排列组合1
四年级奥数-排列组合(1)
排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有2112520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
排列组合的常见模型(1)
4 n 4 3 34 排列组合的常见模型（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求 的元素。
例如：用0,1, 2,3, 4 组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是 0，所以先处理首位，共有 4 种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为 N = 4 ⨯ A 4= 96种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再 用全部可能的总数减去对立面的个数即可。
例如：在 10 件产品中，有 7 件合格品，3 件次品。
从这 10 件产品中任意抽出 3 件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少 1 件次品”包含 1 件，2 件，3 件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。
N = C 3 - C 3 = 85 （种）1073、先取再排（先分组再排列）：排列数 A m是指从 n 个元素中取出 m 个元素，再将这 m 个元素进行排列。
但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。
例如：从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人，分别从事 3 项不同的工作，若这 3 人中只有一名女生，则选派方案有多少种。
解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生， 共有 C 2C 1 种可能， 然后将选出的三个人进行排列： A 34 33C 2C 1 A 3 = 108 种方案（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。
例如：5 个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余 3 个元素排列，则共有 A 4种位置，第二步考虑。
3、组合数学第三章排列组合(1)
P（5，3）
（2）同（1），若不限制每天考试的次数，问有多 少种排法？
53
例3.8 排列26个字母，使得在a 和 b之间正好有7个 字母，问有多少种排法？
例3 用26个字母排列，是元音 a,e,i,o,u 组不相继 出现，有多少种排法？
（1）排列所有辅音：P(21,21)=21！ （2）在辅音前后的22个空档中排元音:
n2 +... + nk .
2若r=n,则N= n! ; n1 !n2 !...nk !
3若r < n且对一切i,i =1, 2,..., k,有ni ? r,则N=kr ; 4若r < n,且存在着某个ni < r,则对N没有一般的求解公式。
§3.5 多重集的组合
多重集S中r个元素进行无序选择，构成一个多重 集的r-组合。 篮子里有2个苹果，1个桔子，3个香蕉，篮子里 的水果构成“多重集”。
解1 (1)任意坐： n=9! (2)不相邻：A先就坐，B不相邻：7 其余8人排序：8！ m=7*8！ (3) P=m/n=7*8!/9!=7/9
例6 10个人为圆桌任意就坐，求指定的两个人 A与B不相邻的概率。
解2 (1)任意坐： n=9! (2)A,B相邻：A先就坐，B左右相邻：2 其余8人排序：8！ k=2*8！ (3)不相邻：m=9!-2*8! (4) 两人不相邻的概率 P=m/n=（9!-2*8!)/9!=1-2/9=7/9
证明
(1) 从{ 1,2,…,n }中选出2-组合有
C
2 n
(2) 另一种选法：
最大数为k的2-组合共有k-1个，k=1,2,…,n
有加法原理，共有 0+1+2+…+(n-1) 个2-组合
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
排列组合1. 排列组合公式quad排列与组合二者的区别，排列计较次序而组合不计序。
quad从n从n从n个不同物件随机取rrr个物件，记排列数和组合数分别为AnrA_n^rAnr?和CnrC_n^rCnr?，则：Anr=n(n?1)?(n?r?1)=n!(n?r)!Cnr=Anrr!=n!r!(n?r)!begin{aligned}amp; A_n^r=n(n-1)cdots(n-r-1)=frac{n!}{(n-r)!}amp; C_n^r=frac{A_n^r}{r!}=frac{n!}{r!(n-r)!}end{aligned}Anr=n(n1)(nr1)=(nr)!n!Cnr=r!Anr=r!(nr)!n!quad注:Anr(n≥r≥1)A_n^r(ngeq r geq 1)Anr?(n≥r≥1)，Cnr(n≥r≥0)C_n^r(ngeq r geq 0)Cnr?(n≥r≥0)，0!=10!=10!=1，Cn0=1C_n^0=1Cn0?=12. 二项式及公式推广quad二项式展开公式为：(a+b)n=∑i=0nCniaibn?i(a+b)^n=sum_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i}(a+b)n=i=0∑n?Cni?aibn?iquad系数CnrC_n^rCnr?常称为二项式系数。
由(a+b)n=(a+b)?(a+b)?n(a+b)^n=underbrace{(a+b)cdots(a+b)}_{n} (a+b)n=n(a+b)?(a+b)?，若独立nnn次实验从{a，b}{a，b}{a，b}中取数，则有CniC_n^iCni?种情况取到iii个aaa、n?in-in?i个bbb，故aibn?ia^ib^{n-i}aibn?i项的系数为CniC_n^iCni?。
