内错角相等_两直线平行
用“内错角”、“同旁内角”判定平行线
10.2 平行线的判定
第4课时 用“内错角”、“同旁 内角”判定平行线
1 课堂讲解 由“内错角相等”判定两直线平行
由“同旁内角互补”判定两直线平行
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
根据平行线的定义. 如果平面内的两条直线不相 交，就可以判断这两条直线平行. 但是，由于直线无 限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接 根椐定义来判断两条直线是否平行. 那么，有没有其 他判定方法呢？
1 如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，若要使 AB∥CD，则需要添加的条件是( ) A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠4＝∠5
2 如图，已知∠1＝∠2，则图中互相平行的线段是 __________．
3 如图，已知∠1＝120°，当∠2＝________时， a∥b，理由是____________________________．
17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。——马克 思
知识点 1 由“内错角相等”判定两直线平行
思考 如图，直线a，b被直线c所
截，如果内错角∠2和∠4相等， 你能根据上面的基本事实，说 明直线a∥b吗？
归纳
由于∠2＝∠4，又∠2＝∠1(为什么？)，故∠1 ＝∠4，即同位角相等，根据上面的基本事实，得直 线a∥b，这样，我们可以得到判定两条直线平行的第 2种方法：
两直线平行内错角相等的定义
两直线平行内错角相等的定义1.引言1.1 概述概述在几何学中，我们常常研究直线之间的关系以及角度的性质。
其中一个重要的性质是两直线平行时，它们之间的错角相等。
本文将详细介绍两直线平行内错角相等的定义及其性质。
在几何学中，我们常常研究直线之间的关系以及角度的性质。
而平行线是其中的一种特殊情况。
当两条直线平行时，我们可以发现它们之间的角具有特殊的关系。
其中之一就是两直线平行内错角相等的性质。
所谓错角，是指两个相邻且不相邻的角。
当两条直线分别与第三条直线相交时，所形成的相邻的四个角中，两个不相邻的角被称为错角。
这种错角的性质与两直线之间的平行关系密切相关。
在本文中，我们将首先介绍两直线平行内错角相等的定义。
然后，我们将探讨该性质的证明过程，并展示其应用实例。
最后，我们将总结并展望这一性质在几何学中的重要性和应用前景。
在接下来的内容中，我们将详细分析两直线平行内错角相等的定义及其相关性质，以期增进对该性质的理解。
通过深入研究这一性质，我们可以更好地应用它来解决实际问题，同时也能更好地理解几何学中的其他重要概念和定理。
在下一节中，我们将开始探讨该性质的具体证明过程，以及通过证明过程中所用到的相关定理和规则。
通过逐步推理和演绎，我们将深入了解两直线平行内错角相等的原理。
同时，我们也将通过实例来展示该性质在实际问题中的应用。
本文的目的是为读者提供清晰且详细的知识框架，以便更好地理解和应用两直线平行内错角相等的性质。
通过系统地探讨该性质的定义、证明和应用，我们希望读者能够在几何学的学习和实践中，更加深入地理解和应用该重要性质。
在接下来的正文部分，我们将详细阐述两直线平行内错角相等的性质的具体内容，并进一步探讨其相关性质和应用实例。
让我们一同展开对这一几何学重要性质的深入研究吧。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以写成以下样式：1.2 文章结构本篇文章将按照以下结构进行展开讨论:1) 引言部分将概述本文的主题内容，并明确文章的目的；2) 正文部分将分为两个要点，分别介绍两直线平行内错角相等的定义相关的概念、性质及证明；3) 结论部分将对本文的要点进行总结，并给出未来研究方向的展望。
证明两直线平行的方法
证明两直线平行的方法要证明两条直线平行，可以使用以下几种方法：1. 使用同一平面内的两条平行线特性。
对于同一平面内的两条直线，若它们的任何一对对应角为同位角、内错角或同旁内错角，那么这两条直线就是平行的。
- 同位角：两条直线被一条横截线分成的两对对应角，即对应于同一边的两个角。
- 内错角：两条直线被一条横截线分成的两对对应角，即对应于同一边的两个角。
- 同旁内角：两条直线被一条横截线分成的两对对应角，即对应于同一内角的两个角。
通过测量角度或使用角度关系定理来确定两条直线的角度关系。
如果找到了一个或多个对应角，是同位角、内错角或同旁内错角，那么这两条直线就是平行的。
2. 使用直线与平面的垂直性质。
如果一条直线与一个平面上的另一条直线垂直，则与这条直线平行的直线也会与第二条直线垂直。
因此，我们可以通过证明一条直线与一个平面上的另一条直线垂直，来证明这两条直线是平行的。
可以使用垂直直线间的角度关系来得出垂直性。
如果两条直线之间的垂直角度为90度，那么这两条直线就垂直，从而可得两条直线是平行的。
3. 使用向量的性质。
对于平面上的两条直线，如果这两条直线的方向向量是平行的，即它们的方向向量共线，那么这两条直线是平行的。
可以通过计算两条直线的方向向量来判断其共线性。
如果两条直线的方向向量的比例相等，即它们的坐标分量之间存在一个常数比例关系，那么这两条直线是平行的。
4. 使用截距的性质。
对于平面上的两条直线，如果这两条直线的截距（直线与坐标轴的交点）之间存在一个常数比例关系，那么这两条直线是平行的。
通过计算两条直线的截距来判断其比例关系。
如果两条直线的截距之间存在一个常数比例关系，即它们的截距之间的差值是一个常数，那么这两条直线是平行的。
综上所述，要证明两条直线平行，可以使用同一平面内的两条平行线特性、直线与平面的垂直性质、向量的性质以及截距的性质等方法。
证明平行于同一条直线的两条直线平行
证明平行于同一条直线的两条直线平行
1、在同一平面内，两条直线没有公共交点，那么这两条直线平行。
不在同一平面，两条直线没有交点，这两条直线是异面直线，不会平行。
2、两条直线平行的判定：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等，这两条直线平行；
