高三年级数学教程
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案函数的模型及其应用
第九节 函数的模型及其应用1．函数的实际应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．函数的综合应用了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．知识点一 几种常见函数模型函数模型 函数解析式 正比例函数模型 f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0) 一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax α＋b (a ，b 为常数，a ≠0，α≠1)“对号”函数模型 y ＝x ＋ax(a >0)易误提醒1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[自测练习]1．(2015·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.答案：D2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值． 答案：B知识点二 三种增长函数的图象与性质在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a >1)，y ＝log a x (a >1)和y ＝x n (n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，使得当x >x 0时，有log a x <x n <a x .[自测练习]3．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( ) A ．v ＝1100·e xB ．v ＝100ln xC ．v ＝x 100D ．v ＝100×2x解析：只有v ＝1100·e x和v ＝100×2x 是指数函数，并且e>2，所以v ＝1100·e x的增大速度最快，故选A.答案：A考点一 一次、二次函数模型|1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元 解析：依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)， ∴100k ＋20＝100m ， 得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元，选A. 答案：A2．经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13 t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )．前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值．解：当1≤t ≤40，t ∈N 时， S (t )＝g (t )f (t )＝⎝⎛⎭⎫－13t ＋1123⎝⎛⎭⎫14t ＋22 ＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋2 5003，所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝2 5003.当41≤t ≤100，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝⎝⎛⎭⎫－13t ＋1123⎝⎛⎭⎫－12t ＋52＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83， 所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝1 4912. 所以，S (t )的最大值为2 5003，最小值为8.一次函数与二次函数模型问题求解的三个关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法． (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．考点二 分段函数模型|有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k (1≤k ≤4，且k ∈R )个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝k ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧248－x－1，(0≤x ≤4)，7－12x ， (4<x ≤14).若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k 的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．[解] (1)由题意知k ⎝ ⎛⎭⎪⎫248－2－1＝3，∴k ＝1.(2)因为k ＝4，所以y ＝⎩⎨⎧968－x－4，(0≤x ≤4)，28－2x ， (4<x ≤14).当0≤x ≤4时，由968－x－4≥4，解得－4≤x <8，所以0≤x ≤4.当4<x ≤14时，由28－2x ≥4，解得x ≤12，所以4<x ≤12. 综上可知，当y ≥4时，0≤x ≤12，所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟．(3)在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×⎝⎛⎭⎫7－12×12＋1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤248－(12－10)－1＝5，又5>4，∴在第12分钟还能起到有效去污的作用．分段函数模型问题求解的三个关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．1．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t (小时)的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150－50t (t >3.5)D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5<t ≤3.5)，150－50(t －3.5)(3.5<t ≤6.5)解析：当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ；当2.5<t ≤3.5时，x ＝150；当3.5<t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)． 答案：D考点三 指数函数模型|已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． [解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 即m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1，∴m ≥2(y －y 2)恒成立， 由于y －y 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.求解指数函数模型的三个注意点(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，主要有人口增长、银行利率、细胞分裂等问题．(2)应用指数函数模型时，注意先设定模型，再求有关数据． (3)y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．2．(2015·江苏连云港模拟)把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气温度是θ0，t 分钟后物体的温度θ可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e －t ln 32求得，现有60 ℃的物体放在15 ℃的空气中冷却，当物体温度为35 ℃时，冷却时间t ＝________分钟．解析：由已知条件可得35＝15＋(60－15)·e －t ln 32，解得t ＝2.答案：22.利用函数模型求解实际问题【典例】 (12分)已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2(0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)[思路点拨] (1)由R (x )中分段写出W 与x 的解析式． (2)分两段求利润的最大值，比较后得出结论． [规范解答] (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；(2分)当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x ) ＝98－1 0003x－2.7x .