高数8-2

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[高等教育]高数 9-2二重积分的计算_OK

xd xd y d z D dxdy0 xdz
1x2 y
0 d z
z 1
1 2
y x1
1
xdx
1 2
(1
x)
(1
x
2
y)d
y
0
0
1
1
(
x
2x
2
x
3
)dx
1
40
48
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28
cz
例2. 计算三重积分
by a
x
解:
:
c2
c2x2 a2
c2 y2 b2
z
c2
c2x2 a2
c2 y2 b2
S1
D
(x, y)
y
y y2( x)
y y1( x)
简单区域：平行于 z 轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面 S 相交不多于两点情形．
26
1)先将 x, y 看作定值，将 f (x, y, z)只看作 z 的函数，则
z
z z2(x, y)
F (x, y) z2(x,y) f (x, y, z)dz z1 ( x, y)
4
15
abc3
注：被积函数为一元函数时，多选用截面法
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33
例3 .计算积分
其中是两个球
( R > 0 )的公共部分.
D2z
z R
R
2
提示: 由于被积函数缺 x , y , 利用“截面法” 计算方便 .
D1 z
o x
y
原式 =
R2 z2 dz
0
dxdy
D1 z
R R
z2 dz

高数第八章

第25，26讲第八章重积分上一章把一元函数微分学推广到多元函数情形.现在要把一元函数定积分推广为多元函数的多重积分、曲线积分和曲面积分.定积分（特定构造的和式极限，“高级和”）所讨论的是分布在某区间上的几何量（曲边梯形面积）或物理量（变速直线运动路程）的积累问题.而多重积分，曲线、曲面积分则能求出分布在平面区域，平面曲线，空间曲面上的整体量，以扩大积分学的应用范围.第一节二重积分的概念和性质一、二重积分的概念 1.两个实例例1 求曲顶柱体的体积.曲顶柱体是指：以平面上的有界闭区域D 为底，以D 上方的曲面S 为顶，周围是母线平行于z 轴的柱面（见P.306图8-1）今设曲顶方程为(,),(,)z f x y x y D =∈，且设(,)f x y 连续，，(,)0f x y ≥，求该曲顶柱体的体积.V 解第一步：“分割”— 化整为零.用一组曲线网将区域D 分成n 个小区域：12,,,n σσσ∆∆∆ ，并用它们记各小区域的面积.，于是大体积相应被分割为n 个曲顶柱体，记体积为：12,,,n v v v ∆∆∆ （见P.306图8-2）.第二步：“近似代替”— 以平代曲.i σ∆上任意取一点（,)i i ξη，(,)f x y 在D 上连续，∴当分割充分细小时，可用小平顶柱体体积,()i i i f ξησ∆近似代替小曲顶柱体的体积(,)(1,2,,).i i i i v f i n ξησ∆≈∆= 第三步：“求和”— 积零为整. 11(,)nni i i i i i V v f ξησ===∆≈∆∑∑.第四步：“取极限”— 由近似到精确.1l i m (,)ni i i i V f λξησ→==∆∑，其中λ是n 个小区域i σ∆的直径最大者，即 1max ()i i nd λσ≤≤=∆.例2 求不均匀平面薄板的质量（薄即厚度可忽略不计）.设有一块质量分布不均匀的薄板，在xoy 平面上占有区域D （见P.307图8-3），面密度为ρ（,)x y ，求该薄板的质量M .解也分四步完成.“ 分割”: 在xoy 平面上将薄板D 分割为n 小块：12,,,n σσσ∆∆∆ .“近似代替”:在i σ∆上任取一点(,)i i ξη，将此小块近似看作是均匀的，则小块质量为： i M ∆≈ρ（,),(1,2,,)i i i i n ξησ∆= . “求和”: 11nni i i M M ===∆≈∑∑ρ(,)i i i ξησ∆.“取极限”:01lim ni M λ→==∑ρ(,)i i i ξησ∆.以上两例，虽内容不同，但解决问题的方法是一样的，都归结为求一种具有相同结构的“和式的极限”，我们把它抽象出来，得到2.二重积分的定义设二元函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上有定义，用任意的曲线网分D 为n 个小区域 12,,,n σσσ∆∆∆ ，并用它们记小区域的面积. 又记 i σ∆的直径为()i d σ∆，并令1max ()i i nd λσ≤≤=∆，在i σ∆上任取一点(,)i i ξη，作乘积 (,),(1,2,,)i i i f i n ξησ∆= ，作和数（称为积分和，或Rimann 和）1(,)nn i i i i S f ξησ==∆∑，令0λ→，若积分和有极限 Ⅰ（它不依赖于区域D 的分法及中间点的取法），则称此极限值为函数(,)z f x y =在区域D 上的二重积分，记作：Ⅰ＝01lim (,)(,)ni i i i Df f x y d λξησσ→=∆=∑⎰⎰ （1）其中D 称为积分区域，(,)f x y 称为被积函数，(,)f x y d σ称为被积表达式，d σ称为面积元素.若二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰存在，则称(,)z f x y =在区域D 上可积.重要结论：二元连续函数是可积的.（不证）由二重积分的定义知：例1中取顶柱体的体积V 是曲顶柱体函数(,)f x y 在底面区域D 上的二重积分，即 (,)DV f x y d σ=⎰⎰.例2中平面薄板的质量M 是面密度函数ρ(,)x y 在所占区域D 上的二重积分，即 DM =⎰⎰ρ(,)x y d σ.3.二重积分的几何意义（1）当(,)0f x y ≥时，则(,)Df x y ⎰⎰d σ表示以(,)z f x y =为顶，以D 为底的曲顶柱体的体积.（2）当(,)0f x y ≤时，则(,)Df x y d σ⎰⎰表示曲顶柱体体积前面加了一个负号.（但不能说是负体积）（3）当(,)1f x y ≡时，(,)DDf x y d d σσσ==⎰⎰⎰⎰为D 的面积.二、二重积分的性质 (P.308)性质1 “常数因子提出来” 若(,)f x y 在区域D 上连续，则(,)(,),(DDkf x y d k f x y d k σσ=⎰⎰⎰⎰为常数）性质2 “一项一项分开积” 若(,),(,)f x y g x y 在D 上连续，则[](,)(,)(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质3 设区域D 由1D 与2D 组成，且1D 与2D 除边界上点外无公共点，又(,)f x y 在D 上连续，则12(,)(,)(,).DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质4 若(,),(,)f x y g x y 在D 上连续，且 (,)(,)f x y g x y ≤，则有不等式(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰特殊地，由于(,)(,)(,)f x y f x y f x y -≤≤，又有不等式(,)(,).DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰性质5 设M ，m 分别是(,)f x y 在D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有 (,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰ （估值不等式）性质6 （二重积分的中值定理）设(,)f x y 在闭区域D 上连续，σ为D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅⎰⎰习题 8-14 （1）—（4）5 （1）—（4）4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1) 2()d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线1x y +=所围成；(2) 2()d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；(3)ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0)；(4) ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰，其中{(,)35,01}D x y x y =≤≤≤≤.