quad(1) ∑i=0nCni=2nsum_{i=0}^n C_n^i=2^n∑i=0n?Cni?=2n quadquad 当a=b=1a=b=1a=b=1时，(a+b)n=2n=∑i=0nCni(a+b)^n=2^n=sum_{i=0}^nC_n^i(a+b)n=2n=∑i=0n?Cni?；quad(2)Cm+nk=∑i=0kCmiCnk?iC_{m+n}^k=sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}Cm+n k?=∑i=0k?Cmi?Cnk?i?quadquad 因为(1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n(1+x)^{m+n}=(1+x)^m(1+x)^n(1+x)m+n=(1+ x)m(1+x)n，即∑j=0m+nCm+njxj=(∑j=0mCmjxj)?(∑j=0nCnjxj)sum_{j=0}^{m+n}C _{m+n}^jx_j=(sum_{j=0}^mC_m^jx_j)cdot(sum_{j=0}^nC_n^jx_j)∑j=0m+n?Cm+nj?xj?=(∑j=0m?Cmj?xj?)?(∑j=0n?Cnj?xj?)，由等式两边同幂项系数相同知Cm+nk=∑i=0kCmiCnk?iC_{m+n}^k=sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}Cm+n k?=∑i=0k?Cmi?Cnk?i?。
组合数学排列组合（1）格路模型，范德蒙德恒等式
组合数学排列组合（1）格路模型，范德蒙德恒等式
1.排列(permutation)：
从n个不同的元素中，取出r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的⽆重排列。
排列的个数⽤P(n,r)表⽰或P r n n>=r //⾼中的时候教材教我们A r n ，跟这⾥的⼀样。
P(n,r) = n!/r!
排列的基本问题是“n个不同球放r个不同盒”问题。
2.组合(conmutation)：
从n个不同的元素中，取出r个不重复的元素组成⼀个⼦集⽽不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的⽆重组合。
组合的个数⽤C(n,r)表⽰或C r n n>=r
C(n,r)=n! / [r!*(n-r)!]
组合的基本问题是“n个不同球放r个相同盒”问题。
两个性质：
|—— C(n,r) = C(n,n-r) //C(8,3)=C(8,5)
|—— C(n,l)*C(l,r) = C(n,r)*C(n-r,l-r) //C(9,5)*C(5,2)=C(9,2)*C(7,3)
3.格路模型与组合恒等式：
组合数学有⼀个研究⽅向就是研究组合恒等式。
格路模型
我们把从（0，0）到（m，n）的路径⽤⼀个形如“xxyxyyxy...xyy”的字符串表⽰。
则字符串长度为m+n，有m个‘x’，n个‘y’。
杨辉三⾓⽤于格路模型
在杨辉三⾓中，第n⾏对应着(a+b)n的系数，第n⾏第r列的数值是C(n,r)
范德蒙德恒等式。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：排列组合法1
排列与组合是数学的一个重要内容,主要研究完成某项工作的方法 数量,如从l ～9中选出两个不同的数组成一个两位数的个数,等等。
排列与组合虽然都是从某些事物中选出一部分,但是,排列和组合又 有着本质的区别,排列是有序的,而组合却是无序的,比方说北京、上海和 广州三地之间的飞机票。
如果问这三地间的飞机票价种数,那么它就是 一个组合问题,因为从北京到上海和从上海到北京的票价是一样的,也就 是说与飞机的起飞地点和降落地点没有关系,但是如果问三地间的飞机 票的票样,那就是排列问题,因为它与出发地和目的地有关,从北京到上 海和从上海到北京是不同的票样。
排列组合所用的基础原理是乘法原理和加法原理。
所谓乘法原理是 指：完成一项工作需要两步,已知完成第一步有m 种方法,完成第二步有 n 种方法,那么完成这项工作一共有m*n 种不同的方法；所谓加法原理 是指：完成一项工作有两类不同的方法,其中第一类中有a 种方法,第二 类中有b 种方法,那么完成这项工作的方法一共有a+b 种。
乘法原理 和加法原理最大的区别就是：一个是分步,一个是分类。
另外,解决此类问题还需要理解和掌握组合数和排列数的公式。
经典例题[例l 】 从甲地到乙地有3条路可走,从乙地到丙地有2条路可走, 从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法? 思路剖析从甲地到丙地,需要先经过乙地,那么从甲地到丙地要分两步：从甲 地到乙地,从乙地到丙地。
从甲地到乙地有3种走法,从乙地到丙地有2 种走法。
于是可根据乘法原理得出从甲地到乙地不同的走法数量,如图1可以验证上面得出的结果,从甲地到丙地的不同走法分别有：1—4、 l 一5、2—4、2—5、3—4、3—5,其中1—4中的数字1表示从甲地到乙地走 第l 条线路,第二个数字4表示从乙地到丙地走第4条线路,一共有6种 不同走法。
解答由乘法原理得,从甲地到丙地共有走法为3×2=6(种) 答：从甲地到丙地有6种不同走法。
[精品]一年级排列组合1
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人教版一年级数学——数学广角──排列组合（一）教材分析：“数学广角”是义务教育课程标准实验教科书从二年级上册开始新增设的一个单元，是新教材在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。
排列和组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，本教材在渗透数学思想方法方面做了一些努力和探索，把重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来。
教材的例1通过2个卡片的排列顺序不同，表示不同的两位数，属于排列知识，例1给出了一幅学生用数字卡片摆两位数的情境图，学生可以进行小组合作学习，然后小组交流摆卡片的体会：怎样摆才能保证不重复不遗漏。
