北京邮电大学信号与系统课程硕士研究生入学考试试题与答案

北京邮电大学2004年硕士研究生入学考试试题

考试科目：信号与系统

北京邮电大学2004年硕士研究生入学考试试题

考试科目：信号与系统

一、单项选择题（每小题3分共21分） 1. 与)(t δ相等的表达式为（ ）

A.)2(41t δ

B.)2(2t δ

C.)2(t δ

D.)

2(21t δ

2. 求信号)()

52(t e

j ε+-的傅立叶变换（ ）

A. ωω521j e j +

B. ω

ω521

j e j +

C. )5(21-+-ωj

D. ω

ω551

j e j +

3. 信号

?-=t

d t h t f 0

)()(λ

λλ的拉普拉斯变换为（ ）

A. )(1s H s

B. )(12s H s

C. )(13s H s

D. )(1

4

s H s

4. 已知如图A-1所示信号)(1t f 的傅立叶变换)(1ωj F ，求信号)(2t f 的傅立叶变换为（ ）

图A-1

A. t

j e

j F 01)(ωω-- B. t

j e

j F 01)(ωω- C. t

j e j F 01)(ωω- D. t

j e

j F 01)(ωω

5. 连续时间信号)(t f 的最高频率s rad m /104

πω=，若对其抽样，并从抽样后的信号中恢

复原信号)(t f ，则奈奎斯特间隔和所需低通滤波器的截止频率分别为（ ） A. s 410-，Hz 410 B.s 410-，Hz 3

105?

C. s 3105-?，Hz 3105?

D. s 3105-?，Hz 4

10 6. 已知一双边序列

?????<≥=0,30

,2)(n n k x k

k ，其Z 变换为（ ）

A. )3)(2(---z z z ，

32<

，2≤z ，3≥z

C. )3)(2(--z z z ，

32<

---z z ，32<

7. 求信号

2cos

)(π

k k x =的周期（ ） A. 4 B.2 C.0.2π D. 0.5π

二、填空题（每小题3分共27分）

1.

?

∞

∞

--=

dt t e t j )('δω__________。

2. 已知

}

1,2,3,4,3,2,1,0{)(↑

=k x ，则=)2(k x __________。

3. 两个时间函数)(),(21t f t f 在],[21t t 区间内相互正交的条件是__________。

4. 已知冲激序列

∑∞

-∞

=-=

n T nT t t )

()(1

δδ，其指数形式的傅立叶级数为__________。

5. 若连续线性时不变系统的输入信号为)(t f ，响应为)(t y ，则系统无畸变传输的时域表示式为)(t y =__________。

6. 利用初值定理和终值定理分别求

125

4)(++=

s s s F 原函数的初值)0(+

f =__________，终值

)(∞f =__________。

7. 序列)(k x 的Z 变换为2

1328)(---+-=z z z z X ，序列)(k x 用单位样值信号表示，则

)(k x =__________。

8.

)()(k ka k f k

ε=的Z 变换式)(z F =__________。 9. 为使线性时不变离散系统是稳定的，其系统函数)(z H 的极点必须在Z 平面的_________。

三、画图题（每小题8分共40分）

1. 已知)12(+-t f 波形如图A-2所示，试画出)(t f 的波形。

图A-2

2. 周期信号

)328cos(2)65sin(cos 3)(ππ

-

-+

+=t t t t f

（1）画出单边幅度谱和相位谱图； （2）计算并画出信号的功率谱

3. 求图A-3所示信号

t t

t f c πωsin )(=

的傅立叶变换，并画出频谱图。

图A-3

4. 图A-4所示系统中，已知

)

()(∞<<-∞=

∑∞

-∞

=t e

t f n jnt

，（n 为整数），

t t s cos )(=)(∞<<-∞t ，系统函数????

?><=)5.1(,0)

5.1(,1)(ωωωj H 试画出A ，B ，C 各点信号

的频谱图。

图A-4

5. 对系统函数为

5.0)(-=

z z

z H 的系统，画出其零极点图，大致画出所对应的幅度频率响

应，并指出它们是低通、高通还是全通网络。

四、计算题（本大题共6小题，共62分）

1. （8分）已知???

???-==↑0,0,1,3,2)(01k k x ，??

