历年北京高考数学试题(理)
2005年高考理科数学(北京卷)试题及答案
2005北京卷试题及答案本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第1卷l 至2页，第Ⅱ卷3至9页．共150分考试时阃120分钟考试结束，将本试卷和答题卡—并交回第1卷(选择题 共40分)注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号不能答在试卷上一、本大题共8小题每小题5分共40分在每小题列出的四个选项中．选出符合题目要求的一项(1)设全集U=R ，集合M={x ∣x>l}，P={x ∣x 2>l}，则下列关系中正确的是(A)M=P (B) M P ⊂ (C) P M ⊂ (D) ∅=⋂P M C U (2)“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 (A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)1=．c =a +b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 (A)300(B)600(C)1200(D)1500(4)从原点向圆271222+-+y y x =0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为 (A)π (B)2π (C)4π (D)6π (5)对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是(A)sin(α+β)>sin α+sin β (B)sin(α+β)>cos α+cos β (C)cos (α+β)<sin α+sin β (D)cos (α+β)<cos α+cos β(6)在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是(A)BC∥平面PDF (B)DF ⊥平面PAE(C)平面PDF ⊥平面ABC (D)平面PAE ⊥平面ABC(7)北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 (A)1412C124C 84C (B)1214C 412A 48A(C)33484121214A C C C (D) 1214C 412A 48C 33A(8)函数xxx f cos 2cos 1)(-=(A)在[0，2π)，(2π，π]上递增，在[π，23π)，(23π，2π]上递减(B)在[0，2π)，[π，23π)上递增，在(2π，π]，(23π，2π]上递减(C)在(2π，π]，(23π，2π]上递增，在[0，2π)，[π，23π)上递减(D)在[π，23π)，(23π，2π]上递增，在[0，2π)，(2π，π]上递减第Ⅱ卷(共110分)注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2答卷前将密封线内的项目填写清楚二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上(9)若z l =a+2i ，z 2=3-4i ，且21z z 为纯虚数，则实数a 的值为 (10)已知tan 2α=2，则tan α的值为 ，tan(α+4π)的值为 (11)6)1(xx -的展开式中的常数项是 (用数字作答)(12)过原点作曲线y=xe 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为(13) 对于函数()f x 定义域中任意的12,x x (12x x ≠)，有如下结论：①1212()()()f x x f x f x +=； ②1212()()()f x x f x f x ⋅=+； ③2121)()(x x x f x f -->0； ④)2(21x x f +<2)()(21x f x f +当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是(14) 已知n 次多项式()n P x =n n n n a x a x a x a ++++--1110如果在一种算法中，计算kx 0(k=2，3，4，…，n)的值需要k-1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算0()n P x 的值共需要 次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：00()P x =0a n+1(x )=x P n (x )+1+k a (k=0,l ，2，…，n-1)．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的值共需要 次运算三、解答题：本大题共6小题共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （本小题共13分）已知函数a x x x x f +++-=93)(23(I)求)(x f 的单调递减区间；(Ⅱ)若)(x f 在区间[一2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值(16)(本小题共14分)如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,AB AD DC AA AD DC ====⊥,AC BD ⊥垂足为E(Ⅰ)求证1BD A C ⊥;(Ⅱ)求二面角11A BD C --的大小; (Ⅲ)求异面直线AD 与1BC 所成角的大小(17)(本小题共13分)甲、乙俩人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为12,3(Ⅰ)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E ξ; (Ⅱ)求乙至多击中目标2次的概率;(Ⅲ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率如图,直线1:(l y kx k =＞0)与直线2:l y kx =-之间的阴影区域(不含边界)记为W ,其左半部分记为1W ,右半部分记为2W(Ⅰ)分别有不等式组表示1W 和2W(Ⅱ)若区域W 中的动点(,)P x y 到12,l l 的距离之积等于2d ,求点P 的轨迹C 的方程;(Ⅲ)设不过原点O 的直线l 与(Ⅱ)中的曲线C 相交于12,M M 两点,且与12,l l 分别交于34,M M 两点.求证△12OM M 的重心与△34OM M 的重心重合(19)(本小题共12分)设数列{}n a 的首项114a ≠,且11214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩，是偶，是奇,记211,1,2,34n n b a n -=-=⋅⋅⋅(Ⅰ)求23,;a a(Ⅱ)判断数列{}n b 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)求12lim()n n b b b →∞++⋅⋅⋅设()f x 是定义在[0，1]上的函数，若存在)1,0(∈*x ，使得()f x 在[0，x ]上单调递增，在[x ，1]单调递减，则称()f x 为[0，1]上的单峰函数，x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间对任意的[0，1]上的单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法（Ⅰ）证明：对任意的12,x x )1,0(∈, 12x x <,若)()(21x f x f ≥，则（0，2x ）为含峰区间；若)()(21x f x f ≤，则（1x ，1）为含峰区间；（Ⅱ）对给定的r （0<r <0.5），证明：存在12,x x )1,0(∈,满足r x x 212≥-，使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+r ;(Ⅲ)选取12,x x )1,0(∈,12x x < 由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，2x ）或（1x ，1），在所得的含峰区间内选取3x ,由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可确定是一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，2x ）的情况下，试确定123,,x x x 的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）2005北京卷试题及答案参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）38 （10）－34；－71（11）15 （12）(1, e )；e （13）②③ （14）21n (n ＋3)；2n三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I ） 2()369f x x x '=-++． 