反常积分的计算
计算反常积分的步骤
计算反常积分的步骤
计算反常积分的步骤如下：
1. 确定积分的区间：确定要计算的积分的区间，即积分的下界和上界。
2. 确定积分的形式：根据问题的要求，确定要计算的反常积分的形式，分为无穷积分和间断积分。
3. 无穷积分的计算：
a. 确定无穷积分的类型：判断是无穷限积分还是无穷级数，
并确定无穷限积分的类型（上无穷大、下无穷大或两者都是）。
b. 做变量替换：对于某些无穷积分，可能需要进行变量替换
来简化计算。
c. 分段处理：对于某些无穷积分，可以将其分为几个有界区间，然后分别计算每个区间的积分。
d. 计算极限：计算积分的极限值（如果存在）。
4. 间断积分的计算：
a. 确定间断积分的类型：判断是第一类间断积分还是第二类
间断积分，并确定间断点的位置。
b. 做分部积分：对于某些间断积分，可能可以通过分部积分
法来计算。
c. 分段处理：对于某些间断积分，可以将其分为几个有界区间，然后分别计算每个区间的积分。
d. 计算极限：计算积分的极限值（如果存在）。
5. 检查收敛性：对于反常积分，需要检查其是否收敛，即是否存在有限的积分值。
可以使用柯西收敛准则或其他收敛性判别法来判断是否收敛。
6. 计算积分值：如果反常积分收敛，计算其积分值，可以使用数值积分方法、泰勒展开等方法进行计算。
注意：在计算反常积分时，需要注意积分的收敛性和发散性，以及是否存在某个有界区间上的间断点。
同时，需要根据具体情况选择适当的计算方法。
反常积分计算
反常积分计算数学中的一个非常有趣的计算是反常积分，下面举一些例子。
例1：反常积分，如：求：“ 1/2”加上两倍后为“ 3/2”，那么原来的两倍是多少呢？即：“ 3/2”+2倍＝3/2( 1)例2：已知三个值，分别为5， 4， 8。
求：“ 5+4+8”＝？(一般不用这个)( 2)已知： 1/5，1/10， 1/20，求：这四个量之间的关系？(3)已知： 0、 2、 0、 2、2、求： 0与其他量之间的关系。
1。
已知：分数值为5，那么它的倒数为几？ 2。
已知：函数值为10，那么这个函数的图像与x轴的交点个数为几个？ 3。
已知：正方形的边长为2，那么它的面积为多少？ 4。
已知：比2： 4少了24的数为5，那么4： 8的值是多少？ 5。
已知：“ 7/6”和“ 7/8”相差多少？ 6。
已知： 1/10和1/20之间的关系？ 7。
已知：“ 1”和“ 5”之间的关系？ 8。
已知：不规则图形面积为27平方米，那么它的边长为多少？ 9。
已知：直线比射线多1厘米，射线长为多少？ 2。
已知：“ 1”和“ 5”之间的关系。
4。
已知：正方形的边长为2，那么它的面积为多少？ 5。
已知：比2： 4少了24的数为5，那么4： 8的值是多少？ 6。
已知：“ 7/6”和“ 7/8”相差多少？ 7。
已知： 1/10和1/20之间的关系？ 8。
已知：“ 1”和“ 5”之间的关系？ 8。
已知：“ 1”和“ 5”之间的关系？ 3。
已知：反常积分的意义是什么？我会计算“ 5+4+8”，如果能熟练掌握反常积分的计算，对于学习高年级数学将是非常有用的。
已知： 2/3的倒数为2/3，则3/2的倒数为多少？已知： 9的三次方， 3的立方和2的八次方的值分别为27， 62， 48，那么6的六次方和3的四次方的值分别是多少？已知： 9的三次方， 3的立方和2的八次方的值分别为27， 62， 48，那么6的六次方和3的四次方的值分别是多少？4。
已知：不规则图形面积为27平方米，那么它的边长为多少？5。
反常积分常用的计算公式
反常积分常用的计算公式在数学中，积分是一种非常重要的运算，它在求解曲线下面积、求解定积分、求解不定积分等方面都有着广泛的应用。
而在积分的计算中，反常积分是一种特殊的积分形式，它在一定范围内无法求解的情况下，需要通过特定的计算公式来求解。
本文将介绍反常积分常用的计算公式，并对其应用进行详细的讲解。
首先，我们来看一下反常积分的定义。
反常积分是指在积分区间上存在无穷限的积分，或者被积函数在积分区间上有无穷大的间断点的积分。
反常积分分为两类，第一类是无穷限的反常积分，第二类是间断点的反常积分。
对于这两类反常积分，我们都可以通过特定的计算公式来求解。
对于第一类无穷限的反常积分，常用的计算公式有以下几种：1. 收敛的无穷限反常积分。
对于收敛的无穷限反常积分，我们可以使用以下计算公式进行求解：\[ \int_{a}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} f(x) \, dx \]其中，\( f(x) \) 是被积函数，\( a \) 是积分下限。
这个公式的意义是将积分区间扩展到一个无穷大的范围，然后求解极限值，从而得到无穷限反常积分的结果。
2. 发散的无穷限反常积分。
