x 0x 0(0)=0f ′(x)<0,f ′<x <0x 0f (x)(,0)x 0φ(x)=f (2−x)−f (x)x 0=−+4x +4x −4−4e −2x+4x 0e 2x x 0x 20x 0(x)=−2−2+4+4′−2x+42x则．设，则．因为，且是减函数，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减．因为，所以，则在上单调递减．因为，所以，即，即．因为，所以．因为，所以，，且在上单调递增，所以，即．因为，所以，所以，所以．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题【解析】无无【解答】证明：因为，所以，则，解得，故．令，则．由，得；由，得．所以在上单调递减，在上单调递增，故，即．由可知，则．设，则．由，得；由，得．在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，(x)=−2−2+4+4φ′e −2x+4x 0e 2x x 0m(x)=(x)=−2−2+4+4φ′e −2x+4x 0e 2x x 0(x)=4−4m ′e −2x+4x 0e 2x ()=0m ′x 0(x)m ′x <x 0(x)>0m ′x >x 0(x)<0m ′m(x)(−∞,)x 0(,0)x 0(x)φ′(−∞,)x 0(,0)x 0()=−4+4+4=−4(+1)+4+4=0φ′x 0e 2x 0x 0x 0x 0(x)≤0φ′φ(x)(−∞,0)φ()=0x 0φ()<0x 1f (2−)−f ()<0x 0x 1x 1f (2−)<f ()x 0x 1x 1f ()=f ()x 1x 2f (2−)<f ()x 0x 1x 2<<<0x 2x 0x 12−<x 0x 1x 1<x 2x 0f (x)(−∞,)x 02−<x 0x 1x 22<+x 0x 1x 2()=2−2−2=0f ′x 0e 2x 0x 02=2+2e 2x 0x 02<++2e 2x 0x 1x 2ln(++2)>ln 2+2x 1x 2x 0(1)f (x)=−−2x e ax x 2(x)=a −2x −2f ′e ax (0)=a −2=0f ′a =2f (x)=−−2x e 2x x 2g(x)=f (x)+=−2x x 2e 2x (x)=2−2g ′e 2x (x)>0g ′x >0(x)<0g ′x <0g(x)(−∞,0)(0,+∞)g(x)≥g(0)=1f (x)+≥1x 2(2)(1)f (x)=−−2x e 2x x 2(x)=2−2x −2f ′e 2x h (x)=(x)=2−2x −2f ′e 2x (x)=4−2h ′e 2x (x)>0h ′x >−ln 22(x)<0h ′x <−ln 22h (x)(−∞,−)ln 22(−,+∞)ln 22(x)f ′(−∞,−)ln 22(−,+∞)ln 22(−)=ln 2−1ln 2．因为，，所以，使得，即．因为，所以由得，则在上单调递减．设，则．设，则．因为，且是减函数，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减．因为，所以，则在上单调递减．因为，所以，即，即．因为，所以．因为，所以，，且在上单调递增，所以，即．因为，所以，所以，所以．=(−)=ln 2−1f ′(x)min f ′ln 22(−1)=>0f ′2e 2(−)=ln 2−1<0f ′ln 22∃∈(−1,−)x 0ln 22()=0f ′x 0=+1e 2x 0x 0(0)=0f ′(x)<0,f ′<x <0x 0f (x)(,0)x 0φ(x)=f (2−x)−f (x)x 0=−+4x +4x −4−4e −2x+4x 0e 2x x 0x 20x 0(x)=−2−2+4+4φ′e −2x+4x 0e 2x x 0m(x)=(x)=−2−2+4+4φ′e −2x+4x 0e 2x x 0(x)=4−4m ′e −2x+4x 0e 2x ()=0m ′x 0(x)m ′x <x 0(x)>0m ′x >x 0(x)<0m ′m(x)(−∞,)x 0(,0)x 0(x)φ′(−∞,)x 0(,0)x 0()=−4+4+4=−4(+1)+4+4=0φ′x 0e 2x 0x 0x 0x 0(x)≤0φ′φ(x)(−∞,0)φ()=0x 0φ()<0x 1f (2−)−f ()<0x 0x 1x 1f (2−)<f ()x 0x 1x 1f ()=f ()x 1x 2f (2−)<f ()x 0x 1x 2<<<0x 2x 0x 12−<x 0x 1x 1<x 2x 0f (x)(−∞,)x 02−<x 0x 1x 22<+x 0x 1x 2()=2−2−2=0f ′x 0e 2x 0x 02=2+2e 2x 0x 02<++2e 2x 0x 1x 2ln(++2)>ln 2+2x 1x 2x 0。
高一数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析
高一数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1.已知直线l1过点P(2，1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为．【答案】y－1＝－(x－2)．【解析】根据题意可知：直线l1的斜率为−1，所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．【考点】两直线垂直的斜率关系.2.已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为__________．【答案】5【解析】以D为原点建系，设长为，，最小为5【考点】向量运算3.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小船沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.【答案】（1）当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30（2）航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．【解析】（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，则由余弦定理得，再由二次函数的性质求得最值；（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为海里/小时，然后是距离最短，则，解得，再解得相应角．试题解析：（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，则故当时，即小艇以海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小（2）设小艇与轮船在处相遇.则，故∵，∴，即，解得又时，，故时，取得最小值，且最小值等于此时，在中，有，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时【考点】函数模型的选择与应用．4.已知点，，，，则向量在方向上的投影为__________．【答案】【解析】由题意可得，由于，所以，所以，应填答案。
2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析(新高考Ⅰ卷A卷)
2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析（新高考Ⅰ卷A 卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合3{|0}3x A x x +=≤-，{}3,1,0,3,4B =--，则A B ⋂的元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】303x x +≤-，()()330x x ∴+-≤，且3x ≠，33x ∴-≤<，[)33A =-，，又{}3,1,0,3,4B =--，则{}3,1,0A B ⋂=--，A B ⋂的元素个数为3个．故选：B.2．设i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为M ，则“点M 在第四象限”是“0ab <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】由题知，i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为(,)M a b ，因为点M 在第四象限，即0,0a b ><，ab <，即00a b >⎧⎨<⎩，或00a b <⎧⎨>⎩，所以“点M 在第四象限”是“0ab <”的充分不必要条件，故选：A3．已知{}n a 是各项不相等的等差数列，若14a =，且248,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前6项和6S =（）A ．84B ．144C ．288D ．110【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由248,,a a a 成等比数列，则2428a a a =，即()()()211137a d a d a d +=++，整理可得240d d -=，由数列{}n a 各项不相等，解得4d =，即4n a n =，()()44212n n n S n n+==+，故()6261684S =⨯⨯+=.故选：A.4．已知向量a ，b 满足2a = ，(1,1)= b ，a b += a 在向量b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭，B ．()11，C ．()1，1--D ．22⎛- ⎝⎭，【答案】B【解析】由(1,1)=b ，得b ==a b + 即42210a b ++= ，则2a b =，所以向量a 在向量b上的投影向量的坐标为()(1,1)a b b b b b==.故选：B .5．函数()1e πcos 1e 2x x f x x ⎛⎫-⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的部分图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为()1e π1e cos sin 1e 21e x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭的定义域为R .定义域关于原点对称，()()()111e 1e e sin sin sin 11e 1e 1exx x x x xf x x x x f x --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫---=-=-== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除选项B 、D ，当0x >时，令()0f x =可得0x =或()πx k k =∈Z ，所以0x >时，两个相邻的零点为0x =和πx =，当0πx <<时，1e 01e xx-<+，sin 0x >，()1e sin 01e x x f x x ⎛⎫-=< ⎪+⎝⎭，故排除选项A ，故选：C.6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（）种．A ．20B ．4C ．60D ．80【答案】C【解析】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有2种分配方案；再安排5名女生，若将每个女生随机安排，共有5232=种分配方案，若女生都在同一小组，共有2种分配方案，故保证每个小组都有女生，共有52230-=种分配方案；所以共有23060⨯=种分配方案.故选：C.7．刍(chú)甍(méng )是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（）A ．B ．24+C ．24+D ．24++【答案】B【解析】设几何体为EFABCD-，如下图所示：矩形ABCD 的面积为2446=⨯，ABE 、CDF ，两个全等的等腰梯形ADFE 、BCFE，设点E 、F 在底面ABCD 内的射影点分别为G 、H ，过点G 在平面ABCD 内作GM BC ⊥，连接EM ，过点H 在平面ABCD 内作HNCD⊥，连接F N ，FH ⊥ 平面ABCD ，H N、CD ⊂平面ABCD ，FHCD ∴⊥，FH HN⊥，HN CD ⊥ ，FH HN H = ，CD \^平面FHN ，FN ⊂平面FHN ，FN CD ∴⊥，易知2FH =，2HN =，则在CDF 中，斜高为FN===所以，12ABE CDF S S CD FN ==⋅=△△同理可知，梯形BCFE 的高为EM ===，所以，()12ADFEBCFE S S EF BC EM ==+⋅=梯形梯形因此，该几何体的表面积为(24224+⨯=+故选：B.8．