(4分)∴W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10(0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(5分)(2)①当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，可知当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x∈(9,10]时，W ′<0，(6分)∴当x ＝9时，W 取极大值，即最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6.(7分)②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x≤98－21 0003x·2.7x ＝38，(8分) 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，(9分)故当x ＝1009时，W 取最大值38(当1 000x 取整数时，W 一定小于38)．(10分)综合①②知，当x ＝9时，W 取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．(12分)[模板形成]A 组 考点能力演练1．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )解析：注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：D2．已知某种动物的繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年它们将发展到( )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只解析：由题意，繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只，∴100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A.答案：A3.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.8 m解析：建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)，设点A 的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )，将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎨⎧a ＝－37，h ＝487≈6.9，所以厂门的高约为6.9 m. 答案：A4．(2015·青岛模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y 元．要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资在平均分数左右变化不大，则下列函数最符合要求的是( )A ．y ＝(x －50)2＋500B ．y ＝10x25＋500C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：由题意知，函数单调递增，且先慢后快，在x ＝50左右增长近乎为0且函数值在600左右，最小值为500，A 是先减后增，B 由指数函数知是增长越来越快，D 由对数函数增长速度越来越慢，C 是y ＝x 3的平移和伸缩变换而得，最符合题目要求，故选C.答案：C5．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1、y 2分别是2万元、8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：设仓库到车站的距离为x 千米，由题意得y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，又当x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，故k 1＝20，k 2＝45.所以y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x＝45x ，即x ＝5时取等号． 答案：A6．(2015·西宁五中片区四校联考)某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km 后到10 km(含10 km)每走1 km 加价0.5元，10 km 后每走1 km 加价0.8元，某人坐出租车走了12 km ，他应交费________元．解析：本题考查数学知识在实际问题中的应用．某人坐出租车走了12 km ，他应交费6＋0.5×7＋0.8×2＝11.1元．答案：11.17．(2015·北京朝阳统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (万元)与机器运转时间x (x ∈N *)(年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25，则每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：本题考查应用均值不等式解答实际问题．据已知每台机器的年平均利润关于运转时间x 的函数关系式为g (x )＝f (x )x ＝－x 2＋18x －25x＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，据均值不等式可得g (x )＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤18－2 x ×25x ＝8，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取得等号．答案：5 88．某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．则矩形温室的蔬菜的种植面积最大值是________m 2.解析：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则ab ＝800 m 2.蔬菜的种植面积S ＝(a －4)·(b －2)＝ab －4b －2a ＋8＝808－2(a ＋2b )．∴S ≤808－42ab ＝648(m 2)．当且仅当a ＝2b ，即a ＝40 m ，b ＝20 m 时，S max ＝648 m 2.答案：6489．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2， 所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资债券类产品x 万元，则投资股票类产品(20－x )万元．则收益(单位：万元)为y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)． 设t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3， 所以当t ＝2，即x ＝16时，收益最大，最大收益为3万元．10．某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p (以上三式中p ，q 均为常数，且q >1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f (0)＝4，f (2)＝6，求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0,5]，其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)对于f (x )＝x (x －q )2＋p ，由f (0)＝4，f (2)＝6，可得p ＝4，(2－q )2＝1，又q >1，所以q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)．(3)因为f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)，所以f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令f′(x)<0，得1<x<3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．B组高考题型专练1．