数学建模练习题复习进程
《1 数学建模活动的准备》(同步训练)高中数学必修_北师大版_2024-2025学年
《1 数学建模活动的准备》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、数学模型的建立过程一般包括哪些步骤？A. 明确问题、假设简化、建立模型、求解模型、分析模型、检验结果B. 假设简化、明确问题、建立模型、求解模型、分析模型、检验结果C. 明确问题、假设简化、建立模型、求解模型、检验结果、分析模型D. 假设简化、明确问题、建立模型、求解模型、检验结果、分析模型2、在以下数学建模活动准备过程中，不属于必要步骤的是：A. 收集数据B. 确定模型类型C. 进行验证和修正D. 编写技术应用报告3、在数学建模活动中，以下哪种方法不是常用的数据收集方法？（）A、问卷调查B、实验数据C、市场调研D、网络爬虫4、某市规定每个人的身份证号码第17位是用奇数表示男性，偶数表示女性，如果你在处理一个数据集时发现某人的身份证号码第17位是8，那么这个人是：A、男性B、女性C、无法确定D、学校教工5、在数学建模活动的准备工作阶段，以下哪项工作不需要进行？A. 收集和整理问题背景资料B. 分析数据类型和数量C. 确定建模的数学工具D. 评估题目的难度系数6、在数学建模活动中，以下哪个步骤不属于模型建立阶段？（）A. 收集数据B. 建立数学模型C. 模型验证D. 模型应用7、某数学模型描述了一个物体在直线上运动，其位移随时间变化的关系为(s(t)=2t2+3t+1)（单位：米，时间单位：秒），则该物体在第2秒时的速度为多少米/秒？A、11米/秒B、7米/秒C、5米/秒D、3米/秒8、已知某城市前往机场的出租车行程费用由两部分组成：起步价和按行驶路程加价的费用。
起步价为10元，起步路程为3公里，以后每公里加价2元。
现有一乘客从市区打车到机场，共支付了32元，问他此次行程的实际路程是多少公里？（设此行程的实际路程为x公里）A. 7公里B. 8公里C. 9公里D. 10公里二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在数学建模活动中，以下哪些步骤是进行数学建模前的准备工作？（）A、收集数据B、建立模型C、验证模型D、分析结果2、在数学建模活动的准备阶段，以下哪些步骤是必须进行的？A、明确建模目的B、收集相关资料C、确定建模对象D、确定建模方法3、某校举办数学建模竞赛，共有四个选拔阶段：初赛（题一）、复赛（题二）、决赛（题三）、大洋彼岸行（题四），每个阶段有100%的评审权。
数学建模复习完整版
数学建模复习HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
（2）建立数学模型的一般方法是什么？在建模中如何应用这些方法，结合实例加以说明。
二（10分）、(1).简述数学建模的一般步骤，分析每个步骤的主要内容和注意事项。
(2)简述数学模型的表现形态，并举例说明。
三（10分）、（1）简述合理分配席位的Q -值方法,包括方法的具体实施过程，简述分配席位的理想化原则。
（2）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之间的关系模型，包括模型假设与模型建立全过程。
四 (15分)（1）建立不允许缺货情况下的存储模型,确定订货周期和订货量（包括问题叙述,模型假设和求解过程）.（2）建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r k r >,．在每个生产周期 T 内，开始的一段时间（00T t ≤≤）一边生产一边销售，后来的一段时间T t T ≤≤0(）只销售不生产．设每次生产开工费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，（a)求出存储量)(t q 的表示式并画出示意图。
（2）以总费用最小为准则确定最优周期T ，讨论r k >>的情况． 五（15分）、（1）建立传染病传播的SIS 模型并求解（简述假设条件和求解过程），（2）建立SIR 模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分析。
六（15分）（1）建立一般的战争模型，分析各项所表示的含义。
（2）在假设a b y x 9,00==条件下对正规战争模型（忽略增援和非战斗减员）进行建模求解，确定战争结局和结束时间。
七（15分）设渔场鱼量的自然增长服从模型x Nrx x ln = ，又单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量mh 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平0x ．八（10分）假设商品价格k y 和供应量k x 满足差分方程求差分方程的平衡点，推导稳定条件参考答案与评分标准一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
数学建模做题步骤及注意事项【数模经验谈】
拿到建模题目以后，按照一下流程去分工合作红色表示步骤蓝色表示注意事项一、第一天上午1. 各自对立思考1个小时，主要分析题目的问题背景，已知条件，建模目的等问题。
至少每人必须提出10到15个问题，并回答自己的问题。
2. 重点用语言的形式表述清楚问题的结构，即用语言描述自己的初步模型。
（要自己提出的模型，可能就会产生一些假设。
）3. 再和队友讨论。
讨论1个小时。
形成自己团队的初步模型，同样是以语言形式描述的。
4. 接下来查找一些文献，讨论修改团队的模型，形成一个最终较完整的模型。
并根据讨论最后形成对问题的统一认识，形成问题重述部分的内容。