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ y ⊥轴，四边形1F APQ 是等腰梯形，直线1FP 与y 轴交于点N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）．A ．14B C D ．12【答案】D【解析】由题意，做PMx ⊥轴于点M，因为四边形1F APQ 是等腰梯形，则1FO AM c ==，OM a c=-则点P 的横坐标为P x a c =-，代入椭圆方程()2222:10x y C a b a b+=>>，可得py =，即PM=因为4N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则4ON =，由11F NO F PM，则114b FO ONc b F M PM a =⇒=，化简可得，434332160a ac c -+=，同时除4a 可得，43163230e e -+=即()()3221812630e e e e ----=，对于()3281263f e e e e =---当1e =时，()1130f =-<，当2e =时，()210f =>，在()1,2e ∈时，方程()()3221812630e e e e ----=有根，且()0,1e ∈，故应舍，所以12e =.故选:D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（）A ．营业收入增速的中位数为9.1%B ．营业收入增速极差为13.6%C ．利润总额增速越来越小D ．利润总额增速的平均数大于6%【答案】ABD【解析】由表中数据易知营业收入增速的中位数为9.1%，故选项A 正确；营业收入增速的极差为20.3% 6.7%13.6%-=，故选项B 正确；利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项C 错误；利润总额增速的平均数(38.0%34.3%5.0%8.5%3.5%1.0%1.0%1.1%++++++-2.1% 2.3% 3.0% 3.6%)12 6.6%----÷=，故选项D 正确；故选：ABD .10．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用1A ，2A ，3A 分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B 表示乙袋取出的球是白球，则（）A ．1A ，2A ，3A 两两互斥B ．()213P BA =C ．3A 与B 是相互独立事件D ．()13P B =【答案】AB【解析】对于A ，由题意可知1A ，2A ，3A 不可能同时发生，所以1A ，2A ，3A 两两互斥，所以A 正确，对于B ，由题意可得2221131(),()844912P A P A B ===⨯=，所以()2221()1121()34P A B P B A P A ===，所以B 正确，对于C ，因为321()84P A ==，3131()4912P A B =⨯=1234413137()()()()89494918P B P A B P A B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，所以33()()()P A B P A P B ≠，所以3A 与B 不是相互独立事件，所以C 错误，对于D ，由C 选项可知D 是错误的，故选：AB11．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，12A ⎫⎪⎪⎝⎭是C 上一点，若C的离心率为3，连结2AF 交C 于点B ，则（）A ．C 的方程为2213x y -=B ．1290F AF ︒∠=C ．12F AF的周长为2+D ．1ABF【答案】ABD【解析】对A ，将点A 的坐标代入双曲线方程，并由222,c e c a b a==+得下列方程组：22222151441a b c a c a b⎧⎪-=⎪⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2a b c ⎧⎪⎨⎪=⎩，∴双曲线2213xy -=，A 正确；对B ，12(2,0),(2,0)F F -，112,22F A ⎫=+⎪⎪⎝⎭，212,22F A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，121514044F A F A ⋅=-+= ，∴12F A F A ⊥，B正确；对C，1AF ===，2AF ==，1224F F c ==，周长4=，C 错误；对D ，令2BF m=，则1BF m =，225AB AF BF m =+，在1Rt ABF 中，22211BF AF AB=+，∴11m =，设1ABF 的周长为l ，内切圆半径为r ，11l AF AB BF =++，由三角形面积公式知：1111·22ABFS AF AB lr == ，∴1112ABF S r AF AB BF =++ ，D 正确；故选：ABD ．12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若23f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，123f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则下列结论中一定正确的是（）A ．203f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝'⎭'D ．103f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'【答案】ABD 【解析】因为2()3+f x 为奇函数，定义域为R ，所以22((33f x f x -+=-+，故4()(3f x f x -=-+，等式两边同时取导数，得4()()3f x f x ''--=-+，即4()()3f x f x ''-=+①，因为1(23f x -的图象关于y 轴对称，则11(2(233f x f x -=--，故2()()3f x f x =--，等式两边同时取导数，得2()()3f x f x ''=---②.由4()(3f x f x -=-+，令23x =-，得22()(33f f =-，解得2()03f =，由2()()3f x f x =--，令0x =，得2(0)(3f f =-，由②，令0x =，得2(0)(3f f ''=--，令13x =-，得11(()33f f ''-=--，解得1()03f '-=，故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若()()()()82801281111x a a x a x a x -=+++++++ ，则5a =_____．【答案】448-【解析】令1x t +=可得1x t =-，则()1112x t t -=--=-，所以，()82801282t a a t a t a t -=++++ ，所以，5a 为展开式中5t 的系数，()82t -的展开式通项为()()()88188C 2C 210,1,2,,8kkkk kk k k T t t k --+=⋅-=⋅⋅-= ，所以，()()55358C 215681448a =⋅⋅-=⨯⨯-=-.故答案为：448-.14y 轴交于点A ，与圆221x y +=相切于点B ，则AB =______.【解析】设直线AB 的方程为y b =+0y b -+=则点()0,A b ，由于直线AB 与圆221x y +=相切，且圆心为()0,0O ，半径为1，则12b =，解得2b =±，所以2AO =，因为1BO =，故AB ==15．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值(1,2,3,,100)i x i = ，经计算10017200i i x ==∑，()1002211007236i i x ==⨯+∑．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布()2,N μσ，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，3309().973P X μσμσ-≤≤+≈．【答案】97.7%【解析】因为100个数据1x ，2x ，3x ，…，100x 的平均值1001172100i i x x ===∑，方差()()1122222210010011110010072361007236100100100i i i i s x x x x ==⎛⎫⎡⎤=-=-=⨯⨯+-⨯= ⎪⎦⎣⎝⎭∑∑，所以μ的估计值为72μ=，σ的估计值为6σ=．设该市高中生的身体素质指标值为X ，由(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，得(72127212)(6084)0.9545P X P X -≤≤+=≤≤≈，()()()()12210.9545842222P X P X P X P X μσμσμσμσ--<<+->=>+=<-=≈所以1(60)(6084)(84)0.9545(10.9545)0.9772597.7%2P X P X P X ≥=≤≤+>≈+⨯-=≈．故答案为：97.7%.16．已知函数()()2e 1,01ln 1,02x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩.若()()0x f x a x -≤，则a 的取值范围是___________.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0x =时，()()00x f x a x -=≤恒成立；当0x <时，此时应有()()0f x a x f x ax -=+≥，即2e 10x ax --+≥.令()2e1xg x ax -=-+,0x <，则()22exg x a-'=-+.设()22e xh x a -=-+，则()24e 0x x -'=>恒成立，所以()h x ，即()g x '单调递增.又()00e10g =-=，则要使()0g x ≥在(),0∞-上恒成立，应有()22e 0xg x a -'=-+≤在(),0∞-上恒成立，即22e x a -≤在(),0∞-上恒成立.又0x <时，22e 2x ->，所以2a ≤；当0x >时，此时应有()()0f x a x f x ax -=-≤，即()1ln 102x ax +-≤.令()()1ln 12x ax k x +=-，则()()121a k x x =-+'.令()()121a x m x =-+，则()()21021m x x '-=<+恒成立，所以()m x ，即()k x '单调递减.又()00k =，则要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，即()121a x ≥+在()0,∞+上恒成立.因为，()121y x =+在()0,∞+上单调递减，所以()11212x <+，所以12a ≥.综上所述，a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在四边形ABCD 中，已知2π3ABC∠=，π3BDC ∠=，AB BC ==．（1）若BD =AD 的长；（2）求A B D △面积的最大值．【答案】（1）AD ；（2）【解析】（1）在B C D △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠，∴222π2cos3CD CD =+-⨯⋅，整理得2720CD --=,解得CD =CD =-．∴2222221c os 27BD BC CD DBC BD BC +-∠===⋅，而2π(0,)3DBC ∠∈,故sin 7DBC ∠=,∴2π111cos cos cos 3214ABD DBC DBC DBC ⎛⎫∠=-∠=-∠+∠=⎪⎝⎭，故在ABD △中，2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅⋅∠221125714=+-⨯=，∴AD ；（2）设,2π(0,)3CBD θθ∠=∈,则在BCD △中，sin sin BC BD BDC BCD=∠∠,则2π)π314sin()2π3sin 3BD θθ-=+，所以π2π11sin sin 2214sin(()33ABD S AB BD ABD θθ=+=⨯⨯∠-⋅△2π34(θ=+，当2πsin ()13θ+=，即π6θ=时，ABD △面积取到最大值18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，223a =，且数列(){}423n n nS n a ++是等差数列.（1）证明：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）证明见解析；13n n n a -=；（2）2122338n n T n +-=+.