(2015·高考四川卷)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是() A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时解析：由已知得192＝e b，①48＝e22k＋b＝e22k·e b，②将①代入②得e22k＝14，则e11k＝12，当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·e b＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.答案：C2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()解析：小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.答案：C3．(2015·高考浙江卷)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz解析：采用特值法进行求解验证即可，若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是az＋by＋cx.答案：B4．(2015·高考北京卷)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A．6升B．8升C．10升D．12升解析：因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.答案：B5．(2014·高考湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．解析：(1)当l＝6.05，则F＝76 000vv2＋18v＋121＝76 000v＋18＋121v，由基本不等式v＋121v≥2121＝22，得F≤76 00022＋18＝1 900(辆/小时)，故答案为1 900.(2)l＝5，F＝76 000vv2＋18v＋100＝76 000v＋18＋100v，由基本不等式v＋100v≥2100＝20，得F≤76 00020＋18＝2 000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时)，故答案为100. 答案：(1)1 900(2)100。
高三数学 第74课时 离散型随机变量的期望与方差教案
课题：离散型随机变量的期望与方差教学目标：了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.（一） 主要知识及主要方法：1.数学期望:则称 =ξE 11p x 22…n n … 为ξ的数学期望，简称期望2.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3.平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …1n n p ==，=ξE +1(x +2x …1)n n x +⨯，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 .4.期望的一个性质:若b a +=ξη，则b aE b a E +=+ξξ)(5.方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…， 且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 6.标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ 7.方差的性质：()1 ξξD a b a D 2)(=+；()2 22)(ξξξE E D -= .8.方差的意义：()1随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ()2随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；()3标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.9.二项分布的期望与方差：若(),B n p ξ，则E np ξ= ，()1D np p ξ=-10.几何分布的期望和方差：若(),g k p 1k qp -=，其中0,1,2k =，…， p q -=1．则1E p ξ=，21p D pξ-=. （二）典例分析：问题1．()1（07浙江）随机变量ξ的分布列如右： 其中a b c ，，成等差数列，若13E ξ=，则D ξ的值是()2设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表, 则E ξ ，则D ξ=()3(07重庆联考) 随机变量ξ的分布列如右：那么()54E ξ+等于.A 15 .B 11 .C 2.2 .D 2.3()4(07黄岗调研)已知()~,B n p ξ，8E ξ=， 1.6D ξ=，则n 与p 的值分别为.A 100和0.08 .B 20和0.4 .C 10和0.2 .D 10和0.8()5(07天津十校联考)某一离散型随机变量ξ的概率分布如下表，且 1.5E ξ=，则a b -的值为：.A 0.1- .B 0 .C 0.1 .D 0.2()6(06四川) 设离散型随机变量ξ可能取的值为1,2,3,4，()P k ak b ξ==+ （1,2,3,4k =），又ξ的数学期望3E ξ=，则a b +=问题2．设随机变量ξ的分布列如右表，求E ξ和D ξ.问题3．有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量的样品检验它们的抗拉强度指数如下：其中ξ和η分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两种材料哪一种稳定性好.问题4．(06全国Ⅱ)某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．()1用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；()2若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．问题5．（07辽宁）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q的函数关系式为：3232010(0)3q C q q q =-++> 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格设123分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量q ，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润．()1分别求利润123L L L ,,与产量q 的函数关系式；()2当产量q 确定时，求期望q E ξ；()3试问产量q 取何值时，q E ξ取得最大值．（三）课后作业1.已知ξ的分布列为如右表：则E ξ= ，D ξ=2.抛掷一颗骰子，设所得点数为ξ，则E ξ= ，D ξ=3.设服从二项分布(),B n p 的随机变量ξ的期望和方差分别为2.4和1.44，则二项分布的参数,n p 的值为 .A 4n =，0.6p = .B 6n =，0.4p =.C 8n =，0.3p = .D 24n =，0.1p =（四）走向高考：4.（06福建）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一 个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是5.（07四川文）某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克） 分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是 .A 150.2克 .B 149.8克 .C 149.4克 .D 147.8克6.（07湖南）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．()1任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；()2任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望．7.（07四川）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.()1若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;()2若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产E，并求该商家拒收这批产品的概率.品数ξ的分布列及期望ξ。
高三数学复习教案
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高三数学复习教案1教学目标知识目标等差数列定义等差数列通项公式能力目标掌握等差数列定义等差数列通项公式情感目标培养学生的观察、推理、归纳能力教学重难点教学重点等差数列的概念的理解与掌握等差数列通项公式推导及应用教学难点等差数列“等差”的理解、把握和应用教学过程由XX《红高粱》主题曲“酒神曲”引入等差数列定义问题：多媒体演示，观察————发现？一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