????==↑2,0,0,1,3)(02k k x ，求卷积)()()(21k x k x k x *=。

2. （8分）已知某系统的数学模型为：)(2)()(2)(3)(2

2t f dt t df t y dt t dy dt t y d +=++，求系统

的冲激响应)(t h ；若输入信号为)()(3t e t f t

ε-=，用时域卷积法求系统的零状态响应)(t y zs 。

3. （8分）图A-5所示系统中，已知,2)()

()(==

s E s Y s H 且

31)(1+=s s H ， （1）求子系统)(2s H ；

（2）欲使子系统)(2s H 为稳定系统，试确定K 的取值范围。

图A-5

4. （13分）已知某因果LTI 系统的系统函数)(s H 的零极点如图A-6所示，且2.1)0(-=H ，

求：

（1）系统函数)(s H 及冲激响应)(t h ；

（2）写出关联系统的输入输出的微分方程；

（3）已知系统稳定，求)(ωj H ，当激励为)()3cos(t t ε时，求系统的稳态响应。

图A-6

5. （15分）离散系统如图A-7所示

图A-7 （1）求系统函数

（2）写出系统的差分方程式；

（3）求系统的单位样值响应。

6. （10分）证明：?∞∞-=π4

)(2dt

t

Sa

。（利用傅立叶变换性质）

参考答案：

一、

单项选择题（每小题题3分，共21分）

1． 选B 。理由是：因为：)

(1

)(t a at δδ=，所以有：)()2(2t t δδ=

2． 选B 。理由是：因为：

ωαεαj t e t +?

-1

)(，所以有：

)5(21)()52(++?

+-ωεj t e t j 3． 选B 。理由是：

?==-=t

t h t r t h t t d t h t f 0

)

(*)()(*)()()(ελλλ，由拉普拉斯变换的时

域卷积性质，有：)()()(s H s R s F =。又因为：)(*)()()(t t t t t r εεε==，因而有：

21)(s s R =

，从而得：)(1

)(2

s H s s F =。

4． 选A 。理由是：因为：)]([)(012t t f t f --=，又由于：)()(11ωj F t f ?，由傅立叶变换

的翻转性质可得：)()(11ωj F t f -?-，根据傅立叶变换的时移性质，得

0)()]([)(1012t j e j F t t f t f ωω--?--=

5． 选B 。理由是：根据采样定理，有：

s T m s 441010-==≤

ππ

ωπ，Hz

f m h 31052?=≥πω

6． 选A 。理由是：

)3)(2(2323)(0

1

---=

-+--

=+=

∑∑∞=---∞

=-z z z z z z z z z

z X n n n n n

n

，

32<

7． 选A 。理由是：设周期为N ，如果：)2cos()](2cos[n N n ππ=+，则有：π

π

22=N ，

所以，4=N 。

二、 填空题（每小题3分，共27分）

1．ωj ； 2. }0,2,4,2,0{↑；3. ?=2

10)()(*21t t dt t f t f ；4. ∑∞-∞=n t T j e T 1211π

；5. )(τ-t kf ；

6．∞=++==∞→∞→+12)54(lim )(lim )0(s s s s sF f s s ，0

12)

54(lim )(lim )(0=++==∞→∞→s s s s sF f s s ；

7．)2()1()(2)3(8)(---+-+=n n n n n x δδδδ； 8．

2)()(a z az

z F -=

； 9. 单位圆内。 三、画图题（每小题8分，共40分） 1．解：

设τ=+-12t ，则有：5.0-=t 时，2=τ；0=t 时，1=τ；5.0=t 时，0=τ；1=t 时，1-=τ。因此，对应的)(t f 波形如图A-8所示。

图A-8

2．解：

（1）因为

)

38cos(2)35cos()cos(3)(π

π++-+=t t t t f ，因此，幅度频谱为： 31=A ，15=A ，28=A ，其余为0。

相位频谱为：

35π

?-

=，

38π

?=

，其余为

0。单边幅度频谱和相位频谱如图A-9所示。

n

n

(a) (b)

图A-9

（2）信号的功率谱为

7

24212921)2(1220=++=+=∑∞=n n A A P

3．解：因为：)()sin()(t Sa t t t f c c c ωπωπω==，又因为：)

2()(ωττSa t g ?，由傅立叶变换的对称性可知：)

(2)(2)2(ωπωπτ

ττg g t Sa =-?。设c ωτ2=，得 )(2)(2ωπωωc

g t Sa c ?，即)(2)(2ωωωπωωc

g t Sa c c c

?，因此，有

)