解 (1) 在积分区域D 上，01x y ≤+≤，故有32()()x y x y +≤+，根据二重积分的性质４，可得32()d ()d .DDx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰(2) 由于积分区域D 位于半平面{(,)|1}x y x y +≥内，故在D 上有23()()x y x y +≤+．从而23()d ()d .DDx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰(3) 由于积分区域D 位于条形区域{(,)|12}x y x y ≤+≤内，故知D 上的点满足0l n ()1x y ≤+≤，从而有2[ln()]ln()x y x y +≤+．因此2[ln()]d ln()d .DDx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰ (4) 由于积分区域D 位于半平面{(,)|e}x y x y +≥内，故在D 上有ln()1x y +≥，从而有2[ln()]ln()x y x y +≥+．因此2[ln()]d ln()d .DDx y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤；(2) 22sin sin d DI x y σ=⎰⎰其中{(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；(3) (1)d DI x y σ=++⎰⎰其中{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤；(4) 22(49)d DI x y σ=++⎰⎰其中22{(,)4}D x y x y =+≤.解 (1) 在积分区域D 上，01x ≤≤，01y ≤≤，从而0()2xy x y ≤+≤，又D 的面积等于1，因此0()d 2.Dxy x y σ≤+≤⎰⎰(2) 在积分区域D 上，0sin 1x ≤≤，0sin 1y ≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤，又D 的面积等于2π，因此2220sin sin d π.Dx y σ≤≤⎰⎰(3) 在积分区域D 上，014x y ≤++≤，D 的面积等于2，因此2(1)d 8.Dx y σ≤++≤⎰⎰(4) 在积分区域D 上，2204x y ≤+≤，从而22229494()925,x y x y ≤++≤++≤，又D 的面积等于4π，因此2236π(49)d 100π.Dx y σ≤++≤⎰⎰第27，28讲第二节二重积分的计算方法— 化为两个定积分，即累次积分. 一、在直角坐标系下计算二重积分当(,)f x y 在区域D 上可积时，其积分值与分割方法无关，因此取特殊的分割法来计算二重积分1.用两组分别平行于x 轴，y 轴的直线分割区域D ，这时面积元素d dxdy σ=，从而(,)(,)DDf x y d f x y dxdy σ=⎰⎰⎰⎰.2.化二重积分为累次积分设(,)0f x y ≥，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰表示曲顶柱体的体积V ，用“切片法”求V（1）设区域D 由直线,x a x b == 及曲线12(),()y x y x ϕϕ==围成： 12()()x y x a x bϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩（这称x -型区域）回忆：已知平行截面面积，求立体体积公式 8-4 ()a ()baV A x dx =⎰， ()A x 是平行截面面积.现用平行于yoz 的平面0x x =去截曲顶柱体，得截面，其面积为A 0()x （图8-5）是一个曲边梯形，曲边方程为：0(,)z f x y =，因此，由定积分的几何意义，2010()00()()(,)x x A x f x y dy ϕϕ=⎰ (1)'让0x 取遍整个[],a b ，得到截面面积 21()()()(,)x x A x f x y dy ϕϕ=⎰ (1)''于是，由“已知平行截面面积求立体体积公式”⇒ 22111()()()()()(,)(,)bbx b x aax a x V A x dxf x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕ''⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰（）代入（1）这叫累次积分.第一次对y 的积分，是求x 处的截面面积()A x ，将x 看作常数，第二次对x 积分，是沿x 轴加这些薄片的体积()A x dx ，这时x 是积分变量.注公式（1）成立的条件是“(,)f x y 在D 上连续”，并不要求(,)0.f x y ≥公式（1）是在x -型积分域下，将二重积分化为先对y 后对x 的两次定积分.如何确定两次的积分限呢？先用平行于y 轴的直线在[],a b 内一点x 处穿入D 的下边界，穿出上边界，其交点的坐标12(),()x x ϕϕ为第一次先对y 积的下限与上限，再将D 投影到x 轴上，得交点,a b 为第二次对x 积分的下限与上限.（称“穿口法”，定限口诀是：后积先定限（常数），限内画条线，先交下限写，后交上限见．）例1 化二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰为累次积分.其中；（1） D 由1,2,0,2x x y y =-===围成；（2）D 由2,y x =及2x y =围成. （3）D 由2,,2y x y x y x ==-=-围成. 解计算二重积分时，先画好积分区域的草图.（1）积分域是x -型的矩型域，由公式(1)⇒221(,)(,)Df x y d dx f x y dy σ-=⎰⎰⎰⎰.（2）解方程组求交点，画积分域草图2201,01x x y x y y x y ==⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这时x -型积分域，由公式（1）⇒（先对y 积分，将x 看作常数，积分限是x 的函数，第二次对x 积分，积分限为常数）21(,)(,).xDf x y d f x y d yσ=⎰⎰⎰（3）解方程组求交点，画积分区域草图1212y x x y x =-⎧⇒=-⎨=-⎩， 2212y xx y x =⎧⇒=⎨=-⎩如先对y 积分时，用平行y 轴的直线不能一次穿过区域D 时，需将D 分为1D 域2D ，然后由积分的可加性质3及公式（1），得到22122121(,)(,)(,).x x xxDD D f x y d dx f x y dy dx f x y dy σ----=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例2 求ⅠDxyd σ=⎰⎰，其中D 由,y x =与2y x =围成. 解解方程组求交点，画区域草图 1220,1y xx x y x=⎧⇒==⎨=⎩由公式（1）⇒222111350()211().224x x x xDy xyd xdx ydy x dxx x dx σ===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例3 求Ⅰ(32),D x y d D σ=+⎰⎰由2x y +=及,x y 轴围成.解由积分区域草图及定理1 Ⅰ2222222020(32)(3)2(2).3xx dx x y dy xy y dx x x dx --=+=+=+-=⎰⎰⎰⎰（2）若积分区域D 是由,y c y d ==及12(),()x y x y ψψ==围成，这称y -型积分域. 二重积分化为累次积分时，应先对x 后对y 积分，这时积分公式为： 21()()(,)(,)dy cy Df x y d dy f x y dx ψψσ=⎰⎰⎰⎰（2）对y -型积分域，如何确定两次的积分限呢？