教材以学生熟悉而又感兴趣的生活场景为依托，重在向学生渗透这些数学思想方法，将学习活动置于模拟情景中，给学生提供操作和活动的机会，初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识，为学生今后学习组合数学和学习概率统计奠定基础。
学生分析：在日常生活中，有很多需要用排列组合来解决的知识。
如体育中足球、乒乓球的比赛场次，密码箱中密码的排列数等等，作为二年级的学生，已有了一定的生活经验，因此在数学学习中注意安排生动有趣的活动，让学生通过这些活动来进行学习，经历简单的排列组合规律的数学知识探索过程，让学生在活动中探究新知，发现规律，从而培养学生的数学能力。
教学目标：1．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的排列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程；2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、分析和推理的能力；3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。
设计理念：根据学生认知特点和规律，在本节课的设计中，我遵照《课标》的要求和低年级学生学习数学的实际，着眼于学生的发展，注重发挥多媒体教学的作用，通过课件演示、实物投影、动手操作、游戏活动等方式组织教学，做到：a、创设情境活用教材我对教材进行了灵活的处理，创设了“六一”参观体育馆这样一个情境，在一个又一个的活动情境中渗透排列和组合的思想方法，让学生亲身经历探索简单事物排列和组合规律的过程，在活动中主动参与，在活动中发现规律。
精英班教案--排列组合1
将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有222 种.［解法一］用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额•如1 1 KI 1 1表示第一、二、三个学校分别有4, 18 , 2个名额.若把每个“ ”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是“| ”，故不同的分配方法相当于24 2 26个位置（两端不在内）被2个”占领的一种占位法”.每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“ ”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“I ”，故有C： 253 种.又在每校至少有一个名额的分法”中至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.综上知，满足条件的分配方法共有253 —31 = 222种.［解法二］设分配给3个学校的名额数分别为X i,X2,X3，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程x1 x2 x324.的正整数解的个数，即方程x1 x2 x3 21的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：H? C；；C：253 .又在每校至少有一个名额的分法”中至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.综上知，满足条件的分配方法共有253 —31 = 222种.一条走廊宽2 m,长8 m,用6种颜色的1 1 m 2的整块地砖来铺设（每块地砖都是单色的，每种颜色的地砖都足够多）,要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同拼色方法有A. 308个B. 30 257个C. 30 207个D. 30 217个•解：铺第一列（两块地砖）有30种方法；其次铺第二列•设第一列的两格铺了A、B两色（如图），那么，第二列的上格不能铺A色.若铺B色，则有（6 1）种铺法；若不铺B色，则有（6 2）2种方法.于是第二列上共有21种铺法•同理，若前一列铺好，则其后一列都有21种铺法.因此，共有30 217种铺法.故选D.直线l i 与直线丨2平行，l l 上有5个不同的点，丨2上有10个不同的点，将l i 上的点与12上的点连线段，若没有三条线段交于同一点，则这些线段之间的交点共有_____ 个.1 a i <a 2<a 3 15， a s a ： 6，那么满足条件的子集的个数为 ___________________ .答案：371.2解：当2 a 2 9时，ai,a 2有C g 种选择方法，a s 有6种选择方法，所以&82怎 共有6 C ； 216种选择方法；当10 a 2 14时，一旦a ?取定，a 1有a ? 1种选择 方法，a s 有15 a 2种选择方法，所以选择a 1, a 2, a 3的方法有14a 2 1 15 a 29 5 10 4 11 3 12 2 13 1 155种.a 2 10综上，满足条件的子集共有371个.有6本不同的书，其中一本数学书，两本英语书，三本音乐书，将他们排成一排，若英语书 不相邻，音乐书也不相邻的不同排法数为 ____________ 120 ________1.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为1,2, ,9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边的) 小正方形所涂颜色都不相同，且“ 3、5、7 ”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 108 __________种。
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1.2.5排列组合综合应用
第1课时
一、教学目标：
1、掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用。
2、认识分组分配和分组组合问题的区别。
3、能够区分和解决分组分配和分组组合问题。
二、教学重点难点