令()f x ' <0，解得x <－1或x >3，所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上()f x ' >0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．（16）（共14分）（I ）在直四棱柱ABCD －AB 1C 1D 1中， ∵AA 1⊥底面ABCD ．∴ AC 是A 1C 在平面ABCD 上的射影．∵BD ⊥AC ．∴ BD ⊥A 1C ；（II ）连结A 1E ，C 1E ，A 1 C 1．与（I ）同理可证BD ⊥A 1E ，BD ⊥C 1E ，∴ ∠A 1EC 1为二面角A 1－BD －C 1的平面角． ∵ AD ⊥DC ，∴ ∠A 1D 1C 1=∠ADC ＝90°， 又A 1D 1=AD ＝2，D 1C 1= DC ＝23，AA 1=3且 AC ⊥BD ， ∴ A 1C 1＝4，AE ＝1，EC ＝3，∴ A 1E ＝2，C 1E ＝23， 在△A 1EC 1中，A 1C 12＝A 1E 2＋C 1E 2， ∴ ∠A 1EC 1＝90°， 即二面角A 1－BD －C 1的大小为90°．（III ）过B 作 BF //AD 交 AC 于 F ，连结FC 1， 则∠C 1BF 就是AD 与BC 1所成的角． ∵ AB ＝AD ＝2， BD ⊥AC ，AE ＝1，∴ BF =2，EF ＝1，FC ＝2，BC ＝DC ，∴ FC 1=7，BC 1在△BFC 1中，1cos C BF ∠==∴ ∠C 1BF=arccos 5 即异面直线AD 与BC 1所成角的大小为arccos 5． 解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系连结111 1.,,A E C E AC与(1)同理可证,11,BD A E BD C E ⊥⊥, ∴11A EC ∠为二面角11A ED C --的平面角.由113(0,2A C E得11(,22EA =-13(,22EC =- ∴113930,44EA EC ⋅=--+= ∴11,EA EC ⊥即11.EA EC ⊥ ∴二面角11A ED C --的大小为90（Ⅲ）如图,由(0,0,0)D ,(2,0,0),A 1C B得1(2,0,0),(AD BC =-=- ∴116,2,15,AD BC AD BC ⋅===∴111,6cos ,2AD BC AD BC AD BC ===∵异面直线AD 与1BC 所成角的大小为arccos 5解法三：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连结1111,,A E C E AC.与（Ⅰ）同理可证11,,BD A E BD C E ⊥⊥ ∴11A EC ∠为二面角11A BD C --的平面角由11(0,0,0),(0,1E A C -得11(0,1,3),EA EC =-= ∵11330,EA EC =-+=∴11EA EC ⊥即11,EA EC ⊥ ∴二面角11A BD C --的大小为90（17）（共13分）解：（I ）P (ξ＝0)＝03311()28C =，P (ξ＝1)＝13313()28C =，P (ξ＝2)＝23313()28C =，P (ξ＝3)＝33311()28C =，ξ的概率分布如下表：E ξ＝13310123 1.58888⋅+⋅+⋅+⋅=, （或E ξ=3·21=1.5）； （II ）乙至多击中目标2次的概率为1－3332()3C =1927； （III ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2， B 1，B 2为互斥事件1231121()()()8278924P A P B P B =+=⋅+⋅=所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124（18）（共14分） 解：（I ）W 1={(x , y )| k x <y <－k x , x <0}，W 2={(x , y )| －k x <y <k x , x >0}， （II ）直线l 1：k x －y ＝0，直线l 2：k x ＋y＝0，由题意得2d =, 即22222||1k x y d k -=+， 由P (x , y )∈W ，知k 2x 2－y 2>0，所以 222221k x y d k -=+，即22222(1)0k x y k d --+=,所以动点P 的轨迹C 的方程为22222(1)0k x y k d --+=；（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为（32a ，0），即它们的重心重合， 当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =mx +n （n ≠0）由22222(1)0k x y k d y mx n ⎧--+=⎨=+⎩，得2222222()20k m x mnx n k d d -----=由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2－m 2≠0且△=2222222(2)4()()mn k m n k d d +-⨯++>0 设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)， 则12222mnx x k m +=-, 1212()2y y m x x n +=++,设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3)，(x 4, y 4)， 由及y kxy kx y mx n y mx n ⎧==-⎧⎨⎨=+=+⎩⎩得34,n nx x k m k m -==-+ 从而3412222mnx x x x k m +==+-，所以y 3+y 4=m (x 3+x 4)+2n ＝m (x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2, 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合． （19）（共12分） 解：（I ）a 2＝a 1+41=a +41，a 3=21a 2=21a +81； （II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21a 4=41a +316,所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －41),猜想：{b n }是公比为21的等比数列·证明如下：因为b n +1＝a 2n +1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=21b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为21的等比数列（III ）11121(1)12lim()lim2()1141122n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===---. （20）（共14分）（I ）证明：设x *为f (x ) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f (x )在[0, x *]上单调递增，在[x *, 1]上单调递减．