图8-6 （)a 先用平行于x 轴的直线在[],c d 内一点y 处，穿入D 的左边界，穿出右边界，交点的坐标12(),()y y ψψ为第一次先对x 积分的下限与上限（是y 的函数），然后将D 投影到y 轴上得交点,c d 为第二次对y 积分的下限与上限（是常数）.例4 求Ⅰ22Dx d yσ=⎰⎰，其中D 由2,,1y y x xy ===围成.解解方程组求交点的坐标，画出积分域的草图11x yy xy =⎧⇒=⎨=⎩ 这是y -型积分域，先选择对x 后对y 积分，及公式（2）⇒Ⅰ224222235122111111111127().3332464yy yyy y dy x dx x dy y y dy y y --⎡⎤⎡⎤===-=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 注如若选择先对y 积分时，需把D 分块，则繁. 例5求ⅠDxyd σ=⎰⎰其中D 由抛物线2y x =及直线2y x =-围成. 解解方程组求交点，画积分域草图214,122x x y xy y y x ⎧===⎧⎧⇒⎨⎨⎨=-==-⎩⎩⎩ 强调积分次序的选择原则：① 考虑积分域的特点； ② 被积函数（下例说明）本题D 即是x -型域，又是y -型域，这时，根据D 的特点，应选择先对x 积分（因为平行x 轴直线可一次穿过D 的左，右边界，而先对y 积分时，D 应分块）. 故由公式（2）⇒ Ⅰ222222211145().28y y y y ydy xdx y x dy ++--===⎰⎰⎰例6 求Ⅰsin Dy d yσ⎰⎰，其中D 由2y x =及y x =围成.解解方程组求交点，画出积分区域草图 20,1y xy y y x=⎧⇒==⎨=⎩这时不能选择先对y 积分，因考虑到被积函数，积不出来，故应先对x 积分，由公式（2）⇒ Ⅰ2211sin sin 1y yy yy y dy dx dy dx yy==⋅⎰⎰⎰⎰11120sin ()sin sin y y y dy ydy y ydy y=-=-⎰⎰⎰110cos11cos cos y yydy =-++-⎰cos11cos1sin11sin10.1585.=-++-=⋅≈习题 8-21 （1）（3） 2（2）（4） 4（1）（3）（5）1. 计算下列二重积分：(1) 22()d D xy σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；(2) (32)d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域； (3)323(3)d D xx y y σ++⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤；(4) cos()d Dx x y σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区域．解 (1) 1311112222221111128()d d ()d d (2)d .333Dy x y x x y y x y x x x σ-----⎡⎤+=+=+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2) D 可用不等式表示为03,02y x x ≤≤-≤≤，于是2222200022(32)d d (32)d [3]d 20(422)d .3xxDx y x x y y xy y xx x x σ--+=+=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)11323323(3)d d (3)d Dx x y y y x x y y x σ++=++⎰⎰⎰⎰ 1411333001d ()d 1.44x x y y x y y y y ⎡⎤=++=++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰(4) D 可用不等式表示为0,0πy x x ≤≤≤≤，于是ππ00πcos()d d cos()d [sin()]d 3(sin 2sin )d π.2xxDx x y x x x y y x x y xx x x x σ+=+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) Dσ⎰⎰，其中D是由两条抛物线y =，2y x =所围成的闭区域；(2)2d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由圆周224xy +=及y 轴所围成的右半闭区域；(3) e d x y Dσ+⎰⎰，其中{(,)|||||1}D x y x y =+≤； (4)22()d Dxy x σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域．解 (1) D可用不等式表示为201x y x ≤≤≤≤，于是237111424000226d d (-)d .3355Dx x x y x y x x x x σ⎡====⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰(2) D可用不等式表示为022x y ≤≤-≤≤，于是22222222164d d d (4)d .215Dxy y y x y y y σ--==-=⎰⎰⎰⎰(3) 12D D D = ，其中1{(,)|11,10}D x y x y x x =--≤≤+-≤≤，1{(,)|11,01}D x y x y x x =-≤≤-+≤≤，于是121111101012112111e d e d e d e d e d e d e d (e e )d (e e )d e e .x y x y x yD D D x x x y x y x x x x x y x y x x σσσ+++++----+----=+=+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) D 可用不等式表示为,022y x y y ≤≤≤≤，于是22222023222232002()d d ()d 19313d d .322486yy Dyy x y x y x y x xx x y x y y y y σ+-=+-⎡⎤⎛⎫=+-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 改换下列二次积分的积分次序：(1) 1d (,)d yy f x y x ⎰⎰ ； (2)2220d (,)d y y y f x y x ⎰⎰；(3) 10d (,)d y f x y x ⎰；(4)212d (,)d xx f x y y -⎰；(5)eln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰； (6)πsin 0sin2d (,)d xx x f x y y -⎰⎰．解 (1) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|0,01}D x y x y y =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|1,01}x y x y x ≤≤≤≤，于是原式11d (,)d .xx f x y y =⎰⎰(2) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中2{(,)|2,02}D x y y x y y =≤≤≤≤，D可改写为{(,)|04}2x x y y x ≤≤≤≤，于是原式42d (,)d .x x f x y y =⎰⎰(3) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|01}D x y x y =≤≤≤，D可改写为{(,)|011}x y y x ≤≤-≤≤，于是原式110d (,)d .x f x y y -=⎰(4) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|212}D x y x y x =-≤≤≤≤，D可改写为{(,)|2101}x y y x y -≤≤+≤≤，于是原式1102d (,)d .yy f x y x -=⎰⎰(5) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|0ln ,1e}D x y y x x =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|e e,01}y x y x y ≤≤≤≤，于是原式1ee d (,)d .yy f x y x =⎰⎰(6) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，将D 表示为12D D ，其中1{(,)|arcsin πarcsin ,01}D x y y x y y =≤≤-≤≤，2{(,)|2arcsin π,10}D x y y x y =-≤≤-≤≤，于是原式1πarcsin 0π0arcsin 12arcsin d (,)d d (,)d .yyyy f x y x y f x y x ---=+⎰⎰⎰⎰第29，30讲二、在极坐标系下计算二重积分复习：直角坐标与极坐标（参见教材P.476附录4）的关系： (,)x y (,)r θcos sin x r y r θθ==tan r y xθ==1 圆心在极点，半径为a 的圆周222x y a += ,02r a θπ=≤≤ 2 圆心在(,0)a ，半径为a 的圆周222()x a y a -+= 22cos r ar θ= 222x y ax += 2cos ,22r a ππθθ=-≤≤3 圆心在(0,)a ，半径为a 的圆周22222()2x y a a x y ay+-=+=22sin 2sin ,0r ar r a θθθπ==≤≤在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数(,)f x y ，积分域D 及面积元素d σ都用极坐标表示：(,)f x y 的极坐标形式为 (cos ,sin )f r r θθ，为了得到极坐标系下面积元素d σ，可用坐标曲线网去分割区域D ，即用 r =常数（一组同心圆） θ=常数（一束射线），去分割D 面积元素可近似看作小矩形：两边长分别为dr 和（弧长）＝rd θ（半径⨯圆心角）（见P.315图8-14）所以 ()d rd dr rdrd σθθ=⋅=，于是⇒ (,)(cos ,sin )DDf x y d f r r rdrd σθθθ=⎰⎰⎰⎰ （4）（ⅰ）当极点o 在D 的外部：一般先对r 后对θ积分，定限时，用从极点出发的射线穿入区域，入口的交线1()r θ，穿出区域出口的交线2()r θ为对r 积分的下限与上限，而θ的变范围则是后对θ积分的下限与上限. 图8-15（a ）21()()(,)(cos ,sin (cos ,sin )DDr r f x y d f r r rdrd d f r r rdrβθαθσθθθθθθ⇒==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（5）（ⅱ）当极点o 在D 的边界上，D 为曲边扇形()(cos ,sin ).r Dd f r r rdr βθαθθθ⇒=⎰⎰⎰⎰（6）图8-17（ⅲ）当极点o 在D 的内部2()(cos ,sin ).r Dd f r r rdr πθθθθ⇒=⎰⎰⎰⎰（7）例1 化二重积分为累次积图8-1822:,(0)D x y Rx R +=>解 222()()22RRx y -+= 这是圆心在(,0)2R ，半径为2R的圆，极坐标方程为：cos ,22r R ππθθ=-≤≤，这是极点在D 的边界上.由公式（6）⇒ cos 202(cos ,sin ).R Dd f r r rdr πθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰例2 求Ⅰ＝2Dxy d σ⎰⎰其中D 为圆 221,x y +=和224x y +=之间在第一象限的部分（圆环）解这是极点在域D 外部的情形，由公式（5）⇒ Ⅰ＝2cos (sin )Dr r rdrd θθθ⎰⎰＝24221cos sin d r dr πθθθ⎰⎰＝22421sin cos d r drπθθθ⎰⎰=用凑微分31.15例3 求Ⅰ＝22x y De d σ--⎰⎰，其中D 是222,(0)x y a a +≤>在第一象限的部分. 解因为 22,x y ee --的原函数不是初等函数，故在直角坐标系下积不出来.但D 是圆域，故可采用极坐标系.由于极点在边界上，由公式（6），得到 Ⅰ＝2222(1).4ar r a oDe rdrd d e rdr e ππθθ--==-⎰⎰⎰⎰（这里用凑微分积）利用此结果，可计算无穷积分（广义积分）：2x e dx +∞-⎰（概率积分）.例4利用二重积分证明概率积分22x e dx +∞-=⎰.（求正态分布的方差时用）证明22limax x a edx e dx +∞--→+∞=⎰⎰‘考虑正方形区域D ，在D 上计算二重积分 2222a axy x y De dxdy e dx e dy ----=⎰⎰⎰⎰＝220a x e dx -⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 图8-19为了求出左端的二重积分，可以a （正方形对角线）为半径画圆，得到图中的区域12D D D ⊂⊂, 220xy e --> 22222212xy xy xy D DD e d e d e d σσσ------∴≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰由例3知：22222(1)(1)44a xy a De e dxdy e ππ-----≤≤-⎰⎰（＝22ax edx -⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰）令a →+∞，有 220lim 44a x a e dx ππ-→+∞⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦⎰，即22044x e dx ππ+∞-⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦⎰ 由极限的夹逼准则，所以 2204x e dx π+∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ ，202x e dx +∞-==⎰例5 求球体22224x y z a ++≤被圆柱面222,(0)x y ax a +=>所截得部分的体积. 解将圆柱面的方程化为：2222()x a y a -+= 被球面22224x y z a ++=所截，有对称性，只须求出图中第一卦限的体积1V ，再4倍，1V 的曲顶为z =11D V ⇒=其中 1D 如右图所示采用极坐标系111D D V θ⇒==⎰⎰⎰⎰ 图8-20（a ）（b ）2cos 202cos 122222200322222cos 3320233301(4)(4)2128(4)((1sin )233882(sin )().32323a a a d d a r d a r a r d a d a d a πθπθππθπθθθθθππθθ==---=--⋅=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以 13224().323V V π==- 递推公式：3n =为奇数 Ⅰ212!!,1(21)!!m m m m +==+小结：何时用极坐标系计算二重积分？ ① 积分区域是圆形或环形； ② 被积函数含22x y +.习题 8-28（1）（3） 9（1）（4） 10（1）8. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1) 11d (,)d x f x y y ⎰⎰ ；(2)2d (,)d xx f x y y ⎰；(3)11d (,)d xx f x y y -⎰ ； (4)21d (,)d x x f x y y ⎰⎰．解 (1) 用直线y x =将积分区域D 分成1D 、2D 两部分：1π{(,)|0sec ,0}4D ρθρθθ=≤≤≤≤，2ππ{(,)|0c ,}.42D cs ρθρθθ=≤≤≤≤，于是原式sec csc 4204d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d .f f ππθθπθρθρθρρθρθρθρρ=+⎰⎰⎰⎰(2) 在极坐标中，直线2,x y x ==和y =的方程分别是π2sec ,4ρθθ==和3πθ=。