重点：熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用
难点：能够区分和解决分组分配和分组组合问题。
三、教学过程：
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
前面，我们已经分别对排列组合问题做了较全面的研究，我们知道排列组合相互联系又相互区别。
在实际问题中，有些问题既涉及排列问题又涉及组合问题，因此只有将两个知识点结合起来，才能更好的解决实际问题，今天我们先解决以下几类综合问题。
（三）合作探究、精讲点拨。
1.分组分配问题
（4）因为没有规定谁得1件，谁得2件和3件，那么谁都可以得1，2，或3件，故应
比（2）扩大33A 倍，则一共有36033332516=A C C C 种。
（5）解法一：第一堆有26C 种分法，第二堆有24C 种分法，第三堆有2
2C 种分法，所以一
共有222426C C C 种分法，但因为堆与堆之间没有区别，故每33
A 种情况只能算一种情况，因此，共有1533222426=A C C C 种分法。
解法二：设6件礼品分3堆有x 种分法，在平均分成3堆后再分给三个人，又有33A 种
分法，故将6件礼品分给三个人，每人2件共有x 33A 种分法，再由（1）知它应等于22
2426C C C 种，列方程得x 33A =222426C C C ，可得x 1533222426==A C C C 。
点评：本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清类型的归属对今后的解题大有裨益。
其中：⑴均匀不定向分配问题⑵非均匀定向分配问题⑶非均匀不定向分配问题⑷非均匀分配问题⑸均匀分配问题。
这是一个典型的问题，要认真体会。
变式训练1、按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？
（1）各组人数分别为2，4，6人；
（2）平均分成3个小组；
（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间。
简答：（1）66
410212C C C =13860， （2）33
4448412A C C C =5775， （3）分两步：第一步平均分成3组，第二步让3个小组分别进入不同车间，故有
3
34
448412A C C C 33A =44
48412C C C =34650种不同的分法。
2分组组合问题。
例二：6名男医生，4名女医生
⑴选3名男医生，2名女医生，让他们到5个不同的地区巡回医疗，共有多少种不同的分派方法？
⑵把10名医生分成2组，每组5人且每组要有女医生，有多少种不同的分派方法？若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正，副组长2人，又有多少种方法？
解析：取部分元素进行排列，一定要先取后排。
解：（1）法1：分三步：①从6名男医生中选3名36C ②从4名女医生中选2名24C ③对
选出的5人全排列55A ，故一共有
14400552436=C C C 种 法2：分两步：
从5个地区中选出3个地区，再将3个地区的工作分配给6个男医生中的3个，3635A C
再将剩下的2个地区的工作分给4个女医生中的2个24A ，故一共3635A C 1440024=A
（2）医生的选法有两类：
第一类：一组 女医生1人男医生4人，另一组 女医生3人男医生2人，因为组合组之间没有顺序，故一共有4
614C C 种不同的选法。
第二类：两组都是3男2女，考虑两组没有顺序，因此有种223624A C C 不同的
选法，因此医生不同的选法总数为+46
14C C 种120223624=A C C . 分派到两地22A 种方法，每个小组选出正副组长各有25A 种选法，
故一共有96000120252522==A A A N 。
点评：对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）。
变式训练2、从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和2个女同学分别承担A 、B 、
C 、
D 、
E 五项不同的工作，一共有多少种分配工作的方法？
简答：一般方法是先选后排，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程分步，故有
2436C C 55
A =14400种方法。
3. 相同元素的分组分配问题
例3：某校高二年级有6个班级，现要从中选出10人组成高二年级女子篮球队参加县高中年级篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加，这10个名额有多少种不同的分配方案？ 解析：名额分配问题，名额之间没有区别，可以采用隔板法。
解：因为名额之间没有区别，所以可以把它们视作是排成一排的10个相同的小球，要把这10个小球分开成6段，且每段至少一个小球，为达到这个目的，我们把这10个球拉开，每两个球之间空出一个位置，两端不留位置，共9个位置，现在要把这9个位置中放入5个隔板，则每一种放法把这10个球都能分成6段，得到的结果对应于一种分配方案，故有
12659=C 种放法。
点评：相同元素的分配问题，通常可以采用隔板法。
变式训练： 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。
解析：可以将方程解的问题转化为相同元素的分配问题。
解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值，则隔法
与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为29C =36（个）。
点评：该题的转化是关键，将方程的解转化为小球的分配的问题，使问题豁然开朗；既好理解，又便于计算。
在做题时注意体会。
（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
四、板书设计：
排列组合综合问题
第一课时
一预习检查 2分组组合问题。
3. 相同元素的分组分配
二合作探究、精讲点拨 例2 例3
1.分组分配问题
例1。