(2)()()(2ωωωωπω

ωc

g j F t Sa t f

c c c =?=

频谱图如图A-10所示。

图A-10

4．解：

由

∑∞

-∞

==

n jnt

e

t f )(可知，)(t f 是一个周期信号，且周期为：

π

ωπ

220

==

T ，指数形式

的傅立叶级数系数为：∞<<∞-=n F n ,1，因此，)(t f 的频谱为：

)

(2)(2)(0

∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=-=-=n n n

n n F j F ωδπωωδπ

ω，A 点信号的频谱如图A-11(a)所示。

由图可知：)cos()()(t t f t g =，根据傅立叶变换的调制性质，有

)]}

1([)]1([{21

)(++-=ωωωj F j F j G ，B 点信号的频谱如图A-11(b)所示。

因为：)()()()()(3ωωωωωg j G j H j G j Y ==，很显然，只有

5.1<ω范围的频率分量才

可以通过系统。C 点信号的频谱如图A-11(c)所示。

ω

ω

(a) (b)

ω

(c)

图A-11

5．解：

系统的零点为：0=z ；极点为：5.0=z ，零极点图如图A-12(a)所示。 由于极点在单位圆内，因此，系统的频率响应为：

5.0)()(-==Ω

Ω

=Ω

Ω

j j e z j e e z H e H j

系统的幅频响应为：

2

12

)]2/(sin 225.1[1

5

.0)(Ω+=

-=ΩΩ

Ω

j j j e e e H ，如图A-12(b)所示。

)

z

(a) (b)

图A-12

显然是一个低通滤波器。

四、计算题（共62分）

1．（8分）解：由列表法可得：

??

????--=↓

0,0,2,6,4,1,0,11,6)(k x

2．（8分）解：设)()(t t f δ=，得系统单位冲激响应)(t h 满足的微分方程为： )(2)()(2)(3)(t t t h t h t h δδ+'=+'+''

对上述微分方程取单边拉普拉斯变换，得

2)()23(2+=++s s H s s

整理，得系统函数为：

11

)2)(1(2232)(2+=

+++=+++=s s s s s s s s H ，取单边拉普拉斯逆变换，得系统单位冲激响应为：)()(t e t h t

ε-=

当输入为：)()(3t e

t f t

ε-=时，系统的零状态响应为

??>--∞

∞

------=-===0

4)(33)()()(*)()(*)()(t t t t t zs d e e d t e e t e t e t h t f t y τ

ττετεεετττ

)

()(41

)41(50

04t e e e e t t t t

ετ-->---=-=

3．（8分）解：（1）设输入端求和器的输出为：)(s X ，对于输入端求和器，有

)()()()(2s H s Y s E s X += (1)

对于输出端求和器，有

)()](1[)(1s X s kH s Y -= (2)

由式（1）和（2）消去中间变量)(s X ，得

2)()](1[1)(1)()

()(211=---==

s H s kH s kH s E s Y s H

整理，得

)](1[2)

(1)(112s kH s kH s H -+=

(3)

将

31

)(1+=

s s H 代入式（3），得

)3(23)(2k s k

s s H -+++=

（2）由于系统函数的极点为：

3-=k s p ，为了使系统稳定，系统极点应该在s 左半平面，

即要求：03<-k ，因此，3

（1）由图可知，系统函数为：

54)

3()2)(2()3()(2

++-=++-+-=

s s s k j s j s s k s H

因为：

532.1)0(k

H -=

-=， 即2=k ，所以得系统函数为： j s j

j s j j s j s s s s s s H ++-+

-++=++-+-=++-=251251)2)(2()3(254)3(2)(2

对上式取单边拉普拉斯逆变换，得系统单位冲激响应为：

)(])51()51[()()2()2(t e j e j t h t j t j ε+----++= )()5cos(2622t arctg t e t ε+=-

（2）由于

)()

(54)3(2)(2s F s Y s s s s H =

++-=，所以有 )(6)(2)(5)(4)(2s F s sF s Y s sY s Y s -=++ 由单边拉普拉斯变换的微分性质，得系统输入输出微分方程为：

)(6)(2)(5)(4)(t f t f t y t y t y -'=+'+''

（3）

ωωωωω

4526)()(2j j s H j H j s +-+-=

==

当激励)()3cos()(t t t f ε=时，系统的稳态响应为：

)()]3(3cos[)3()(t t j H t y ss ε?+=

因为：

)