【解析】（1）∵11a =，223a =，∴11S =，253S =，设()423n n n c nS n a =++，则19c =，218c =，又∵数列{}n c 为等差数列，∴9n c n =，∴()4239n n nS n a n ++=，∴()2349nn n a S n++=，当2n ≥时，()1121491n n n a S n --++=-，∴()()12321401n n n n a n a a nn -+++-=-，∴()()1632101n n n a n a nn -++-=-，又∵210n +≠，∴1301n n a a n n --=-，即：1131n n a an n -=⋅-，又∵1101a =≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列，∴113n n a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，即13n n n a -=；（2）∵13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，且13n n na -=，∴1,3,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，∴()()132121321333n n T n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()()()221223193311213321988n n n n n n n +--+-⎡⎤-⎣⎦=+=+=+-，∴2122338n n T n +-=+.19．如图，已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，点1A 在底面ABCD 的射影为O ，且11AD BC CD AA ====，2AB =，112A O =，1AA BC ⊥.（1）求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；（2）若M 为线段11B D 且平面MBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为7，求直线1A M 与平面MBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7【解析】（1）证明：等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD AD ===，作//CE AD 交AB 于E ，如图，则ADCE 是菱形，AE CD EB CE BC ====，BCE 是等边三角形，则60ABC ∠=︒，60DCE ECB ∠=∠=︒，30ACD ACE ∠=∠=︒，所以90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，又1BC AA ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥平面11A ACC ，又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11A ACC ；（2）点1A 在底面ABCD 的射影为O ，由（1），得O 在AC 上，且1A O AC ⊥，又111,12A O AA ==，所以AO ，而由（1）知AC =因此2CO =，建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则)A，()0,1,0B，O ⎫⎪⎪⎝⎭，112A ⎫⎪⎪⎝⎭，1,02D ⎫-⎪⎝⎭，则11,022CD BA ⎫==-⎪⎪⎝⎭，又113,022B D BD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，111,0,22DD AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以1110,,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1113,,022D M D B λ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ （01λ≤≤），131,,2222M λ⎛⎫--+ ⎝⎭，(0,1,0)CB =，131,,2222CM λλ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =，则131********n CM x y z n CB y λλ⎧⎛⎫⎧⋅=-+-++=⎪⎪ ⎪⇒⎨⎨⎝⎭⋅=⎪⎪⎩=⎩ ，取1x =，则()n = ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1m = ，2cos ,417m n m n m n λ⋅===⇒=，则12λ=（负值舍去），即11,044A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ，则111sin cos ,A M n A M n A M n θ⋅===⋅ ，所以，直线1A M 与平面MBC20．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A 社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A 社区参加市亚运知识竞赛．已知A 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12、12、13，通过初赛后再通过决赛的概率均为13，假设他们之间通过与否互不影响．（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；（2）求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；(3)某品牌商赞助了A 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为12，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．【答案】（1）1112；（2）3181；（3）方案二更好，理由见解析【解析】（1）3人全通过初赛的概率为21112312⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，所以，这3人中至多有2人通过初赛的概率为11111212-=.（2）甲参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，乙参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，丙参加市知识竞赛的概率为131139⨯=，所以，这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为211311116981⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）方案一：设三人中奖人数为X ，所获奖金总额为Y 元，则600Y X =，且13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()160060039002E Y E X ==⨯⨯=元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z 元，则Z 的所有可能取值为600、900、1200、1500，则()211160011236P Z ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212111115900C 1112233212P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21211111112001C 1232233P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⋅-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()211115002312P Z ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以，()1511600900120015001000612312E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以，()()E Y E Z <，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．21．已知抛物线()220C x py p =>：的焦点为F ，准线l 与抛物线C 的对称轴的交点为K ，点()2D t ，在抛物线C上，且DK =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线()1200l kx y k k --=>：交抛物线C 于()()()112212A x y B x y x x >，，，两点，点A 在y 轴上的投影为E ，直线AE 分别与直线OB （O 为坐标原点）交于点Q ，与直线2l y x =：交于点P ，记OAP △的面积为1S ，OPQ △的面积为2S ，求证：12S S =．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析【解析】（1）作DH l ⊥，垂足为H ，则DFDH=.因为DK =，所以45DKH ∠= ，2DHHK ==.因为点()2D t ，在抛物线C 上，所以2422pt pt =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去t 得：2440p p -+=，解得21p t ==，.所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()()1122A x y B x y ，，，，由2204kx y k x y--=⎧⎨=⎩，消去y 得2480x kx k -+=.则216320k k =->∆，因为0k >，所以2k >，则121248x x k x x k +==，.依题意知直线AE 的方程为1y y =，直线OB 的方程为22yy x x =.由1y y y x =⎧⎨=⎩，得P 点的坐标为()11y y ，.由122y y y y x x =⎧⎪⎨=⎪⎩得Q 的坐标为1212y x y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.要证12S S =，即证111122AP y PQ y ⋅=⋅，即证AP PQ =.即证121112y x y x y y -=-，即证12211220y x y x y y +-=.因为()112y k x =-，()222y k x =-，所以1221122y x y x y y +-=()()()()212211222222k x x k x x k x x -+----()()()222121222428k k x x k k x x k =-+-+-()()222222284248880k k k k k k k k k =-⨯+-⨯-=-=.即12211220y x y x y y +-=，所以12S S =.22．已知函数()ln a f x ax x x=--．（1）若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；（2）设12,x x 是函数()f x的两个极值点，证明：12()()f x f x a-<．【答案】（1）1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】（1）依题意，2221()(0)a ax x a f x a x x x x-+'=-+=>.①当0a ≤时，在(1,)x ∈+∞上()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以0a ≤不符合题设.②当102a <<时，令()0f x '=，得20ax x a -+=，解得()10,1x =()21,x ∞=∈+，所以当()21,x x ∈时()0f x '<，所以()f x 在()21,x 上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以102a <<不符合题设.③当12a ≥时，判别式2140a ∆=-≤，所以()0f x '≥，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=.综上，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）由（1）知，当102a <<时，()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点.由（1）知，121=x x ，121x x a +=，则21x x a-.综上，要证()()12f x f x -<，只需证()()1221f x f x x x -<-，因为()()()()2212112211121ln x x x x x f x f x a x x a x x x ---+=+--+⋅()()()21222121112122lnln x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+()21221121ln 1x x xx x x -=+，设211xt x =>，()21()ln 1t g t t t -=+.所以()()2221414()011g t t t t '=+=+++，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g t g >=.所以()()21120x x f x f x --+>，即得()()1221f x f x x x -<-成立．所以原不等式成立.。
