【同步课堂】1.2.2 空间中的平面与空间向量-人教B版(2019)高中数学选择性必修第一册课件(共56张PPT)
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人教B版高中数学选择性必修第一册《1.2空间中的平面与空间向量》名师课件
下列命题是否成立,并用空间向量证明:
(1)当⊥′ 时,⊥;(2)当⊥时,⊥′ .
探究新知
设∥,则由′ ⊥ 且 ⊂ 可知′ ⊥ ,即′ · = .
如果 ⊥ ′ ,则 ⊥ ′ , · ′ = ,又因为 = ′ + ′ = −′ + ′ ,
(2)这里与可以相交,可以异面
(3)三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的主要根据,三垂线定理跨过
了线面垂直,直接由线线垂直到线线垂直,为解决线线垂直提供了一条捷径.
当堂练习
1.若 = , −, 是平面的一个法向量,则下列向量中能作为平面
的另一个法向量的是( )
. , −,
又 ∩ = ,∴⊥平面
变式训练
5.在空间四边形中,⊥平面,⊥,若在,上的射
影分别为,.求证:⊥.
解析:如图,因为⊥平面,所以⊥,又因为⊥,∩=,所
以⊥平面.而 ⊂平面,所以⊥.
这两个结论一般称为三垂线定理及其逆定理
探究新知
三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射
影垂直,则它也和这条斜线垂直
三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂
直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直
符号语言:
(1)当⊥′ 时,⊥;(2)当⊥时,⊥′ .
一般地,如果 与 是空间中两条异面直线, ∈ , ∈ ,
⊥ , ⊥ ,则称为 与 的公垂线段.
两条异面直线的公垂线段的长称为这两条异面直线之间的距离
公垂线存在并且唯一
人教B版同步教材名师课件
空间中的平面与空间向量
学习目标
学习目标
理解平面的法向量的概念
高中数学(人教B版)选择性必修一：空间中的平面与空间向量【精品课件】
C B
证明：连接BC.
D
因为ABCD ABCD为正方体
A
所以AB 面BCCB
所以BC为AC在面BCCB内的射影
因为BCCB为正方形
D
所以BC BC
由三垂线定理，BC AC.
A
C B
C B
例.在正方体ABCD ABCD中， 求证：BD 面ABC.
D A
分析：需要寻找两条相交直线与BD 垂直
P
求平面MNP的法向量.
D
A
M
C B
C N B
z
证明：如图建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为2 ，则
A
A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0), D(0,0,2) 由于M , N , P 分别是AB, BC, DD 的中点，
所以M (2,1,0), N (1,2,0), P(0,0,1)
0x 2 y 2z=0 2x 2 y 2z=0
通过消元解方程组：
0x 2y 2x 2
2 y
z=0 2z=0
y z x =0
令y 1,得x 0, z 1,解得n=(0,1,1)
D
练习：在正方体ABCD ABCD 中，
M , N , P分别是AB, BC, DD 的中点， A
D
C
n CD=(0, 2,0) 因为MN (1,0,1)
N
A
B
所以MN n=(0, 2,0) (1,0,1)=0
M
所以MN n
D
Cy
又因为MN 面ADDA
所以MN //面ADDA.
A
B
x
小结：
l//或l v n l v//n // n1//n（2 , 不重合） n1 n（2 , 不重合）
证明：连接BC.
D
因为ABCD ABCD为正方体
A
所以AB 面BCCB
所以BC为AC在面BCCB内的射影
因为BCCB为正方形
D
所以BC BC
由三垂线定理，BC AC.
A
C B
C B
例.在正方体ABCD ABCD中， 求证：BD 面ABC.
D A
分析：需要寻找两条相交直线与BD 垂直
P
求平面MNP的法向量.
D
A
M
C B
C N B
z
证明：如图建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为2 ，则
A
A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0), D(0,0,2) 由于M , N , P 分别是AB, BC, DD 的中点，
所以M (2,1,0), N (1,2,0), P(0,0,1)
0x 2 y 2z=0 2x 2 y 2z=0
通过消元解方程组：
0x 2y 2x 2
2 y
z=0 2z=0
y z x =0
令y 1,得x 0, z 1,解得n=(0,1,1)
D
练习：在正方体ABCD ABCD 中，
M , N , P分别是AB, BC, DD 的中点， A
D
C
n CD=(0, 2,0) 因为MN (1,0,1)
N
A
B
所以MN n=(0, 2,0) (1,0,1)=0
M
所以MN n
D
Cy
又因为MN 面ADDA
所以MN //面ADDA.