对于发散的无穷限反常积分，我们可以使用以下计算公式进行求解：\[ \int_{a}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} f(x) \, dx \]但是需要注意的是，如果极限值不存在或者为无穷大，那么这个反常积分就是发散的，无法求解出具体的结果。
接下来，我们来看一下第二类间断点的反常积分，常用的计算公式有以下几种：1. 无穷间断点的反常积分。
对于无穷间断点的反常积分，我们可以使用以下计算公式进行求解：\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a}^{b-\epsilon} f(x) \, dx + \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{b+\epsilon}^{a} f(x) \, dx \]其中，\( f(x) \) 是被积函数，\( a \) 和 \( b \) 分别是积分区间的下限和上限。
7反常积分——反常积分的概念和计算
7反常积分——反常积分的概念和计算反常积分是微积分中的一个重要概念，是对一些函数在一些区间上的积分进行无穷求和的过程。
与定积分不同，反常积分是对未能被定积分求解的函数进行求解的方法，常见于一些函数在一些点上无界或不连续。
本文将详细介绍反常积分的概念和计算方法。
一、反常积分的概念反常积分是对一些在一些点不连续或无界的函数进行积分求解的方法。
在实际应用中，我们常遇到一些函数在一些点附近出现无穷大的情况，或者在其中一点上不连续的情况，这时就需要用到反常积分进行求解。
具体来说，反常积分可以分为以下两种情况：1.类型一：函数在积分区间其中一点附近无界的情况。
设函数f(x)在区间(a,b]上有定义，且x=b是f(x)的发散点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = lim┬(t→b)〖∫[a,t] f(x)dx〗即求解函数在区间[a,t]上的定积分，然后将t无限趋近于b来求解该反常积分。
2.类型二：函数在积分区间其中一点不连续的情况。
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，且x=c是f(x)的不连续点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = ∫[a,c) f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx即将不连续点c拆分成两个积分区间，在每个区间上分别求解定积分，然后求和。
需要注意的是，反常积分只在函数在一些点附近出现无界或不连续时才有意义。
如果函数在积分区间上连续且有界，那么反常积分与定积分是等价的。
二、反常积分的计算方法对于类型一的反常积分，我们可以通过以下几种方法进行计算：1.无界函数的积分计算当函数f(x)在x=b附近无界时，我们可以通过计算一个足够大的正数M，使得对于任意t>b有，f(x)，<M。
然后计算定积分∫[a,t] f(x)dx，再令t无限趋近于b，即可求得反常积分的值。
2.函数在无穷远点（正无穷和负无穷）处的积分计算如果函数在正无穷远点处无界且不连续，可以将反常积分转化为辐角积分的形式。
反常积分的计算方法
反常积分的计算方法反常积分是求解某些积分时需要采用的一种特殊方法，它是指被积函数在某一区间上无法定义的积分。
在反常积分的求解过程中，一些数学定理和技巧被广泛应用。
下面，我们将介绍一些反常积分的常见计算方法。
方法一：分部积分法对于一些形如$∫u(x)v'(x)dx$ 的积分，我们可以采用分部积分法进行求解。
此时，我们需要对被积函数做出适当的分解，使得积分表达式易于计算。
例：$∫lnx dx= xlnx - x + C$此式中，我们采用分部积分法，将 $lnx$ 分解为 $u(x)$，$1$ 分解为 $v'(x)$。
然后，我们可以用求导法和幂函数积分法求解出 $u(x)$ 和 $v(x)$。
方法二：换元法在某些情况下，我们可以使用换元法来简化被积函数的形式，进而使计算更为简便。
换元法的核心思想是将被积函数转化为形式更简单的函数。
例：$∫\frac{1}{1 + x^2}dx$此时，我们可以采用$x = tanθ$ 来进行换元。
这样，我们可以将 $\frac{1}{1 + x^2}$ 转化为 $\frac{cosθ}{sin^2θ +cos^2θ}$ 的形式，然后用三角函数的积分公式进行计算。
方法三：极限求解法对于一些反常积分，我们采用传统的解析方法难以求解。
此时，我们可以使用极限求解法。
基本思路是将被积函数化为某个函数在某一点附近的收敛级数，进而推导出反常积分的值。
例：$∫_0^1\frac{1}{lnx}dx$此式中，我们采用极限求解法，将被积函数变形成为$\lim_{n→0+}∫_n^1\frac{1}{lnx}dx$。
