运筹学练习题

一、选择
1、若某线性规划问题存在基可行解，则该问题（ C ）。

A ．一定有最优解
B ．具有无界解
C ．有非空的可行域
D ．可能无可行解
2、关于线性规划，（ B ）是错误的。

A ．当最优解多于一个时，最优解必有无穷多个
B ．当有可行解时必有最优解
C ．当有最优解时必能在可行域的某顶点达到
D ．当有可行解时必有基可行解
3、互为对偶的两个问题的解存在关系有（ D ）。

A ．原问题无可行解，对偶问题一定无可行解
B ．原问题有无界解，对偶问题可能有可行解
C ．原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解
D ．原问题无界解，对偶问题一定无可行解
4、用表上作业法求解3个产地4个销地的运输问题，若某步求得空格23B A 的检验数为2-，下列说法中正确的是（ A ）。

A ．增加空格23B A 处的运输量将使总成本降低 B ．当前方案是最优运输方案
C ．由3A 至2B 的运输量增加1个单位，可使总运费增加2
D ．为使总运费更小，应使3A 至2B 的运输量减少2
二、填空题 1、对偶单纯形法求解最大化线性规划问题时，要求初始单纯形表中的检验数都 小于等于零 。

2、在运输问题中，当总供应量S 小于总需求量R 时，求解时需虚设一个供应量等于 （R-S ）的虚拟供应点。

3、某钻井队要从编号为1、2、3、
4、5的五个井位中选择若干钻井探油，则“要么选择钻井2，要么选择钻井5” 可用i x 的线性表达式表示为（x2+x5=1），其中选择第i 号钻井时
=1i x ，否则=0i x ，15i =⋯,,。

4、下图给出某城市部分道路的分布情况，现要沿道路铺埋输水管，为了使铺设的管线最短，要求按道路分布图的最小支撑树来设计管线，则所铺设管线的最小总长度应该是(11 )（单位km ）。

一、
某厂计划生产甲、乙两种产品，需在A 、B 两种设备上加工，并消耗一定的原料资源，单位产品所需资源等相关数据如下表
1、应如何安排生产使该工厂获利最多？建立该问题的线性规划模型，并写出其对偶问题；
2、用单纯形法确定使总利润最大的生产计划，并求出最高总利润； 解：1、设甲、乙两种产品的产量分别为12,x x ，建立线性规划模型
12
2121212 max 2.. 515
62245,0
z x x s t x x x x x x x =+≤+≤+≤≥ 设对偶变量为123,,y y y ，则原问题的对偶问题为
12323123123 min 15245.. 62
521,,0
w y y y s t y y y y y y y y =+++≥++≥≥…
2、引入变量345,,0x x x ≥，得原问题的标准形式
123452312412512345 max 2000.. 515
6224
5,,,,0
z x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =+++++=++=++=≥
2单纯形法求解
二、
三、解析题
四、最短路问题
友谊农场有3万亩农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物。

这三种作物每亩所施化肥分别为0.12吨、0.20吨、0.15吨。

预计秋后玉米每亩可收获500公斤，售价为0.24元/公斤，大豆每亩可收获200公斤，售价为1.20元/公斤，小麦每亩可收获300公斤，售价为0.70元/公斤。

农场年初规划时需要按优先级别考虑 1P ：年终收益尽可能达到350万元； 2P ：希望总产量不低于1250万公斤； 3P ：由于销量原因，小麦产量以500万公斤为宜； 4P ：农场现能提供5000吨化肥，若不够，可在市场高价购买，但希望高价采购数量愈少愈好。

试对该农场的种植计划建立线性目标规划模型。

解：设种植玉米1x 亩，大豆2x 亩，小麦3x 亩，建立模型为 112233344
123123111232233312344123 min ().. 30000 1202402103500000500200300125000003005000000
0.120.20.155000,,0; z Pd P d P d d P d s t x x x x x x d d x x x d d x d d x x x d d x x x d ---++
-+-+-+-+
=++++++≤+++-=+++-=+-=+++-=≥,0,1,4i i d i -+≥= [备注] 建立模型时单位没有统一的每处扣1分。