A
B
x
小结：
l//或l v n l v//n // n1//n（2 , 不重合） n1 n（2 , 不重合）
空间向量基本定理2024-2025学年高二数学同步精品课堂(人教B版2019选择性必修第一册)
所以 − = − + −
所以 = + ，即− = +
由共面向量定理可知，，，共面
1
3
1
+
3
+
尝试与发现
若A,B,C三点不共线，则点P在平面ABC内需要满足什么条件？
根据共面向量定理，若点P在平面ABC内的充要条件是，存
B．= +
+
C． + + =
D． + + + =
当堂练习
3. 在四面体O-ABC中，=a，=b，=c，D为BC的中点，
E为AD的中点，则=
1
1
1
+ +
2
4
4
.(用a,b,c表示)
课堂小结
人教B版选择性必修第一册
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c表示空间任意
向量p，你能得出什么结论？
P
OP OQ QP
C
c
a
α
b
c
a A
xa
O b Byb
zc
p
Q
xa yb zc
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c表示空间任意
向量p，你能得出什么结论？
P
c
a
α
b
C
p
zc
c
a A
xa
A
= (1 − ) −
由共面向量定理可知，，a，c共面
C
N
B
【典型例题一】共面向量定理的应用
练 习 1. 已知A,B,C三点不共线,点M满足 =
所以 = + ，即− = +
由共面向量定理可知，，，共面
1
3
1
+
3
+
尝试与发现
若A,B,C三点不共线，则点P在平面ABC内需要满足什么条件？
根据共面向量定理，若点P在平面ABC内的充要条件是，存
B．= +
+
C． + + =
D． + + + =
当堂练习
3. 在四面体O-ABC中，=a，=b，=c，D为BC的中点，
E为AD的中点，则=
1
1
1
+ +
2
4
4
.(用a,b,c表示)
课堂小结
人教B版选择性必修第一册
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c表示空间任意
向量p，你能得出什么结论？
P
OP OQ QP
C
c
a
α
b
c
a A
xa
O b Byb
zc
p
Q
xa yb zc
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c表示空间任意
向量p，你能得出什么结论？
P
c
a
α
b
C
p
zc
c
a A
xa
A
= (1 − ) −
由共面向量定理可知，，a，c共面
C
N
B
【典型例题一】共面向量定理的应用
练 习 1. 已知A,B,C三点不共线,点M满足 =
1.1.2 空间向量基本定理(教学课件)- 高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
AC=b,AA₁=c
,在AC₁ 上和BC 上分别有一点M 和N ,且AM=kAC₁
BN=kBC, 其中0≤k≤1.求证：MN,a,c 共面.
证明：因 为AM=kAC₁=kb+kc,
AN=AB+BN=a+kBC=a+k(-a+b)=(1-k)a+kb,
所以MN=AN-AM=(1-k)a+kb-kb-kc=(1-k)a-kc. 由共面向量定理可知，MN,a,c 共面.
所以
所以
.故选D.
6. (多选)在下列条件中，不能使M 与A,B,C
ABD
A.OM=20A-OB-OC
一定共面的是
C.MA+MB+MC=0
D.OM+OA+OB+OC=0
解析：对于A 选项，由于2-1-1=0≠1,所以不能得出M,A,B,C 共面.
对于B 选项，由于
,所以不能得出M,A,B,C 共面.
因为{a,b,c} 是空间的一组基底，所以
无安数。
假设不成立，故a+b-c,a-b-c,a
不 共 面 ，B 符合题意；
对于C 选项，假设a+b,a-b,a+c
共面，
则存在m,n∈R, 使得a+C=m(a+b)+n(a-b),
所以c=(m+n-1)a+(m-n)b, 则 a,b,c 共面，与题设矛盾，
不能
成空间的一组基底，所以OA,OB,OC 共面，故存在实数x,y 使得
OC=xOA+yOB,即ke₁+3e₂+2e₃=x(e₁+e₂+e₃)+y(e₁-2e₂+2e₃)
空间中的平面与空间向量(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第一册)
个法向量平行；
（3）如果为平面的一个法向量，为平面上一个已知的
点，则对于平面 上任意一点 ，向量 一定与向量 垂直，
即 ∙ = 0，从而可知平面的位置可由和唯一确定.