2022-2023学年全国高中高一上数学人教A版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一上数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )A.B.C.D.2. 下列复数中实部与虚部互为相反数的是( )A.B.C.D.3. 已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（ ）A.B.C.D.4. 临近学期结束，某中学要对本校高中部一线科任教师进行“评教评学”调査，经调査，高一年级U =R A ={x|(x +1)(x −3)<0}B ={x|x −1≥0}{x|x ≤−1或x ≥3}{x|x <1或x ≥3}{x|x ≤1}{x|x ≤−1}2−i(1−i)2i (1+i)i (1−2i)a →b →120∘⋅=−1a →b →|−|a →b →6–√3–√2–√190%92%名一线科任教师好评率为，高二年级名一线科任教师好评率为，高三年级名一线科任教师好评率为．依此估计该中学高中部一线科任教师的好评率约为（ ）A.B.C.D.5. 不论为何实数，直线恒过定点( )A.B.C.D.6. 某人向正东方向走后，向右转，然后朝新方向走，结果他恰好离出发地，那么的值为（ ）A.B.C.或D.7. 设是定义在上的奇函数，且满足 ，当时，，则（ ）A.B.C.D.8. 袋中有个小球（白黑），现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是（ ）A.8090%7592%8095%92%93%94%95%m (m −1)x −y −2m +1=0(1,−1)（2,−1）(−2,−1)(1,1)x km 150∘ 3 km km 3–√x 3–√23–√3–√23–√5f (x)R f (x +2)=−f (x)0≤x ≤1f (x)=x (1+x)f (−)=92−34−141434532353B.C.D.9. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的渐近线方程为( )A.B. C. D.10. 已知函数＝是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）A.在上单调递减B.在上单调递减C.在上单调递增D.在上单调递增11. 已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是( )A.3412310C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2+=2x 2(y −2)22C y =±x 3–√3y =±x 21−−√7y =±x 21−−√3y =±x3–√f(x)sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)y =2–√f(x)π2f(x)(0,)π4f(x)(,)π83π8f(x)(0,)π4f(x)(,)π83π8ABCD −A 1B 1C 1D 12M N BC CC 1P BCC 1B 1P //A 1AMN PA 1[2,]5–√[2,3]B.C.D.12. 下列不等关系中，正确的一个是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若等比数列的各项都是正数，且，则________．14. 在正方体中，点为正方形的中心，则异面直线与所成角为________． 15. 填空13.在的展开式中的系数为________.14.已知实数，满足约束条件，则的最大系数为________.15.已知正三棱锥P-ABC 的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P-ABC 的体积为________.16.如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦、，若△ACF 与△BDF 面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______.[2,3][,3]32–√2[,]32–√25–√<0.7−π0.7−32<log 13log 312<0.8−0.18−0.2>0.4−23413{}a n +=16a 5a 6a 4a 7++⋯+=log 2a 1log 2a 2log 2a 10ABCD −D A 1B 1C 1E ABCD E A 1D B 1(2−)x 21x 71xx y x +y ≤0，5x +2y ≥11，y ≥x +1,12z =2x −y =2px(p >0)y 2F AB CD16. 已知定义在上的奇函数满足当时，，则不等式的解集为________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且 . 求角的值；若，且的面积为，求边上的中线的长． 18. 某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下：现进行两次射击，以该运动员两次射击所得的最高环数作为他的成绩，记为．求该运动员两次都命中环的概率；求的分布列及数学期望．19. 已知数列中，，，前项和为，若，且.求数列的通项公式;记，求数列的前项和. 20. 如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示．求证：；求平面与平面所成锐二面角的余弦值．R f (x)x ≥0f (x)=−+−1x −√e −2x f(2−10x)+f(−6x −12)<0x 2x 2△ABC A B C a b c a sin B cos C +c sin B cos A =b 12c >b (1)B (2)A =π6△ABC 43–√BC AM X X 0−678910P 00.20.30.30.2ξ(1)7(2)ξE(ξ){}a n =1a 1>0a n n S n =+(n ∈a n S n −−√S n−1−−−−√N ∗n ≥2)(1)a n (2)=⋅c n a n 2a n {}c n n T n 1ABCD BC//AD AD ⊥CD BC =2AD =3CD =3–√AD E DE =1△ABE BE △BE A 1BE ⊥A 1BCDE 2(1)C ⊥BE A 1(2)BE A 1CD A 1C :=2px (p >0)221. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时， .求抛物线的方程；若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 22. 已知函数，其中是自然对数的底数．判断函数在区间上的单调性，并求最小值；设，证明：函数在区间上有唯一零点．C :=2px (p >0)y 2F A C A l C B x D |FA|=|FD|A 3|FA|=4(1)C (2)//l l 1l 1C E AE A C f (x)=x +−sin x 12e −x e =2.718281…(1)f (x)[π,]3π2(2)g(x)=x +2−f (x)12e −x g(x)(,2π)3π2参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】D【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】由阴影部分表示的集合为，然后根据集合的运算即可．【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为，∵，，∴，则.故选.2.【答案】C【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】本题考查复数的实部与虚部，考查运算求解能力 .【解答】解：因为，所以的实部与虚部互为相反数．故选 .3.【答案】(A ∪B)∁U (A ∪B)∁U A ={x|(x +1)(x −3)<0}=(−1,3)B ={x|x −1≥0}=[1,+∞)A ∪B =(−1,+∞)(A ∪B)=(−∞,−1]∁U D i(1+i)=−1+i i(1+i)CA【考点】数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积向量的模【解析】根据平面向量的数量积的应用，利用基本不等式即可求解．【解答】解：∵平面向量，的夹角为，∴，∴，则，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选．4.【答案】A【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征【解析】由题意计算加权平均数，即可得出结果．【解答】由题意，计算＝；依此估计该中学高中部一线科任教师的好评率约为．5.a →b →120∘⋅=||⋅||cos =−⋅||⋅||=−1a →b →a →b →120∘12a →b →||⋅||=2a →b →|−|=a →b →(−a →b →)2−−−−−−−−√=|−2⋅+|a →|2a →b →b →|2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=|+|+2a →|2b →|2−−−−−−−−−−−−−−−√≥==2||⋅||+2a →b →−−−−−−−−−−−−−−√4+2−−−−√6–√||=||=a →b →2–√|−|a →b →6–√A ×(80×90%+75×92%+80×95%)≈0.92180+75+8092%92%B【考点】直线恒过定点直线的一般式方程【解析】题中函数可化为,当时，，所以该直线恒过点【解答】解：直线可化为，当时，，所以该直线恒过点.故选.6.【答案】C【考点】解三角形的实际应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，解得或．故选．7.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质y =(m −1)x −2m +1=(m −1)x −2(m −1)−1=(m −1)(x −2)−1x =2y =−1(2,−1)y =(m −1)x −2m +1=(m −1)x −2(m −1)−1=(m −1)(x −2)−1x =2y =−1(2,−1)B (=+−2×3x cos 3–√)232x 230∘x =3–√23–√C【解析】首先由对称得到，再结合已知函数求值即可.【解答】解：由，得，所以.又为定义在上的奇函数，所以.因为当时，，所以，所以.故选.8.【答案】C【考点】条件概率与独立事件【解析】在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球，是一个条件概率，需要做出第一次取到白球的概率和两次都取到白球的概率，根据条件概率的公式，代入数据得到结果．【解答】解：记事件为“第一次取到白球”，事件为“第二次取到白球”，则事件为“两次都取到白球”，依题意知，，∴在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是．故选9.【答案】f (−)=f (−)=−f ()921212f (x +2)=−f (x)f (x)=−f (x +2)f (−)92=−f (−)52=f (−)12f (x)R f (−)12=−f ()120≤x ≤1f (x)=x (1+x)f ()12=×(1+)1212=34f (−)92=−f ()12=−34A AB AB P(A)=35P(AB)=×=3524310P(B |A)==3103512CD【考点】双曲线的渐近线点到直线的距离公式【解析】本题考查双曲线的渐近线方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，解题的关键是熟练掌握栓曲线的性质，由题意，得出栓曲线渐近线方程的表达式，再利用点到直线的距离和勾股定理即可解答本题.【解答】解：由题意，双曲线的渐近线方程为，∵双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，∴圆心到直线的距离为：，则由勾股定理得：，解得：，则，∴双曲线的渐近线方程为.故选.10.