当f (x 1)≥f (x 2)时，假设x *∉(0, x 2)，则x 1<x 2<x *，从而f (x *)≥f (x 2)>f (x 1)， 这与f (x 1)≥f (x 2)矛盾，所以x *∈(0, x 2)，即(0, x 2)是含峰区间当f (x 1)≤f (x 2)时，假设x *∉( x 2, 1)，则x *<≤x 1<x 2，从而f (x *)≥f (x 1)>f (x 2)， 这与f (x 1)≤f (x 2)矛盾，所以x *∈(x 1, 1)，即(x 1, 1)是含峰区间 （II ）证明：由（I ）的结论可知：当f (x 1)≥f (x 2)时，含峰区间的长度为l 1＝x 2； 当f (x 1)≤f (x 2)时，含峰区间的长度为l 2=1－x 1； 对于上述两种情况，由题意得210.510.5x rx r +⎧⎨-+⎩≤≤ ①由①得 1＋x 2－x 1≤1+2r ，即x 1－x 1≤2r 又因为x 2－x 1≥2r ，所以x 2－x 1=2r, ② 将②代入①得x 1≤0.5－r, x 2≥0.5－r ， ③ 由①和③解得 x 1＝0.5－r ， x 2＝0.5＋r所以这时含峰区间的长度l 1＝l 1＝0.5＋r ，即存在x 1，x 2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r（III ）解：对先选择的x 1；x 2，x 1<x 2，由（II ）可知 x 1＋x 2＝l ， ④在第一次确定的含峰区间为(0, x 2)的情况下，x 3的取值应满足 x 3＋x 1＝x 2， ⑤由④与⑤可得2131112x x x x =-⎧⎨=-⎩,当x 1>x 3时，含峰区间的长度为x 1．由条件x 1－x 3≥0.02，得x 1－(1－2x 1)≥0.02，从而x 1≥0.34因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x 1＝0.34，x 2＝0.66，x 3=0.32。
03北京高考数学(理)
1 | f (u ) f (v ) || u v | ， 当u，v [0, ] 2 ，若存在请举一例，若不存在，请说明理由． | f (u ) f (v ) || u v | ， 当u，v [ 1 ,1] 2
2
] 上的最大值和最小值.
（本小题满分 13 分）已知数列 {a n } 是等差数列，且 a1 2 ， a1 a 2 a3 12 16． （1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）设数列 bn a n x n （ x R ） ，求数列 {bn } 的前 n 项和公式.
H ( x4 , y 4 ) （ y 4 0 ） ．求证：
k1 x1 x2 k 2 x3 x4 ； x1 x2 x3 x4
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在 C , D , G , H ，设 CH 交 x 轴于 P 点，GD 交 x 轴于 Q 点，求证：| OP || OQ |（证 明过程不考虑 CH 或 GD 垂直于 x 轴的情形）
成都极致教育（数学教研组）
2003 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数 学（理工农医类）
第一部分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的. 1.设集合 A {x | x 1 0} ， B {x | log 2 x 0} ，则 A B 等于（
2
）
A. {x | x 1} C. { x | x 1}
B. { x | x 0} D. {x | x 1 或 x 1}
2.设 y1 4
0.9
， y2 8
0.48
， y 3 ( ) 1.5 ，则（
2019年高考理科数学北京卷理数(附参考答案和详解)
绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2019北京卷·理）已知复数2iz=+，则z z⋅=（）A.3B.5C.3D.5【解析】因为2iz z⋅=+⋅-=.故选D.z=+，所以2iz=-，所以(2i)(2i)5【答案】D2.（2019北京卷·理）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.1B.2C.3D.4【解析】1,1k s ==；第一次循环：2s =，判断3,2k k <=；第二次循环：2s =，判断3,3k k <=；第三次循环：2s =，判断3k =.故输出2，故选B. 【答案】B3.（2019北京卷·理）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是（ ）A.15B.25C.45D.65【解析】由题意可知直线l 的普通方程为4320x y -+=，由点到直线的距离公式可得点(1,0)到直线l的距离65d ==.故选D. 【答案】D4.（2019北京卷·理）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，则（ ）A.222a b =B.2234a b =C.2a b =D.34a b =【解析】因为椭圆的离心率为12c e a ==，所以224a c =.又222a b c =+，所以2234a b =.故选B. 【答案】B5.（2019北京卷·理）若x ，y 满足||1x y ≤-，且1y ≥-，则3x y +的最大值为（ ）A.7-B.1C.5D.7【解析】由||1x y ≤-，且1y ≥-，得10,10,1.x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3z x y =+，则3y x z =-+，作直线0:3l y x =-，并进行平移.显然当0l 经过点(2,1)A -时，z 取得最大值，max 3215z =⨯-=.故选C. 【答案】C6.（2019北京卷·理）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A.10.110B.10.1C.lg10.1D.10.110-【解析】由题意知，126.7m =-，2 1.45m =-，代入所给公式得1251.45(26.7)lg 2EE ---=，所以12lg10.1E E =，所以10.11210EE =.故选A. 【答案】A7.（2019北京卷·理）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】因为设点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC AC AB =-，所以||||AB AC BC +>等价于||||AB AC AC AB +>-，因模为正，故不等号两边平方得22222||||cos 2||||cos AB AC AB AC AC AB AC AB θθ++⋅⋅>+-⋅⋅（θ为AB 与AC 的夹角），整理得4||||cos 0AB AC θ⋅⋅>，故cos 0θ>，即θ为锐角.又以上推理过程可逆，所以“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的充分必要条件.故选C. 【答案】C8.（2019北京卷·理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（ ）A.①B.②C.①②D.①②③【解析】由221||x y x y +=+，当0x =时，1y =±；当0y =时，1x =±；当1y =时，01x =±，.故曲线C 恰好经过6个整点：(0,1)A ，(0,1)B -，(1,0)C ，(1,1)D ，(1,0)E -，(1,1)F -，所以①正确.由基本不等式，当0y >时，22221||1||12x y x y x y xy ++=+=+≤+，所以222x y +≤222x y +≤②正确.如图，由①知矩形CDFE 的面积为2，△BCE 的面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误.故选C. 【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分。