（1）如果 是直线的一个方向向量， 是平面的一个法向量,分别探
讨 ∥ 与 ⊥ 时，直线与平面的关系；
（2）如果 是平面 的一个法向量， 是平面 的一个法向量，分
别探讨论 ⊥ 与 ∥ 时，平面 与平面 的关系。
(1)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则
n∥v⇔l⊥α;
n⊥v⇔l∥α,或l⊂α.
(2)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则
坐标系.则
(1,0,0)，1 (0,0,1)，1 (1,1,1)
又因为是1 的中点，所以的坐标为
1+0 0+0 0+1
1
1
(
,
,
) = ( , 0, )，
2
2
2
2
1
1
1 1
即( , 0, ).类似地，可得( , , 1).
2
2
2 2
1 1
因此 = (0, , ).
2 2
2
又因为⊥面1 1 ，所以是平面1 1 的一个法向量，
因此 ⊥ , .
三垂线定理及三垂线定理的逆定理
三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,
则它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它
也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
例3
如图所示，已知 − 1 1 1 1 是一个正方体，求
（3）如果为平面的一个法向量，为平面上一个已知的
点，则对于平面 上任意一点 ，向量 一定与向量 垂直，
即 ∙ = 0，从而可知平面的位置可由和唯一确定.
（1）如果 是直线的一个方向向量， 是平面的一个法向量,分别探
讨 ∥ 与 ⊥ 时，直线与平面的关系；
（2）如果 是平面 的一个法向量， 是平面 的一个法向量，分
别探讨论 ⊥ 与 ∥ 时，平面 与平面 的关系。
(1)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则
n∥v⇔l⊥α;
n⊥v⇔l∥α,或l⊂α.
(2)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则
坐标系.则
(1,0,0)，1 (0,0,1)，1 (1,1,1)
又因为是1 的中点，所以的坐标为
1+0 0+0 0+1
1
1
(
,
,
) = ( , 0, )，
2
2
2
2
1
1
1 1
即( , 0, ).类似地，可得( , , 1).
2
2
2 2
1 1
因此 = (0, , ).
2 2
2
又因为⊥面1 1 ，所以是平面1 1 的一个法向量，
因此 ⊥ , .
三垂线定理及三垂线定理的逆定理
三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,
则它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它
也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
例3
如图所示，已知 − 1 1 1 1 是一个正方体，求
1.2.1空间中的点、直线、与空间向量 (教学课件)-高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
答案
(2)若P是线段AB上的一点，且AP:PB=1:2,
解析：由P是线段AB上的一点，且AP:PB=1:2,
设点P的坐标为(x,y,z), 则AP=(x-3,y-4,z),PB=(2—x,5-y,5-z),
故(x-3,y-4,z)=₂(2-x,5-y,5z),
求P点的坐标.
即
·
因此P点的坐标
答案
状元随笔 (1)由条件先求出AB,AC 的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标. (2)先把条件AP:PB=1:2 转化为向量关系，再运算.
新知初探 · 自主学习
IVH、M11N业. 日王1-
教材要点 知识点一用向量表示直线或点在直线上的位置 在直线1上给定一个定点A和它的一个方向向量a, 对于直线l上的任 意 一 点P, 则 有AP=ta, 上 面 向 量 等 式 叫 做 空 间 直 线 的
向量参数方程. 向量a称为该直线的方向向量.
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
[课标解读]1.能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量.2.能用 向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法 证明必修内容中有关直线位置关系的判定定理.4.体会向量方法在研究 几何问题中的作用.
新知初探 · 自主学习
课堂探究 ·素养提升
180°—120°=60°.
解析 答案
4.直线l₁ 与l₂不重合，直线l₁ 的方向向量为v₁= ( 一 1 , 1 , 2 ) , 直 线 l ₂
的方向向量v,=(2,0,1), 则直线l₁与1的位置关系是
●
答案： 垂直
解析：因为v₁·v₂=(-1,1,2)·(2,0,1)=-2+2=0, v₁ ⊥v₂.
( 一 1 , 0 ,m), 若
空间中的点、直线与空间向量(同步课件)高二数学同步精品课堂(人教B版2019选择性必修第一册)
=
所以<，>= ，所以直线AE与BC所成角的大小
3
1
，
2
A
x
B
尝试与发现
设OA
，2分别是空间中直线l
1，l2的方向向量，
e , OB e , OC e
1
2
3
(1)如果l1与l2异面，那么与2可能平行吗？
(2)如果与2不平行，那么l1与l2一定异面吗？
四、异面直线与空间向量
直线BD1与直线CE不平行.