【答案】D【考点】两角和与差的正弦公式三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性正弦函数的图象【解析】根据两角和的正弦函数化简解析式，由条件和诱导公式求出的值，由条件和周期共识求出的值，根据正弦函数的单调性和选项判断即可．【解答】解：由题意得，＝y =±x b a +(y −2=2x 2)22(0,2)y =±x b a 2a +a 2b 2−−−−−−√+(=2122a+a 2b 2−−−−−−√)2=3b 2a 2=b a 3–√C y =±x 3–√D φωf(x)sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ)=[sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ)]2–√2–√22–√2，∵函数是奇函数，∴，则，又，∴，∴，∵与的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴，则＝，即，由得，则在上不是单调函数，排除、；由得，则在上是增函数，排除，故选.11.【答案】D【考点】点、线、面间的距离计算【解析】首先确定点的轨迹，再结合正方体，确定直线的范围即可.【解答】解：取， 中点，，连接，，如图所示，则，.因为，，所以平面平面.又因为动点在正方形（包括边界）内运动，所以点的轨迹为线段.因为正方体的棱长为，所以，，所以为等腰三角形，故当点在点或者在点处时，此时最大，最大值为，当点为中点时，最小，=sin(ωx +φ+)2–√π4f(x)(ω>0,0<φ<π)φ+=kπ(k ∈Z)π4φ=−+kπ(k ∈Z)π40<φ<πφ=3π4f(x)=sin(ωx ++)=−sin ωx 2–√3π4π42–√y =2–√f(x)π2T ==2πωπ2ω4f(x)=−sin 4x 2–√x ∈(0,)π44x ∈(0,π)f(x)(0,)π4A C x ∈(,)π83π84x ∈(,)π23π2f(x)(,)π83π8B D P B 1C 1B B 1E F E A 1F A 1E//AM A 1EF//MN E ∩EF =E A 1AM ∩NM =M EF//A 1AMN P BCC 1B 1P EF ABCD −A 1B 1C 1D 12E =F =A 1A 15–√EF =2–√△EF A 1P E P F PA 15–√P EF PA 1最小值为，故线段的长度范围是.故选.12.【答案】D【考点】对数值大小的比较对数的运算性质指数函数的性质有理数指数幂的化简求值【解析】.【解答】解：，设函数，则函数在上单调递减，又，则，故错误；，由对数的运算可知，，故错误；，由，，得，故错误；，，又，则，故正确.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】等比数列的性质对数的运算性质【解析】由等比数列的性质可知，可求，代入可=−()5–√2()2–√22−−−−−−−−−−−−−−√32–√2PA 1[,]32–√25–√D A y =0.7x y R −π<−3>0.7−π0.7−3A B 2=−2=log 13log 3log 312B C >10.8−0.10<<18−0.2>0.8−0.18−0.2C D ==0.4−23 2.523 6.25136.25>4>0.4−23413D D 15+=2a a a a a a a a ++⋯+log a log a log a求．【解答】解：因为，所以，则．故答案为：．14.【答案】【考点】异面直线及其所成的角【解析】解：如图所示：连结、，则、的交点，连结，由正方体的性质易得，，又因为，所以面，所以，故，即异面直线与所成角为．故答案为：．【解答】解：如图所示：连结、，则、的交点，连结，由正方体的性质易得，，又因为，所以面，所以，故，即异面直线与所成角为．故答案为：．15.【答案】-842或【考点】二项式系数的性质球内接多面体222+=2=16a 5a 6a 4a 7a 5a 6=8a 5a 6++…+log 2a 1log 2a 2log 2a 10=(⋯)log 2a 1a 2a 10=log 2()a 5a 65=1515π2BD AC BD AC E E A 1A ⊥BD A 1AC ⊥BD A ∩AC =A A 1BD ⊥AE A 1BD ⊥E A 1⊥E B 1D 1A 1E A 1B 1D 1π2π2BD AC BD AC E E A 1A ⊥BD A 1AC ⊥BD A ∩AC =A A 1BD ⊥AE A 1BD ⊥E A 1⊥E B 1D 1A 1E A 1B 1D 1π2π233–√493–√4=4xy 22–√同余【解析】此题暂无解析【解答】解：解：解：解：16.【答案】【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质利用导数研究函数的单调性【解析】由已知求得函数解析式，再由导数研究函数的单调性，把转化为关于的一元二次不等式求解．【解答】解：时，，，时，，，，，，，在上为减函数，，且为上的奇函数，可得图象关于对称，且在上为一连续不间断的曲线，在上为减函数，且，化为，为上减函数，(−∞,−)∪(6,+∞)23f (2−10x)−f (−6x −12)<0x 2x 2x ∵x ≥0f (x)=−+−1x −√e −2x (x)=−⋅−2=−(+2)(x >0)f ′121x −√e −2x 12x −√e −2x ∵x >0>012x −√−2x <0∈(0,1)e −2x ∴+>012x −√e −2x∴−(+)<012x −√e −2x ∴(x)<0f ′∴f (x)(0,+∞)∵f (0)=−+−1=1−1=00–√e 0f (x)R ∴f (x)(0,0)R ∴f (x)R f (−x)=−f (x)∴f (2−10x)+f (−6x −12)<0x 2x 2f(2−10x)<−f(−6x −12)=f(−+6x +12)x 2x 2x 2∵f (x)R，即 ，解得或， 解集为 ．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵，由正弦定理得，∵，，∴，即，得 .又，∴，∴ .由知，若，故，则，∴，（舍），又在中， ，∴，∴ .【考点】两角和与差的正弦公式正弦定理余弦定理解三角形【解析】此题暂无解析【解答】∴2−10x >−+6x +12x 2x 23−16x −12>0x 2x <−23x >6∴(−∞,−)∪(6,+∞)23(−∞,−)∪(6,+∞)23(1)a sin B cos C +c sin B cos A =b 12sin A sin B cos C +sin C sin B cos A =sin B 12B ∈(0,π)sin B ≠0sin A cos C +sin C cos A =12sin(A +C)=12sin B =12c >b 0<B <π2B =π6(2)(1)B =π6A =π6a =b =ab sin C =sin =4S △ABC1212a 22π33–√a =4a =−4△AMC A =A +M −2AC ⋅MC cos M 2C 2C 22π3A =A +−2⋅AC ⋅AC ⋅cos M 2C 2(AC)122122π3=+−2×4×2×(−)=28422212AM =27–√解：∵，由正弦定理得，∵，，∴，即，得 . 又，∴，∴ . 由知，若，故，则，∴，（舍），又在中， ，∴，∴ .18.【答案】解：设“该运动员两次都命中环”为事件，则．可取、、、，则，，，，故的分布列为．【考点】古典概型及其概率计算公式离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】根据相互独立事件概率公式计算；根据相互独立事件概率公式求出的分布列，再计算．【解答】(1)a sin B cos C +c sin B cos A =b 12sin A sin B cos C +sin C sin B cos A =sin B 12B ∈(0,π)sin B ≠0sin A cos C +sin C cos A =12sin(A +C)=12sin B =12c >b 0<B <π2B =π6(2)(1)B =π6A =π6a =b =ab sin C =sin =4S △ABC 1212a 22π33–√a =4a =−4△AMC A =A +M −2AC ⋅MC cos M 2C 2C 22π3A =A +−2⋅AC ⋅AC ⋅cos M 2C 2(AC)122122π3=+−2×4×2×(−)=28422212AM =27–√(1)7A P(A)=0.2×0.2=0.04(2)ξ78910P (ξ=7)=0.04P (ξ=8)=2×0.2×0.3+=0.210.32P(ξ=9)=0.5×0.3×2+=0.390.32P(ξ=10)=0.2×0.8×2+=0.360.22ξξ78910P 0.040.210.390.36∴E (ξ)=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07(1)(2)ξE(ξ)解：设“该运动员两次都命中环”为事件，则．可取、、、，则，，，，故的分布列为．19.【答案】解：在数列中，∵且，∴①式÷②式得：∴数列是以为首项，公差为的等差数列，∴，∴.当时，，当时，，也满足上式，∴数列的通项公式为.由知，，∴，则，，得，，(1)7A P(A)=0.2×0.2=0.04(2)ξ78910P (ξ=7)=0.04P (ξ=8)=2×0.2×0.3+=0.210.32P(ξ=9)=0.5×0.3×2+=0.390.32P(ξ=10)=0.2×0.8×2+=0.360.22ξξ78910P 0.040.210.390.36∴E (ξ)=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07(1){}a n =−(n ≥2)①a n S n S n−1=+②a n S n −−√S n−1−−−−√>0a n −=1(n ≥2)S n −−√S n−1−−−−√{}S n −−√==1S 1−−√a 1−−√1=1+(n −1)=nS n −−√=S n n 2n ≥2=−a n S n S n−1=−(n −1=2n −1n 2)2n =1=1a 1{}a n =2n −1a n (2)(1)=2n −1a n =(2n −1)⋅c n 22n−1=1⋅2+3⋅+5⋅+⋯T n 2325+(2n −1)⋅①22n−14=1⋅+3⋅+5⋅+⋯T n 232527+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅②22n−122n+1①−②−3=2+2(++…T n 2325+)−22n−1(2n −1)22n+1=2+2−(2n −1)8(1−)22n−21−422n+1=−+(−2n)1035322n+1【考点】数列的求和数列递推式等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：在数列中，∵且，∴①式÷②式得：∴数列是以为首项，公差为的等差数列，∴，∴.当时，，当时，，也满足上式，∴数列的通项公式为.由知，，∴，则，，得，，(1){}a n =−(n ≥2)①a n S n S n−1=+②a n S n −−√S n−1−−−−√>0a n −=1(n ≥2)S n −−√S n−1−−−−√{}S n −−√==1S 1−−√a 1−−√1=1+(n −1)=n S n −−√=S n n 2n ≥2=−a n S n S n−1=−(n −1=2n −1n 2)2n =1=1a 1{}a n =2n −1a n (2)(1)=2n −1a n =(2n −1)⋅c n 22n−1=1⋅2+3⋅+5⋅+⋯T n 2325+(2n −1)⋅①22n−14=1⋅+3⋅+5⋅+⋯T n 232527+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅②22n−122n+1①−②−3=2+2(++…T n 2325+)−22n−1(2n −1)22n+1=2+2−(2n −1)8(1−)22n−21−422n+1=−+(−2n)1035322n+120.【答案】证明：在图中，连接，易求，∴四边形为菱形．连接交于点，如图，则．∴在图中，，．又，∴平面．又平面，∴．解：在图中延长，，设，连接．∵平面，平面，又平面，平面，∴是平面与平面的交线．∵平面平面，，平面平面，∴平面 ．又平面，∴．作，垂足为，连接．又，∴面，又平面，∴．∴即为平面与平面所成锐二面角的平面角．由知，，为等边三角形，∴．∵，∴，解得．在中，．∴，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．