2018年北京高考卷数学(理科)试题附详细标准答案
2018年北京高考卷数学(理科)试题附详细标准答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 设集合A={x|2＜x＜3}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1, 2}D. ∅2. 若复数z满足|z|=1，则|z1|的最大值为（）A. 0B. 1C. √2D. 23. 在等差数列{an}中，若a1=3，a3+a5=18，则数列的前5项和为（）A. 25B. 35C. 45D. 554. 已知函数f(x)=x²+2ax+a²+2（a为常数），若f(x)在区间（∞，1）上单调递减，则a的取值范围为（）A. a≤0C. a≤1D. a≥15. 设平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），点B在直线y=3上，则线段AB的中点轨迹方程为（）A. y=3B. x=2C. y=3xD. x=3y6. 若sinθ+cosθ=1/2，则sinθ·cosθ的值为（）A. 3/4B. 1/4C. 1/4D. 3/47. 在三角形ABC中，a=3，b=4，cosB=3/5，则三角形ABC的面积为（）A. 2√6B. 3√6C. 4√6D. 5√68. 设函数f(x)=x²2ax+a²+1（a为常数），若f(x)在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A. a≤1B. a≥1D. a≥0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 已知数列{an}是等差数列，若a1=1，a3+a5=10，则a4的值为______。
10. 若复数z满足|z|=1，则|z1|+|z+1|的最大值为______。
11. 在等比数列{bn}中，b1=2，b3=16，则数列的公比为______。
12. 已知函数f(x)=x²+2x+a（a为常数），若f(x)在区间（∞，1）上单调递减，则a的取值范围为______。
2013年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)
20XX 普通高等学校招生全国统一考试〔卷〕数学〔理科〕第一部分〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．〔1〕[20XX ，理1，5分]已知集合{}101A =-，，，{}|11B x x =-<≤，则A B =〔〕 〔A 〕{0}〔B 〕{}10-，〔C 〕{}01，〔D 〕{}101-，， [答案]B[解析]1,0,11{11,}{|}{}0x x --≤<-＝，故选B ．〔2〕[20XX ，理2，5分]在复平面内，复数()22i -对应的点位于〔〕 〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限 [答案]D[解析]2()2i 34i --＝，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D ．〔3〕[20XX ，理3，5分]“πϕ=〞是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点〞的〔〕〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]∵ϕπ=，∴sin 2sin2()y x x π=+=-，∴曲线过坐标原点，故充分性成立；∵(sin 2)y x ϕ=+过原点，∴sin 0ϕ=，∴k ϕπ=，k ∈Z ．故必要性不成立，故选A ．〔4〕[20XX ，理4，5分]执行如图所示的程序框图，输出的S 值为〔〕〔A 〕1〔B 〕23〔C 〕1321〔D 〕610987[答案]C[解析]依次执行的循环为1S =，i 0=；23S =，i 1=；1321S =，i 2=，故选C ．〔5〕[20XX ，理5，5分]函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =〔〕〔A 〕1e x +〔B 〕1e x -〔C 〕1e x -+〔D 〕1e x -- [答案]D[解析]依题意，()f x 向右平移1个单位之后得到的函数应为x y e -=，于是()f x 相当于x y e -=向左平移1个单位的结果，∴()1x f x e --=，故选D ．〔6〕[20XX ，理6，5分]若双曲线22221x y a b-=〔A 〕2y x =±〔B 〕y =〔C 〕12y x =±〔D 〕y =[答案]B[解析]c =，∴b ．∴渐近线方程为by x a=±=，故选B ．〔7〕[20XX ，理7，5分]直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于〔〕〔A 〕43〔B 〕2〔C 〕83〔D [答案]C[解析]由题意可知，l 的方程为1y =．如图，B 点坐标为()2,1，∴所求面积232200842424123x x S dx ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选C ．〔8〕[20XX ，理8，5分]设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满足0022x y -=，求得m 的取值X 围是〔〕〔A 〕43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，〔B 〕13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，〔C 〕23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，〔D 〕53⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，[答案]C[解析]图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含112y x =-上的点，只需要可行域的边界点()m m -，在112y x =-下方，也就是112m m <--，即23m <-，故选C ．第二部分〔非选择题共110分〕二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．〔9〕[20XX ，理9，5分]在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线sin 2ρθ=的距离等于．[答案]1[解析]在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中坐标为)，直线2sin ρθ=对应直角坐标系中的方程为2y =，所以点到直线的距离为1．〔10〕[20XX ，理10，5分]若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =；前n 项和n S =． [答案]2；122n +-[解析]由题意知352440220a a q a a +===+．由222421())10(12a a a q a q q +=+=+=，∴12a =．∴12122212n n n S +(-)==--．〔11〕[20XX ，理11，5分]如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD =________；AB =______． [答案]95，4[解析]设9PD k =，则0()16DB k k =>．由切割线定理可得，2·PA PD PB =，即23925k k =⋅，可得15k =．∴95PD =，5PB =．在Rt APB ∆中，AB=4AB ==．〔12〕[20XX ，理12，5分]将序号分别为1，2，3，4，5的5X 参观券全部分给4人，每人至少1X ，如果分给同一人的2X 参观券连号，那么不同的分法种数是________． [答案]96[解析]连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有1343496C A ⨯=(种)．