注：1）如果问题有好几问，可以重点讨论第一个问题，但是也要考虑其他问题与第一问的关系！（一般建模中的几问都是有一定联系得）；也可以同时考虑，同时建模。
2）注意参考文献的处理，参考别人的方法一定要在文中注明！这也是要求一直留意查找文献的目的。
【随时记录】二、第一天下午将自己团队的模型数学化，用数学符号和数学语言公式的形式，表述自己的模型。
此时会继续需要查文献，产生一些假设条件，并产生自己论文中的符号说明。
三、第二天上午一个人开始写文章，语言重在逻辑清晰，叙述简洁明了！图、表准确。
文章格式正确、内容完整。
（问题重述，问题分析，模型假设，符号说明，模型形式，以及参考文献都已经在第一天的讨论中有了一定的共识。
）其余两个人（在不清楚时3人讨论），开始考虑第一个问题的模型的求解，即研究模型的解法。
查找文献或者自己提出对模型的求解方法。
此时可能需要继续对第一天建立的模型进行修改，简化等处理。
（讨论后，及时告诉写文章的队友）。
四、第二天下午写文章的继续。
编程的开始编程计算模型。
此时，可能需要根据所采取的算法对模型的表述重新修改。
另一人帮忙编程，并开始考虑第二个、第三个问题的模型及求解方法。
并一起讨论，形成共识，写进文章中。
（此时，同样可能需要查文献，符号表示，产生假设）【注意是两个人求解，一个MATLAB，一个MATHEMATICA】五、第三天上午应该给出所有问题的计算结果了（最迟下午6点前）。
《数学建模》复习思考题
0349）《数学建模》复习思考题一、名词解释1．原型 2．模型3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．直觉 8．灵感9．想象力 10．洞察力 11．类比法 12．思维模型13．符号模型 14 ．直观模型 15．物理模型 16．计算机模拟 17．蛛网模型 18．群体决策二、填空题1．模型指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的（ 2．数学模型是由数字、 字母或其它数字符号组成的， 描述现实对象数量规律的 （ （ ）（ ）。
建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。
4．理想方法是从观察和经验中通过（ ）和（ ），把对象简 化、纯化，使其升华到理想状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。
5．计算机模拟是根据实际系统或过程的特性，按照一定的（拟司机运行情况并依据大量模拟结构对系统或过程进行（6．测试分析是将研究对象看作一个 （ ）系统， 通过对系统 （）、（ ）数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。
7．物理模型主要指科技工作者为一定的目的根据（ 以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行（ 规律。
）分析市场经济稳定性的图示法在经济学中）（ ）（ ））描述受环境约束的所谓 “阻滞增长”）描述随机因素的影响，建立比较简单的随机模）的数学规划，称为混合整数规划。
）（ ）两个条件。
）两种。
）和（ ）两种基本方法。
三、判断题 。
（正确的打 R ，错误的打 W ） 1．原型和直观模型是一对对偶体。
（ ）2．模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。
（ ）3．一个原型只能建立一个模型（） W4．用建模法解决实际问题，首先是用数学语言表述问题，其次才用数学工具求解构成的模 型。
（ ） R 5． 衡量一个数学模型的优劣在于它采用了什么样的数学方法。
（ ） W）。
）），3．机理分析是根据对（）的认识，找出反映内部机理的（）用计算机程序语言模 ）。
）构造的模型，它不仅可 ），间接地研究原型的某些8．用（）和（称为蛛网模型。
数学建模复习题
数学建模复习题一、引言在数学建模课程中，复习题是巩固知识、提高解题能力的有效方法。
本文将围绕数学建模复习题展开讨论，涵盖模型选择、建模方法、求解策略等方面，以帮助读者系统地进行复习。
二、模型选择解决实际问题的数学建模过程，首先要选择适当的数学模型。
在复习中，我们可以从典型模型出发，将问题转化为已有的模型类型，借鉴解决方法、技巧。
同时，我们也要注意问题的特殊性，不局限于典型模型，而是根据问题的特殊要求，进行模型的自由选择。
三、建模方法在建模过程中，选择合适的方法是非常重要的。
数学建模的方法多种多样，如线性规划、动态规划、图论等。
复习时，我们需要回顾各类方法的基本原理，了解其适用范围和解题步骤。
同时，还要学会综合应用不同方法，构建多层次、多角度的模型。
四、求解策略解决复杂问题，需要合理的求解策略。
在复习中，我们要加强对不同求解策略的理解和实践。
比如，对于线性规划问题，我们可以采用单纯形法、内点法等不同的算法；对于图论问题，我们可以使用深度优先搜索、广度优先搜索等算法。
通过掌握不同求解策略，可以更高效地解决实际问题。
五、概念定义和定理证明数学建模不仅仅是应用数学工具，还涉及到概念的定义和定理的证明。
在复习过程中，我们应该对各个概念的定义进行梳理和总结，理解其内涵和外延。
同时，对于重要的定理，要复习其证明思路和关键步骤，增强理论的掌握和运用能力。
六、优秀范例分析复习中，我们可以参考一些经典的数学建模范例，学习其中的解题思路和方法。
通过分析优秀范例，可以更好地理解模型构建和求解的过程。
同时，还可以从范例中寻找共性和规律，为解决其他问题提供启示。
七、实战训练在复习过程中，实战训练是非常重要的环节。
通过解答大量的数学建模复习题，我们可以提高问题分析和解决的能力。
在实战训练中，要注重理论与实际的结合，培养灵活运用知识的能力，提升解题的效率和质量。
