中考圆知识点总结复习
初三圆知识点汇总
初三圆知识点汇总圆是初中数学中的一个重要内容，也是中考的必考知识点之一。
下面就为大家详细汇总初三圆的相关知识点。
一、圆的定义1、动态定义：在平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。
固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。
2、静态定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
二、圆的相关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
2、直径：经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧分为优弧、劣弧和半圆。
4、半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
5、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
6、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
三、圆的基本性质1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
四、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：（1）点在圆外⇔ d ＞ r；（2）点在圆上⇔ d ＝ r；（3）点在圆内⇔ d ＜ r。
2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：（1）直线与圆相离⇔ d ＞ r；（2）直线与圆相切⇔ d ＝ r；（3）直线与圆相交⇔ d ＜ r。
中考数学圆的知识点总结
圆知识点总结几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形.三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2.（4）扇形面积S 扇形=LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形=扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图）2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧=2πrh；(r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧=LR 21.（L=2πr，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）直线与圆相交⇔d＜r；直线与圆相切⇔d=r；直线与圆相离⇔d＞r.5．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.6．关于圆的常见辅助线：FED BAC OGH圆的外切四边形对边和相等.A B OC D若AD ∥BC 都是切线，连结OA 、OB 可证∠AOB=180°，即A、O、B 三点一线.EACBOD等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点,并构造相似形.EFCD BAO RtΔABC 的内切圆半径：r=2cb a -+.AC D PO BPC 过圆心，PA 是切线，构造双垂、RtΔ.BCD OAPO 是圆心，等弧出平行和相似.DE MABCFN G作AN⊥BC，可证出:ANAMBC GF =.模型：圆内接等腰三角形模型构成部分：如图1、1—1、2，⊙O、等腰△ABC（AB=AC）本质：角度一：位置关系等腰△ABC 的三个顶点在⊙O 上角度二：圆心O1、如图1、1—1、2，过A 作AD⊥BC 于D 过A 作AD⊥BC 于D，交⊙O 于E，设⊙O 的半径为R，AD=h，底边BC=a，则（1）△ABC 为锐角△⇔圆心O 在三角形的内部（如图1、1）△ABC 为钝角△⇔圆心O 在三角形的外部（如图1、2）（2）圆和它的内接等腰三角形组成的图形是轴对称图形，对称轴是底边的中垂线（1条）→圆心O 在直线AD 上（垂径定理模型）⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-===→2222a R h R BE CE AC ，AB 弧弧弧弧（3）∠BOD=∠BAC=ACB ∠-︒2180（如图1、1）∠BOD=2∠ACB（如图1、2）2、延长BO 交⊙O 于F，连结CF →FC OD BCF OD 21平行且等于的中位线为→∆3、连结OC，若∠BAC=为菱形四边形ABOC →︒120模型：圆内接三角形内角平分线模型构成部分：如图1，⊙O，△ABC，∠BAC 的角平分线AE，本质：角度一：位置关系（如图1）1、△ABC 的三个顶点在⊙O 上→点O 为△ABC 的外心→外心到三个顶点的距离相等→外心是三角形三边垂直平分线的交点2、∠BAC 的角平分线与BC 交于点D，与⊙O 交于点E，角度二：角平分线与⊙O 的交点E 1、如图1，连结BE、CE，则（1）⎪⎩⎪⎨⎧=→→DC BDAC AB EC =BE EC 弧=BE 弧（2）母子相似三角形模型和相交弦模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∙-∙=→∙=∙∙=→∆∆∆∙=→∆∆∆→CD BD AC AB AD AE AD AC AB EA ED EC EDC ECA BDA EA ED EB EDB EBA CDA 222相似于相似于相似于相似于2、如图2，过E 作直线GF，交直线AB 于G，交直线AC 于F，则（1）BC∥GF ⇔GF 与⊙O 切于点E说明：在①AE 平分∠BAC，②BC∥GF，③GF 与⊙O 切于点E 中，任取两个可以推出第三个（2）BC∥GF 或GF 与⊙O 切于点E⎩⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆→EABEBD CAD FAE FEC EACECD BAD GAE GEB 相似于相似于相似于相似于相似于相似于相似于相似于（3）如图6，EM 为切线，AB 为直径→AF⊥EF ()⎪⎩⎪⎨⎧∙=→∆∆→AFAB AE ABE Rt AEF Rt A EF BC 2相似于字模型平行平行于说明：在①AE 平分∠BAC ②EM 为切线③AF⊥EF 中，任意两个成立可以推出第三个（4）如图5，过B 作切线BK 交AE 的延长线于点K⎩⎨⎧←∙∙∠→AKB∽BKE △ BE AK =BK AB CBKBE 平分3、如图3，过E 作EN⊥AB 于N，作EM⊥AC 于M，→△BNE≌△CME ⇒BN=CM →AB+AC=2AM=2AN角度三：△ABC 的内心如图4，I 为内心，AI 交BC 于D，交⊙O 于E，则⎪⎩⎪⎨⎧∙===→DEAE IE CE IE BE 2四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