〔13〕[20XX ，理13，5分]向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ=_______．[答案]4[解析]可设=-+a i j ，i ，j 为单位向量且⊥i j ，则62=+b i j ，3=--c i j ．由()()62λμμλλμ=+=-++c a b i j ，∴6123μλλμ-=-⎧⎨+=-⎩，解得212λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴4λμ=． 〔14〕[20XX ，理14，5分]如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为________．1A[答案[解析]过E 点作1EE 垂直底面1111A B C D ，交11B C 于点1E ，连接11D E ，过P 点作PH 垂直于底面1111A B C D ，交11D E 于点H ，P 点到直线CC 1的距离就是1C H ，故当1C H 垂直于11D E 时，P 点到直线1CC 距离最小，此时，在111Rt D C E ∆中，111C H D E ⊥，1111111··D E C H C D C E =，∴1C H ==． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．〔15〕[20XX ，理15，13分]在ABC △中，3a =，b =2B A ∠=∠．〔1〕求cos A 的值； 〔2〕求c 的值． 解：〔1〕因为3a =，b =2B A ∠=∠，所以在ABC ∆中，由正弦定理得3sin A =．所以2sin cos sin A A A．故cos A ． 〔2〕由〔1〕知，cos Asin A ==．又因为2B A ∠=∠，所以2cos 2cos 131B A =-=．n s i B ．在ABC ∆中，sin sin sin cos cos sin ()C A B A B A B =+=+=sin 5sin a Cc A==． 〔16〕[20XX ，理16，13分]下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天． 〔1〕求此人到达当日空气重度污染的概率； 〔2〕设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期 望；〔3〕由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？〔结论不要求证明〕解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市〞1,2)13(i =⋯，，．根据题意，()113i P A =，且()i j A A i j =∅≠．〔1〕设B 为事件“此人到达当日空气重度污染〞，则58B A A =．()()()58582()13P B P A A P A P A ==+=．〔2〕由题意可知，X 所有可能取值为0,1,2，且0115()()()123P X P X P X ==-=-==；()()()()36711367114()()113P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=；()()()()1212131212134()()132P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=．所以X 的分布列为：故X 的期望5401213131313EX =⨯+⨯+⨯=．〔3〕从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 〔17〕[20XX ，理17，14分]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =． 〔1〕求证：1AA ⊥平面ABC ；〔2〕求证二面角111A BC B --的余弦值．〔3〕证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值． 空气质量指数日期C 1B 1A 1ABC解：〔1〕因为11AA C C 为正方形，所以1AA AC ⊥．因为平面ABC ⊥平面11AA C C ，且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ，所以1AA ⊥平面ABC ．〔2〕由〔1〕知1AA AC ⊥，1AA AB ⊥．由题知3AB =，5BC =，4AC =，所以AB AC ⊥．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,3,0B ，()10,0,4A ，()10,3,4B ， ()14,0,4C ．设平面11A BC 的法向量为()x y z =n ，，，则1110A B AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即34040y z x -=⎧⎨=⎩．令3z =，则0x =，4y =，所以()0,4,3=n ．同理可得，平面11B BC 的法向量为()3,4,0=m ．所以cos 〈n ，m 〉=16cos ,||||25⋅=n m n mn m ．由题知二面角111A BC B --为锐角， 所以二面角111A BC B --的余弦值为1625．〔3〕设()D x y z ，，是直线1BC 上一点，且1BD BC λ=，所以343,4()()x y z λ-=-，，，．解得4x λ=，33y λ=-，4z λ=．所以4()334AD λλλ=-，，．由10AD A B ⋅=，即9250λ-=，解得 925λ=．因为[]9250,1∈，所以在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥．此时，1925BD BC λ==． 〔18〕[20XX ，理18，13分]设l 为曲线ln :xC y x=在点()1,0处的切线．〔1〕求l 的方程；〔2〕证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方．解：〔1〕设()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=．所以()11f '=．所以L 的方程为1y x =-． 〔2〕令()()1g x x f x =--，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于()()001g x x x >>≠∀，．()g x 满足()10g =，且()()22ln 11x x x xg f x'=-+'-=．当01x <<时，210x -<，ln 0x <，所以()0g x '<， 故()g x 单调递减；当1x >时，210x ->，ln 0x >，所以()0g x '>，故()g x 单调递增． 所以，()()1001()g x g x x ∀>=>≠，．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．〔19〕[20XX ，理19，14分]已知,,A B C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点．〔1〕当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；〔2〕当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解：〔1〕椭圆2214x W y +=：右顶点B 的坐标为()2,0．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设()1A m ，，代入椭圆方程得2114m +=，即m =．所以菱形OABC的面积是1·22212OB AC m =⨯⨯=〔2〕假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为0)0(y kx m k m =+≠≠，．