八、总结与展望通过对数学建模复习题的系统复习，我们可以更好地理解和掌握数学建模的基本原理和方法。
数学建模复习提纲
数学建模复习提纲1．奇偶校验法：方格填数问题、瓷砖铺地问题如：要用56块方形瓷砖铺设如图所示的地面，但商店只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。
现买28块长方形瓷砖，问能否完整的铺好地面？2如：人、狗、鸡、米均要过河，船上除1人划船外，最多还能运载一物，而人不在场时，狗要吃鸡，鸡要吃米，问人，狗、鸡、米应如何过河？3．比例法建模：席位分配问题（比例法或Q 值法）如：某市四县两区党员数分别为：A 县1200人、B 县700、C 县650人、D 县550人、E 区500人、F 区200人，市委将召开党员代表大会，共有100个代表名额，请设计一个分配方案，最大公平的把100个代表分配到上述六个地方。
4．分析法建模：椅子四腿着地问题，如：（1）将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。
（2）对于一个长方形桌子有如何说明？5．几何法建模：雕像最佳视角问题，足球最佳射门点问题，如：在激烈的足球比赛中，对于每一个运动员都想进球，但对于绿营场来说，运动员站在不同的位置，其射中的机会是不同的，必须寻找最佳射击位置。
现在假定甲方边锋从边线沿直线带球向乙方球门快速推进至前半场，如图所示。
已知前进方向与底线垂直，且与球门AB 所在底线交于D 点，试说明推进过程中的最佳射击位置即是使得入射角β达最大的射门点的位置，并求出此入射角β。
6．微分方程建模：人口问题的马尔撒斯人口模型，物体冷却问题模型，圆锥容器注水问题模型（正立或倒立），如：（1）将温度为00120T C =物体放在温度为25C 的空气中冷却，经10min后，物体温度降为0180T C 。
问t=20min 时，物体的温度是多少？（2）国家统计局发布了第六次全国人口普查主要数据公报，截止到2010年10月，中国人口13.39亿比2000年第五次全国人口普查相比，十年年平均增长0.57%，假设在未来20年的时间内每年的人口增长率平均为0.5%，试推导马尔撒斯人口模型，并预测2030年中国人口大致为多少？（3）P51例17．概率建模：几种概率形式（约会问题）甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．（蒲丰投针问题）平面上画有间隔为a(a > 0)的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l (l < a)的针，求针与任一平行线相交的概率．8．递推法建模，如：（1）试对兔子生殖问题总数建立斐波那契数列模型。
数学建模解题方法与步骤
数学建模与创业计划实践部学习目标1.能表述建立数学模型的方法、步骤；2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；；3.能表述数学建模的分类；4.会采用灵活的表述方法建立数学模型；5.培养建模的想象力和洞察力。
一、建立数学模型的方法和步骤—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。
这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。
即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。
那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。
建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同学请教，尽量掌握第一手资料.模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数人欣赏.模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术．一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。
数学建模解题方法与步骤
数学建模与创业计划实践部学习目标1.能表述建立数学模型的方法、步骤；2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；；3.能表述数学建模的分类；4.会采用灵活的表述方法建立数学模型；5.培养建模的想象力和洞察力。
一、建立数学模型的方法和步骤—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。
这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。
即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。
那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。
建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同学请教，尽量掌握第一手资料.模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数人欣赏.模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术．一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。
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数学建模习题题目11.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。
