第二章第八节

典 例 探 究 · 提 知 能
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菜
单
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1．(1)本题求解的关键在于将区间[0，＋∞)分割成两个区间，为 运用函数的性质和零点存在定理创造条件．(2)当然亦可作出函数 y＝ x与 y＝cos x 图象，数形结合，转化为判定函数图象交点的个数． 2．函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形
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(3)零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续 f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间 (a，b) 内 不断的一条曲线，并且有 有零点，即存在x0∈(a，b)，使得 f(x0)＝0 ．
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【尝试解答】 (1)当 x∈[0，1]时，f(x)＝ x－cos x 的图象连续 不间断， ∵f(0)＝0－cos 0＝－1＜0，f(1)＝1－cos 1＞0.
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∴f(x)＝ x－cos x 在区间(0，1)内有零点， 1 又 f′(x)＝ ＋sin x＞0(x∈(0，1)，∴f(x)在(0，1)上是单调增函 2 x 数，因此 f(x)在(0，1)内有唯一零点．
【解析】 二分法适用于在[a，b]上连续且f(a)·f(b)＜0的情形．
【答案】 A
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2．(2011·福建高考改编)若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个零点，则 实数m的取值范围是( )
A．(－1，1)
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点所在的区间为( 1 A．(－ ，0) 4 1 1 C．( ， ) 4 2
) 1 B．(0， ) 4 1 3 D．( ， ) 2 4
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1 【解析】 显然 f(x)＝ex＋4x－3 的图象连续不间断，又 f( )＝ 2 1 4 e－1＞0，f( )＝ e－2＜0. 4 1 1 ∴由零点存在定理知，f(x)在( ， )内存在零点． 4 2
【思路点拨】
(1)二分法求近似零点，需将区间一分为二，逐渐
逼近；(2)必须满足精确度要求，即|a－b|＜0.1.
【尝试解答】
根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，
又|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25＜0.1， 故方程的一个近似根可以是1.406 25.
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3
2
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那么方程 x ＋x －2x－2＝0 的一个近似根(精确度 0.1)为( A．1.25 C．1.406 25 B．1.375 D．1.5
3
2
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【答案】 C
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4．下列是函数 f(x)在区间[1，2]上一些点的函数值. x f(x) x f(x) 1 －2 1.5 0.625 1.25 －0.984 1.625 1.982 1.375 －0.260 1.75 2.645 1.406 5 －0.052 1.875 4.35 1.438 0.165 2 6
3
3 3 【解析】 在(1，2)内取中点 x0 ＝ ，令 f(x)＝x －2x－1， 2
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3 27 ∵f( )＝ －4<0，f(2)＝8－4－1>0，f(1)＜0， 2 8 3 ∴f(x)＝0 的根在( ，2)内． 2
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3 【答案】 ( ，2) 2
若将例题中函数“f(x)＝ x－cos x”改为“f(x)＝
log2 x（x＞0） x ”且关于 x 的方程 f(x)＋x－a＝0 有且只有一个实根， （x≤0） 3
则实数 a 的范围是________．
【解析】 由f(x)＋x－a＝0，得f(x)＝－x＋a， 令g(x)＝－x＋a，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象， 如图所示． 从图象可知，当a＞1时，两函数图象有且只有一个交点， 故实数a的取值范围是(1，＋∞)． 【答案】 (1，＋∞)
菜
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(2012· 徐州质检)已知函数 f(x)＝－x ＋2ex＋m－1，g(x) e2 ＝x＋ (x>0)． x (1)若 g(x)＝m 有零点，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根．
【答案】 C
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1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注意精确度的含 义，切不可与“精确到”“混淆”． 2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y＝f(x)的图象在 [a，b]内连续不间断，②f(a)· f(b)＜0.(2)在第一步中，尽量使区间长度 缩短，以减少计算量及计算次数．
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(见学生用书第31页)
(2011· 陕西高考)函数 f(x)＝ x－cos x 在[0， ＋∞)内( A．没有零点 C．有且仅有两个零点 B．有且仅有一个零点 D．有无穷多个零点
)
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B．(－2，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】 依题意，Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.
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【答案】 C
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3．(2011· 课标全国卷)在下列区间中，函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零
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在用二分法求方程 x －2x－1＝0 的一个近似解时， 现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间 为________．
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结合；(3)解方程 f(x)＝0. 3．求函数的零点，从代数角度思考就是解方程 f(x)＝0；从几何 角度思考就是研究其图象与 x 轴交点的横坐标．
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2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
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(2)当 x＞1 时，f(x)＝ x－cos x＞1－cos x≥0， ∴f(x)在(1，＋∞)内没有零点， 结合(1)、(2)知，函数 f(x)在[0，＋∞)内有且仅有一个零点．
【答案】 B
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【思路点拨】
注意到三角函数cos x的有界性，可将区间[0，＋
∞)分成[0，1]与[1，＋∞)两部分，根据函数的单调性和零点存在定理
分别在两个区间上确定函数零点的个数．
2
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【思路点拨】
(1)g(x)＝m有零点，可以分离参数转化为求函数
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最值．(2)结合函数f(x)与g(x)图象特征，转化为关于m的不等关系，进 而求出m的取值范围．
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由此可判断：方程 f(x)＝0 的一个近似解为________． (精确度 0.1，且近似解保留两位有效数字)
【解析】 ∵f(1.438)·f(1.406 5)＜0，且|1.438－1.406 5|＝0.031 5 ＜0.1，∴f(x)＝0的一个近似解为1.4. 【答案】 1.4
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