由2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，消y 并整理得222()148440k x kmx m +++-=． 设11()A x y ，，22()C x y ，，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+． 所以AC 的中点为224,1414km m M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k -． 因为114k k ⎛⎫⋅-≠- ⎪⎝⎭，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．〔20〕[20XX ，理20，13分]已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n项之后各项12,n n a a ++的最小值记为n B ，n n n d A B =-．〔1〕若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列〔即对任意*n ∈N ，4n n a a +=〕，写出1234,,,d d d d 的 值；〔2〕设d 是非负整数，证明：()1,2,3n d d n =-=的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列；〔3〕证明：若12a =，()11,2,3,n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．解：〔1〕121d d ==，343d d ==． 〔2〕〔充分性〕因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且0d ≥，所以12n a a a ≤≤⋯≤≤⋯．因此n n A a =，1n n B a +=，11,2,3()n n n d a a d n +=-=-=⋯，． 〔必要性〕因为(01,2,3)n d d n =-≤=⋯，，所以n n n n A B d B =+≤．又因为n n a A ≤，1n n a B +≥，所以1n n a a +≤．于是，n n A a =，1n n B a +=，因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=，即{}n a 是公差为d 的等差数列． 〔3〕因为12a =，11d =，所以112A a ==，1111B A d =-=．故对任意1n ≥，11n a B ≥=．假设{}()2n a n ≥中存在大于2的项．设m 为满足2m a >的最小正整数，则2m ≥，并且对任意1k m ≤<，2k a ≤．又因为12a =，所以12m A -=，且2m m A a =>．于是，211m m m B A d =->-=， 1{}2m m m B min a B -=≥，．故111220m m m d A B ---=-≤-=，与11m d -=矛盾．所以对于任意1n ≥，有2n a ≤，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2． 因为对任意1n ≥，12n a a ≤=，所以2n A =．故211n n n B A d =-=-=．因此对于任意正整数n ，存在m 满足m n >，且1m a =，即数列{}n a 有无穷多项为1．。
2008年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
下条件：
①x1＞x2；②x12＞x22；③|x1|＞x2．
其中能使 f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是
．
14．（5 分）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如
下：第 k 棵树种植在点 Pk（xk，yk）处，其中 x1=1，y1=1，当 k≥2 时，
T（a）表示非负实数 a 的整数部分，例如 T
（Ⅰ）如果数列 A0 为 5，3，2，写出数列 A1，A2； （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列 A，证明 S（T1（A））=S（A）； （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0，存在正整数 K，
当 k≥K 时，S（Ak+1）=S（Ak）．
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2008 年北京市高考数学试卷（理科）
． 的值
，其展开
式中的常数项为
．（用数字作答）
12．（5 分）如图，函数 f（x）的图象是折线段 ABC，其中 A，B，C 的坐标分
别 为 （ 0 ， 4 ），（ 2 ， 0 ），（ 6 ， 4 ）， 则 f （ f （ 0 ）） =
；
=
．（用数字作答）
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13．（5 分）已知函数 f（x）=x2﹣cosx，对于[﹣ ， ]上的任意 x1，x2，有如
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．
18．（13 分）已知函数 间．
，求导函数 f′（x），并确定 f（x）的单调区
19．（14 分）已知菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x2+3y2=4 上，对角线 BD 所在 直线的斜率为 1．
2011年北京市高考数学试卷(理科)(原卷版)
2011年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．D．3．（5分）在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标是（）A．B．C．（1，0）D．（1，π）4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3B．﹣C．D．25．（5分）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA；②AF•AG=AD•AE③△AFB～△ADG其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③6．（5分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A．75，25B．75，16C．60，25D．60，167．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8B．C．10D．8．（5分）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（）A．{9，10，11}B．{9，10，12}C．{9，11，12}D．{10，11，12}二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）在△ABC中．若b=5，，tanA=2，则sinA=；a=．10．（5分）已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k=．11．（5分）在等比数列{a n}中，a1=，a4=﹣4，则公比q=；|a1|+|a2|+…+|a n|=．12．（5分）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个．（用数字作答）13．（5分）已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是．14．（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．17．（13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．（注：方差，其中为x1，x2，…x n 的平均数）18．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围．19．（14分）已知椭圆．过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线I交椭圆G于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．20．（13分）若数列A n=a1，a2，…，a n（n≥2）满足|a k+1﹣a k|=1（k=1，2，…，n ﹣1），数列A n为E数列，记S（A n）=a1+a2+…+a n．（Ⅰ）写出一个满足a1=a s=0，且S（A s）＞0的E数列A n；（Ⅱ）若a1=12，n=2000，证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n=2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列A n，使得S（A n）=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列A n；如果不存在，说明理由．。