例1：观察下面数列是否是等差数列：…。
二、等差数列通项公式：已知等差数列{an｝的首项是a1，公差是d。
则由定义可得：a2—a1=da3—a2=da4—a3=d……an—an—1=d即可得：an=a1+（n—1）d例2已知等差数列的首项a1是3，公差d是2，求它的通项公式。
分析：知道a1，d，求an。
代入通项公式解：∵a1=3，d=2∴an=a1+（n—1）d=3+（n—1）×2=2n+1例3求等差数列10，8，6，4…的第20项。
分析：根据a1=10，d=—2，先求出通项公式an，再求出a20 解：∵a1=10，d=8—10=—2，n=20由an=a1+（n—1）d得∴a20=a1+（n—1）d=10+（20—1）×（—2）=—28例4：在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36，求通项an。
分析：此题已知a6=12，n=6；a18=36，n=18分别代入通项公式an=a1+（n—1）d中，可得两个方程，都含a1与d两个未知数组成方程组，可解出a1与d。
第3章 第2节 第2课时 导数与函数的极值、最值-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)
第2课时导数与函数的极值、最值一、教材概念·结论·性质重现1．函数的极值与导数条件f ′(x0)＝0x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0图象形如山峰形如山谷极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点(1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定．(2)对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．(1)函数f (x)在[a，b]上有最值的条件一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(1)求函数的最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．(2)若函数f (x)在区间[a，b]内是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值；若函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．(3)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(2)对可导函数f (x)，f ′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)(3)函数的极大值一定是函数的最大值．(×)(4)开区间上的单调连续函数无最值．(√)2．f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4A解析：由题意知在x＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，f (x)在x＝－1左减右增．故选A．3．函数f (x)＝2x－x ln x的极大值是()A．1e B．2e C．e D．e2C解析：f ′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x．令f ′(x)＝0，得x＝e.当0<x<e时，f ′(x)>0；当x>e时，f ′(x)<0.所以x＝e时，f (x)取到极大值，f (x)极大值＝f (e)＝e.4．若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A．4 B．2或6 C．2 D．6C解析：函数f (x)＝x(x－c)2的导数为f ′(x)＝3x2－4cx＋c2.由题意知，f (x)在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6.又函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，故导数在x ＝2处左侧为负，右侧为正．当c ＝2时，f (x )＝x (x －2)2的导数在x ＝2处左侧为负，右侧为正，即在x ＝2处有极小值．而当c ＝6时，f (x )＝x (x －6)2在x ＝2处有极大值．故c ＝2.5．函数f (x )＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________． 8 解析：f ′(x )＝6x 2－4x ＝2x (3x －2)． 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23.因为f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827，f (2)＝8，所以最大值为8.考点1 利用导数求函数的极值——综合性考向1 根据函数的图象判断函数的极值(多选题)已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则( )A ．函数f (x )有极大值f (2)B ．函数f (x )有极大值f (－2)C ．函数f (x )有极小值f (－2)D ．函数f (x )有极小值f (2)BD 解析：由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．根据函数的图象判断极值的方法根据已知条件，分情况确定导数为0的点，及导数为0点处左右两侧导数的正负，从而确定极值类型．考向2 已知函数解析式求极值已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表. x (0，2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗ln 2－1↘(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x . 当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )在定义域上无极值点； 当a >0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数f (x )在x ＝1a 处有极大值．综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点； 当a >0时，函数f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .求函数极值的一般步骤(1)先求函数f (x )的定义域，再求函数f (x )的导函数； (2)求f ′(x )＝0的根；(3)判断在f ′(x )＝0的根的左、右两侧f ′(x )的符号，确定极值点；(4)求出函数f (x )的极值． 考向3 已知函数的极值求参数设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)·x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ， f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x . 若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0. 所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.已知函数极值点或极值求参数的两个关键(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证该点左右两侧的正负．1．(多选题)定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4上的函数f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0,4)单调递增B ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0单调递减 C ．函数f (x )在x ＝1处取得极大值 D ．函数f (x )在x ＝0处取得极小值ABD 解析：根据导函数图象可知，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间(0,4)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝0处取得极小值，没有极大值．所以A ，B ，D 选项正确，C 选项错误．故选ABD ．2．