证明：以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正
z
方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的
D1
空间直角坐标系，则
1
A1
B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C(0,1,0)，E(0, ,1),
所以1 = (−1, −1,1)， =
0
又因为
−1
−
1
2
2
1
(0, − , 1)
人教B版选择性必修第一册
第1章
空间向量
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
主讲：
尝试与发现
在空间中，如何用向量表示一个点的位置？
一、点的位置向量
1.基点：在空间中我们取定点O作为基点.
2.向量表示：空间中任意一点P的位置可以用来表示.
P
3.点的位置向量：为点P的位置向量.
空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向
2
≠ ，所以1与不平行，
−1
所以直线BD1与直线CE不平行
E
C1
B1
D
C
y
A
x
B
尝试与发现
设OA
，2分别是空间中直线l
空间向量及其运算高二数学同步课堂(人教B版2019选择性必修第一册)
投影的数量.
可以是正数、负数或0.
a b | a || b | cos a, b (| a | cos a, b ) | b |
a b等于 a在向量 b上的投影的数量与 b的模的乘积 .
空间向量同理.
3.向量数量积的性质
例7
如图所示长方体ABCD-A’B’C’D’中，E是AA’的中点，
与向量1 1 共面.
向量1 、、不共面.
可以看出，空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面.
例1
如图所示，指出下列各组向量的位置关系：
（1）1 ，1
（2）1 ，1 1
（3）1 ，1 ，1 1
（4）1 ，，1 1
答案：（1）共线
− =
− =
例4
设AB是空间中任意一条线段，O是空间中任意一点，求证：
M为AB中点的充要条件是
1
= （ + ）
2
证明：因为为中点 ⇔ =
⇔ − = −
1
⇔ = （ + ）
2
如图所示，如果棱锥O-ABCD的底面ABCD是一个平行四边
如图所示平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
化简 + + 1
解： + + 1 = + 1 = 1
例3说明：三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行
六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.
三、空间向量的线性运算
向量的减法：
a b
平面向量
定义：平面内，既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）.向量
的大小也称为向量的模（或长度）.
表示方法：有向线段.
可以是正数、负数或0.
a b | a || b | cos a, b (| a | cos a, b ) | b |
a b等于 a在向量 b上的投影的数量与 b的模的乘积 .
空间向量同理.
3.向量数量积的性质
例7
如图所示长方体ABCD-A’B’C’D’中，E是AA’的中点，
与向量1 1 共面.
向量1 、、不共面.
可以看出，空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面.
例1
如图所示，指出下列各组向量的位置关系：
（1）1 ，1
（2）1 ，1 1
（3）1 ，1 ，1 1
（4）1 ，，1 1
答案：（1）共线
− =
− =
例4
设AB是空间中任意一条线段，O是空间中任意一点，求证：
M为AB中点的充要条件是
1
= （ + ）
2
证明：因为为中点 ⇔ =
⇔ − = −
1
⇔ = （ + ）
2
如图所示，如果棱锥O-ABCD的底面ABCD是一个平行四边
如图所示平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
化简 + + 1
解： + + 1 = + 1 = 1
例3说明：三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行
六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.
三、空间向量的线性运算
向量的减法：
a b
平面向量
定义：平面内，既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）.向量
的大小也称为向量的模（或长度）.
表示方法：有向线段.
1.1.2空间向量基本定理(教学课件)-高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
如果a≠0 且b// a, 则 _存在唯一的实数λ, 使b=λa.
2.向量共面的条件 ①向量a 平行于平面α的定义
已知向量a, 作 0 A=a, 如 果a的基线OA_ 平行于平面α或在a内 则就说向量a平行于平面α,记作
·
②共面向量的定义
平行于同一平面_的向量，叫做共面向量. ③共面向量定理 如果两个向量a,b _不共线， 则 向 量c与向量a, b 共面的充要条件是， 存在唯一的一对实数x,y, 使c=x a+yb.
确定在下列各条件下，点M是否与A, B, C三点共面：
答案：共面 解 析 ：原式可变形为：
∵A,B,C 三点不共线， ∴M在平面ABC内 .
解析 答案
(2)OM=20A-OB-0C.
答案：不共面 解析：原式可变形为： OM=(0A-OB)+(OA-0C)=BA+CA, 于是OM// 平面ABC. 又∵O≠平面ABC, ∴直线OM// 平面ABC.
答案
(2)
如图所示，已知直三棱柱ABC 一 A₁B₁C 中 ，D 为A₁C1的中点，
∠ABC=60°,AB=2,BC=CC₁=1,求AB₁·CD.