然后，我们对被积函数积分，得到其收敛级数为$∑_{k=2}^∞(-1)^{k+1}\frac{(ln(1/n))^k}{k!}$，然后推导极限值为 $-γ$，其中$γ$ 是欧拉常数。
总之，反常积分的计算方法有多种，采用不同的方法可以经过简单变形，使得积分表达式变得更加容易计算，求解过程也更为快捷高效。
第五节反常积分
任意的 0 ， f 在[a ,b]上 Riemann 可积，则称
lim b f (x)dx 为无界函数 f 在 (a,b] 上的积分，记作
0 a
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a
0 a
若极限 lim b f (x)dx 存在，则称无界函数 f 在 (a,b] 上的积分收 0 a
aar li c x m a t a r应 cnx ta 0 a 理 n x bl li 解 m m a a r r为 cc xx t tb a 0 xl an im n a rc x.tan
lim (0ara c) tla im (narb c0 )tan
a
b
0()0.
22
b
此 极 限 .故 不 f存 (x)dx 在 是 发 的 ,上 散面 说.法
例 2．计算反常积分
1
1 x
2
dx
.
简 解 ：a l: i m 解 1 1 a 0 11 x1 x 21 2 dx d x2 x d x a 0b l1 ir 1m xx 20 b c d 1 x 1 x t2 2 d 0a x ( 1 n 12 x) 2 dx .
例
3.计算
e
x
1 ln
dx x
.
解：
e
1 x ln
dx x
e
1 d(ln ln x
x)
lnlnx , e
故原反常积分发散.
反常积分和常义积分计算方法相同，反常 积分代限有三句话：“能代则代之，代不了则 取极限，极限不存在则积分发散.”
例 4.讨论反常积分
a
dx xp
(a
0)
的敛散性.
反常积分计算
反常积分计算昨天我的老师上了一堂“反常积分计算”，他主要是说用反常积分计算。
在那堂课里他让我们理解了许多关于反常积分计算的原理和概念，让我明白了为什么反常积分计算会很复杂。
但它也让我从中学到了很多知识，接下来就让我为你讲讲吧！首先我们来讲一下什么是反常积分计算。
当y趋向于无穷大时，dx^2y=0；当x趋向于无穷小时， dy=1。
而这个原理其实也很简单，就是说，如果我们将某个函数f(x)写成f(x) =dx^2y，当x越来越大，这个函数值就变得越来越小，而当x越来越小，这个函数值就越来越大。
其实反常积分计算的根本原因就是上面的这个道理，反常积分计算的目的也是通过变形使得这个函数值的改变跟x趋近于无穷大时函数值的改变相反。
还有就是用这个方法去解决比较难的积分。
反常积分计算是应用于比较高阶的微积分，比如在数列或者复数函数的极限等方面。
就像数列的求导或者对复数求导之类的，需要做出很繁琐的步骤，但是最后的结果是一样的。
这些其实都是反常积分计算的一个应用。
就像求数列和求复数的导数其实都是反常积分计算的应用。
还有反常积分计算的另外一个重要应用就是解析几何。
所以我们要做好一切准备工作，特别是针对我们这些还没学过反常积分计算的同学，我们要先找到有什么办法可以计算反常积分计算。
然后我们要把有什么反常积分计算的方法弄清楚。
比如无穷级数的收敛性问题、反常积分计算与无穷级数收敛性的区别，解析几何的有关问题等等，这些我们都要先搞懂。
还有，我们还要做好相关资料的搜集，像课本上的积分表、定理表、一些反常积分计算的例题，甚至是书上的练习题，只要能够帮助我们提升的都要做好。
比如一些求极限的资料，比如用到幂级数、解析几何、韦达定理之类的都要积累起来。
因为我们会发现，其实反常积分计算和无穷级数是密不可分的，我们在做反常积分计算的时候，很多地方都是通过无穷级数的方法来求解的。
所以我们一定要准备好这两种方法，而且要知道两者的区别。
不过现在好像对我们也不太管用，毕竟我们都没有学过无穷级数。
反常积分
、无穷限的反常积分定义1设函数f(x)在区间［a 、*c )上连续、取b>a .如果极限協f f(x)dx存在、则称此极限为函数f(x)在无穷区间［a 、讼)上的反常积分、记作这时也称反常积分 ^f (x)dx 收敛.如果上述极限不存在 ,函数f(x)在无穷区间［a *母)上的反常积分称反常积分［气(x)dx 发散.类似地、设函数f(x)在区间(壬b ］上连续、如果极限li ^f f(x)dx (a<b)存在*则称此极限为函数f(x)在无穷区间(严b ］上的反常积分，记作Lf(x)dx=lim jf(x)dx .一 a ^^-cC这时也称反常积分 ［f (x)dx 收敛，如果上述极限不存在、则称反常积分，仁f(x)dx 发散.设函数f(x)在区间(比*他)上连续 '如果反常积分(x)dx 和 广f(x)dx0(X )dx = (x)dx + 0^ (x)dx=a ^f f(x )dx+b i^ff (x)dx .