(2020·青岛一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －9，x ≥0，x e x ，x <0(e ＝2.718…为自然对数的底数)．若f (x )的零点为α，极值点为β，则α＋β＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2C 解析：当x ≥0时，f (x )＝3x －9为增函数，无极值．令f (x )＝0，即3x －9＝0，解得x ＝2，即函数f (x )的一个零点为2；当x <0时，f (x )＝x e x <0，无零点，f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，则当－1<x <0时，f ′(x )>0.当x <－1时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，函数f (x )取得极小值．综上可知，α＋β＝2＋(－1)＝1.故选C ．3．函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．－12 解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2. 令f ′(x )<0，得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0，得－2<x <1.所以f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2，1)上单调递增， 所以f (x )极小值＝f (－2)＝－12.4．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a ≥0)．(1)当a ＝1，且函数图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)．令f ′(x )>0，解得x <13或x >1；令f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a >0时，f ′(x )≥0或 f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.考点2 利用导数求函数的最值——应用性(2020·北京卷)已知函数f (x )＝12－x 2. (1)求曲线y ＝f (x )的斜率等于－2的切线方程；(2)设曲线y ＝f (x )在点(t ，f (t ))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S (t )，求S (t )的最小值．解：(1)因为f (x )＝12－x 2， 所以f ′(x )＝－2x .设切点为(x 0,12－x 20)，则－2x 0＝－2，即x 0＝1，所以切点为(1,11)． 由点斜式可得切线方程为y －11＝－2(x －1)，即2x ＋y －13＝0. (2)显然t ≠0，因为y ＝f (x )在点(t,12－t 2)处的切线方程为y －(12－t 2)＝－2t (x －t )， 即y ＝－2tx ＋t 2＋12.令x ＝0，得y ＝t 2＋12；令y ＝0，得x ＝t 2＋122t .所以S (t )＝12×(t 2＋12)·t 2＋122|t |＝(t 2＋12)24|t |，t ≠0，显然为偶函数． 只需考察t ＞0即可(t <0时，结果一样)， 则S (t )＝t 4＋24t 2＋1444t ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3＋24t ＋144t ， S ′(t )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2＋24－144t 2 ＝3(t 4＋8t 2－48)4t 2 ＝3(t 2－4)(t 2＋12)4t 2 ＝3(t －2)(t ＋2)(t 2＋12)4t 2. 由S ′(t )>0，得t >2；由S ′(t )<0，得0<t <2.所以S (t )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以t ＝2时，S (t )取得极小值，也是最小值为S (2)＝16×168＝32. 综上所述，当t ＝±2时，S (t )min ＝32.求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数在区间(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．已知k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2. (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )在[0，k ]上的最大值．解：(1)由题意得f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )．因为k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以1＜2k ≤2.令f ′(x )＞0，所以⎩⎨⎧ x ＞0，e x －2k ＞0或⎩⎨⎧ x ＜0，e x－2k ＜0，解得x ＞ln 2k 或x ＜0. 所以函数f (x )的单调递增区间为(ln 2k ，＋∞)，(－∞，0)． 令f ′(x )＜0，所以⎩⎨⎧x ＞0，e x －2k ＜0或⎩⎨⎧x ＜0，e x－2k ＞0，解得0＜x ＜ln 2k . 所以函数f (x )的单调递减区间为(0，ln 2k )．所以函数f (x )的单调递增区间为(ln 2k ，＋∞)，(－∞，0)，单调递减区间为(0，ln 2k )．(2)令φ(k )＝k －ln (2k )，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，φ′(k )＝1－1k ＝k －1k ≤0. 所以φ(k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上是减函数． 所以φ(1)≤φ(k )＜φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.所以1－ln 2≤φ(k )＜12＜k ，即0＜ln (2k )＜k . 所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：f (k )－f (0)＝(k －1)e k －k 3－f (0) ＝(k －1)e k －k 3＋1 ＝(k －1)e k －(k 3－1)＝(k －1)e k －(k －1)(k 2＋k ＋1) ＝(k －1)[e k －(k 2＋k ＋1)]． 因为k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以k －1≥0.对任意的k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，y ＝e k 的图象恒在直线y ＝k 2＋k ＋1的下方， 所以e k －(k 2＋k ＋1)≤0.所以f (k )－f (0)≥0，即f (k )≥f (0)．所以函数f (x )在[0，k ]上的最大值f (k )＝(k －1)e k －k 3.考点3 极值与最值的综合应用——综合性(2020·山东师范大学附中高三质评)已知函数f (x )＝x 2·e ax ＋1－b ln x －ax (a ，b ∈R )．(1)若b ＝0，曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝2x 平行，求a 的值； (2)若b ＝2，且函数f (x )的值域为[2，＋∞)，求a 的最小值． 解：(1)当b ＝0时，f (x )＝x 2e ax ＋1－ax ，x >0， f ′(x )＝x e ax ＋1(2＋ax )－a . 由f ′(1)＝e a ＋1(2＋a )－a ＝2，得e a ＋1(2＋a )－(a ＋2)＝0，即(e a ＋1－1)(2＋a )＝0，解得a ＝－1或a ＝－2. 当a ＝－1时，f (1)＝e 0＋1＝2，此时直线y ＝2x 恰为切线，舍去．所以a ＝－2.(2)当b ＝2时，f (x )＝x 2e ax ＋1－2ln x －ax ，x >0. 设t ＝x 2e ax ＋1(t >0)，则ln t ＝2ln x ＋ax ＋1， 故函数f (x )可化为g (t )＝t －ln t ＋1(t >0)．由g ′(t )＝1－1t ＝t －1t ，可得g (t )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)，所以g (t )的最小值为g (1)＝1－ln 1＋1＝2. 此时，t ＝1，函数f (x )的值域为[2，＋∞)． 问题转化为：当t ＝1时，ln t ＝2ln x ＋ax ＋1有解， 即ln 1＝2ln x ＋ax ＋1＝0，得a ＝－1＋2ln xx . 设h (x )＝－1＋2ln x x，x >0，则h ′(x )＝2ln x －1x 2， 故h (x )的单调递减区间为(0，e)，单调递增区间为(e ，＋∞)， 所以h (x )的最小值为h (e)＝－2e ，故a 的最小值为－2e .