中考圆的知识点总结总结
中考圆的知识点总结总结一、圆的定义和性质1. 圆的定义圆是一个平面上和一个确定点的距离都相等的点的集合。
这个确定点就是圆心，而圆心到圆上的任意点的距离就是半径。
2. 圆的性质（1）圆心角圆心角是以圆心为顶点的角，它的两条边分别是圆周上的两条弦。
圆心角的度数等于对应的弧所对的圆周的度数。
如果圆心角的度数为360度，那么这个角就是周角。
（2）弧圆上的一段弧是圆周的一部分。
圆的周长就是圆周的长度，可以用角度和弧度来表示。
（3）切线和切点切线是一个直线，它与圆相切于一个点。
在圆上，切线与半径的夹角为90度。
（4）同位角同位角是两条平行线被一条截线所切割而形成的一对内角和一对外角。
同位角的性质也可以应用到圆上。
（5）相似两个或者更多的圆是相似的，如果它们有着相同的形状但是不同的尺寸。
相似的圆的半径之比等于它们的直径之比。
二、圆的相关定理1. 圆周角定理圆周角等于圆心角的一半。
2. 圆的面积和周长圆的面积等于πr^2，圆的周长等于2πr，其中r是圆的半径，π是一个无理数，约等于3.14159。
3. 弦长定理在同一个圆上，相交弦的两个切点到圆心的距离相等。
4. 弧长定理同样的圆上，相对的圆周弧长相等。
5. 切线定理切线和半径的夹角为90度。
6. 弧上的角定理同样的圆上，一个圆周弧所对的圆心角等于这个弧上的其他角的和。
7. 线段对定理在一个圆上，两条相交的弧所对的线段互为比例。
三、圆的应用1. 圆的周长和面积的应用圆的周长和面积是经常在实际生活中用到的数学概念。
比如在工程测量中，需要计算环形的周长和面积。
2. 圆的图形补充圆的图形补充，包括扇形、环形等概念，也是圆的知识点之一。
3. 圆的运动学应用在运动学中，圆的运动规律和路径也是一个重要的应用。
四、典型例题下面列举一些典型的中考圆的例题，帮助大家更好地复习和巩固知识。
1. 如果一条切线和一条半径分割了一个角为30度的圆心角，那么这条切线和半径的夹角是多少度？A. 60度B. 45度C. 30度D. 15度答案：A. 60度2. 已知圆的半径为8cm，求圆的面积和周长。
2024中考数学知识点圆的基础性质公式定理
2024中考数学知识点圆的基础性质公式定理中考数学中圆的基础性质公式定理有以下几个：
一、圆周公式
圆的圆周C＝2πr，其中C为圆的圆周长，r为圆的半径。
二、圆的面积公式
圆的面积S＝πr2，其中S为圆的面积，r为圆的半径。
三、圆心角公式
圆心角的大小θ等于弧长除以半径：θ＝l/r，其中θ为圆心角的大小，圆周长l，半径r。
四、圆切线与圆弦关系
三次角关系：若圆的两条切线和圆弧相切，则圆心角的三个角相等：θA＝θB＝θC，其中θA,θB,θC分别为圆心角的三个角的大小。
五、圆周弦关系
三次角关系：若圆的两条切线和圆弧相切，则两条切线上有等于圆弧的三次夹角：θA＝θB＝θC，其中θA,θB,θC分别为圆弧上三次夹角的大小。
六、圆的外接四边形关系
若四边形是圆的外接四边形，则四边形的对角线等于圆的直径：DA＝DB＝2r，其中DA,DB为四边形的两条对角线，r为圆的半径。
七、半径交点概念
若平面上有两条圆，以及它们的公共外接四边形，它们上的所有的交点都是半径交点，即两圆从它们公共外接四边形的对角线交点开始，向外射线，直到相交，所有相交的点都是它们的半径交点。
八、圆内接四边形关系
若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角线等于圆的直径：DA＝DB＝2r。
初中数学中考圆的知识点总结归纳(中考必备)
中考数学圆的知识点总结归纳一、圆的定义（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
二、圆心（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。
计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
πr^2，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
三、周长计算公式1.、已知直径：C=πd2、已知半径：C=2πr3、已知周长：D=c\π4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)5、半圆的长：1\2周长+直径四、面积计算公式1、已知半径：S=πr平方2、已知直径：S=π（d\2）平方3、已知周长：S=π(c\2π)平方五、点、直线、圆和圆的位置关系1、点和圆的位置关系①点在圆内<=>点到圆心的距离小于半径②点在圆上<=>点到圆心的距离等于半径③点在圆外<=>点到圆心的距离大于半径2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
中考数学圆的复习
中考数学圆的复习人生处处是考场，本日各为中考忙。
斗智斗勇齐亮相，得失成败走一场。
考场潇洒不虚枉，多年以后话沧桑!下面是作者给大家带来的中考数学圆的考点总结，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!中考数学圆的考点总结一、考点分析考点一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d r点p在⊙o内; p=d=r点P在⊙O上;d r点P在⊙O外。
考点二、过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点肯定一个圆。
2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。