(1)1CE CE =BC =BE =AE =AB =2ABCE AC BE O AC ⊥BE 2O ⊥BE A 1OC ⊥BE O ∩OC =O A 1BE ⊥OC A 1C ⊂A 1OC A 1C ⊥BE A 1(2)2BE CD BE ∩CD =G G A 1G ∈BE A 1G ∈CD A 1∈A 1BE A 1∈A 1CD A 1G A 1BE A 1CD A 1BE ⊥A 1BCDE OC ⊥BE BE∩A 1BCDE =BE OC ⊥BE A 1G ⊂A 1BE A 1OC ⊥G A 1OH ⊥G A 1H CH OH ∩OC =O G ⊥A 1OCH CH ⊂OCH G ⊥CH A 1∠OHC BE A 1CD A 1(1)△BE A 1△BCE OC =3–√△OHG ∼△B G A 1==OH BA 1OG BG 34OH =32Rt △COH CH =O +O C 2H 2−−−−−−−−−−√==3+94−−−−−√21−−√2cos ∠OHC ===OH CH 3221√221−−√7BE A 1CD A 121−−√7【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质二面角的平面角及求法【解析】无无【解答】证明：在图中，连接，易求，∴四边形为菱形．连接交于点，如图，则．∴在图中，，．又，∴平面．又平面，∴．解：在图中延长，，设，连接．∵平面，平面，又平面，平面，∴是平面与平面的交线．∵平面平面，，平面平面，∴平面 ．又平面，∴．作，垂足为，连接．又，∴面，又平面，∴．∴即为平面与平面所成锐二面角的平面角．由知，，为等边三角形，∴．∵，(1)1CE CE =BC =BE =AE =AB =2ABCE AC BE O AC ⊥BE 2O ⊥BE A 1OC ⊥BE O ∩OC =O A 1BE ⊥OC A 1C ⊂A 1OC A 1C ⊥BE A 1(2)2BE CD BE ∩CD =G G A 1G ∈BE A 1G ∈CD A 1∈A 1BE A 1∈A 1CD A 1G A 1BE A 1CD A 1BE ⊥A 1BCDE OC ⊥BE BE∩A 1BCDE =BE OC ⊥BE A 1G ⊂A 1BE A 1OC ⊥G A 1OH ⊥G A 1H CH OH ∩OC =O G ⊥A 1OCH CH ⊂OCH G ⊥CH A 1∠OHC BE A 1CD A 1(1)△BE A 1△BCE OC =3–√△OHG ∼△B G A 1=OH OG 3H =3∴，解得．在中，．∴，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．21.【答案】解：由题意知，由抛物线的定义知：，解得，所以抛物线的方程为.由知，设，,因为，所以，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，故可设直线的方程为，代入抛物线方程得,由题意知，得,设，则，，当时，,可得直线的方程为,由，整理可得,所以直线恒过点,当时，直线的方程为，过点，所以直线恒过定点.【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题==OH BA 1OG BG 34OH =32Rt △COH CH =O +O C 2H 2−−−−−−−−−−√==3+94−−−−−√21−−√2cos ∠OHC ===OH CH 3221√221−−√7BE A 1CD A 121−−√7(1)F (,0)p23+=4p 2p =2C =4x y 2(2)(1)F (1,0)A (,)(>0)x 0y 0x 0D (,0)(>0)x D x D |FA|=|FD||−1|=+1x D x 0>0x D =+2x D x 0D (+2,0)x 0AB =−k AB y 02l 1AB l 1y =−x +b y 02+y −=0y 28y 08b y 0Δ=+=064y 2032b y 0b =−2y 0E (,)x E y E =−y E 4y 0=x E 4y 20≠4y 20==k AE −y E y 0−x E x 04y 0−4y 20AE y −=(x −)y 04y 0−4y 20x 0=4y 20x 0y =(x −1)4y 0−4y 20AE F (1,0)=4y 20AE x =1F (1,0)AE F (1,0)【解析】（1）由题意知，由抛物线的定义知：，求出,即可得解抛物线的方程为由（）知，设,根据已知条件可得即,即可得到直线的斜率为，根据直线和直线平行，可设直线的方程为,联立抛物线方程即可得到，再分和分类讨论求解直线的方程，即可得解直线恒过定点.【解答】解：由题意知，由抛物线的定义知：，解得，所以抛物线的方程为.由知，设，,因为，所以，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，故可设直线的方程为，代入抛物线方程得,由题意知，得,设，则，，当时，,可得直线的方程为,由，整理可得,所以直线恒过点,当时，直线的方程为，过点，所以直线恒过定点.22.【答案】解：由已知可得， ，当时， ，F (,0)p 23+=4p 2p =2C =4x.y 2(Ⅱ)ⅠF (1,0)A (,)(>0),D (,)(>0)x 0y 0x 0x D y 0x D =+2,x D x 0D (+2,0)x 0AB =−k AB y 02l 1AB l 1y =−x +b y 02=−,=y E 4y 0x E 4y 20≠4y 20=4y 20AE AE F (1,0)(1)F (,0)p 23+=4p 2p =2C =4x y 2(2)(1)F (1,0)A (,)(>0)x 0y 0x 0D (,0)(>0)x D x D |FA|=|FD||−1|=+1x D x 0>0x D =+2x D x 0D (+2,0)x 0AB =−k AB y 02l 1AB l 1y =−x +b y 02+y −=0y 28y 08b y 0Δ=+=064y 2032b y 0b =−2y 0E (,)x E y E =−y E 4y 0=x E 4y 20≠4y 20==k AE −y E y 0−x E x 04y 0−4y 20AE y −=(x −)y 04y 0−4y 20x 0=4y 20x 0y =(x −1)4y 0−4y 20AE F (1,0)=4y 20AE x =1F (1,0)AE F (1,0)(1)(x)=−−cos x f ′12e −x x ∈[π,]3π2−1≤cos x ≤0x)=−−cos x ≥−>01x 1x所以，所以在区间上是单调递增的，故函数在上的最小值为．证明：由已知条件可知：，当时， ，，所以在区间上是单调递增的.又，，所以存在唯一的，使得，所以时，，函数单调递减，时，，函数单调递增.因为，所以函数在区间上没有零点.因为，，所以函数在区间上存在唯一零点，故函数在区间上有唯一零点．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知可得， ，当时， ，所以，所以在区间上是单调递增的，故函数在上的最小值为．证明：由已知条件可知：，(x)=−−cos x ≥−>0f ′12e −x 12e −x f (x)[π,]3π2[π,]3π2f (π)=+π2e −π(2)g(x)=+sin x e −x x ∈(,2π)3π2(x)=−+cos x g ′e −x (x)=−sin x >0g ′′e −x (x)g ′(,2π)3π2()=−<0g ′3π2e −3π2(2π)=−+1>0g ′e −2πt ∈(,2π)3π2(t)=0g ′x ∈(,t)3π2(x)<0g ′g(x)x ∈(t,2π)(x)>0g ′g(x)g()=−1<03π2e −3π2g(x)(,t)3π2g(t)<g()<03π2g(2π)=>0e −2πg(x)(t,2π)g(x)(,2π)3π2(1)(x)=−−cos x f ′12e −x x ∈[π,]3π2−1≤cos x ≤0(x)=−−cos x ≥−>0f ′12e −x 12e −xf (x)[π,]3π2[π,]3π2f (π)=+π2e −π(2)g(x)=+sin x e −x ∈(,2π)3π当时， ，，所以在区间上是单调递增的.又，，所以存在唯一的，使得，所以时，，函数单调递减，时， ，函数单调递增.因为，所以函数在区间上没有零点.因为，，所以函数在区间上存在唯一零点，故函数在区间上有唯一零点．x ∈(,2π)3π2(x)=−+cos x g ′e −x (x)=−sin x >0g ′′e −x (x)g ′(,2π)3π2()=−<0g ′3π2e −3π2(2π)=−+1>0g ′e −2πt ∈(,2π)3π2(t)=0g ′x ∈(,t)3π2(x)<0g ′g(x)x ∈(t,2π)(x)>0g ′g(x)g()=−1<03π2e −3π2g(x)(,t)3π2g(t)<g()<03π2g(2π)=>0e −2πg(x)(t,2π)g(x)(,2π)3π2。
2022-2023学年高一上学期数学人教A版《必修一》考试卷(含答案)
新人教A 版 必修一模块素养测评卷(一)（原卷+答案）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{x|－1<x<3}，B ＝{x ∈N *|0<x <4}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <3} B ．{x |－1<x <4} C ．{1，2} D ．{0，1，2}2．“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定形式为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20 ≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20 <03．已知a ，b ∈R ，那么“3a <3b ”是“log 13a >log 13b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)5．将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4 个单位，得到函数y ＝f (x )·sin x 的图象，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝22 sin 2x D ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 6．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是( )7．核酸检测在新冠疫情防控中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR 法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增过程中的靶标DNA 进行实时检测．已知被标靶的DNA 在PCR 扩增期间，每扩增一次，DNA 的数量就增加p %.若被测标本DNA 扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p 的值约为(参考数据：100.2≈1.585，10－0.2≈0.631)( )A ．36.9B ．41.5C ．58.5D ．63.18．已知函数f (x )＝m sin ωx ＋2cos ωx (m ≠0，ω>0)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π6，且f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫π9 ＝6，则函数f (x )在下列区间上单调递减的是( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，π4 B ．⎝⎛⎭⎫－π2，－π4 C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2 D ．⎝⎛⎭⎫－5π6，－2π3 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝cos x10．若a >b >0，则下列不等式成立的是( )A ．b a >b ＋1a ＋1B ．1a <1bC ．a ＋1b >b ＋1aD ．a ＋1a >b ＋1b11．如图是函数y ＝sin (ωx ＋φ)的部分图象，则sin (ωx ＋φ)＝( )A.sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 B ．sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x C ．cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2x12．已知函数f (x )＝x |x －a |，其中a ∈R ，下列结论正确的是( ) A ．存在实数a ，使得函数f (x )为奇函数 B ．存在实数a ，使得函数f (x )为偶函数C ．当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，a2 )，(a ，＋∞)D ．当a <0时，若方程f (x )＋1＝0有三个不等实根，则a <－2 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23，则f (－8)的值是________． 14．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝________．15．