求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，函数的解析式含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．1．(2021·福建三校联考)若方程8x ＝x 2＋6ln x ＋m 仅有一个解，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，7)B ．(15－6ln 3，＋∞)C ．(12－61n 3，＋∞)D ．(－∞，7)∪(15－6ln 3，＋∞)D 解析：方程8x ＝x 2＋6ln x ＋m 仅有一个解等价于函数m (x )＝x 2－8x ＋6ln x ＋m (x >0)的图象与x 轴有且只有一个交点．对函数m (x )求导得m ′(x )＝2x －8＋6x ＝2x 2－8x ＋6x ＝2(x －1)(x －3)x. 当x ∈(0,1)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增； 当x ∈(1,3)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减； 当x ∈(3，＋∞)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增，所以m (x )极大值＝m (1)＝m －7，m (x )极小值＝m (3)＝m ＋6ln 3－15.所以当x 趋近于0时，m (x )趋近于负无穷，当x 趋近于正无穷时，m (x )趋近于正无穷，所以要使m (x )的图象与x 轴有一个交点，必须有m (x )极大值＝m －7<0或m (x )极小值＝m ＋6ln 3－15>0，即m <7或m >15－6ln 3.故选D ． 2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3＋x 2(x <1)，a ln x (x ≥1).(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e ](e 为自然对数的底数)上的最大值．解：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值为f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23. (2)①当－1≤x <1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递增． 因为f (－1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427，f (0)＝0， 所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ， 当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e ]上单调递增， 则f (x )在 [1，e ]上的最大值为f (e)＝a . 故当a ≥2时，f (x )在[－1，e ]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e ]上的最大值为2.。
高三数学二项式定理通用版知识精讲
高三数学二项式定理通用版知识精讲【本讲主要内容】二项式定理二项式定理和二项展开式性质及其应用【知识掌握】 【知识点精析】1. 二项式定理：对任意的正整数n ，有)N n (b C ......b a C ......b a C a C )b a (*n n n r r -n r n 1-n 1n n 0n n ∈+++++=+这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做n )b a (+的二项展开式，各项系数rn C ……（r ＝0，1，2，……，n ）叫做二项式系数。
特例：在二项展开式中令a ＝1，b ＝x ，则有公式：（）＝ (111)22+++++x C x C x C x nn n n n n2. 通项公式：二项展开式中的第r+1项r r-n rn b aC 叫做通项，记做)n r 0,N n (b a C T *r r -n r n 1r ≤≤∈=+。
注意：（1）它表示二项展开式中的任意项，只要n 和r 确定，该项也随之确定。
（2）通项公式表示的是第r+1项，而不是第r 项。
（3）公式中a ，b 的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n 。
3. 二项式系数的性质：（1）二项式系数的对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； （2）二项式系数的大小规律如果二项式幂指数是偶数，中间一项12n T +的二项式系数最大；如果二项式幂指数是奇数，中间两项121n T ++和121n T +-的二项式系数相等并且最大。
（3）二项式系数的和：nn n 2n 1n 0n 2C ......C C C =++++ 当n 为偶数时C C C C C C C C n n n n n n n n n n n 024135112++++=++++=--…………当n 为奇数时C C C C C C C C n n n n n n n n n n n 024113512++++=++++=--…………（4）二项式系数与项的系数的区别：如n)bx a (+的展开式中，第r+1项的二项式系数为r n C ，第r+1项的系数为r r-n r n b aC 。
高三数学同步辅导教材(第18讲)
高三数学总复习教程（第18讲）一、本讲内容不等式的解法本讲进度整式不等式、分式不等式，无理不等式，指数不等式，对数不等式，简单的三角不等式，绝对值不等式的解法二、学习指导“≥”是不等“＞”与方程“=”的联合体，故相应解集是不等式解集与方程解集的并集．．。
（1）对ax>b 形式的不等式，当a>0时解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,a b 当a<0时解集为。
当a=0且b<0时解集为R 当a=0且b ≥0时，解集为Φ；因未限制a 的符号，故ax<b 可改为-ax>-b 不必另行列出。
（2）一元二次不等式我们总可化为x 2+bx+c>0和x 2+bx+c+<0两形式之一，记△=b 2-4c 。
x 2+bx+c>0 x 2+bx+c+<0 △<0 R Φ△=0{x|x ∈R 且x 2b -≠} Φ△>0())x x )(,x (x ,2121<+∞⋃∞-())x x (x ,x 2121< （3（4）分式不等式，一般先移项，使一边为零，另一边通分后分解因式，类似高次不等式，用序根法求出。
（5）无理不等式，要注意两条：一是有意义的范围（偶次方根下设开方数非负）二是式子两边偶次方的前提是两边非负。
不能保证两边非负，就要进行讨论。
（6）指数、对数不等式，要注意有意义的取值范围（有大于零且不等于1，对数式中真数大于零），还要特别注意底是大于1还是在（0，1）中，它们决定了不等号是否变向。
（3）三角不等式，要注意三角函数的单调区间。
关于绝对值不等式，应首先理解绝对值（此处是指实数的绝对值）的意义：当a>0时| a|=a ；当a=0时；当a<0时|a|=-a 。
对|x|<a ，当a>0时，-a<x<a ；当a ≤0时,x ∈Φ； 对|x|>a ，当a>0时，x>a 或x<-a ；当a=0时,x ≠0； 当a<0时，x ∈R熟悉下面的绝对值不等式，并注意等号成立的条件：b a b a b a b a ab +≤±=-≤--；三、典型例题讲解例1：解不等式：2x xx 24x x 322-≥-+-- 按照解分式不等式的程序去解：先移项通分：0x x 2xx 23≥-+- 分解因式：0)1x )(x 2()1x (x 2≥+--，出现了相同因式；x 2怎么办？先单独考虑它：当x=0时，左边为0，满足原式；当x ≠0时，x 2>0，原式同解于0)1x )(x 2(1x ≥+--。
金榜教程高三总复习人教A版数学配套课件选修44第2讲
x＝fx y＝gt
(*)，如果对于t的每一个允许值，
由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组
(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数．
选修4-4 第2讲
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金版教程 ·高三数学
课前自主导学 核心要点研究 经典演练提能 限时规范特训
平面直角坐标系中，同一曲线的参数方程唯一吗？
[解] (1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，
(0，
23 3
)，又点P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标
为(1，
33)，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝
3 3 x.