考点三、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体以下：(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;(2)相切：直线和圆有唯独公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交d p=直线l与⊙O相切d=r;直线l与⊙O相离d考点四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可2、性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心;②过切点;③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就可以推出最后一个。
考点五、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心连线平分两条切线的夹角。
考点六、三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
中考数学圆周长知识点总结
中考数学圆周长知识点总结中考数学圆周长知识点总结圆周长是中考数学中的一个重要知识点，它涉及到圆的性质和相关公式的运用。
掌握了圆周长的计算方法，可以帮助我们解决与圆相关的各种问题。
本文将从圆的定义、圆的周长计算公式、周长应用题等方面总结中考数学中与圆周长有关的知识点。
一、圆的定义圆是由平面上的一点到平面上任意一点距离相等的点的集合。
其中，平面上距离圆心的距离等于半径的点，称为圆上的点；平面上距离圆心的距离大于半径的点，称为圆外的点；平面上距离圆心的距离小于半径的点，称为圆内的点。
二、周长计算公式1. 圆周长的计算公式圆周长的计算公式是C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。
2. 直径与周长的关系圆的直径是圆上任意两点之间的线段，也是圆周长的两倍。
所以，直径d与周长C之间的关系是d = 2r。
三、周长知识点归纳1. 运用圆周长的公式计算对于给定圆的半径或直径，通过圆周长公式可以直接计算出圆的周长。
例如，已知一个圆的半径为6cm，可以使用圆周长公式C = 2πr进行计算，得到该圆的周长为C = 2π × 6 = 12π cm（精确值），或者使用近似值π ≈ 3.14计算，得到该圆的周长约等于C ≈ 2 × 3.14 × 6 ≈ 37.68 cm。
2. 运用半径和周长的关系计算已知圆的周长，可以通过周长与半径的关系计算出圆的半径。
例如，一个圆的周长为20π cm（精确值），根据圆周长公式C = 2πr，可以得到20π = 2πr，即r = 10 cm。
3. 运用直径和周长的关系计算已知圆的周长，可以通过周长与直径的关系计算出圆的直径。
例如，一个圆的周长为30 cm，根据圆周长公式C = 2πr，可以得到30 = 2πr，即r = 15 cm，进而得到直径d = 2r = 2 × 15 = 30 cm。
四、周长应用题解题技巧1. 已知直径求周长对于已知直径的题目，可以先通过直径求半径，再利用周长公式计算周长。
中考圆的复习资料(经典+全)
圆的知识点复习知识点1垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
题型1.在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝800mm，则油的最大深度为 mm.2. 如图，在△ABC中，∠C是直角，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长。
3. 如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA=5，AB=6，求BC长。
CBDA4. 如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长。
知识点2 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心与垂足之间的距离叫弦心距。
定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弧相等。
题型1. 如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对2.下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等3.线段AB是弧AB 所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交弧AB、AC于C、D，AD的垂直平分线EF分别交弧AB、AB于E、F，DB的垂直平分线GH分别交弧AB、AB于G、H，则下面结论不正确的是（）A．弧AC=弧CB B.弧EC=弧CG C.EF=FH D.弧AE=弧EC4. 弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____.5. 如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____.6. 如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．7. 如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，弧AD =弧BC , 求证：AB =CD 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中圆复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆⇒d r<⇒点C在圆；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；图4图5（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC=弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE∠=∠；②AB DE=；③OC OF=；④弧BA=弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB∠和ACB∠是弧AB所对的圆心角和圆周角∴2AOB ACB∠=∠BD2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆接四边形圆的接四边形定理：圆的接四边形的对角互补，外角等于它的对角。