（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等，这两条直线平行；
（3）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，这两条直线平行；
3、证明“平行同一直线的两条直线平行”，方法就是根据两条直线平行的判定定理进行。
例谈证明两条直线平行的常用方法
数学篇学思导引数、负数、非正数、非负数等.在求分式方程中参数的值时，若已知分式方程有解，同学们要注意如下两点：一是认真审读题目，弄清题设中解的情况，即明确该解是正数，还是负数等；二是参数的取值要使分式有意义，即分式方程的分母不能为零.例3若关于x 的分式方程x +a x -5+6a 5-x=4的解为正数，则a 的值满足（）.A.a <4B.a >-4C.a <4且a ≠1D.a >-4且a ≠-1分析：本题分式方程有根，求解时既要考虑根为正数的情形，又要考虑分式方程的分母不能为零.解：原方程同时乘以（x -5），可得（x +a ）-6a =4(x -5)，整理可得3x =20-5a ，解得x =20-5a 3.因为分式方程的解为正数，所以20-5a 3>0，即20-5a >0，解得a <4.又因为x -5≠0，所以x ≠5，即20-5a 3≠5，解得a ≠1.所以当a <4,且a ≠1时，原分式方程的解为正数，故正确答案为C 项.评注：求分式方程参数的取值范围，一般先去分母，化分式方程为整式方程；然后用含参数的代数式把分式方程的解表示出来，再由分式方程中解的条件（正数、负数等），将其转化为不等式问题.在这一过程中，同学们特别要注意分式方程有解的隐含条件：分母不能为零.总之，分式方程中参数的值或取值范围与分式方程的增根、无解、有解息息相关.在平时做题时，同学们要仔细审题，把握已知条件，尤其是隐含条件，并注意结合具体情况展开分类讨论，及时检验和修正，从而规避漏解、多解以及错解，提高解题的准确性.我们知道，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.那么，如何证明两条直线平行呢？有关两条直线平行的证明方法有许多，笔者归纳了如下三种常用的证明方法，以期对同学们证题有所帮助.一、利用“平行线判定定理”平行线的判定定理是指两条直线被第三条直线所截，如果同位角、内错角相等，或同旁内角互补，那么这两条直线平行，简称为“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.”它是判定两直线平行的基本定理，也是证明两条直线平行最为常用的一种方法.例1如图1所示，在△MNP 中，∠MNP =90°，NQ 是MP 边上的中线，将△MNQ 沿MN 边所在的直线折叠，使得点Q恰好落在点R 处，从而得到四边形MPNR .求证：RN ∥MP .分析：要想证明RN ∥MP ，关键是确定第三条直线.观察图形，很容易看出，这两条直线是被MN 所截的，由题意易知NQ =MQ ，∠QMN =∠QNM ，∠RNM =∠QNM ，这样易推出∠QMN =∠RNM ，再由“内错角相等，两直线平行”进而得到RN ∥MP .证明：因为NQ 是MP 边上的中线，且∠MNP =90°，所以NQ =MQ ，∠QMN =∠QNM .例谈证明两条直线平行的常用方法江阴市夏港中学姚菁菁图127数学篇学思导引又因为△MNR由△MNQ沿MN边所在的直线折叠，所以∠RNM=∠QNM，∠QMN=∠RNM.所以RN∥MP.(内错角相等，两直线平行)评注：在证明两条直线平行时，同学们要注意借助平行线的判定定理，证明这两条直线被第三条直线所截成的同位角、内错角相等，或者同旁内角互补.二、利用“三角形或梯形的中位线定理”由三角形或梯形的中位线定理可知，三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.因此，在证明两条直线平行时，若题目涉及中点，同学们要注意构造中位线，利用三角形或梯形的中位线定理进行求证.例2如图2所示，已知AM平分∠BAC，BM⊥AM，垂足为M，且BN=NC.求证：MN∥AC.分析：由题意可知，点N为边BC的中点，因此要证明MN与AC平行，可以从三角形中位线入手.不妨延长BM交AC于点P，这样只要证明M为边BP的中点，问题自然得证.证明：延长BM交AC于点P.因为AM平分∠BAC，所以∠BAM=∠CAM.因为BM⊥AM，所以∠AMB=∠AMP=90°.又因为AM为公共边，所以△AMB≌△AMP，所以BM=PM.因为BN=NC，所以MN为△BCP的中位线，所以MN∥PC，即MN∥AC.评注：三角形或梯形中位线定理反映了图形间线段的位置关系和数量关系.因此，当问题涉及三角形或梯形的中点时，同学们要注意考虑三角形或梯形的中位线，利用三角形或梯形的中位线定理来破解问题.三、利用“平行四边形对边平行”的性质对边平行且相等，是平行四边形的重要性质之一.因此，在证明两条直线平行时，若问题涉及平行四边形，同学们要注意结合已知条件，先证明这两条直线所在的四边形为平行四边形，再根据“平行四边形对边平行”这一性质判定这两条直线平行.例3如图3所示，已知BD平行四边形ABCD的一条对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AF∥EC.分析：本题涉及平行四边形，仔细观察图形，不难发现，要想证明AF∥EC，实际上只要证明四边形AECF为平行四边形即可.根据已知条件AE⊥BD，CF⊥BD，可以得到AE∥CF.然后由四边形ABCD为平行四边形，易知AB与DC是平行且相等的，进而推出∠ABE=∠ADF.再由∠AEB=∠CFD=90°，易知Rt△ABE与Rt△CDF为全等三角形，由此得到AE=CF，最后根据平行四边形的性质，确定四边形AECF为平行四边形，从而得出AF∥EC.证明：因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以AE∥CF，且∠AEB=∠CFD=90°.因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥DC，且AB=DC，∠ABE=∠CDF.由此可证Rt△ABE≌Rt△CDF.所以AE=CF，所以四边形AECF为平行四边形.所以AF∥EC(平行四边形对边互相平行).评注：平行四边形的两组对边是平行且相等的，利用这一性质既可以证明两直线平行，也可以证明两直线相等.总之，证明两条直线平行的方法多种多样，同学们在平时的学习中，既要注意夯实基础知识，掌握基本定理和推论，又要注意强化训练，结合具体问题，灵活选择恰当的证明方法，从而快速、准确、高效地解题.图2图328。
