高等数学二试题及完全解析
数学二真题详细答案解析
数学二真题详细答案解析数学是一门抽象而又具有广泛应用的学科，它在现代社会中扮演着重要的角色。
无论是在科学研究，金融交易，还是在日常生活中，我们都会遇到各种与数学有关的问题。
因此，深入理解数学的原理和拓展能力对我们来说至关重要。
下面，我将对数学二真题进行详细解答，以帮助大家更好地掌握数学知识。
题目一：计算题某公司去年的年利润为100万元，今年的年利润比去年增长了20%。
今年的年利润是多少万元？解析：首先，我们需要知道“增长20%”意味着增加了原来的20%，即原数加上原数的1/5。
所以，今年的年利润为100万元 + 100万元/5 = 120万元。
题目二：代数题若函数f(x) = x^2 + 3x - 4, 求f(2)的值。
解析：将x=2代入函数f(x)的表达式中，可以得到f(2) = 2^2 + 3*2 - 4 = 4 + 6 - 4 = 6。
题目三：几何题已知正方形ABCD的边长为a，点E是AD边上一点，连接CE，并延长交BC于点F。
若BE=3，CF=5，求正方形ABCD的边长a。
解析：利用类似三角形的性质，我们可以发现三角形BEC与三角形CFD相似，因此可以得到BE/BC = CE/CF。
根据已知条件，可以得到3/（3+a）= （a+3）/5。
经过化简计算，可以得到a^2 - 11a + 12 = 0，这是一个一元二次方程。
求解方程，可以得到a = 1 或 a = 12。
但由于正方形的边长必须为正数，因此a = 12。
通过以上几道题目，我们可以看到数学在解决实际问题中所起到的重要作用。
通过运用数学的方法和原理，我们可以更好地理解和应对各种问题。
这样的能力不仅可以帮助我们解决日常生活中的困难，也对我们在学术和职业生涯中有所帮助。
在学习数学的过程中，我们还要注意培养抽象思维和逻辑推理能力。
数学不仅仅是一门死记硬背的学科，更是培养思维能力的工具。
在解答问题时，我们需要运用各种数学原理和方法，进行思维的灵活转换。
高等数学测试题二(导数、微分)答案及解析
高等数学测试题（二）导数、微分部分答案及解析一、选择题（每小题4分，共20分）1、设函数0()102x f x x ≠=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（ B ）A 不连续B 连续但不可导C 二阶可导D 仅一阶可导 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ C ） A 1 B12 C 12eD 2e 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ B ） A 1 B2e C 2eD e 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()limx f a x f a x x→+--等于（ C ）A 0B ()f a 'C 2()f a 'D (2)f a '5、设函数()f x 可微，则当0x ∆→时，y dy ∆-与x ∆相比是（ ） A 等价无穷小 B 同阶非等价无穷小 C 低阶无穷小 D 高阶无穷小二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '= 02、 设函数()xf x xe =，则(0)f ''= 23、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01l i m()n n f x n→∞+= 4、 曲线228y x x =-+上点 处的切线平行于x 轴，点_____处的切线与x 轴正向的交角为4π。
x=1 23=x5、 d = x e dx - xe --三、解答题1、（7分）设函数()()(),()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续，求()f a ')()(')(')()()(')(')()()('a x )()()()(a a f a a a a a f x a x x x f x x a x x f ϕϕϕϕϕϕϕ=-+=-+==-=连续在又2、（7分）设函数()a a xa x a f x x a a=++，求()f x '设aa m = a x n = xat =aa a a aaxa xa x f t a a n a a mx x f a a x x f x a a x a at n m tn m xaa ln *ln ln )(')'(ln )'(ln )(')(111+++=++=++=---x a a x a aa a a aaxa xa x f xaa *ln ln )('211+++=--3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩ 在 6t π= 处的切线方程和法线方程∵sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩ ∴122+-=x y 6π=t 时 x=21 21=y14203242y'21x x4-y'=+-=-+-===y x y x 法线方程所以切线方程时当4、（7分）求由方程 1sin 02x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d ydx对x 求导0*cos 211=+-dxdyy dx dy y dxdy dxdy y cos 21111)1cos 21(-=-=- 在对x 求导3222)cos 211(sin 21)cos 211(sin 21y yy dx dy y dxy d --=--=6、（10分）设函数212()12x x f x ax b x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，适当选择,a b 的值，使得()f x 在12x =处可导 ∵()f x 在12x =处可导 ∴41221lim =→x xb a b ax x +=+→21lim21 4121=+b a 。
高等数学二(含答案)
高等数学（二）一、选择题1函数1ln xy x-=的定义域是 （ D ） ](0,1) B (0,1)(1,4)C (0,4) D (0,1)(1,4A ⋃⋃2 设2,0,(x)sin ,0a bx x f bx x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在x=0处连续，则常数a ，b 应满足的关系是 （ C ）A a<bB a>bC a=bD a ≠b3 设(sin )cos 21f x x =+ 则(sin )(cos )f x f x += （ D ） A 1 B -1 C -2 D 24 若(x)xln(2x)f = 在0x 处可导，且'00()2,()f x f x ==则 （ B ）221 B C D e 2e A e5 设(x)f 的一个原函数为xlnx ，则(x)dx xf =⎰ （ B ）22221111x (lnx)C B x (lnx)C24421111C x (lnx)CD x (lnx)C4224A ++++-+-+6 设'(x)(x 1)(2x 1),x (,)f =-+∈-∞+∞ ，则在（12，1）内，f （x ）单调（ B ） A 增加，曲线y=f （x ）为凹的 B 减少，曲线y=f （x ）为凹的 C 