解答：（1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s均无关的成本。
又因为形状一定时一般有,故商品的价格可表示为（α，β，γ为大于0的常数）。
（2）单位重量价格,显然c是w的减函数。
说明大包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
函数图像如下图所示：题目22.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设,β为增长率。
又设单位时间的销售量为(p为价格)。
今将销售期分为和两段，每段的价格固定，记为,.求,的最优值，使销售期内的总利润最大。
如果要求销售期T内的总销售量为,再求,的最优值。
解答：由题意得：总利润为,=+=由=0，，可得最优价格,设总销量为，在此约束条件下的最大值点为,题目33.某商店要订购一批商品零售，设购进价,售出,订购费c(与数量无关)，随机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为(与时间无关)。
问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。
为使这个平均利加什么限制？润为正值，需要对订购费c解答：设订购量为u，则平均利润为u的最优值满足最大利润为.为使这个利润为正值，应有.题目44.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
解答：雨滴质量m，体积V，表面积S与某特征尺寸l之间的关系为，，可得。
雨滴在重力和空气阻力的作用下以匀速v降落，所以=，而.由以上关系得.题目55.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；表1 证券信息证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益/%A 市政 2 9 4.3B 代办机构 2 15 5.4C 政府 1 4 5D 政府 1 3 4.4E 市政 5 2 4.5（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解答：（1）设投资证券A,B,C,D,E的金额分别为（百万元），按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型s.t.，即，即用LINGO求解得到：证券A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。
（2）由（1）的结果中影子价格可知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298百万元。
大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息，所以应借贷。
投资方案需将上面模型第二个约束右端改为11，求解得到：证券A,C,E分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。
（3）由（1）结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的税前收益可增加0.35%，故若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改变；证券C的税前收益可减少0.112%（按50%的税率纳税），故若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。
题目66.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A,B）。
按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别为原料丙混合生产A,B。
已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别为3%，1%，2%，1%，进货价格分别为6,16,10,15（千元/t）；产品A,B的含硫量分别不能超过2.5,1.5（%），售价分别为9,15（千元/t）。
根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50t；产品A,B的市场需求量分别为100t，200t。
问应如何安排生产？解答：设分别是产品A中是来自混合池和原料丙的吨数，分别是产品B中来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分别为.优化目标是总利润最大，即约束条件为：1）原料最大供应量限制：2）产品最大需求量限制：3）产品最大含硫量限制：对产品A，，即对产品B，类似可得4)其他限制：用LINGO求解得到结果为：，其余为0；目标函数值为450.题目77.建立耐用消费品市场销售量的模型。
如果知道了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数？解答：设耐用品销售量为x(t)，可用logistic模型描述x(t)的变化规律，即=kx(N-x),其中N是市场饱和量，k是比例系数，N，k，可由过去若干时期的销售量确定，不妨设,则方程可离散化为,可取或，N和k可由最小二乘法估计。
题目88.在鱼塘中投放尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的质量将增加。