即：在⊙O 中， ∵四边ABCD 是接四边形BABAO∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠九、切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =；PO 平分BPA ∠十一、圆幂定理1、相交弦定理：圆两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线∴ 2PA PC PB =⋅3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线∴PC PB PD PE ⋅=⋅十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：12O O 垂直平分AB 。
DBA即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点∴12O O 垂直平分AB十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt O O C ∆中，221AB CO =（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 公切线长：2CO 是半径之和十四、圆正多边形的计算 （1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::OE AE OA =（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh r ππ+（2）圆柱的体积：2V r h π=3、圆锥侧面展开图（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+（2）圆锥的体积：213V r h π=十六、切圆及有关计算。
（1）三角形切圆的圆心是三个角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c ，则切圆的半径r=2cb a -+ 。
（3）S △ABC =)(21c b a r ++，其中a ，b ，c 是边长，r 是切圆的半径。
（4如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。
ClOC 1D 1E DC BAo练习题1．若⊙O 的半径为4cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( )A ．点A 在圆B ．点A 在圆上 c ．点A 在圆外 D ．不能确定 2．已知⊙O 的半径为5,弦AB 的弦心距为3,则AB 的长是3．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则求PA+PB 的最小值4如图2，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC 的度数为 5．与直线L 相切于已知点的圆的圆心的轨迹是______．6．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它的外接圆半径R =______，切圆半径r =______． 7．⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 为63，以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是 ． 8．PA 、 PB 是⊙O 的切线，切点是A 、B ，∠APB =50°，过A 作⊙O 直径AC ，连接CB ，则∠PBC =______．9．如图4，AB 是⊙O 的直径，弦AC 、BD 相交于P ，则CD ∶AB 等于A ．sin BPCB ．cos BPC C ．tan BPCD ．cot BPC图4 图510．如图5，点P 为弦AB 上一点，连结OP ，过PC 作PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP =4， PB =2，则PC 的长是_ N_ _ B_ A__ P_ OA．2B ．2C ．22D ．311．圆的最大的弦长为12 cm ，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d ，那么A ．d <6 cmB ．6 cm<d <12 cmC ．d ≥6 cmD ．d >12 cm12．如图6，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，P 为切点，设AB =12，则两圆构成圆环面积为______．图6 图713．如图7，PE 是⊙O 的切线，E 为切点，PAB 、PCD 是割线，AB =35，CD =50，AC ∶DB =1∶2，则PA =______． 14．如图8，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，且BD =OB ，点C 在⊙O 上，∠CAB =30°，求证：DC 是⊙O 的切线．图815.如图，AB 既是⊙C 的切线也是⊙D 的切线，⊙C 与⊙D 相外切，⊙C 的半径r=2，⊙D 的半径R=6，求四边形ABCD 的面积。
16．如图10，BC 是⊙O 的直径，A 是弦BD 延长线上一点，切线DE 平分AC 于E ，求证：(1) AC 是⊙O 的切线．(2)若AD ∶DB =3∶2，AC =15，求⊙O 的直径．(12分)DC AB图1017．如图11，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，且PC 2=PE ·PO ．(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若OE ∶EA =1∶2， PA =6，求⊙O 的半径；(3)求sin PCA 的值．(12分)图1118．如图，⊙O 的两条割线AB 、AC 分别交圆O 于 D 、B 、E 、C ，弦DF//AC 交 BC 于C ． （1）求证：CG BC FG AC ⋅=⋅；（2）若CF ＝AE ．求证：△ABC 为等腰三角形．· ABCDEOFG19.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 与点E ，点P 在⊙O 上，∠1=∠C ，（1）求证：CB ∥PD ； （2）若BC=3，sinP=35，求⊙O 的直径。