这时也称反常积分 R f (x)dx 收敛.定义1连续函数f(x)在区间［a 、母)上的反常积分定义为 -beb a f (x )dx =b li ^^a f(x)dx .在反常积分的定义式中、如果极限存在、则称此反常积分收敛；否则称此反常积分发散反常积分]f(x)dx 、即 广｝(x)dx 就没有意义、此时 a (x)dx .即 都收敛、则称上述两个反常积分的和为函数Jf(x)dx 、即f(x)在无穷区间(皿、七C )上的反常积分 、记作如果上式右端有一个反常积分发散.则称反常积分 Lc f (x)dx 发散. f(x)dx .a ■f(x)dx类似地，连续函数f(x)在区间(N'b］上和在区间(7扫C)上的反常积分定义为b b£j(x)dx=a坚」f(x)dx ..◎(x)dx=^f f(x)dx+b^f f(x)dx.反常积分的计算：如果F(x)是f(x)的原函数、则广f (x)dx f (x)dx (x)］b= lim F(b)—F(a) = lim F(x)—F(a). b T 说一-be可采用如下简记形式：a f(x)dx 斗F(x)］产=邺』(为—F(a).D (x)dx W F (x)］2=F (b)-町F (x)、类似地©(x)d xWF(x)］虽职F(x)-坠F(x).1计算反常积分J11严x12dx 4arctan x］益1 +x2N=lim arctanx — lim arctanx说x—2=2)例2计算反常积分0 te^dt (p是常数、且p>0)./I解0 te^dt斗JteT t dt］产=［」Jtde卡七］严P4 -1t^ ^t+1［e^dt］严P P ‘=［-珂匕-^e^t］产p P..r 1 . _pt 1 -pt, + 1 1提不：lim te 』t=iim -^p^^lim 1pt .t T 誌 t T 丈ce pt J 七upe Pt例3讨论反常积分a pdx (a>0)的敛散性. X解 当 p=1 时、［笃dx =［垃Idx =［1 nxlO ^J^Hc a x p 'a X当p<i 时* r^^dx ^占£4］严=乜当P >1时' 广X p dxm 吉严］严=討. 因此、当P>1时、此反常积分收敛、其值为归；当P 兰1时、此反常积分发散.px二、无界函数的反常积分定义2设函数f(x)在区间(a .b ］上连续r 而在点a 的右邻域内无界lim f f (x)dx t —j a存在、则称此极限为函数f(x)在(a, b ］上的反常积分 '仍然记作f fgdxff (x)dx=tlim +f f (X )dX .这时也称反常积分 ff(x)dx 收敛.如果上述极限不存在 r 就称反常积分a f(X)dX 发散.类似地 '设函数f(x)在区间［a*b)上连续.而在点b 的左邻域内无界lim a f (x)dx存在、则称此极限为函数f(x)在［a 、b)上的反常积分、仍然记作f fgdxf fgdx 器」f (x)dx.这时也称反常积分 f f (x)dx 收敛.如果上述极限不存在*就称反常积分设函数f(x)在区间［a*b ］上除点c(a<c<b)外连续 '而在点c 的邻域内无界.如果两个反常积分a f (x)dx 与 C f (x )dx都收敛r 则定义a f(X )dX = jCf(X )dX +Cf(X )dX .否则r 就称反常积分ff(x)dx 发散.瑕点：如果函数f(x)在点a 的任一邻域内都无界、那么点a 称为函数f(x)的瑕点、也称为无界定义2'设函数f(x)在区间(a ,b ］上连续 '点a 为f(x)的瑕点.函数f(x)在(a,b ］上的反常积分定 义为、即 .取s >0 *如果极限f f (x)dx=tlim J f (x)dx .在反常积分的定义式中、如果极限存在、则称此反常积分收敛；否则称此反常积分发散类似地函数f(x)在［a、b)(b为瑕点)上的反常积分定义为a f (x)dx =t lim { f (x)dx .函数f(x)在［a、c)2(c *b］ (c为瑕点)上的反常积分定义为f f(x)dx=tlim a f (x)dxf(x)dx .反常积分的计算：如果F(x)为f(x)的原函数 '则有f f(x)dx=^J f (x)d^Jim^F (x)］^=F(b) -lim+F(t) =F (b) -观f (x).可采用如下简记形式：a f (x)dx (x)]a =F (b) —x im+F (x).类似地r有af(x)dx=[F(x)]a=j^_F(x)-F(a)、a 为瑕点时Jf(x)dx=[F(x)]a=F(b)—xl^』(x)；b 为瑕点时』f(x)dx=[F(x)]a=IM_F(x)—F(a).c (a<c<b )为瑕点时rf f (x)dx = j f (x)dx + f f (x)dx 斗Jim_F(x) —F (a)] +[F (b)—起/ (x)].