高中易忘常用平面几何定理及公式
14.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 15.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 16.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 17.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 18.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
的余弦值等于它的余角的正弦值
全等三角形 1.边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 2.角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 3.推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 4.边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 5.斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个
等腰三角形 1.等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 2.等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
4. 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 直角三角形 1.直角三角形中，如果一个锐角等于 30°那么它所对
的直角边等于斜边的一半 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
正方形
1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等 2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角
梯形 1.等腰梯形的两条对角线相等 2.对角线相等的梯形是等腰梯形 3.三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，
并且等于它的一半 4.梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且
直角三角形全等
相似三角形 1.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，
所构成的三角形与原三角形相似 2.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都
同位角,内错角,同旁内角的定义
同位角：即位置相同，两个角都在第三条直线的同旁，同在被截两条直线的上方或下方。
内错角：“内”指在被截两条直线之间；“错”即交错，在第三条直线的两侧。
（一个角在第三直线左侧，另一角在第三直线右侧）
同旁内角，“同旁”指在第三条直线的同侧；“内”指在被截两条直线之间。
平行线的性质：两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补
平行线的判定：同位角相等，两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
平行线的性质及尺规作图(基础)知识讲解
平行线的性质及尺规作图（基础）知识讲解【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点三、尺规作图1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．要点诠释：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．2.八种基本作图（有些今后学到）：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．（6）已知一角、一边做等腰三角形．（7）已知两角、一边做三角形．（8）已知一角、两边做三角形．【典型例题】类型一、平行线的性质1．已知：如图，AB∥DC，点E是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AE⊥DE．【思路点拨】过E作EF∥AB，再由条件AB∥DC，可得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠5，∠4=∠6，然后可得∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，进而得到结论．【答案与解析】证明：过E作EF∥AB，∵AB∥DC，∴EF∥AB∥CD，∴∠1=∠5，∠4=∠6，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，∴AE⊥DE．【总结升华】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．举一反三：【变式】如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2= ．【答案】140°．【解析】如图，∵l1∥l2，∴∠3=∠1=40°，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°．故答案为140°．