[五年高考历届]北京市理科数学卷高考试题真题卷(含详
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[五年高考历届]北京市理科数学卷高考试题真题卷(含详2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=（A）{0，1}（B）{–1，0，1}（C）{–2，0，1，2}（D）{–1，0，1，2}（2）在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A ）12 （B ）56 （C ）76（D ）712（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 （A ）32f （B ）322f （C ）1252f（D ）1272f（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（6）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈（B ）对任意实数a ，（2，1）A ∉（C ）当且仅当a <0时，（2，1）A ∉ （D ）当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉ 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页,第II 卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束。
将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题共40分）注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数ii+1对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）若a 与b －c 都是非零向量，则“a ·b =a ·c ”是“a ⊥（b －c ）”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）在1，2，3，4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有 （A ）36个 （B ）24个（C ）18个（D ）6个（4）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 （A ）一条直线 （B ）一个圆（C ）一个椭圆（D ）双曲线的一支（5）已知),(1,log 1,4)13()(+∞-∞⎩⎨⎧≥<+-=是x x x a x a x f a上的增函数，那么a 的取值范 围是（A ）（0，1）（B ）（0，31） （C ）[71·31) （D ）71[，1）（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意).(,2121x x x x ≠ |||)()(|1212x x x f x f -<-恒成立”的只有（A ）xx f 1)(=（B ）||)(x x f =（C ）2)(=x f（D ）2)(x x f =（7）设)(),(22222)(11074n f N n n f n 则∈+++++=+Λ等于（A ）)18(72-n（B ）)18(721-+n（C ）)18(721-+n（D ）)18(721-+n（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车辆数如图所示，图中1x 、2x 、3x 分别表示该时段单位时间通过路段AB ， BC ，CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出 的车辆数相等），则 （A ）321x x x >> （B ）231x x x >> （C ）132x x x >> （D ）123x x x >>绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类）（北京卷）第II 卷（共110分）注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题 号 二三总 分（（（151617181920二、填空题：本大题共6小题，每小 题5分，共30分。
把答案填在题中横线上。
（9）123lim 221-++→x x x n 的值等于 . （10）在7)2(xx -的展开式中，2x 的系数是 .（用数字作答） （11）若三点A （2，2），B （a ，0），C （0，b ）（0≠ab ）共线，则ba 11+的值等于.（12）在△ABC 中，若C B A sin :sin :sin =5:7:8. 则∠B 的大小是 .（13）已知点P （x ，y ）的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,1,4y x y y x 点O 为坐标原点，那么| PO |的最小值等于 ，最大值等于 .（14）已知A 、B 、C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC ⊥BC ，且AB =R ，那么A 、B 两点间的球面距离为 球心到平面ABC 的距离为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共12分）已知函数xx x f cos )42sin(21)(π--=.（Ⅰ）求)(x f 的定义域；（Ⅱ）设α的第四象限的角，且34tan -=α，求)(αf 的值. （16）（本小题共13分）得分评卷人得分评卷人得分评卷人已知函数cx bx ax x f ++=23)(在点x 0处取得极大值5，其导函数)(x f y '=的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求： （Ⅰ）x 0的值； （Ⅱ）a ，b ，c 的值. （17）（本小题共14分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A =PB ，点E 是PD 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥PB ； （Ⅱ）求证：PB //平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E —AC —B 的大小. （18）（本小题共13分） 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a ，b ，c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. 