4/3(arctan 5103

12466)3(π-=+-+-=

j e j j j H ，代入上式，得

)()43arctan 3cos(5103)(t t t y ss επ

-+=

5．（15分）解：

（1）由图可得：

)(21)()(11

1z X z z X z X -+

=，即

)

(2

1

)(1z X z z z X -=

(1)

因为：

)(41)()(21

2z X z z X z X -+

=，即

)

(4

1

)(12z X z z z X -=

(2)

式（1）代入式（2），得

)

()

2

1)(41()(2

2z X z z z z X --=

(3)

又因为：

)

()31

1()(31)()(21212z X z z X z z X z Y --+=+= (4)

式（3）代入式（4），可得

)()

21)(41()

31()(z X z z z z z Y --+=

由系统函数的定义，有

)

21)(41()

31

()

()()(--+=

=z z z z z X z Y z H

（2）因为：2

11

11181431311)211)(411(311)21)(41()31()

()()(------+-+=

--+=--+==z z z z z z z z z z z X z Y z H

所以，有

)(31

)()(81)(43)(121z X z z X z Y z z Y z z Y ---+=+-

在零状态条件下，由单边Z 变换的位移性质可得系统的输入输出差分方程为：

)1(31

)()2(81)1(43)(-+=-+--

n x n x n y n y n y （3）因为：

413721310)21)(41()

31()(-

-

-=--+=z z z z z z z z z H 由：

a z z

n a n -?

)(ε可得系统的单位样值响应为 )

(])41

(37)21(310[)(n n h n n ε-=

6．（10分）证明：因为单位门信号的傅立叶变换对为：)

2(

)(ωτ

τSa t g ?，由傅立叶变换

的对称性可知：

)(2)(2)2(

ωπωπτ

ττg g t Sa =-?。设2=τ，则有：)(2)(2ωπg t Sa ?。由Parsval 定理，可得：

π

ωπωωπωωππ

42)]([2)](2[21)(1

1

22222====

???

?

-∞

∞

-∞

∞

-∞

∞

-d d g d g dt t Sa

北京邮电大学2005年硕士研究生入学考试试题

考试科目：信号与系统

1. （8分）已知信号)(t f 的波形如图A-1所示，画出)()1()(11t t f t y -+=ε和

)35()(22t f t y -=波形。

图A-1

2. （5分）系统如图A-2所示，画出)(),(21t f t f 和)(3t f 的图形，并注明坐标刻度。

图A-2

3. （7分）已知)(1t f 和)(2t f 的波形如图A-3，试分别写出卷积)()()(21t f t f t f *=的表达

式，并画出)(t f 的波形。

图A-3

4. （5分）计算卷积和：)()()(n h n x n y *=，其中)

()21

()(n n x n ε=，)(n h 如图A-4所示。

图A-4

5. （5分）系统1是一个)()()(1t e t t h t

εδ--=的高通RC 电路，系统2是一个)

()(2t e t h t

ε-=的低通滤波器。

（a ）求它们并联的冲激响应

)(t h p

（b ）求系统1与系统2串联的冲激响应)(12t h

6. （5分）若图A-5所示信号)(t f 的傅立叶变换为：)()()(ωωωjX R j F +=，求)(t y 的傅立叶变换)(ωj Y 。

图A-5

7. （10分）考察周期T=2的连续时间周期信号)(t x ，傅立叶级数系数n F 如下，求)(t x 的傅立叶级数表达式。

;5,5;2

)3(,2;1055130===

==-F F F F π

ω?0

=n F ，other n

8. （10分）设

??

?≤≤=-elsewhere t e t x t ,01

0,)(，利用傅立叶变换性质和灵活方法，求)(t x 的傅立叶变换（不用傅立叶变换定义直接求）。

9. （10分） 稳定的因果LTI 系统输入输出关系由下列微分方程确定

)

(2)(8)

(6)(22t x t y dt t dy dt t y d =++

（a ）求系统的冲激响应)(t h ；

（b ）求系统的频率响应函数)(ωj H ；

（c ）当输入

)()(2t e t x t

ε-=时，计算输出)(t y 10. （5分）图A-6所示两个带限信号)(1t f 和)(2t f 的乘积被一周期冲激序列)(t p 抽样，其中)(1t f 带限于1ω，)(2t f 带限于2ω，即

