第四章 刚体转动

第四章 刚体的转动 问题4-1 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一个点在转轴与边缘之间的一半处。

试问：在t ∆时间内，哪一个点运动的路程较长？哪一个点转过的角度较大？哪一个点具有较大的线速度、角速度、线加速度和角加速度？ 解 在一定时间内，处于边缘的点，运动的路程较长，线速度较大；它们转动的角度、角速度都相等；线加速度、角加速度都为零。

考虑飞轮上任一点P ，它随飞轮绕转轴转动，设角速度为ω，飞轮半径为r 。

在t ∆内，点P 运动的路程为P P l r t ω=∆，对于任意点的角速度ω恒定，所以离轴越远的点（P r 越大）运动的路程越长。

又因为点P 的线速度P P v r ω=，即离轴越远，线速度也越大。

同理，点P 转动的角度P t θω=∆，对于飞轮上任一个点绕轴转动的角速度ω都相等，即在相等的时间内，飞轮上的点转动的角度都相等。

又角速度ω恒定，即线加速度0P Pd a r dtω==，角加速度0P d dtωα==.4-2 如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？解 不一定。

如图（a ）轻杆（杆长为l ）在水平面内受力1F 与2F 大小相等方向相反，合力为零，但它们相对垂直平面内通过O 点的固定轴的力矩1M F l =不为零。

如图（b ），一小球在绳拉力作用下在水平面内绕固定轴作圆周运动，小球所受的合外力通过O 点，它所受的力矩为零。

4-3 有两个飞轮，一个是木制的，周围镶上铁制的轮缘，另一个是铁制的，周围镶上木制的轮缘，若这两个飞轮的半径相同，总质量相等，以相同的角速度绕通过飞轮中心的轴转动，哪一个飞轮的动能较大。

1F（a ） （b ）解 两飞轮的半径、质量都相同，但木制飞轮的质量重心靠近轮缘，其转动惯量要大于铁制轮缘。

飞轮的动能212k E J ω=，ω相同，转动惯量J 越大，动能越大。

即木制飞轮动能较大。

4-4 如本题图所示，有5个质点，它们具有相同的质量m 和速度v ，对参考点O ，它们的角动量的大小和方向是否相同？解 由角动量定义得m =⨯L r v 其方向垂直于r 与v 的平面，且遵守右手法则，应用于本题中的5个质点可知，质点①与⑤、质点②与④的角动量大小相等方向相反，质点③的速度方向通过参考点，角动量为零。

4-5 如果一个质点系的总角动量等于零，能否说此质点系中每一个质点都是静止的？如果一质点系的总角动量为一常量，能否说作用在质点系上的合外力为零？解 不能。

由m =⨯L r v 知，若质点的速度方向所在的直线通过参考点，即0⨯r v =，此时角动量为零，但质点速度可以不为零；由角动量守恒定理可知质点系所受的力矩M 为零时，m =⨯常量L r v =， 但此时合外力并不一定为零，例如，当质点系所受的合外力为有心力时，仍能满足总角动量为常量。

4-6 一人坐在角速度为0ω的转台上，手持一个旋转着的飞轮，其转轴垂直地面，角速度为ω'，如果突然使飞轮的转轴倒转，将会发生什么情况？设转台和人的转动惯量为J ，飞轮的转动惯量为J '.解 考虑人、转台与飞轮组成的系统，飞轮轮轴倒转的过程满足角动量守恒， 0J J J J ωωωω''''+=- 则人与转台的角速度增大为02J Jωωω''=+4-7 下面几个物理量中，哪些与原点的选择有关，哪些与原点的选择无关：（1）位矢，（2）位移，（3）速度，（4）角动量。

解 位矢、角动量与原点的选择有关，位移与速度与原点的选择无关。

4-8 卫星绕地球运动。

设想卫星上有一个窗口，此窗口远离地球。

若欲使卫星中的宇航员依靠自己的能力，从窗口看到地球。

这位宇航员怎样做才能使窗口朝向地球呢？O① ②③④ ⑤v习题4-1 一汽车发动机曲轴的转速在12s 内由311.210r min -⨯⋅均匀的增加到312.710r min -⨯⋅（1）求曲轴转动的角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？ 解 （1）由角速度2n ωπ=，其中n 为转速， 又转动角加速度d dtωα=，所以曲轴转动的角加速度为2213.1sn n ttωωαπ---===（2）曲轴做匀变速转动，曲轴转过的角度()002t n n t ωωθπ+==+当12s t =，曲轴转过的圈数为3902N θπ==4-2 一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为32.0310N m ⨯⋅，涡轮的转动惯量为225.0k g m⋅.当轮的转速由312.8010r min -⨯⋅增大到411.1210r min -⨯⋅，所经历的时间t 为多少？解 由题意可知，作用在涡轮上的力矩M 恒定，由角动量定理可知0M t JJ ωω=- ()()002J n n t JMMωωπ--==代入数据得 10.8st =4-3 用落体观察法测定飞轮的转动惯量，是将半径为R 的飞轮支承在O 点上，然后在绕过飞轮的绳子的一端挂在一质量为m 的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞轮转动（如图）。