高数第九章习题答案

则
∂z ∂z ∂z ∂z , 仍旧是复合函数，即 = f u′ ( u, v ), = f v′( u, v ), 而u = ϕ ( x , y ), v = ψ ( x , y ), ∂u ∂v ∂u ∂v
x ). y
（ 2） z = f ( x ,
x (记(1))
z = f (或f ′ )
x (记( 2)) y
x→0 y = x→0
x2 y2 = 1. x 2 y 2 + ( x − y)2
若动点P ( x , y )沿y = 2 x趋于(0,0)，则： lim
x2 y2 不存在. x 2 y 2 + ( x − y)2
x→0 y = 2 x→0
4x4 x2 y2 = lim = 0. x 2 y 2 + ( x − y ) 2 x→0 4 x 4 + x 2
证法 1：利用复合函数、隐函数的求导公式。
由F ( x , y , t ) = 0可知，t是x , y的函数：t = t ( x , y ).
∂z ∂ y ln( 1+ xy ) x xy = e [ln(1 + xy ) + y ⋅ ] = (1 + xy ) y [ln(1 + xy ) + ]. ∂y ∂y 1 + xy 1 + xy
（8） u = arctan( x − y )
z
解:
∂u z ( x − y ) z −1 ∂u − z ( x − y ) z −1 ∂u ( x − y ) z ln( x − y ) ; ; ; = = = ∂x 1 + ( x − y ) 2 z ∂y 1 + ( x − y ) 2 z ∂z 1 + ( x − y)2z