221

1,0)(,

0)(ωωωωωω>=>=F F

确定通过理想低通滤波器可从

)(t f p 中恢复)(t f 的最大抽样间隔T 。

图A-6

11. （5分）若某系统输入信号为)()()(0t t t t e δε+-=，输出信号为 )10(2)10(2)(0-+--=t t t t r δε

此系统是否为无失真传输系统，说明理由。

12. （15分）连续时间LTI 系统输入)(t x 与输出)(t y 关系由下列微分方程确定

)()(2)

()(22t x t y dt t dy dt t y d =--

（a ）确定系统的传输函数)(s H

（b ）画出)(s H 的零极点图

（c ）对于所有可能的收敛域（ROCs ）情况，求满足以下各条件的每个系统的冲激响应)(t h ： （1）系统是稳定的；（2）系统是因果的；（3）系统既不稳定也不是因果系统的。

13. （15分）图A-7所示RLC 电路实现的连续时间LTI 系统，系统的输入为电压源)(t x ，电路中的电流)(t y 作为系统的输出。 （a ）画出这个系统的s 域模型图； （b ）求系统的系统函数)(s H

（c ）如果mH L 10=，F C μ100=和Ω=1R ，确定系统是衰减振荡，临界振荡还是不振荡。

图A-7

14. （15分） 时间离散系统如图A-8所示 （a ）写出系统的差分方程式； （b ）求系统函数)(z H ；

（c ）求系统的单位样值响应。

图A-8

15. （15分）时间离散LTI 系统由下列差分方程描述：

)]

1()([21

)(-+=k x k x k y （a ）确定系统的频率响应函数)(ω

j e H 和单位样值响应)(k h ；

（b ）求幅频特性

)

(ωj e H 的表达式；

（c ）画出幅频特性图ω

ω~)(j e H 。

（d ）根据幅频特性图，确定系统是低通、高通还是带通。

16. （5分）“一个信号)(t f 不可能既是时间有限信号（即0)(=t f 当

τ>t ）又是频率有

限信号（0)]([=t f F 当σ

ω>）”是信号分析中的基本常识之一。请举两方面的例子论述。 17. （5分）确定下列系统是因果还是非因果、时变还是非时变，并证明你的结论。

)

)(1

cos()5()(t x t t y +=

18. （5分）已知状态方程的矩阵

??????-=1021A ，求状态转移矩阵（矩阵指数）t e A 。

参考答案：

1．(8分)解：

)()1()(11t t f t y -+=ε和)35()(22t f t y -=的波形分别如图A-9(a)、(b)所示。

)(t y t

(a) (b)

图A-9

2．（5分）解：

因为)()()(1T t t t f --=δδ；)

()()()(12T t t d f t f t

--==?∞

-εεττ；

)()()2()()2()(23T t t T t t f T t t f --+-=+-=εεδδ，因此，其波形分别如图A-10(a)、

(b)、(c)所示。

(a) (b) (c)

图A-10

3．（7分）解：

因为)1()()(1--=t t t f εε；)]1()3([2)(2+-+=t t t f εε。由时域卷积的微积分性质和时移性质，有

)]1()3([*)]1()([2)(*)()(*)()(2)1(121+-+--='==-t t t r t r t f t f t f t f t f δδ

)]()1()2()3([2t r t r t r t r ++-+-+=

)]()1()1()2()2()3()3[(2t t t t t t t t εεεε+++-++-++=

??????

?<<---<<--<<-+>-<=01,

212,

223),3(20,3,

0t t t t t t t 其波形如图A-11所示。

t

图A-11

4．（5分）解：

因为)1()()(--=n n n h δδ，因此有

)

1()21

()()21()]1()([*)()21()(*)()(1--=--==-n n n n n n h n x n y n n n εεδδε

??

??

??---=↓ ,5.0,5.0,5.0,132 5．（5分）解： (a)

)()()()(21t t h t h t h p δ=+=

(b) )(*)()()(*)]()([)(*)()(2112t e t e t e t e t e t t h t h t h t

t

t

t

t

εεεεεδ------=-==

??>--∞∞

------=-?-=0

)()()()()(t t t t t d e t e d t e e t e τ

εττετεεττ

)()1()()(t t e t te t e t

t

t

εεε-=-=---

6．（5分）解：因为

)

4()]4()([41

)4()]()4([41)(-+--+++-+-='t t t t t t t y δεεδεε )4()4()]4()4([41

)(21--++-++-=t t t t t δδεεε )