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值为________．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥02－x ，x <0 (a ∈R )，且f (f (－1))＝1，则a ＝________；若f (f (m ))＝4，则m ＝________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求值： (1)()64 23×⎝⎛⎭⎫34－32－0.125－13；(2)()log 37＋log 73 2－log 949log 73－(log 73)2.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ， (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若函数f (x )在[1，3]上具有单调性，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos x sin (x ＋π6 )－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4 上的最大值和最小值．20．(本小题满分12分) 已知α，β为锐角，tan α＝43 ，cos (α＋β)＝－55 .(1)求sin α（sin 2α－cos 2α）2cos α－sin α 的值；(2)求sin (α－β)的值．21．(本小题满分12分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形，面积为162平方米的三级污水处理池，平面图如图所示，池的深度一定，已知池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计，设水池的宽为x 米，总造价为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )在[10，20]上单调递增；(3)当污水处理池的宽为多少米时，总造价最低？并求出最低总造价．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝kx ＋log 3(3x ＋1)(k ∈R )为偶函数．(1)求实数k 的值；(2)若方程f (x )＝12 x ＋log 3(a ·3x －a )(a ∈R )有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围．参考答案1．答案：C解析：B ＝{x ∈N *|0<x <4}＝{1，2，3}，A ＝{x |－1<x <3}，所以A ∩B ＝{1，2}． 2．答案：D解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，则“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定形式为：存在x 0∈R ，使得x 20 <0. 3．答案：B解析：由3a <3b ⇒a <b ，因为a ，b 的正负性不明确，故不能由3a <3b 一定推出log 13a >log 13b 成立；由log 13a >log 13b ⇒a <b ⇒3a <3b ，所以“3a <3b ”是“log 13a >log 13b ”的必要不充分条件．4．答案：C解析：因为f (2)＝3－1>0，f (4)＝32 －2<0，所以由根的存在性定理可知选C.5．答案：B解析：∵将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4 个单位得y ＝cos 2(x －π4 )＝cos (2x －π2 )＝sin 2x ＝2sin x cos x ＝f (x )·sin x ，∴f (x )＝2cos x ． 6．答案：B解析：由函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象可知，a ＝3，则对于选项A ，y ＝3－x是减函数，所以A 错误；对于选项B ，y ＝x 3的图象是正确的；对于选项C ，y ＝(－x )a ＝－x 3是减函数，故C 错；对于选项D ，函数y ＝log 3(－x )是减函数，故D 错误．7．答案：C解析：设DNA 数量没有扩增前为a ，由题意可得a (1＋p %)5＝10a ， 所以(1＋p %)5＝10，所以1＋p %＝100.2， 可得p %＝100.2－1＝0.585，p ＝58.5. 8．答案：B解析：因为函数f (x )＝m sin ωx ＋2cos ωx (m ≠0，ω>0)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离是π6 ，所以14 ×2πω ＝π6，解得ω＝3.又f (0)＋f (π9 )＝6，所以2＋32 m ＋2×12 ＝6，解得m ＝23 ，所以f (x )＝23 sin 3x ＋2cos 3x ＝4sin (3x ＋π6 ).令π2 ＋2k π≤3x ＋π6 ≤3π2 ＋2k π，k ∈Z ， 解得π9 ＋2k π3 ≤x ≤4π9 ＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间是[π9 ＋2k π3 ，4π9 ＋2k π3 ]，k ∈Z .当k ＝－1时，(－π2 ，－π4 )⊆[－5π9 ，－2π9 ]，所以函数f (x )在区间(－π2 ，－π4 )上单调递减．9．答案：ABD解析：因为x ∈R ，f (－x )＝x 4＝f (x )，所以f (x )＝x 4为偶函数； 因为x ≠0，函数f (－x )＝1x 2 ＝f (x )，所以f (x )＝1x 2 为偶函数；因为x ∈R ，f (－x )＝cos x ＝f (x )，所以f (x )＝cos x 为偶函数；因为x ≠0，函数f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋1x 为奇函数．10．答案：BC解析：因为a >b >0，所以b －a <0，ab >0，所以b a －b ＋1a ＋1 ＝b （a ＋1）－a （b ＋1）a （a ＋1） ＝b －a a （a ＋1） <0，所以b a <b ＋1a ＋1 ，故A 不正确；1a －1b ＝b －a ab <0，所以1a <1b，故B 正确； a ＋1b －b －1a ＝a －b ＋a －b ab ＝(a －b )(1＋1ab)>0，故C 正确； 当a ＝12 ，b ＝13 时，满足a >b >0，但是a ＋1a ＝12 ＋2＝52 <b ＋1b ＝13 ＋3＝103 ，故D不正确．11．答案：ABC解析：由函数图象可知T 2 ＝2π3 －π6 ＝π2 ，∴T ＝π，则|ω|＝2πT ＝2ππ＝2，不妨令ω＝2，当x ＝23π＋π62 ＝5π12 时，y ＝－1，∴2×5π12 ＋φ＝3π2 ＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，即函数的解析式为y ＝sin (2x ＋2π3 ＋2k π)＝sin (2x ＋2π3 )，故A 正确；又sin (2x ＋2π3 )＝sin (π＋2x －π3 )＝－sin (2x －π3 )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，故B 正确； 又sin (2x ＋2π3 )＝sin (2x ＋π6 ＋π2 )＝cos (2x ＋π6)，故C 正确；而cos (2x ＋π6 )＝cos (π＋2x －5π6 )＝－cos (2x －5π6 )＝－cos (5π6 －2x )，故D 错误．12．答案：ACD解析：由f (－x )＝－x |－x －a |＝－x |x ＋a |，显然当a ＝0时有f (－x )＝－f (x )，但不存在实数a 使f (－x )＝f (x )，A 正确，B 错误；f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －x 2，x <a x 2－ax ，x ≥a 且f (x )在x ＝a 处连续，当a >0时，易知f (x )在(－∞，a2 )上递增，在(a2，a )上递减，在(a ，＋∞)上递增，C 正确； 由f (x )解析式，当a <0时f (x )在(－∞，a )上递增，在(a ，a 2 )上递减，在(a2 ，＋∞)上递增，又f (a )＝0，f (a 2 )＝－a 24 ，要使f (x )＋1＝0有三个不等实根，即f (x )与y ＝－1有三个交点，所以－a 24 <－1，又a <0，可得a <－2，D 正确．13．答案：－4解析：f (8)＝823＝4，因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－4. 14．答案：－79解析：sin α－cos α＝43 ，两边平方得1－sin 2α＝169 ，则sin 2α＝－79 .15．答案：7＋43解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得ab ＝3a ＋4b ，即b ＝3aa －4 >0，所以a >4，a ＋b ＝a ＋3a a －4 ＝a －4＋12a －4 ＋7≥7＋212 ＝7＋43 ，当且仅当a ＝4＋23 时取等号，所以a ＋b 的最小值为7＋43 .16．答案：14 －2或4解析：由题意得f (－1)＝2－(－1)＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝a ·22＝4a ＝1，解得a ＝14.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥02－x ，x <0 ，又f (f (m ))＝4，当m <0时，f (f (m ))＝f (2－m)＝22－m －2＝4，解得m ＝－2；当m ≥0时，f (f (m ))＝f (2m －2)＝22m －2－2＝4，解得m ＝4. 所以m ＝－2或4.17．解析：(1)原式＝(432)23×(413)－32－(18 )－13 ＝4×4－12－2＝4×14－2＝0. (2)原式＝(log 37)2＋(log 73)2＋2log 37×log 73－log 37log 73 －(log 73)2＝(log 37)2＋2－(log 37)2＝2.18．解析：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1， 故不等式f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞). (2)因为函数f (x )在[1，3]上具有单调性， 所以a －12 ≤1或a －12 ≥3，解得a ≤3或a ≥7.19．解析：(1)因为f (x )＝4cos x sin (x ＋π6 )－1＝4cos x ·(32 sin x ＋12cos x )－1 ＝3 sin 2x ＋2cos 2x －1＝3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π6 )，故f (x )最小正周期为π.(2)因为－π6 ≤x ≤π4 ，所以－π6 ≤2x ＋π6 ≤2π3 .于是，当2x ＋π6 ＝π2 ，即x ＝π6 时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6 ＝－π6 ，即x ＝－π6 时，f (x )取得最小值－1.20．解析：(1)因为α，β为锐角，tan α＝43，则sin αcos α ＝43sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧sin α＝45cos α＝35，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2425 ，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.所以sin α（sin 2α－cos 2α）2cos α－sin α＝tan α（sin 2α－cos 2α）2－tan α＝43×（2425－925）2－43＝65 .(2)因为α，β为锐角，tan α＝43 ，cos (α＋β)＝－55 ，所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β） ＝255，sin (α－β)＝sin [2α－(α＋β)]＝sin 2αcos (α＋β)－cos 2α·sin (α＋β) ＝2425 ×(－55 )－(－725 )×255 ＝－2525 . 21．解析：(1)由已知得水池的长为162x米，所以y ＝400×2×(x ＋162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296×(x ＋100x )＋12 960，所以y 关于x 的函数解析式y ＝1 296(x ＋100x )＋12 960.