矩阵论_第1_2章_线性空间与线性变换2矩阵分析简明教程曾祥金张亮(20200919183133)
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矩阵论-线性变换和矩阵
,
2
,
下的坐标
3
;
(3)向量
及T(
)基1,
2
,
下的坐标
3
.
四、特征值与特征向量
定义 设T L(V,V),若存在0 F及V的非零向量 , 使得T =0 ,则称0为T的一个特征值,而为T的属 于特征值0的一个特征向量.
注：特征向量在线性变换作用下保持方位不变 (在同一直线上).
取定V的一组基e1, , en ,设T(e1, , en )=否存在依赖于V所在的数域F，
如矩阵
0 1
01的特征多项式为f ()
1
1 2 1.
注2 :当dim V=n很大时，上述求法太繁琐，可借助于计算机.
注3 : E(i ) {X F n | (iI-A) X 0} N (iI-A)(解空间).由 亏加秩定理有r(iI-A) dim N (iI-A) n, 所以E(i )的维数为 dim E(i ) n r(iI-A) 称为i的几何重数.
的行列式
-a11 a12 |I-A|= a21 -a22
a1n
-a2 n
-an1 -an2
-ann
的展开式是的一个n次多项式, 其根为A的特征值, 而相应
于(*)式的非零解向量 称为A的属于0的特征向量. 注:1)0是T的特征值 0是A的特征值. 2)是T的特征向量 是A的特征向量,这里，
=(e1, , en ).
2)f保持线性运算,即, F, x, y V ,有f(x y) =f(x） f ( y),
则称V与W同构，记为V W.
同构的线性空间具有完全一致的空间结构和各种运 算规律，故可视为一个空间.
定理3 L(V,V) Fnn.
第1章 线性空间与线性变换-1
例如：在正实数集R {a | a 0, a R} 中定义加法“”和数乘“”运算如下： a b ab, a a , a,b R , R 则R是数域R上的线性空间。
矩阵分析简明教程
事实上， a, b R a b ab R; R, a R a a R . 所以对定义的加法与数乘运算封闭． 下面一一验证八条线性运算规律： (1) a b ab ba b a; (2)(a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c); (3) R中存在零元素 1, 对于a R , 有
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矩阵分析简明教程
例1 数域 F上的n维向量全体，按n维向量加法与n维 向量的数量乘法构成数域 F上的线性空间 F n 。 例2 数域 F 上 m n 阶矩阵全体，按矩阵的加法 和数乘，构成 F 上的线性空间 F mn 。 例3 数域 F上一元多项式全体按照多项式的加法以 及数与多项式的乘法构成 F 上的一线性空间 F[ x] 。
矩阵分析简明教程
第一章 线性空间与线性变换
矩阵分析简明教程
§1.1、线性空间的基本概念
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向 量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。
线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多 项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉 的一般运算，也可以是各种特殊的运算。
数的加法和数与函数的乘法构成线性空间 C[a, b]
矩阵分析简明教程
例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间， 或矩阵 A 的核空间或零空间，即
N ( A) { x Rn | Ax , A Rmn} Ker( A)
向量个数 n 称为线性空间V 的维数，记为 dimV n
矩阵分析简明教程
事实上， a, b R a b ab R; R, a R a a R . 所以对定义的加法与数乘运算封闭． 下面一一验证八条线性运算规律： (1) a b ab ba b a; (2)(a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c); (3) R中存在零元素 1, 对于a R , 有
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矩阵分析简明教程
例1 数域 F上的n维向量全体，按n维向量加法与n维 向量的数量乘法构成数域 F上的线性空间 F n 。 例2 数域 F 上 m n 阶矩阵全体，按矩阵的加法 和数乘，构成 F 上的线性空间 F mn 。 例3 数域 F上一元多项式全体按照多项式的加法以 及数与多项式的乘法构成 F 上的一线性空间 F[ x] 。
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第一章 线性空间与线性变换
矩阵分析简明教程
§1.1、线性空间的基本概念
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向 量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。