4()4()]4()4([41

)(21)(-'-+'+-++-=''t t t t t t y δδδδδ

设)()(ωj Y t y ?，根据傅立叶变换的微分性质和时移性质，有

)4sin(2)4cos(21

21)(][4121)()(44442ωωωωωωωωωω--=-++-=

--j j j j e e j e e j Y j )4sin(2)2(sin 2

ωωω-= 整理，得

)

2(4)4(8)

2(sin )

4sin(2)(22

2ωωωωω

ωωSa Sa j Y -=-

=

7．（10分）解：因为：2

32π

j

e F --=，2

32π

j

e F =，55=-F ，55=F ，100=F ，基波角频

率：π

πω==T 20。根据指数形式傅立叶级数展开式：∑∞

-∞==n t jn n e F t f 0)(ω，得

][2)(510)()2/3()2/3(55ππππππ++--++++=t j t j t j t j e e e e t x

)2/3cos(4)5cos(1010πππ+++=t t

8．（10分）解：因为)1()()]1()([)()

1(1

-?-=--=-----t e

e t e t t e t x t t

t

εεεε，又因为：

ωεj t e t

+?

-11)(，由傅立叶变换的时移性质可得：

ωεωj e t e j t +?----1)1()

1(。根据傅立叶变换的线性性质，有

]1[11

)()1(ωωωj e j j X +--+=

9．（10分）解：

(a) 在零状态条件下，对系统输入输出微分方程取单边拉普拉斯变换，得 )(2)()86(2s x s Y s s =++

由系统函数定义，有

41

21)4)(2(2862)()()(2+-

+=++=++==

s s s s s s s X s Y s H

对上式取单边拉普拉斯逆变换即得系统的单位冲激响应为：

)()()(42t e e t h t

t ε---= (b) 由于系统的两个极点－2和－4全部在S 左半平面，因此，收敛域包含了ωj 轴，因此，

系统的频率响应函数为：

ωωωω682

)()(2j s H j H j s +-=

==

(c) 因为

21)()()(2+=

?=-s s X t e t x t ε，因此，42

)()()(+=

=s s H s X s Y ，取单边拉普拉斯逆变换，得系统响应为：)(2)(4t e t y t

ε-=。

10．（5分）解：因为)()()(21t f t f t f =，

∑∞

-∞

=-=

=n p nT t nT f t p t f t f )

()()()()(δ，又因为：

∑∞

-∞

=-=n s

s

n j P )

()(ωωδωω，因此，由傅立叶变换的频域卷积性质，有

∑∞

-∞=-==n s p n j F T j P j F j F )]

([1)(*)(21)(ωωωωπω

又因为：)

(*)(21

)(21ωωπωj F j F j F =，因此，)(ωj F 的最高频率为：21ωωω+=m ，根

据采样定理可知：最大采样间隔应为：

s T m 21ωωπ

ωπ+=≤

11．（5分）解：因为：1

)()()()(0

0+=?+-=-s e s E t t t t e st

δε

s

t s e s e s R t t t t r 10)

10(022)()10(2)10(2)(0

-+-+=?-+--=δε

由系统函数定义可得：s

e s E s R s H 102)()

()(-==，令ωj s =得系统的频率响应为：

ωω102)(j e j H -=。很显然，系统的幅频响应2)(=ωH 是一个与频率无关的常数，相位

ωω?10)(-=为线性相位，因此，该系统是一个无失真的传输系统。

此外，也可从时域来分析：因为：)10(2)(-=t e t r ，即输出信号仅仅是输入信号的延迟，

波形并没有发生变化，因而是无失真传输系统。 12．（15分）解：

(a) 在零状态情况下，对系统微分方程取单边拉普拉斯变换，得 )()()2(2s X s Y s s =--

由系统函数的定义，有

)11

21(31)2)(1(121)()()(2+--=-+=--==

s s s s s s s X s Y s H

(b) )(s H 的零极点如图A-12所示。

图A-12

(c) (1)：系统是稳定的，则收敛域包含虚轴，且所有极点应在S 左半平面。由于极点2

=p s 在S 右半平面，因此需要对其进行变换，即记

2131)(1-=

s s H ，则21

31)(1+-

=-s s H ，

所以有：)(31)(21t e t h t ε--=-，即)

(31

)(21t e t h t --=ε，因而有：

)