例4 计算反常积分『『1 dx .0J a2—/解因为E点a为被积函数的瑕点•f 石匕dx ^rcSin a 0 P m 3cSin a-^2-例5讨论反常积分f 4rdx 的收敛性.」x 2解函数于在区间［_1 J ］上除xM 外连续 '且 lim —2 由于 h^dx^-IXlA^l-X ）—仁*C 、即反常积分12 dx 发散.所以反常积分 1 12 dx 发散.」X 2 七2例6讨论反常积分f 咎的敛散性・当qM 时' f(^斗七(X —a 严］当q £时' f 芝沪斗吉(xFra=2q (b-严.因此、当q<1时』匕反常积分收敛.其值为 占(b-a)1T ；当q N 时，此反常积分发散. 1 一q解当qT 时、7口=dx b a x-a虬斗In （X —a ）］a =^ .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当 p >1 时 ,
a
1 dx [ 1 x1 p ] a1 p a 1 p p 1 xp
1 p a 因 此 , 当 p >1 时 , 此 反 常 积 分 收 敛 , 其 值 为 p 1 当p1时, 此反常积分发散
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二、无界函数的反常积分
a f ( x )dx tlim a t
b
b
f ( x )dx
•反常积分的计算
如果F(x)为f(x)的原函数, 则f(x)在(a, b]上的反常积分为
b f ( x ) dx [ F ( x )] a F (b ) lim F ( x ) a x a b
提问： f(x)在[a, b)上和在[a, c)(c, b]上的反常积分如何计算？ 如何判断反常积分的敛散性？
0
b
一、无穷限的反常积分
无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a, )上的反常积分定义为
a
f ( x )dx lim
f ( x )dx a b
b
•反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数, 则有
a
f ( x )dx lim
b
b f ( x ) dx lim [ F ( x )] a a b
无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x) 在(a, b]上的反常积分定义为
在反常积分的定义式中, 如果极限是存在的, 则称此反常 积分收敛 否则称此反常积分发散
注： 如果函数f(x)在点x0的任一邻域内都无界 , 那么点x0称为 函数f(x)的瑕点(也称为无界间断点) 无界函数的反常积分又称为瑕积分
§6.4 反常积分
一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、无穷限的反常积分
无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a, )上的反常积分定义为
a
f ( x )dx lim
在反常积分的定义式中, 如果极限是存在的, 则称此反常 积分收敛, 否则称此反常积分发散 类似地, 连续函数f(x)在区间(, b]上和在区间(, ) 的反常积分定义为
无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a, )上的反常积分定义为
a
f ( x )dx lim
f ( x )dx a b
b
•反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数, 则有
a
f ( x )dx [ F ( x )] a lim F ( x ) F ( a ) x
1 dx ( a >0) 的 敛 散 性 a x p 1 1 解 当 p 1 时 , dx dx [ln x ] a a x a xp 1 1 x1 p ] 当 p <1 时 , dx [ a a xp 1 p
函数f(x)在[a, c)(c, b]上(c为瑕点)的反常积分定义为
a f ( x )dx tlim a t
b
b
f ( x )dx
a f ( x )dx tlim b a
b
t
f ( x )dx
b
f ( x )dx lim t a f ( x)dx tlim a c tc
首页 上页 返回 下页 结束 铃
a f ( x )dx tlim a t
b
b
f ( x )dx
二、无界函数的反常积分
无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x) 在(a, b]上的反常积分定义为
类似地, 函数f(x)在[a, b)上(b为瑕点)的反常积分定义为
v.p.