（1）设尾数n(t)的（相对）减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼质量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼质量的减少率与质量本身成正比。
分别建立尾数与每尾鱼质量的微分方程，并求解。
（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量表示，记作E，即单位时间捕获量是En(t).问如何选择T和E，使从T开始的捕获量最大。
解答：（1）尾数n(t)满足得.每尾鱼重w(t)满足，不妨近似设w(0)=0，得. （2）设t=T时开始捕捞，且单位时间捕捞率为E，则t T时有，因此得，单位时间捕捞鱼的尾数为En(t)，每尾鱼重w(t)，所以从T开始的鱼捕捞量是，问题为求使y最大，可用数值法求解。
题目99.速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是。
用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v,s,的关系。
解答：设,量纲表达式：，解得，故(是无量纲常数)。
题目1010.大陆上物种数目可以看做常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移。
岛上物种数量的增加与尚未迁移的物种数量有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少。
在适当假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。
解答：植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作.若不考虑自然资源对植物生长的限制，则模型为平衡点为P（0，0,0），.1题目1111.下表列出了某城市18位35-44岁经理的年平均收入（千元），风险偏好度和人寿保险额y（千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大就越偏爱高风险。
研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。
研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握的认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。
请你通过表2中的数据建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 196 63 252 84 126 14 49 49 266x1 66.2940.9672.99645.0157.20426.85238.122 35.8475.796x2 7 5 10 6 4 5 4 6 9 序号10 11 12 13 14 15 16 17 18 y 49 105 98 77 14 56 245 133 133x1 37.4154.3846.18646.1330.366 39.06 79.3852.76655.916x2 5 2 7 4 3 5 1 8 6最终的回归方程为,且(如模型中加入项，其回归系数置信区间均含零点)。
表明只有经理们的年均收入及其二次项和风险偏好度本身对他们投保的人寿保险额有显著影响。
题目1212.表3给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（单位：元）的数据，从散点图可以明显的发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。
希望你构造一个合适的回归模型全面的描述生产批量与单位成本的关系。
生产批量650 340 400 800 300 600 720 480 440 540 750 单位成本 2.48 4.45 4.52 1.38 4.65 2.96 2.18 4.04 4.2 3.1 1.5不同关系，引入一个虚拟变量D，令建立线性回归模型，得到参数参数估计值参考置信区间β0 6.1621 [5.0368,7.2874]β1 -0.0047 [-0.0074,-0.0020]β2 -0.0036 [-0.0076,0.0003]当生产批量小于500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047元；当生产批量超过500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047+0.0036=0.0083元。
从散点图看，也可以拟合x的二次回归模型.题目1313.在一项调查降价折扣券对顾客的消费行为影响的研究中，商家对1000个顾客发放了商品折扣券和宣传资料，折扣券的折扣比例分别为5%，10%，15%，20%，30%，每种比例的折扣券均发放了200人，现记录他们在一个月内使用折扣券购物的人数和比例数据如表4.折扣比例/% 持折扣券人数使用折扣券人数使用折扣券人数比例5 200 32 0.1610 200 51 0.25515 200 70 0.3520 200 103 0.51530 200 148 0.74比例，建立普通的一元线性回归模型。
（2）直接利用MATLAB统计工具箱中的glmfit命令，建立使用折扣券人数比例与折扣比例的logit模型。
与（1）作比较，并估计若想要使用折扣券人数比例为25%，则折扣券的折扣比例应该为多大？解答：（1）记x为折扣比例，为使用折扣券人数比例，做logit变换,普通的一元线性回归模型为,这里没有给出误差项的形成，利用MATLAB统计工具箱中的命令regress，可算出，通过检验，高度显著。