(31

)(31)(2t e t e t h t t εε----=。

（2）系统是因果的，则收敛域应为2>σ，所以有：

)

()(31

)(31)(31)(22t e e t e t e t h t t t t εεε---=-=。

（3）系统不稳定也非因果，则收敛域1-<σ，且极点全部在S 右半平面。因为极点

1-=p s 在S 左半平面，因此需要对其进行变换，即记11

31)(2

+-=s s H ，则

1131)(2-=-s s H ，所以有：)(31)(2t e t h t ε=-，即：)

(31

)(2t e t h t -=-ε，从而得： )

()(31

)(31)(31)(22t e e t e t e t h t t t t -+-=-+--=--εεε。

13．（15分）解：因为：

dt t dy L t u L )

()(=；dt t du c t y c

)()(=，取拉普拉斯变换，得 )()(s sLY s U L =；)()(s scU s Y c =，即)

(1

)(s Y sc s U c =。

(a) 系统的S 域模型如图A-13所示。

(b) 由图A-13可得：)()()1

(s X s Y sc sL R =+

+，因此，系统函数为：

Lc L sR s L

s Rcs Lcs sc sc sL R s X s Y s H /1//111)

()()(22++=

++=+

+==

图A-13

(c) 将H mH L 01.010==、

F F c 4

10100-==μ、Ω=1R 代入)(s H ，可得

997500)50(10010100100)(262++=

++=

s s

s s s s H

)3995050)(3995050(100j s j s s

++-+=

很显然，系统有一对共轭复极点：j s

39950502

,1±-=，因此，系统是振荡的。又由于共

轭极点的实部为负数，因此，系统是衰减振荡的。 14．（15分）解： (a) 由图可得：

)

()81

43()()311()(211z Y z z z X z z Y ----++=

整理得：

)()31

1()()81431(121z X z z Y z z ---+=+-

(1)

根据单边Z 变换的位移性质，得系统的差分方程为

)1(31

)()2(81)1(43)(-+=-+--

n x n x n y n y n y

(b) 由式（1）可得系统函数为

)2/1)(4/1()3/1()8/14/3()3/1(81431311)()()(2211

--+=

+-+=+-+==---z z z z z z z z z z z z X z Y z H (c) 因为

4/1372/1310)2/1)(4/1()3/1()(--

-=--+=z z

z z z z z z z H ，取单边Z 逆变换，可得系统的单位样值响应为：)

(])41

(37)21(310[)(n n h n n ε-=

15．（15分）解：

(a) 在零状态情况下，对系统的差分方程取单边Z 变换，得

)

()1(21

)(1z X z z Y -+=

因此，系统函数为:

z z z z X z Y z H 21)1(21)()()(1+=+==

-，0>z

由于收敛域包含单位圆，因此，系统的频率响应为：

ωω

ω

ω

j j e z j e e z H e H j 21)()(+=

==

对系统函数：)

1(21

)(1-+=z z H ，取单边Z 变换，可得系统的单位样值响应为

)]

1()([21

)(-+=n n n h δδ

(b)

)2cos(21)(ωω

ωω

=+=j j j e e e H ，πω≤ (c) 幅频特性如图A-14所示。

图A-14

(d) 由幅频特性图可知，该系统是低通滤波器。 16．（5分）解：

（1）比如单位冲激信号)(t δ是时间有限信号，但其频谱是无限的； （2）又比如频率有限信号)()(2ωωωc g j F =，其时域形式：

)()(t Sa t f c c

ωπω=

是时间无

限的。

17．（5分）解：

?

??

???+=)(1cos )5()(t x t t y 是因果时变系统，理由如下： （1） 因为系统输出)(t y 只和当前的系统输入有关，因此是因果系统。 （2） 设

???

???+=→)(1cos )5()()(t x t t y t x ，则有 )()(1cos )5()(τττ-≠?

??

???-+→-t y t x t t x ，因此是时变系统。

18．（5分）解：

A 的特征方程式为：

)1)(1(1

2

1

=+-=+--=

-λλλλλA I

则其特征值可求得为11=λ，12-=λ。由于A 是一个二阶方矩阵，具有两个特征值，因此，设

A I A 10a a e t +=

将特征值分别代入上式，可得：10a a e t

+=，10a a e

t

-=-。解得：

)(210t t e e a -+=，)

(21

1t t e e a --=

所以

???

???-=-++=----t t t t t

t t t t

e e e e e e e e e

)(21)(21A I A