类型二、两平行线间的距离2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则( ) ．A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定【答案】B【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．举一反三：【变式】如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为平方厘米．【答案】5 (提示：连接BF，则BF∥AC)类型三、尺规作图3．已知：∠AOB．利用尺规作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．【思路点拨】先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角．【答案与解析】作法一：如图(1)所示，（1）以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C；（2）以点C为圆心，以CA′的长为半径画弧，•交前面的弧于点B′；（3）过点B′作射线O B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．作法二：如图（2）所示，（1）画射线O′A′；（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A•′于点E；（4）以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，•以CD 的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；（5）画射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．【总结升华】本题考查作一个倍数角等于已知角，需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部．•作法一在已知角的基础上作图较为简便一些．类型四、平行的性质与判定综合应用4．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝( )A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵ CD∥AB，∴∠BAC＋∠ACD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵ EF∥AB∴ EF∥CD．（平行公理的推论）∴∠DCE＋∠CEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝∠BAC＋∠ACD＋∠DCE＋∠CEF＝180°＋180°＝360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的推论的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC ＋∠ACE＋∠CEF＝360°．举一反三：【变式】如图所示，如果∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．【答案】平行。
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D 1
3
C
如图，已知：AB∥CD，AE∥BD， 试说明∠ABD=∠E.
证明：由AC∥DE （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等. 得∠ACD= ∠ 2 . A 又由∠1=∠2（已知）. 1 根据： 等量代换 . B C 得∠1=∠ACD . 再根据：内错角相等，两直线平行 . 得 AB ∥CD .
D 2 E
1.如图，已知：AB∥CD， ∠1=55°∠2=80°， 求∠3的度数.
证明：由 AB∥CD （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等 A 得：∠ABD= ∠ BDC . 由AE∥BD（已知）. 根据： 两直线平行，同位角相等 E . D 得∠BDC=∠E . 再根据：等量代换 ∠ ABD =∠E 得： .
B
C
如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2， 试说明AB∥CD.
如图，已知：∠1=∠2，∠1=∠B， 求证：AB∥EF，DE∥BC。 证明：由∠1=∠2 （已知）， 内错角相等，两直线平行. 根据： 得AB∥EF. B 又由∠1=∠B（已知 ）. 根据：同位角相等，两直线平行 得 DE ∥ BC .AD1 2 EFC
如图，已知：∠1+∠2=180°， 求证：AB∥CD.
A D
如图，已知：∠2=∠3，∠1+∠3=180°， 求证：EF∥GH.
证明：由：∠2=∠3 （已知） ∠1+∠3=180°（ 已知） 根据： 等量代换 .A C F 得：∠1+∠2=180°. 根据：同旁内角互补，两直线平行
得： EF∥GH 。
E 1 2
G B
3
H D
.
如图，已知：∠1=∠2，BD平分∠ABC， 试说明AD∥BC.
A 1
2 E B
C
3
D F
2.如图，已知：AB∥CD， ∠A=70°∠DHE=70°,求证：AM∥EF
M
E G A H C F D B
证明：由：∠1+∠2=180°(已知)， E ∠1=∠3（对顶角相等）. A 1 3 ∠2=∠4（ 对顶角相等 ） C 根据：等量代换 2 得：∠3+ ∠4 =180°. 根据：同旁内角互补，两直线平行 得： AB ∥ CD .
B 4 D F
如图，已知：∠DAF=∠AFE， ∠ADC+∠DCB=180°，求证：EF∥BC 证明：由：∠DAF=∠AFE （ 已知 ） F E 根据：内错角相等，两直线平行 . 得：AD∥ EF . B C 由：∠ADC+ ∠DCB =180°（已知）. 同旁内角互补，两直线平行 . 根据： 得：AD∥ BC . 平行于同一直线的两条直线互相平行 . 再根据： 得：EF∥BC