(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，
(0，2 3 3)，
选修4-4 第2讲
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金版教程 ·高三数学
2．直线、圆、椭圆的参数方程
曲线
参数方程
过点M(x0，y0)，倾斜角为 α的直线l
圆心在点M0(x0，y0)，半 径为R的圆
圆心在原点，半径为R的 圆
椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
(t为参数)
x＝x0＋Rcosθ， y＝y0＋Rsinθ
(θ为参数)
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课前自主导学 核心要点研究 经典演练提能 限时规范特训
2种必会方法 1. 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本 思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去 法、恒等式(三角的或代数的)消去法． 2. 普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本 思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝ f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝ φ(t)(或x＝f(t))．
人教A版高中数学 高三一轮 3-7 解三角形教案 精品
高三一轮 3.7 解三角形
【教学目标】
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
2.本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，
求三角形的面积及解三角形的具体应用问题。
【重点难点】
1.教学重点：熟练运用正、余弦定理解三角形；
2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600
故由正弦定理得600
sin 45°＝BC
sin 30°，解得BC＝300
A，B间距离为________
处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方
cos θ的值为________．
＝40，AC＝20，∠BAC
的同侧，选定一点C，测出AC
，∠CAB＝105°，则A，。
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高三年级数学教程
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
高三年级数学是学生们学习数学知识的最后一年，也是备考高考的重要一年。
在这一年级，学生们需要通过系统的学习和复习，掌握数学的基本概念和方法，提高解题能力和分析问题的能力，以确保能够取得高分。
一、数学的基础知识
高三年级数学的内容主要包括常用函数、立体几何、概率统计和数列等内容。
在学习这些知识之前，学生们需要首先掌握数学的基本概念和方法，比如直线、曲线、集合、函数、导数等。
这些基础知识是后续学习的基础，也是解题的关键。
二、常用函数
在高三年级数学中，常用函数是一个重点和难点。
常用函数主要包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等，学生们需要掌握这些函数的性质和变化规律，能够运用这些函数解决各种实际问题。
三、立体几何
立体几何是高三数学中的一个重要内容，主要包括体积、表面积
和空间几何等内容。
在学习立体几何时，学生们需要注意几何体的性
质和公式，能够准确计算几何体的体积和表面积，并能够运用空间几
何解决各种实际问题。
四、概率统计
概率统计是高三数学中的另一个重要内容，主要包括概率、排列
组合、统计分布和抽样调查等内容。
在学习概率统计时，学生们需要
注意概率的计算方法和概率的性质，能够运用排列组合解决实际问题，同时也要注意统计分布和抽样调查的方法和应用。
五、数列
数列是高三数学中的一个重要内容，主要包括等差数列、等比数
列和数学归纳法等内容。
在学习数列时，学生们需要注意数列的性质
和变化规律，能够求解数列的通项公式和前n项和，并能够应用数学
归纳法解决各种问题。
总之，高三年级数学是一个关键的阶段，学生们需要通过认真学
习和复习，掌握数学的基础知识和方法，提高数学解题的能力和分析
问题的能力，以确保能够取得高分，顺利升入理想的大学。
希望同学
们能够努力学习，取得优异的成绩，实现自己的梦想。
第二篇示例：
高三数学是学生学习数学的最后一年，也是数学知识要求最为深
入和复杂的一年。
高三数学涵盖了许多概念和技巧，包括微积分、几何、代数、概率论等，学习起来较为困难。
本文旨在为高三学生提供
一份全面而详细的数学教程，帮助他们更好地掌握数学知识，取得更
好的成绩。
一、微积分
微积分是高三数学中的重要内容，主要包括导数和积分两个部分。