线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多 项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉 的一般运算，也可以是各种特殊的运算。
数的加法和数与函数的乘法构成线性空间 C[a, b]
矩阵分析简明教程
例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间， 或矩阵 A 的核空间或零空间，即
N ( A) { x Rn | Ax , A Rmn} Ker( A)
向量个数 n 称为线性空间V 的维数，记为 dimV n
矩阵理论课件 第一章 线性空间与线性变换
x x1 x2 x y1 y2
k1
xn
k2
kn
k1 t1
k2
A
t2kn tn t1 源自ynt2x1
x2
t1
xn
A
t2
tn
tn
不同基之间过渡矩阵的求法：
已知两组基 (I )x1, x2 , , xn ( II ) y1, y2 , , yn
基 (III )到基 (I ) 的过渡矩阵 C1 为：
1 1 1 1
C1
0 0
1 0
1 1
1 1
0 0 0 1
基 (III )到基 (II )的过渡矩阵 C2 为：
1 0 1 1
C2
0 1
1 1
1 1
1
0
1 1 0 1
则由基 (I ) 到基 (II ) 的过渡矩阵 C 为：
1 1 1 11 1 0 1 1
③求V1 的V基2 与维数。
分析： 设V的两个子空间为
求 x1, x2, , xm , y1, y2, , yn
的最大无关组： 的基。
V1
V2
V1 L( x1, x2 , , xm ) V2 L( y1, y2 , , yn )
解： ⑴先将 V表1 示成生成子空间 x1 x2 x3 x4 0 的基础解系为
k1x1 k2 x2 kn xn 构成的集合形成V 的一个子空间，称之为由该向量组生 成的子空间。记为 W L( x1, x2 , , xn )
定义3 （子空间的和）
设 W1,W2 是 V L(P) 的两个子空间，称集合
W W1 W2 x y x W1, y W2
为子空间 W1 和 W2 的和。
矩阵论之矩阵论
第一章 线性空间和线性变换1.1 线性空间定义1.1 设V 是一个非空集合，它的元素用,,x y z等表示，并称之为向量；K 是一个数域，它的元素用,,k l m 等表示。
如果V 满足下列条件(I) 在V 中定义一个加法运算，即当,x y V ∈ 时，有唯一的x y V +∈，且加法运算满足下列性质(1) 结合律 ()()x y z x y z ++=++；(2)交换律 x y y x +=+;(3)存在零元素0 ，使00x x x +=+=；(4)存在负元素，即对任一向量,x V ∈ 存在向量y V ∈ ，使得0,x y += 则称y 是x的负元素，记为x -，于是有()0x x +-=(II)在V 中定义数乘（数与向量的乘法）运算，即当,x V k K ∈∈时，有惟一的,kx V ∈且数乘运算满足下列性质(5)数因子分配律()k x y kx k y +=+；(6)分配律()k l x kx lx +=+(7)结合律 ()()k lx kl x =；(8)1x x =则称V 为数域K 上的线性空间或向量空间。
不管V 的元素如何，当K 为实数域R 时，则称V 为实线性空间，当K 为复数域C 时，就称V 为复线性空间。
例1. 设R +为所有正实数组成的数集，其加法与数乘运算分别定义为 m n mn ⊕=，k k m m = 证明R +是R 上的线性空间。
定理 1.1 线性空间V 有惟一的零元素，任一元素也有惟一的负元素。
同n 维线性空间nR 中向量组的线性相关性一样，如果12,,...,n x x x 为线性空间V 中的n （有限正整数）个向量，,x V ∈且存在数域K 中的一组数12,,...,n c c c , 使1122...n n x c x c x c x =+++(1.1)则称x 为向量组12,,...,n x x x 的线性组合，有时也称向量x 可由12,,...,n x x x线性表示。
矩阵论第一章线性空间和线性变换
而开方运算则不是，因为显然有
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有 其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义 运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现 象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且 我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点 石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271） 参考目录……………………………………………………………（275）
第一章 线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章 特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有 其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义 运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现 象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且 我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点 石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271） 参考目录……………………………………………………………（275）