b
f ( x) dx lim
f ( x ) dx a a
a
v.p. f ( x) dx (c 为瑕点, a c b)
a
c b lim f ( x ) dx f ( x ) dx c a 0
注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反
首页 上页 返回 下页 结束 铃
当 a 为 瑕 点 时 , a f ( x )dx [ F ( x )]b a F (b ) lim F ( x )
x a
b
当 b 为 瑕 点 时 , a f ( x )dx [ F ( x )]b a lim F ( x ) F ( a )
常积分收敛 .
首页
上页
返回
下页
结束
铃
计算
0
dx 4 1 x
dx 1 x4
首页
首页
上页
返回
下页
结束
铃
当c (acb)为瑕点时,
a f ( x )dx a f ( x)dx c f ( x)dx [ xlim c
例5 5 讨论反常积分 例
1
b
c
b
F ( x ) F (a )] [ F (b ) lim F ( x )]
x c
1 dx 的 收 敛 性 1 x 2 解 在 区 间 [ 1 , 1] 上 x 0 为 函 数 12 的 瑕 点 x 0 1 1 1 )) 0 0 lim ( 1 1 ,, 由 于 1 2 dx [ 1 ] 1 1 x x x x x 0 0 x
x x
( ) 2 2
首页
上页
返回
下页
结束
铃
a
f ( x )dx [ F ( x )] a lim F ( x解
0
te pt dt ( p 是 常 数 , 且 p >0)
首页
上页
返回
下页
结束
铃
f ( x )dx [ F ( x )] lim F ( x ) lim F ( x ) x x
例1 1 计算反常积分 例 解 解
1 dx 1 x 2
1 dx [arctan x] 1 x 2 lim arc tan x lim arc tan x
xb
b
例4 4 计算反常积分 例 解 因 为 lim
a
0
a
1 dx 2 2 a x
1 , x a a2 x2 所以点a为被积函数的瑕点
x]a 1 dx [arc sin 0 a 2 x 2 a 0 lim arc sin x 0 a 2 x a
f ( x) d f ( x) 1 f 2 ( x) d x 1 f 2 ( x) arctan f ( x) C
] 2
首页 上页 返回
32 ] arctan 2 2 27
下页 结束 铃
说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以 互相转化 .
b
t
f ( x )dx
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二、无界函数的反常积分
无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x) 在(a, b]上的反常积分定义为
a f ( x )dx tlim a t
b
b
f ( x )dx
•反常积分的计算
b
lim F (b ) F (a ) lim F ( x ) F (a )
b x
可采用如下简记形式：
a
f ( x )dx [ F ( x )] a lim F ( x ) F ( a ) x
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、无穷限的反常积分
例如 ,
1 1 x2 0 x2 1 x2
1
dt
1
d( x 1 ) x 2
0 ( x 1)2 x
dt 2 t 2
0
(2) 当一题同时含两类反常积分时, 分别讨论每一区间上的反常积分.
首页 上页 返回
应划分积分区间,
下页
结束
铃
(3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为
0
即 反 常 积 分 1 12 dx 发 散 , 所 以 反 常 积 分 x
1 dx 发 散 1 x 2
1
首页
上页
返回
下页
结束
铃
dx 的 敛 散 性 a ( x a ) q b b dx dx b 解 当 q 1 时 , [ln( x a )] a q a ( x a) a xa b 当 q 1 时 , a dx q [ 1 ( x a )1 q ] b a 1 q ( x a) b 1 (b a )1 q 当 q 1 时 , a dx q [ 1 ( x a )1 q ] b a 1 q 1 q ( x a) 因 此 , 当 q <1 时 , 此 反 常 积 分 收 敛 , 其 值 为 1 (b a )1 q 1 q 当q1时, 此反常积分发散
如果F(x)为f(x)的原函数, 则f(x)在(a, b]上的反常积分为
b f ( x ) dx lim f ( x ) dx lim [ F ( x )] t a t ta t a b b