记下重物下落的距离和时间，就可算出飞轮的转动惯量。

试写出它的计算式。

（假设轴承间无摩擦）解 由题意分析可知，飞轮受重力和绳中张力力作用向下匀加速运动，同时带动飞轮加速转动。

如图，对重物由牛顿定律有m g a'T mg F ma -=对于飞轮，由转动定律有T F R J α'=其中T T F F '= ，a R α=（绳子不可拉长）， 又重物以初速度为零下落，其下落高度为212h at =综合以上几式可得飞轮的转动惯量为2212gt J mR h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭4-4 一飞轮由一直径为30cm ，厚度为2.0cm 的圆盘和两个直径都为10cm ，长为8.0cm 的共轴圆柱体组成，设飞轮的密度为337.810kg m -⨯⋅，求飞轮对轴的转动惯量。

解 圆柱体对中心轴的转动惯量为2111122d J m ⎛⎫= ⎪⎝⎭圆盘对中心轴的转动惯量为2222122d J m ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中21112d m l πρ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ 22222d m l πρ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭由转动惯量的叠加性可得飞轮对轴的转动惯量为 122J J J =+由以上几式可得 20.136kg m J =⋅4-5 质量面密度为σ的均匀矩形板，试证通过与板面垂直的几何中心轴线的转动惯量为()2212lb l b σ+，其中l 为矩形板的长，b 为它的宽。

解 如图，取矩形板所在平面为坐标面Oxy ，原点为轴线与平面的垂足点。

在板上取一质元dm dxdy σ=，由转动惯量的定义知这一质元对轴线的转动惯量为()222dJ r dm x ydxdy σ==+将上式对x 、y 积分得整个板对轴线的转动惯量为()2222l b l b J xydxdy σ--=+⎰⎰()2212lblbσ=+4-6 如图所示，质量116kg m =的实心圆柱体A ，其半径为15cm r =，可以绕其固定水平轴转动，阻力忽略不计。

一条轻的柔绳绕在圆柱体上，其另一端系一个质量28.0kg m =的物体B ，求：（1）物体B 由静止开始下降1.0s 后的距离；（2）绳的张力。

解 （1） A 、B 受力分析如图所示。

设物体B 向下运动的加速度为a ，由牛顿定律得2T 2m g F m a -=对于圆柱体A ，重力和轴对它的支持力平衡，它在绳子张力作用下加速转动，由转动定律2T 112F r J m r αα'==又T T F F '=，且a r α=综合上几式可得物体B 下落的加速度大小为21222m g a m m =+当 1.0s t =时物体下落的距离为 212h at =将加速度表达式及相关数据代入得 2.45m h =（2）由上问可知，绳中张力为12T 221239.2N 2m m F m g m a g m m =-==+2gTa4-7 质量为1m 和2m 的两物体A 、B 分别悬挂在如图所示的组合轮两端。

设两轮的半径分别为R 和r ，两轮的转动惯量分别为1J 和2J ，轮与轴承间的摩擦力略去不计，绳的质量也略去不计。

试求两物体的加速度和绳的张力。

解 组合轮与两物体的受力分析如图所示，组合轮为一个整体，它所受的重力和支持力平衡，只在两绳的张力作用下转动，设转动加速度为α，由转动定律得()T1T212F R F r J J J αα''-==+ 对于物体A 、B ，由牛顿定律有1T111m g F m a -= T 2222F m g m a -=又T1T1F F '=，T 2T 2F F '=，1a R α=，2a r α= 综合以上几式可得121221212m R m r a gR J J m R m r-=+++122221212m R m r a gr J J m R m r-=+++21222T11221212J J m r m R r F m g J J m R m r+++=+++21211T 22221212J J m R m R r F m g J J m R m r+++=+++4-8 如图所示装置，定滑轮的半径为r ，绕转轴的转动惯量为J ，滑轮两边分别悬挂质量为1m 和2m 的物体A 、B 。

A 置于倾角为θ的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ，若B 向下作加速运动时，求：（1）其下落的加速度大小；（2）滑轮两边绳子的张力。

（设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑）解如图，对滑轮及两物体分别进行21gT 1FT 1'T F F2m gT 2FT 2'受力分析，物体B 向下加速运动，带动滑轮转动，及物体A 沿斜面向上运动。

对于物体A ，设它沿斜面滑动的加速度大小为1a ，由牛顿定律有T11111sin cos F m g m g m a θμθ--=同样，对于物体B 有2T 222m g F m a -=对于滑轮，由转动定律可知T 2T 1F r F r J α''-=其中T 1T 1F F '= ，T 2T 2F F '=又绳子无伸长，绳与滑轮间无滑动，所以有 12a a r α== 综合上几式可得 物体B 下落的加速度大小为21121212sin cos m g m g m g a a m m J rθμθ--==++两边绳中张力大小分别为()()2121T12121sin cos sin cos m m g m g J rF m m J rθμθθμθ++++=++()2122T 22121sin cos m m g m g J rF m m J rθμθ+++=++4-9 一质量为m '、半径为R 的均匀圆盘，通过其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度ω转动，若在某时刻，一质量为m 的小碎片从盘边缘裂开，且恰好沿垂直方向上抛，问它可能达到的高度是多少？破裂后圆盘的角动量为多大？解 （1） 小碎片裂开竖直上抛的初速度大小等于圆盘边缘上点的线速度，即0v R ω=由运动学公式可知，碎片能达到的高度是22222v R h ggω==（2）圆盘破裂时，由角动量守恒有0L L L '=+2012L m R ω'=为破裂前整个圆盘对轴的角动量，2L mR ω=为破裂后碎片的角动量，所以破裂后圆盘的角动量为2012L L L m m R ω⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭4-10 在光滑的水平面上有一木杆，其质量1 1.0kg m =，长40cm l =，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动。