第一章 线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章 特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）
矩阵论第一章线性空间和线性映射
❖ 映射的相等：设有两个映射 f : S → S’和 g: S → S’，若对任 何元素 a∈S 都有 f(a)=g(a) 则称 f 与 g 相等。
❖ 映射的乘积(复合)：若 f : S1 → S2 和 g: S 2→ S3，则映射的 乘积 g○ f 定义为： g○ f(a)=g(f(a))。
在不至混淆的情况下，简记 g○ f 为 gf
例3：实数域 R 上全体次数小于或等于 n 的多项式集合 R[x]n 构成实数域 R 上的线性空间。
例4：全体正的实数 R+ 在下面的加法与数乘的定义下构成实数 域上的线性空间：对任意 k∈R, a,b∈R+
加法运算 a： bab 数乘运算 ka： ak
2021/4/11
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线性空间的例子（续）
例5：R∞表示实数域 R 上的全体无限序列组成的的 集合。即
成子空间，称 1,2, ,s为该子空间的生成元。 span1,2, ,s的维数即为向量组 1,2, ,s 的秩，1,2, ,s的最大无关组为基底。
例4 实数域 R上的线性空间 R n n 中全体上三角矩阵
集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全
体反对称矩阵集合分别都构成R n n 的子空间，
（8）对k∈F,α, β∈V 有：
k ∙(α+β)= k ∙ α+k ∙β
称这样的集合 V 为数域 F 上的线性空间。
可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。
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线性空间的例子
例1：全体实函数集合 RR构成实数域 R 上的线性空间。
例2：复数域 C上的全体 m×n 阶 矩阵构成的集合Cm×n 为 C 上的线性空间。
以及任意的 k,l F 都有
矩阵论学习-(线性空间与线性变换)
ka1 ,
kb1 +
k( k 2
1 ) a21
ka2 ,
kb2
+
k(
k2
1)
a22
=
ka1
+
ka2 ,
kb1
+
kb2
+
k( k 2
1) (
a21
+
a22 )
+
k2 (
a1 a2 )
.
4
矩 阵 论 学 习 辅 导 与 典型 题 解 析
故有 k⊙ ( α β) = ( k⊙α) ( k⊙β) , 即八条运算法则皆成立 , V 在实域 R 上构
第一章 线性空间与线性变换
线性空间是某一类事物从量方面的一个数学抽象, 线性变换则是反映线性空 间元素之间最基本的线性函数关系 , 它们是研究线性代数的理论基础 .理解本章的 主要概念 , 掌握基本定理、结论和方法 , 对学好矩阵论起着关键的作用 .
§1 .1 线性空间 , 基、维数及坐标
一、线性空间与子空间
mn
mn
mn
∑ ∑ ( aij + bij ) = ∑∑ aij + ∑ ∑ bij = 0
i = 1j = 1
i = 1j = 1
i = 1j = 1
即有 A + B∈ W4 , 同样由于 kA = ( kaij ) m × n ,
mn
mn
∑∑ kaij = k∑∑ aij = k0 = 0
i = 1j = 1
i = 1j = 1
即有 kA∈ W4 .加法运算和数乘运算封闭 , 故 W4 是一个子空间 .
⑥ ( kl ) ⊙α=
矩阵论
所有解的集合，
验证V是数域R上的线性空间。 例1.7 的加法，定义数乘 不是数域R上的线性空间。 按照向量
例1.8设 为所有正实数组成的数集，其 加法与乘法运算分别定义为
证明 是R上的线性空间。
例1.9
，定义
证明V按照定义的加法和数乘是R上的线 性空间。
线性空间的一些简单性质： 定理1.1 线性空间Ｖ有唯一的零元素，任一
例1 设
验证W是否构成 例2 判定 的子空间。 是否属于 张成的子空间？
例3 在
中，设
证明
五.子空间的交与和
定理1.4 如果 V1,V2是数域K上的线性空间V
的两个子空间，那么V1V2也是V 的子空间. 证 ,V1V2, 有
V1,V2,V1,V2
所以 +V1，+V2 ，进而 +V1V2 同理 kV1V2 ，所以 V1V2 是V的子空间. 证毕
任意线性空间V都有子空间， 就是两个特殊的子空间。 生成子空间：（考虑子空间的生成问题） 设 是线性空间V的一组元素，则集合
是V的线性子空间，称为由 子空间，记为
生成的
L( x1 , x2 ,, xm ) k1 x1 km xm ki K , i 1,2,, m
结论: 定义1.7 设 为矩阵A的值域，记为 结论：（1） ；（2） ，以
m等表示，如果V满足下列条件
（I）在V中定义一个加法运算，即当
时，有唯一的和
（ 1） （2）
，且加法运算满足
（3）存在零元素0,使 （４）存在负元素，即对 ，存在元
素
记为
，使
；
，则称
为
的负元素，
（Ⅱ）在Ｖ中定义数乘运算，即当 时，有唯一的 （５） （６） ，且数乘运算满足