2024级经管类高数(二)期末试题与解答A

2024级本科高等数学（二）期末试题与解答A（本科、经管类）一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.到两点4L-1,0）和8（2,0,-2）距离相等的点的轨迹为（C ）.C. x+y-2z-3=0；D.x+y+2z-3=0.2 .微分方程y 〃-2y+y=e'+x 的非齐次特解形式可令为（八）.A. Ax:2^+Bx+C ；B. Ae x Λ-Bx+C ；C.Ae x +x 2(Bx+C)↑D.Axe x +Bx+C.3 .函数/®y)=(4y -y2)(6x_“2)的驻点个数为(b ).Λ.9;B.5；C.3； D.1.4.设。

是My 面上以(1,1),(-1,1),为顶点的三角形区域，R 是。

中在第一象限的部分，则积分JJ(XU+COS^xsiny)db=(D).A.2∫∫cos 3xsin ydσ； C.4∫∫(x 3j+cos 3xsin y)dσ；q5 .下列级数中，绝对收敛的级数为(A∑<-ιr ,√b∙T严舄；C∙S（7）i∕;D.∑（-1）H -,-J=.n=l3n=l√11二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6 .函数/（羽丁）=@心也*2+产）_]11/2\^2^的连续域为,（工,'）（<12+'2«].7 .设级数为(。

〃一万)收敛,则Iim(〃“+∫∫2dσ)=3π.”=1 ° χ2+y 2≤∣8 .设Z=In （X+lny ）,则,包-包=0.y∂x∂y9 .交换，由，心/（无,丁）①;积分次序得，为:J ；f （x,y ）dy.A. x-y-2z-3 = 0;B. x+y-2z + 3 = 0; B. 2∫∫x 3 yJσ ；D ∖D. 0.C ).10 .投资某产品的固定成本为36（万元），且成本对产量X 的改变率（即边际成本）为C ,（x ）=2x+40（万元/百台），则产量由4（百台）增至6（百台）时总成本的增值为幽万元.三、试解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11 .求解微分方程孙'-y=/满意初始条件MT=1的特解.解：分别变量得一^二四（2分）y （y+i ）X两端积分得In 上=lnx+InC,即上=CX （5分）y+1y+1由HT=1，得C=；故所求通解为X =工匕或），=—匚（8分）>,+l -2-x13 .z=∕(ei,2),即可微,求自乎.X oxoy解：寺=*/一与月(4分) ∂x X ^=-e x -y f^-f; (8分)∂yX14 .设/(x,y)=xsin(x+y),求九弓弓)，&（三）•解：∕r =sin(x+j)+Xcos(x+y),f y =xcos(x+1y)(2分) f xx =2CoS(X +y)-X Sin(X+y) f yy =-xsin(x+y)几弓弓）二一2,启（多9=0（8分）12.设Z = z （x, y ）由方程/ +孙- z = 3所确定,求包∂x x=2÷√ry=2->∕e Z=Ix≈2-^y∕e y≈2-∙Je（4分）（8分）（4分）（6分）解：令尸(x,y,z) = "+Λy -z-3,则15.求嘉级数£心"的收敛区间与和函数.w=l解：收敛半径为R=I,收敛区间为（-覃）（2分）2.=XZnX"T,令S（X）=SnyI,则（4分）/1=1 /1=1 n=l£S（X）必:=£（J。

高数8-1,8-2习题解答

习题8－11. 解：737135851=⋅-⋅=-2. 解：()()()2452453261563a b b a b b b a b ab-=-⋅--⋅-=--3. 解：1082101512312152032121012128320215322012232310121580=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=将第，列顺次安放在右边4. 解：()()()()121200123111012031213011011222--=⋅⋅+-⋅⋅+-⋅⋅-⋅⋅--⋅⋅-⋅⋅-=将第，列顺次安放在右边 5. 解：系数行列式：()3132117012D -==⋅-⋅-=≠，()3132811482x D -==⋅-⋅-=3338132118y D ==⋅-⋅=。

方程组有唯一解：14212,377y x D D x y D D ======。

6. 解：系数行列式：()2123117013D -==⋅-⋅-=≠，10153x D -==()10351⋅-⋅-35=，21025110015y D ==⋅-⋅=。

方程组有唯一解：355,7x D x D ===,y D y D == 007==系数行列式1212111121211218112121211D =---⋅-⋅+⋅=----利用二阶行列式计算211111111110214312123231x D =---⋅-⋅+⋅=---利用二阶行列式计算1012111121211014132321213y D =⋅-⋅+⋅=利用二阶行列式计算1221111212112012113131311z D =---⋅-⋅+⋅=----利用二阶行列式计算方程组有唯一解：4141123,,828282y x z D D D x y z D D D -===-===-===---。

8. 解：系数行列式1111111121121121112112*********D =--=---=---+--=----；1111111111111111121211*********x D =--=---=---+--=----1111111121121121114122312112112y D =-=-=-+-+-=1111111121121121212114511211211z D =-=--=-+-++-=----方程组有唯一解：423155,,636266y x z D D D x y z D D D --======-===---（1）空间点()3,1,2A 关于三个坐标面,,xy yz zx 对称的点分别为()()3,1,2,3,1,2B C --与()3,1,2D -。