20．如图，△ABC 接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过A 点的直线，∠PAC ＝∠B ． （l ）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ，AC ＝8，CE ：ED ＝6：5，AE ：EB ＝2：3，求AB 的长和∠ECB 的正切值．21．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，求证：（l ）AC 是⊙D 的切线；（2）AB ＋EB ＝AC ．22．如图，AB 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙1O ；与⊙O 的弦AC 相交于D ， DE ⊥OC ，垂足为E ． （l ）求证： AD ＝DC ；（2）求证： DE 是⊙1O 的切线；（3）如果OE ＝EC ，请判断四边形1O OED 是什么四边形，并证明你的结论．考点一：与圆相关概念的应用利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的容，在复习中准确理解与圆有关的概念，注意分清它们之间的区别和联系. 1.运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题【例1】 已知：如图所示，在△ABO 中，∠AOB=90°，∠B=25°，以O 为圆心，OA 长为半径的圆交AB 于D ，求弧AD 的度数. 【例2】 如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC 的度数为（ ）. Ａ. 30° Ｂ. 45° Ｃ. 50° Ｄ. 60°2.利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系．ABCDPOE FA BCDE1O O A B C DE【例3】已知⊙O的半径为3cm，A为线段OM的中点，当OA满足：（1）当OA=1cm时，点M与⊙O的位置关系是.（2）当OA=1.5cm时，点M与⊙O的位置关系是.（3）当OA=3cm时，点M与⊙O的位置关系是.【例4】⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）.Ａ. 相交Ｂ. 相切Ｃ. 相离Ｄ. 无法确定【例5】两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置关系是______________. 3.正多边形和圆的有关计算【例6】已知正六边形的周长为72cm，求正六边形的半径，边心距和面积.4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算【例7】如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为（结果保留）.5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算【例8】已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是.考点二：圆中计算与证明的常见类型1.利用垂径定理解题垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心，它们在圆常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或计算.【例1】在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，夹角为30°，且分直径为1∶5两部分，AB=6，则弦CD的长为.Ａ. 2Ｂ. 4Ｃ. 4Ｄ. 22.利用“直径所对的圆周角是直角”解题“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理，在解与圆有关的问题时，常常添加辅助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定理.【例2】如图，在⊙O的接△ABC中，CD是AB边上的高，求证：∠ACD=∠OCB.3.利用圆接四边形的对角关系解题圆接四边形的对角互补，这是圆接四边形的重要性质，也揭示了确定四点共圆的方法.【例3】如图，四边形ABCD为圆接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C＝45°，AB＝2，则点B 到AE的距离为________.4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（ 1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.【课堂巩固练习】一.选择题：BOAPC1. ⊙O 的半径为R ，点P 到圆心O 的距离为d ，并且d ≥R ，则P 点 ［ ］ A.在⊙O 或圆周上 B.在⊙O 外C.在圆周上D.在⊙O 外或圆周上2. 由一已知点P 到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的半径为［ ］ A 、2或3 B 、3 C 、4 D 、2 或43.如图，⊙O 中，ABDC 是圆接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC 的度数是［ ］A.110°B.70°C.55°D.125°4.在⊙O 中，弦AB 垂直并且平分一条半径，则劣弧AB 的度数等于［ ］ A.30° B.120° C.150° D.60°5.直线ａ上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线ａ与⊙O 的位置关系是［ ］ Ａ、相离 Ｂ、相切 Ｃ、相切或相交 Ｄ、相交 6、如图，ＰＡ切⊙O 于Ａ，ＰＣ交⊙O 于点Ｂ、Ｃ ，若PA ＝5，PB ＝B Ｃ，则ＰＣ的长是［ ］ Ａ、10 Ｂ、5 Ｃ、25 Ｄ、357．如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m 的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为［ ］ A ．232+ B.233+ C.222+ D. 223+8、已知两圆的圆心距是9，两圆的半径是方程2x 2－17x+35=0的两根，则两圆有［ ］条切线。