答案
状元随笔借助图形寻找所求向量与a,b,こ 的关系，利用三角形
法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来.
方法归纳
用基底表示向量的步骤 1.定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个 基底.
(2)已知直三棱柱ABC —A₁B₁C₁中，
C∠C₁A=B1C, =求60A°,ABB₁=·B2,CBC₁.=
解 析：取基底向量{BA,BC,BB₁}
AB₁=BB₁-BA,BC₁=BB₁+BC,
由条件知BB ₁ ·BC=BA ·BB₁=0
2.向量共面的条件 ①向量a 平行于平面α的定义
已知向量a, 作 0 A=a, 如 果a的基线OA_ 平行于平面α或在a内 则就说向量a平行于平面α,记作
·
②共面向量的定义
平行于同一平面_的向量，叫做共面向量. ③共面向量定理 如果两个向量a,b _不共线， 则 向 量c与向量a, b 共面的充要条件是， 存在唯一的一对实数x,y, 使c=x a+yb.
确定在下列各条件下，点M是否与A, B, C三点共面：
答案：共面 解 析 ：原式可变形为：
∵A,B,C 三点不共线， ∴M在平面ABC内 .
解析 答案
(2)OM=20A-OB-0C.
答案：不共面 解析：原式可变形为： OM=(0A-OB)+(OA-0C)=BA+CA, 于是OM// 平面ABC. 又∵O≠平面ABC, ∴直线OM// 平面ABC.
答案
(2)
如图所示，已知直三棱柱ABC 一 A₁B₁C 中 ，D 为A₁C1的中点，
∠ABC=60°,AB=2,BC=CC₁=1,求AB₁·CD.
答案
状元随笔借助图形寻找所求向量与a,b,こ 的关系，利用三角形
法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来.
方法归纳
用基底表示向量的步骤 1.定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个 基底.
(2)已知直三棱柱ABC —A₁B₁C₁中，
C∠C₁A=B1C, =求60A°,ABB₁=·B2,CBC₁.=
解 析：取基底向量{BA,BC,BB₁}
AB₁=BB₁-BA,BC₁=BB₁+BC,
由条件知BB ₁ ·BC=BA ·BB₁=0
1.1.1空间向量及其运算(共2课时课件)高二数学同步精品课堂(人教B版2019选择性必修第一册)
b＋b2＝132＋192－46＝484，
∴|a－b|＝22.
【例题探究三】空间向量数量积的应用
练习3(多选) 设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不
共线，下列结论正确的是( BCD )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(c·b)a－(c·a)b与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
C
B
【例题探究一】求空间向量的夹角
练习1. 在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中
点，则与的夹角为( C )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
复习回顾
2.两个非零平面向量的数量积？
平面内，给定两个非零向量，的数量积(也
Ԧ
称为内积)定义为Ԧ ∙ = ||||
求证：M为AB中点的充要条件是= (+).
例3. 如图所示，三棱锥A-BCD中，O为CD的中点，化简
+
(+)，并在图中作出表示化简结果的向量。
A
C
O
B
D
当堂练习
1.下列说法：
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足||＞||，且与同向，则＞；
1
C
B
【例题探究二】求空间向量的数量积
例 2. 如 图 所 示 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 ， E 是 AA1 的 中 点 ，
AA1=AD=2，AB=4，求：
(1) ∙ ；
(2) ∙
解:(1)(方法二)由图可以看出，
D1
∴|a－b|＝22.
【例题探究三】空间向量数量积的应用
练习3(多选) 设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不
共线，下列结论正确的是( BCD )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(c·b)a－(c·a)b与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
C
B
【例题探究一】求空间向量的夹角
练习1. 在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中
点，则与的夹角为( C )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
复习回顾
2.两个非零平面向量的数量积？
平面内，给定两个非零向量，的数量积(也
Ԧ
称为内积)定义为Ԧ ∙ = ||||
求证：M为AB中点的充要条件是= (+).
例3. 如图所示，三棱锥A-BCD中，O为CD的中点，化简
+
(+)，并在图中作出表示化简结果的向量。
A
C
O
B
D
当堂练习
1.下列说法：
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足||＞||，且与同向，则＞；
1
C
B
【例题探究二】求空间向量的数量积
例 2. 如 图 所 示 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 ， E 是 AA1 的 中 点 ，
AA1=AD=2，AB=4，求：
(1) ∙ ；
(2) ∙
解:(1)(方法二)由图可以看出，
D1