(2)任取x 1，x 2∈[10，20]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1 296(x 1＋100x 1 )＋12 960－[1 296×(x 2＋100x 2 )＋12 960]＝1 296(x 1＋100x 1 －x 2－100x 2 )＝1 296[x 1－x 2＋100（x 2－x 1）x 1x 2 ]＝1 296(x 1－x 2)(1－100x 1x 2 )∵10≤x 1<x 2≤20， ∴x 1－x 2<0，x 1x 2>100， ∴1－100x 1x 2>0，∴(x 1－x 2)(1－100x 1x 2 )<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数y ＝f (x )在[10，20]上单调递增． (3)由(1)知y ＝1 296(x ＋100x)＋12 960≥1 296×2x ·100x＋12 960＝38 880， 当且仅当x ＝100x (x >0)，即x ＝10时等号成立，函数取得最小值，即当污水处理池的宽为10米时，总造价最低，最低总造价为38 880元． 22．解析：(1)由题设，f (－x )＝f (x )，即－kx ＋log 3(3－x ＋1)＝kx ＋log 3(3x ＋1)， ∴2kx ＝log 33－x ＝－x ，可得2k ＝－1，则k ＝－12.(2)由题设，－x 2 ＋log 3(3x ＋1)＝x2 ＋log 3(a ·3x －a )，则log 3(3x ＋1)＝x ＋log 3a (3x －1)，∴a (3x －1)>0，且3x ＋1＝3x ·a (3x －1)＝a (32x －3x )，整理得a ·32x －(a ＋1)3x －1＝0， 令t ＝3x (t ＞0)，则g (t )＝at 2－(a ＋1)t －1有且仅有一个零点，g (0)＝－1<0，g (1)＝－2<0， 当a ＝0时，g (t )＝－t －1, 此时g (t )＝0，得t ＝－1，不合题意； 当a >0时，x >0, 此时，t ∈(1，＋∞)且g (t )开口向上， ∴g (t )在(1，＋∞)上有且仅有一个零点；当a <0时，x <0，此时，t ∈(0，1)且g (t )开口向下且对称轴是x ＝12 (1＋1a )，∴0<1＋1a <2，即a <－1时，仅当Δ＝(a ＋1)2＋4a ＝a 2＋6a ＋1＝0，可得a ＝－3－22符合条件；1＋1a <0，即－1<a <0时，g (t )在(0，1)上无零点． 综上，a ∈{－3－22 }∪(0，＋∞).。
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模糊数学 （R10A 卷）一、填空题（本题共 10 个空，每空 3 分，共计 30 分）1.},,,,{54321x x x x x U =，模糊集)1,7.0,6.0,05.0(，=A ，)6.0,1,6.0,3.04.0(，=B ，则 ______________,__________________________,__________==⋂=⋃=B A B A B A A c c ⊙考点：交、并、补、截运算，内积、外积，贴近度计算，∨∪取大∧∩取小)(3.0)]()([)6.0,7.0,6.0,0,4.0()),4.0,0,4.0,7.0,6.0(()1,7.0,6.0,7.0,6.0()0,3.0,4.0,1,5.0(~~外积是取大之后取小⊙并两数取大=∨∧==⋂==⋃=∈x B x A B A B A B B A A U x c c c2.已知平面上的模糊关系R 的隶属函数为2()(,)x y R x y e --=，则截关系eR 1=______________ ，合成关系 ),(2y x R = _____________。
考点：截运算，合成运算，)()()(121ji ij sk ij n m ij b a c Z X c C R R ∧∨=⨯∉===⨯，其中，TR R R =2,此次花写字体采用Kunstler Script222*22222)2()2()(2*1121221**2221221**)()(21)(2)(11221)(),(),(),()(),(),()()(),(),()(),(),()()(2)()(),(),(),(,),(,}1||1|),{(1||1,1)(1)(,1y x y x x z x y z z x y z z x ex y x eeey x R z x R z x R R R R y z R z x R y z z x z z y z R y z R R R R y z R z x R y z z x z z z yx z y z z x e e y z R z x R e y z R y z e z x R z x yz x y x y x R y x y x y x R e e ee --+---------------===∴=∨=∧∨=<-<->=∨=∧∨=≥-≥-≤=+=⇒-=-⇒===→=→→→≤-≤-=∴≤-≤≤-⇒-≥--=≥即时，即时，，即令；上单调递增在由令3.模糊关系方程)5.0,8.0,6.0(2.07.05.04.009.006.04.0),,(321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ x x x 的最大解为x =________考点：求最大解，直接求解，矩阵作业法，本题用矩阵作业法将B 排到R 矩阵的上方，B 与R 逐行比较b 比r 小留下b ，每行再取小，空集取小=1)1,6.0,1(),,(1,6.0}6.0{,1321321===∧∅==∧==∧∅=x x x x x x x4.},,,,{54321u u u u u U =，已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤≤=19.0}{9.06.0},,{6.03.0},,,{3.00},,,,{2421542154321λλλλλu u u u u u u u u u u u u A ,则模糊集合A=_____________考点：根据λ-截集求模糊集，根据模糊集求λ-截集，离散的连续的都要会5432154*********.054216.0543213.06.09.03.019.0A 0.6{0.3,0.6})A(0.9.9}{0.3,0.6,0)A(0.3{0.3})A(1.9,1}{0.3,0.6,0)A(0.9.9}{0.3,0.6,0)A(A }{},,,{},,,,{},,,,,{u u u u u u u u u u u A u u u A u u u u A u u u u u A ++++==∨==∨==∨==∨==∨=====然后根据分解定理求由题意5.已知 R =⎪⎪⎭⎫⎝⎛3.05.08.03.0,则 t (R ) =⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 对于传递闭包的求法1.任意n 阶矩阵，求矩阵的1~n 次方，2.对于相似矩阵(满足自反性，对角线为1)，平方法定理2.1.3 设n n A ⨯∈μ，则传递闭包k nk A A t 1)(==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==5.05.08.05.05.03.03.05.03.05.08.03.0)(t 5.03.03.05.03.05.08.03.03.05.08.03.022R R R R R R6.},,,,{54321u u u u u U =为 5 个人的集合，U 中每个人的身高 f (u i ) 如表所示：Uu 1 u 2u 3 u 4 u 5f (u i )175 180 165 171 169已知 U 中年轻人的模糊集 A=(0.7, 0.5,1, 0.6, 0.9)，则年轻人中的高个是___________ 模糊线性规划最优性条件1)27.0,4.0,0,5.0,67.0()27.0,4.0,0,1,67.0(165180165)(u G A D G x f G ===--=年轻人中的最高个是u 1二、解答题（本题共 3 小题，每小题 8 分，共计 24 分）1. 论域 },,,{4321x x x x X =到},,{c b a Y =的映射 f 为⎪⎩⎪⎨⎧====2431,,,,)(xx c x x b x x x a x f ,如果cb a B x x x A 1.04.05.0,6.08.03.0431++=++=。
求)(A f 及)(1B f -。
扩张原理)0,6.0,8.0()(0)]]([)())((6.0)]([)())((8.0)](),([)())((2)(4)(31)(=∴=∨=∨==∨=∨==∨=∨====A f x A x A c A f x A x A b A f x A x A x A a A f cx f bx f ax f)4.0,5.0,1.0,5.0()(4.0)())((5.0)())((1.0)())((5.0)())(())(())((143211=∴=========--B f b B x f B a B x f B c B x f B a B x f B x f B x B f2.写出模糊关系R 的对称闭包，并证明：R 是模糊对称关系的充要条件是]1,0[∈∀λ，R λ是普通对称关系。
T R R R S =)(对称矩阵。
为从而有同理有：从而对称，，即令对称。
，从而，即，有对称关系，为又，即若F R x y R y x R x y R y x R y x R x y R R x y R R y x y x R X y x R R x y x y R x y R y x R X y x F R y x R R y x ∴=≥=≥∈∴∀∈=∈∀⇐∈∀∈≥=∈∀≥∈∈∀⇒),(),(),,(),(),(),(),(,),(),(,,]1,0[,),(),(),(),(,),(),(],1,0[000λλλλλλλλλλλλ3.由 10 名专家组成评比小组对某一行业中的三家企业甲、乙、丙的综合效 益进行评比，企业的综合效益是一个复杂系统，包括经济效益，社会效益，环 境效益等，而每个专家考虑问题的角度不同，观点不同，使得难以排出一个整体的优劣次序。
如发生以下情况： 7 人认为甲比乙好，3 人认为乙比甲好； 6 人认为乙比丙好，4 人认为丙比乙好； 8人认为丙比甲好，2 人认为甲比丙好；1） （4 分） 利用优先选择比0),(1=≠=+ii ji ij r j i r r 建立模糊优先关系矩阵R2.0)(,8.0)(,4.0)(,6.0)(,3.0)(,7.0)(133132232112======x f x f x f x f x f x f ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=04.08.06.003.02.07.00R2） （4 分） 根据你建立的模糊优先关系矩阵R ，对甲、乙、丙三家企业的优劣排序。
利用下确界方法进行排序乙排序结果为：丙、甲、甲为第一优选去掉第三行，第三列丙为第一优选去掉对角线取小后取大对∴∴√⎥⎦⎤⎢⎣⎡='∴√⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=,3.07.003.07.00,4.03.02.004.08.06.003.02.07.00R R R 三、解答题（16 分）论域},,,,{54321u u u u u U =，且有模糊关系 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=16.01.04.02.06.013.02.05.01.03.011.08.04.02.01.012.02.05.08.02.01R1） （12 分） 求R 的传递闭包，并作动态聚类图；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=16.03.04.05.06.015.04.05.03.05.012.08.04.04.02.012.05.05.08.02.01,16.01.04.02.06.013.02.05.01.03.011.08.04.02.01.012.02.05.08.02.012R R R R 取大矩阵的合成，取小之后444822416.05.04.05.06.015.04.05.05.05.014.08.04.04.04.014.05.05.08.04.01,16.05.04.05.06.015.04.05.05.05.014.08.04.04.04.014.05.05.08.04.01R R R R R R R =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==动态聚类图},,,,{14.0}{},,,,{25.0},{},{},,{36.0}{},{},{},,{48.0}{},{},{},{},{515432125431542315423154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 类，时，分为类，时，分为类，时，分为类，时，分为类，时，分为=====λλλλλ2） （4 分） 画出与模糊关系R 对应的模糊图的最大树。
注：最大数画法不唯一四、解答题（本题共两小题，第一小题 16 分，第二小题14 分，共计 30 分） 1.在某种茶叶的综合评判中，因素集},,,{4321u u u u U =，其中4321,,,u u u u 分别表示条索，净度，汤色，滋味。