高数8-2,3

z
z = f ( x, y) y = y0
•
M0
y
z = f ( x, y)
(x0 , y0 ) y x0 • z = f (x , y ) • x y = y0 df ( x, y0 ) ′ ( x0 , y0 ) = 轴的斜率斜率。在点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 处的切线对 x 轴的斜率。 f x dx x=x0 类似地, f y ( x0 , y0 ) 在几何上表示空间曲线类似地
存在，存在，则称此极限值为函数 f ( x , y )在点( x 0 , y 0 ) 处对 x的偏导数。的偏导数。
f ( x 0 + ∆x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) lim ∆x → 0 ∆x
∂z , 记作 = ∂x x= x0 y y
0
∂f ∂x
即
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) = lim ∆x→0 ∆x
∂f ∂x df ( x, y0 ) = x= x0 dx y= y
0
;
x= x0
∂f ∂y
=?
x= x0 y= y0
4
z = x 2 + 3 xy + y 2 在点 (1,2 ) 处的偏导数处的偏导数. 例1 求
∂z ∂z = 3x + 2 y. 解法一： = 2 x + 3 y; 法一： ∂x ∂y ∂z ∂z = 8; = 7. ∂y x =1 ∂ x x =1
3
∂ 3z ∂ ∂2z = 2 = −18 x , 3 ∂y ∂y ∂y
∂ ∂2z ∂3z 2 = 12 xy , = 2 ∂ x ∂ y ∂y ∂ x

经管类高等数学答案

经管类高等数学答案【篇一：《高等数学》(经管类)期末考试试卷】class=txt>《高等数学》（经管类）期末考试试卷班级：姓名：学号：分数：1. ???0e?4xdx? 2. 已知点a(1,1,1),b(2,2,1),c(2,1,2)则?bac?3. 交换二次积分次序：?dy?0112?yf(x.y)dxxn4. 已知级数 ?n，其收敛半径r= 。

n?12?n?5. 已知二阶线性常系数齐次常微分方程的特征根为1和?2则此常微分方程是6. 差分方程2yx?1?3yx?0的通解为1. 求由x?0,x??,y?sinx,y?cosx 所围平面图形的面积。

《高等数学》（经管类）第 1 页共8页2. 求过点(2,0,且与两平面x?2y?4z?7?0,3x?5y?2z?1?平行的直线方?3)0程。

3.求x y??00 《高等数学》（经管类）第 2 页共8页4. 设可微函数z?z(x,y)由函数方程 x?z?yf(x2?z2) 确定，其中f有连续导数，求?z。

?x?z?2z5. 设 z?f(xy,xy),f具有二阶连续偏导数，求 ,2。

?x?x22《高等数学》（经管类）第 3 页共8页6. 计算二重积分???x2?y2d?，其中d为圆域x2?y2?9。

d7. 求函数 f(x,y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的极值。

《高等数学》（经管类）第 4 页共8页n221. 判断级数 ?nsinnx 的敛散性。

n?12?2. 将f(x)?x展开成x的幂级数，并写出展开式的成立区间。

x2?x?2《高等数学》（经管类）第 5 页共8页【篇二：高等数学经管类第一册习题答案】1.1 --1.1.3函数、函数的性质、初等函数一、选择题1.c;2.d;3.d 二、填空题1.x?5x?11;2. 1;3. ?0,1?2三、计算下列函数的定义域。

1. ???,2???3,???;2. ???,0???3,???;3. ?2,3???3,???;4. ?0,1?四、(1)y?u2,u?sinv,v?lnx.(2) y?u2,u?lnt,t?arctanv,v?2x.?sinx?1,x?1?五、 f?x???sinx?1,0?x?1??sinx?3,x?0?1.2.1 数列的极限一、选择题1.c;2.d;3.d 二、填空题1.111;2. ;3. 22311三、计算下列极限1. . 2. . 3. 1.4.231.2.2 函数的极限?2???. 5. 10 ?3?4一、选择题1.c;2.d;3.d 二、填空题1. a?4,b??2;2. 1;3.三、计算下列极限1. 2. 2. 6 . 3. 2x.4.1. 5. 1 33?;3. ;4. 05?1.2.3---1.2.5 无穷小与无穷大;极限的运算法则和极限存在准则；两个重要极限一、选择题1.ab;2.c;3. c 二、填空题1. ?1;2.?3?6三、计算下列极限1. e. 2. ?? . 3. e.4.?2??6205. e21.2.5--1.2.6 两个重要极限；无穷小的比较一、选择题1.c;2.b;3.a二、填空题1.1;2. k?0;3. 高. 21?1?22三、计算下列极限1. 1. 2. . 3. e.4. e2. 5. e41.3.1 函数的连续性与间断点一、选择题1.b;2.c;3.a 二、填空题1. x?0,?1;2. 三、求下列函数的不连续点并判别间断点的类型。