四、
1、用Dijkstra 标号算法求右图中1v 到其它各点的最短路，并给出最短路长。

2、用Dijkstra 标号算法求右图中1v 到其它各点的最短路，并给出最短路长。

v 6
73
4
2
v 1
v 3
v 2
3
5
2v 4
v 5
3
6
五、
计算：
知下述线性规划问题
（ 1 ）用单纯形法求解此问题；
（ 2 ）当约束条件①的右端常数由20变为30时，最优解如何变化？
（3 ）目标函数中的变量x3的系数由13变为8时，最优解如何变化？解：
(1)
（2分）
据此列出初始单纯形表，如表一：（5分）
表一中非基变量x1,x2,x3的检验数均为正数，因此当前解不是最优解。

选取x3为入基变量，
表二中仍有正的检验数，选x 1为入基变量，x 5为出基变量，再次迭代，结果如表三所示（9分）
同理，表三中的解仍不是最优解，选取x 2为入基变量，x 3为出基变量，再次迭代，得最终单纯形表（表四）（11分）
表四中所有非基变量的检验数均小于零，所以得到唯一最优解，最优解为：
()(
)''
*
***51651
2388
,,,
,0x x x x
== ，最优值Z *=106.25。

（13分）
(2)当b 1由20增加为30时，因31
4
16
1
1
1416B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 则有32251
416
8115114
1683090B X B b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭⎝⎭， 解中出现负值，需要用对偶单纯形方法迭代求解。

将其替换到最优单纯形表中（表四），得
到表五，求解过程如表五-表七所示：
新的最优解为(
)()'
'
*
**
*123
,,0,0,9x x x x == ，目标函数最优值为117。

（6分）
(2) 当目标函数中x 3的系数由13减为8时，由于在最终单纯形表（表四）中，x 3为非基变
量，因此，c 3的变化仅影响它自身检验数的计算，且有：
()23231
38848550σ⎡⎤=-⨯+⨯-=-<⎣⎦ ，因此，最优解和最优值均保持不变。

（6分） 六、计算题
某企业需要指派甲、乙、丙、丁、戊五个人去做A 、B 、C 、D 、E 五项不同的工作，要求每人只承担一项工作，每项工作只能由一人来完成，每人做各项工作所消耗的时间如下表，表中单位为小时，试用匈牙利法求使总消耗时间最短的任务分配方案。

【解】（1）变换效率矩阵c ij ：每行和每列减去相应的最小值，具体过程如下：（3分）
38
210321608104
070872972650755306464
27524205330
04284235262
01350
0029106
9
10634034220231211
ij ij
c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒⇒=
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭
（2）进行试指派：（6分）
在b ij 中，寻找不在同一行、不在同一列的独立零元素，结果为：
(0)4
0705
3(0)643(0)042500(0)222023⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，可见，独立零元素的个数m=4<n=5，因此当前解不是最优解，需要对效率矩阵b ij 进一步地变换。

（3
）调整（10分） (a) 打勾、划线
(0)4
0705
3(0)643(0)042500(0)222023⎛⎫
⎪√ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪√
⎝
⎭√
，覆盖所有零元素的最少直线数目l=4=m<n 。

(b) 调整：在上面矩阵中，所有没有被线划到的元素中，最小元素为2，变换的方法为：打勾的每行减去这个最小元素，同时打勾的列加上这个最小元素，得到新的效率矩阵如下：
'0
4270310423
02425020200001ij b ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
（3）再次进行试指派，结果为：（13分）
0427(0)31(0)423(0)242502(0)2(0)0001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭ ，独立零元素数目m=5=n ，表明已得到最优解，解矩阵为：
00001001000
10000001010000ij x ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
即甲分派到E 工作，乙分派到C 工作，丙分派到B 工作，丁分派到D 工作，戊分派到A 工作，所消耗的总时间为：
15233244513243921()z c c c c c =++++=++++=小时 （15分）。