导数是描述函数在某一点的切线斜率，也可以理解为函数的变化率。
学生需要掌握导数的求法、性质和应用，如极值、凹凸性、函数图像等。
积分是导数的逆运算，描述了函数在一定区间内的“累积变化量”。
学生需要掌握积分的计算方法、性质和应用，如定积分、不定
积分、曲线面积等。
二、几何
高三几何主要包括平面几何和立体几何两个部分。
平面几何包括
直线、圆、三角形、四边形、多边形等内容，学生需要深入理解各种
性质和定理，并能够熟练应用解题。
立体几何包括球体、圆柱、圆锥、圆台等内容，学生需要掌握这些几何图形的面积、体积计算方法和相
关性质。
三、代数
高三代数主要包括方程与不等式、函数与方程组、数列与数学归
纳法等内容。
学生需要掌握各种类型的方程、不等式的解法和性质，
熟练运用求解技巧。
函数与方程组是高考数学的重点内容，学生需要深入理解函数的性质、图像和应用，能够解决各类函数方程组问题。
四、概率论
概率论是高三数学的一大难点，包括基本概率论、条件概率、独立性、数理统计等内容。
学生需要掌握概率的基本定义、性质和计算方法，能够灵活运用概率理论解决实际问题。
数理统计是概率论的一个重要应用领域，学生需要了解数据分析方法、抽样技术和统计分布等内容。
通过以上内容的学习，高三学生将能够全面掌握数学知识，提高解题能力和分析问题的能力，为高考数学取得优异成绩打下坚实的基础。
希望本文的数学教程能够帮助高三学生顺利通过数学学习，取得令人满意的成绩。
第三篇示例：
高三年级是学生备战高考的关键时期，数学作为其中重要的一门学科，更是需要加倍努力学习。
为了帮助学生更好地掌握高三数学知识，提高成绩，我们特别制作了这份高三年级数学教程。
本教程分为数学基础知识、常见考点梳理和解题技巧三部分，希望能够为广大高三学生提供有针对性的学习指导。
一、数学基础知识
1. 数学基础概念
在高三数学学习的过程中，首先要深入理解数学基础概念，包括
数的性质、函数与方程、几何图形等。
要熟练掌握各种数学概念的定义，建立扎实的数学基础。
2. 数学定理与公式
高三数学中有许多重要的定理与公式，如勾股定理、三角函数的
定义、导数的性质等。
在学习过程中，要注重掌握这些定理与公式的
内容，灵活运用于解题中。
3. 数学运算技巧
高三数学的题目难度较大，需要学生具备灵活的数学运算技巧。
解方程时要善于化简、配方，解几何题时要善于利用相似三角形等性质。
熟练掌握这些技巧能够提高解题效率，避免在计算过程中出现错误。
二、常见考点梳理
1. 高三数学常见考点
高三数学的题目主要分布在数学分析、几何与代数三个方面。
导数、不定积分、三角函数、集合与映射等是数学分析中的重要内容；
向量、坐标系、三角形、圆等是几何部分的主要内容；一元二次方程、不等式、数列与数列极限等是代数部分的主要内容。
希望同学们在备
考高考时，能够重点复习这些常见考点，做好各个方面的准备。
2. 高三数学解题技巧
在解高三数学题目时，除了掌握基础知识外，还需要一定的解题技巧。
分析题目、合理利用已知条件、灵活运用数学定理与公式等。
要注意细节，避免粗心导致的错误。
要善于总结归纳解题方法，这样可以更好地应对类似题目。
三、解题技巧
1. 题目分析
在解数学题目时，首先要认真阅读题目，理清题目要求和条件，分析解题思路。
有时候问题并不难，关键在于理解题目中的意思，做到心中有数，明确解题目的目标。
2. 列方程解题
解数学题目时，很多时候需要列方程解题。
特别是一些求未知数的问题，可以通过列方程来建立模型，进而求解。
掌握好如何正确列方程是解题的重要一环。
3. 利用画图辅助解题
对于几何题目，有时候可以通过绘制几何图形来辅助解题。
画图有助于直观理解题目，找到解题的线索，有效提高解题效率。
4. 多做练习
在学习数学的过程中，多做练习是提高解题能力的关键。
通过做大量的练习题，不断巩固知识、提高理解能力和解题技巧，从而更好地掌握数学知识。
总结：高三数学学习是一个系统性的过程，需要从基础知识的掌
握到解题技巧的运用，不断提升自己的数学能力。
希望同学们能够认
真学习本教程中的内容，合理安排学习时间，持续提升数学水平，取
得优异的成绩。
祝愿广大高三学生在高考中取得理想的成绩，实现自
己的梦想！
第四篇示例：
高三年级数学是学生学习数学的最后一个阶段，也是最为重要的
一个阶段。
在这一阶段，学生需要巩固基础知识，逐步提高解题能力，为高考做好准备。
高三年级数学教程是至关重要的，能够帮助学生系
统地学习数学知识，提高数学水平。
高三数学教程主要包括以下几个方面的内容：复习基础知识、巩
固技能、提高解题能力、应对高考题型等。
通过系统地学习这些内容，学生可以更好地应对高考数学考试。
复习基础知识是高三数学教程的重点之一。
高中数学的基础知识
是学生在前几年学习的内容，包括代数、函数、几何、概率统计等。
高三数学教程会对这些知识进行系统地复习，帮助学生巩固基础，打
下良好的数学基础。
巩固技能也是高三数学教程的一个重要内容。
在学习数学的过程中，需要不断地练习，才能掌握各种解题技巧。
高三数学教程会安排
大量的练习题，让学生熟练掌握解题方法，提高解题效率。
提高解题能力也是高三数学教程的重要目标。
高三数学教程会引导学生学会独立思考、灵活运用知识，解决各种数学问题。
通过解题能力的提高，学生不仅可以在考试中取得好成绩，也可以在数学竞赛等活动中表现出色。