川大版高数_物理类专用_第三册_答案

第一章行列式1.()()[][][]23154110103631254=520010=8(1)3(1)321(1)(2)(3)2441(1)3214243(1)321012)4n n n n n n n n m n m n n n m n m n n m 1τ=++++=2τ+++++-τ-⋯=-+-+-+⋯+2+1+0===+τ-⋯=+=+τ-⋯=⋯（）该数列为奇排列（）该排列为偶排列（）当或时，为偶数，排列为偶排列当或时，为奇数，排列为奇排列（其中，，（）[][][]12(1)13521)246(2)0123(1)244113521)246(2)424313521)246(2)012)2.(1)(2)(n n n n n n n m n m n n n m n m n n m i i i k n n n -τ⋯-⋯=++++⋯+-===+τ⋯-⋯=+=+τ⋯-⋯=⋯⋯-+-+（当或时，（为偶数，排列为偶排列当或时，（为奇数，排列为奇排列（其中，，解：已知排列的逆序数为，这个数按从大到小排列时逆序数为()()111112(1)3)2(1)2x x x n x n x n n n n n n x i r i i i n x r i n x n n i i i i i i -+-+---+⋯+2+1+0=----τ⋯=-τ⋯个.设第数之后有个数比小，则倒排后的位置变为，其后个数比小，两者相加为故3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列∴当n ≥2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。

∴偶排列与奇排列各占一半。

4 （1）13243341a a a a 不是行列式的项 14233142a a a a 是行列式的项因为它的列排排列逆序列τ=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，∴应带负号（2）5142332451a a a a a 不是行列式的项 1352413524a a a a a =1324354152a a a a a 因为它的列排排列逆序列τ(34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数∴应带正号。

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证:
x z 1 z y x ln x y
例3. 求
2z
的偏导数 .
解:
2x x r 2 2 2 x 2 x y z r r z z r
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例4. 已知理想气体的状态方程
求证: p V T 1
(R 为常数) ,
V T p RT RT p 2 , 证: p V V V RT V R V , p T p
说明: 此例表明, 偏导数记号是一个整体记号, 不能看作分子与分母的商 !
p V T RT 1 V T p pV
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定义1. 设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x
x0
存在, 则称此极限为函数z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x 的偏导数，记为
f ; zx x ( x 0 , y0 )
( x0 , y0 ) ;
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z f x ( x, y) , x
z f y ( x, y) y
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:
z 2z z 2z ( ) f x y ( x, y) ( ) 2 f x x ( x , y ); y x x y x x x
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim f ( x x 0x) f ( x0 ) x dy 0 ( x0 ) lim f x 0 x d x x x0
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显然
x2 y2 0 x2 y2 0
0 0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
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例1 . 求 z x 2 3 x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. z z 解法1: 2 x 3 y , 3x 2 y x y z z y (1, 2) x (1, 2)
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二者不等
结束
例6. 证明函数
满足拉普拉斯
2u 2u 2u 方程 u 2 2 2 0 x y z
证：
2
3 x r 1 3 x2 u 1 3 4 3 5 r x r r x2 r 2u 1 3 y2 2u 1 3 z2 利用对称性 , 有 2 3 5 , 3 5 2 z r r y r r 2 2 2 u u u 3 3( x2 y2 z 2 ) 2 2 0 2 3 5 x y z r r
是曲线
x x0 y y0
d f ( x , y0 ) x x0 dx
z
M0
Tx
y0
Ty
y
在点M0 处的切线 M 0T y 对 y 轴的
斜率.
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注意：函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , 2 2 例如, z f ( x , y ) x y 0 ,
x
f y ( x, y, z ) ?
f z ( x, y, z ) ?
(请自己写出)
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二元函数偏导数的几何意义:
f x
z f ( x, y) 在点 M0 处的切线是曲线 y y0 o M 0Tx 对 x 轴的斜率. x0 f d f ( x0 , y) x x x0 y y0 y y y0 d y
解法2: z
y 2
x 6x 4
2
z x ( 1, 2)
z
x 1 1 3 y
y
2
z y ( 1, 2)
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求证例2. 设z x y ( x 0, 且 x 1 ，）
x z 1 z 2z y x ln x y
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r2
若 , 定理. f x y ( x,y ) 和 f y x ( x,y ) 都在点( x0 , y0 ) 连续则
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续时, 有
f1( x0 , y0 ) .
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数 , 记为
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等
函数在其定义区பைடு நூலகம்内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.
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内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在 • 混合偏导数连续 2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法函数在此点连续与求导顺序无关先代后求先求后代利用定义逐次求导法
2 z 2z z z ( ) f y x ( x , y ); ( ) 2 f y y ( x , y ) x y y x y y y
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类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导数为
z f , , z y , f y ( x, y) , f2 ( x, y) y y
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数定义为
x x
x
x2 y
3
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例如, f ( x , y )
4
x2 y2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 2 2 0, x y 0
2 2 4
x 4x y y y , x2 y2 0 2 2 2 f x ( x, y) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4 x 2 y2 y4 x , x2 y2 0 f y ( x, y) ( x 2 y 2 )2 2 2 0, x y 0 f x (0, y ) f x (0, 0) y lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y 0 y y f y ( x , 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
( y
z ) n1 x y
n
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z . 的二阶偏导数及例5. 求函数 z e 2 y x z z 解: 2 e x 2 y e x 2 y y x 2 2z z e x2 y 2 e x2 y 2 x y x 2 2 z z x2 y x2 y 4e 2 e 2 y y x 3 2 z z ( ) 2 e x2 y 2 x y x y x 2z 2z 注意:此处 ,但这一结论并不总成立. x y y x
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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备用题设
确定 u 是 x , y 的函数 ,
方程
连续, 且
解:
求
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第二节偏导数
一、偏导数二、高阶偏导数
第八章
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一、偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u o
u ( x0 , t )
u(x , t )
x0
x
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