求：（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）得分评卷人得分评卷人（19）（本小题共14分）已知点M （－2，0），N （2，0），动点P 满足条件| PM |－| PN |=22，记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA 、OB 的最小值. （20）（本小题共14分）在数列||n a 中，若a 1，a 2是正整数，且=-=--n a a a n n n |,|213，4，5，…，则称||n a 为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列” ||n a 中，0,32120==a a ，数列||n b 满足,21++++=n n n n a a a bn=1，2，3，…，分虽判断当∞→n 时，n n b a 与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.绝密★启用前2006年普通高等学校招生统一考试 数学（理工类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）得分评卷人得分评卷人（1）D （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）－21（10）－14 （11）21 （12）3π（13）210 （14）R R2331π 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分）解：（Ⅰ）由)(20cos Z k k x x ∈+≠≠ππ得，故)(x f 在定义域为},2|{Z k k x x ∈+≠ππ，（Ⅱ）因为34tan -=α，且α是第四象限的角， 所以53cos ,54sin =-=αα，故απααcos )42sin(21)(--=f αααcos )2cos 222sin 22(21--=αααcos 2cos 2sin 1+-=)sin (cos 2cos cos sin 2cos 22αααααα-=-= .514=（16）（共13分）解法一：（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上0)(>'x f ，在（1，2）上0)(<'x f ，在（2，+∞）上0)(>'x f ，故)(x f 在（－∞，1），（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减， 因此)(x f 在x =1处取得极大值，所以x 0=1.（Ⅱ）c bx ax x f ++='23)(2，由,5)1(,0)2(,0)1(=='='f f f得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,5,0412,023c b a c b a c b a 解得.12,9,2=-==c b a解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设,23)2)(1()(2m mx mx x x m x f +-=--=' 又c bx ax x f ++='23)(2，所以,2,23,3m c m b m a =-== .2233)(23mx mx x m x f +-=由5)1(=f ， 即,52233=+-m m m 得6=m ，所以.12,9,2=-==c b a （17）（共17分） 解法一：（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD ，∴AB 是PB 在平面ABCD 上的射影. 又∵AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PB.（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO. ∵A BCD 是平行四边形， ∴O 是BD 的中点又E 是PD 的中点 ∴EO ∥PB.又PB ∉平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，∴PB ∥平面AEC.（Ⅲ）取BC 中点G ，连接OG ，则点G 的坐标为（2a ,2b ,0），OG =（0，2b ,0）. 又).0,0,(),2,2,0(a AC bb OE =-= .0,0=⋅=⋅∴AC OC AC OE ∴OE ⊥AC ，OG ⊥AC ，∴∠EOG 是二面角E —AC —B 的平面角 ∵.22||||,cos cos -=⋅>=<=OG OE OG OE OG OE EOG ∴∠EOG=135°.∴二面角E —AC —B 的大小为135°. （18）（共13分）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ，则P （A ）=a ，P （B ）=b ，P （C ）=c . （Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率)()()()(1C B A P C B A P C B A P C B A P p ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= =abc b ac a bc c ab +-+-+-)1()1()1( =abc ca bc ab 2-++;应聘者用方案二考试通过的概率)(31)(31)(312C A P C B P B A P p ⋅+⋅+⋅==).(31ca bc ab ++（Ⅱ）因为]1,0[,,∈c b a ，所以abc ca bc ab p p 2)(3221-++=- =0)]1()1()1([32≥-+-+-b ca a bc c ab ，故21p p ≥，即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大. （19）（共14分） 解法一：（Ⅰ）由|PM|－|PN|=22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实 半轴长.2=a又半焦距c =2，故虚半轴长222=-=a cb .所以W 的方程为2,12222≥=-x y x . （Ⅱ）设A ，B 的坐标分别为（).,(),,2211y x y x当AB ⊥x 轴时，2121,y y x x -==，从而.221212121=-=+=⋅y x y y x x OB OA当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为m kx y +=，与W 的方程联立，消 去y 得.022)1(222=----m kmx x k故12,122221221-+=-=+k m x x k km x x ， 所以 2121y y x x OB OA +=⋅=))((2121m kx m kx x x +++=221212)()1(m x x km x x k ++++=2222222121)2)(1(m k m k k m k +-+-++ =142122222-+=-+k k k .又因为021>x x ，所以012>-k ，从而.2>⋅OB OA综上，当AB ⊥x 轴时，OB OA ⋅取得最小值2. 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设A ，B 的坐标分别为（),(),,2211y x y x ，则).2,1(2))((22==-+=-i y x y x y x i i i i i i令i i i i i i y x t y x s -=+=,，则,2=i i t s 且=>>i t s i i (0,01，2）所以 2121y y x x OB OA +=⋅=))((41))((4122112211t s t s t s t s --+++ 2212121212121=≥+=t t s s t t s s ，当且仅当2121t t s s =，即⎩⎨⎧-==2121,y y x x 时“=”成立.所以OB OA ⋅的最小值是2. （20）（共14分）（Ⅰ）解：.1,0,1,1,0,1,1,2,1,310987654321==========a a a a a a a a a a （答案不惟一）（Ⅱ）解：因为在绝对差数列.0,3,}{2120==a a a n 中所以自第20项开始，该数列是.,0,3,3,0,3,3,0,3,2726252423222120Λ========a a a a a a a a即自第20项开始。