减少，曲线y=f （x ）为凸的 D 增加，曲线y=f （x ）为凸的 7 设(0,0)z(x y)e ,xy z y ∂=+=∂则（ C ） A -1 B 1 C 0 D 2 8 设2239k x dx =⎰ ，则k= （ 0 ）9 011lim sin sin x x x x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ B ） A 0 B 1 C 2 D +∞ 10 {A ，B ，C 三个事件中至少有一个发生}这一事件可以用事件的关系表示为（ A ）A A ⋃B ⋃C B A ⋂B ⋃C C A ⋃B ⋂CD A ⋂B ⋂C 二 填空题11 设21(x)x f x=+ 则"(1)f =____4_____12 与曲线3235y x x =+- 相切且与直线6x+2y-1=0平行的直线方程__y=-3x-6__ 13()sin x x dx +=⎰21cos 2x x C -+ 14 设ln ,z y x dz ==则 _y/x*dx+lnxdy_________ 15 0sin 2lim3x xx→= __2/3_______16函数z = 的定义域为__{(x,y)|x 2+y 2≤1}______ 17 设函数y=xcosx ，则y ’=_cosx-xsinx____18 设函数332,0(x),0x x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 则f （0）=____2__________19 曲线32113y x x =-+ 的拐点是__(1,1/3)_________20 若2n x y x e =+ 则(n)y = ___22n n x n A e + _____ 三、计算题 21 求极限02sin 2lim sin 3x x xx x→+-解：原式=00224lim lim 232x x x x xx x x→→+==---22计算lim x x →+∞22 lim limlimx x x x →+∞====解：原式 1=23 计算sin x xdx ⎰cos cos cos cosx sinx xd x x x xdx x =-=-+=-+⎰⎰解：原式24 计算4211xdx xπ++⎰442200424021=dx dx 1+x 1+x 1 =arctan ln(1x )21 =arctan ln(1)4216x x ππππππ+++++⎰⎰解：原式25 设z （x ，y ）是由方程2224x y z z ++= 所确定的隐函数，求dz222(x,y,z)x 42,2,242242224222F y z z F F Fx y z x y z F z x x x F x z z z F z x y y F y z z z z z x y dz dx dy dx dyx y z z=++-∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂=-=-=∂∂--∂∂∂∂=-=-=∂∂--∂∂∂∴=+=+∂∂--解：设则有：26 设sin x y e x =，证明"'220y y y -+='""'sin cos sin cos cos sin 2cos 222cos 2(sin cos )2sin =0x x x x x x x xxxxy e x e xy e x e x e x e x e x y y y e x e x e x e x =+=++-=∴-+=-++解：27 （1）求曲线x y e = 及直线x=1，x=0，y=0所围成的图形D 的面积S （2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V110011222001e e 1e =ee 222xx x xx x dx ee y e dx ππππ===-==-⎰⎰解：由题知曲线直线的交点：（1，） 则（1） （2））和（28 讨论函数21x y x=+ 的单调区间和凹凸区间，并求出极值和拐点的坐标。
高等数学二试题及答案
高等数学二试题及答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 4x + 4C. 6x^3 - 6x^2 + 4D. 6x^3 - 6x + 4答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为：A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大答案：A3. 曲线y=x^2在点x=1处的切线方程为：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A5. 级数Σ(n=1 to ∞) (n^2 / 2^n)收敛于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题1. 函数z=e^(x+y)在点(0,0)的偏导数∂z/∂x为_________。
答案：12. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值为_________。
答案：e3. 曲线y=2x^3在点x=-1处的法线方程为_________。
答案：y=-6x+24. 定积分∫(1,2) (2t^2 + 3t + 1) dt的值为_________。
答案：10/35. 幂级数Σ(n=0 to ∞) (x^n / 2^n)在|x|≤2时收敛于_________。
答案：1 + x三、计算题1. 求函数f(x)=ln(x^2-4)的反函数，并证明其在定义域内是单调的。
解：首先找到反函数的定义域，由于ln(x^2-4)的定义域为x^2-4>0，解得x^2>4，因此x<-2或x>2。
设y=ln(x^2-4)，则x^2-4=e^y，解得x=±√(e^y+4)。
由于x<-2或x>2，我们选择x=√(e^y+4)作为反函数，定义域为y>ln(4)。
显然，当y>ln(4)时，函数√(e^y+4)是单调递增的，因此反函数也是单调的。
10月全国高等数学(二)自考试题及答案解析
1全国2019年10月高等教育自学考试高等数学（二）试题课程代码：00021第一部分 选择题（共40分）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．若必有A T =A ，矩阵A 为（ ）A.正交矩阵B.对称矩阵C.可逆矩阵D.三角形2．若A ，B 均为n 阶方阵，且AB=0，则（ ）A.A=0或B=0B.A+B=0C.|A|=0或|B|=0D.|A|+|B|=03．设A 为m ⨯n 矩阵，秩为r ，C 为n 阶可逆矩阵，矩阵B=AC ，秩(B)=r 1，则（） A.r 1>r 2 B.r<r 1C.r=r 1D.r 1与C 有关4．)1,1,1(),0,1,1(),3,1,2(),3,2,1(4321=α-=α=α=α，则（ ）A.1α线性相关B.21,αα线性相关C.线性相关321,,αααD.线性相关421,,ααα5．n 个未知量的齐次线性方程组的方程个数m>n ，则对该方程组正确的（ ）A.有唯一解B.有无穷多解C.无解D.有解6．若矩阵A 与B 是合同的，则它们也是（ ）A.相似B.相等C.等价D.满秩7．实二次型f(x 1，…，x n )=x T Ax 为正定的充要条件是（ ）A.f 的秩为nB.f 的正惯性指数为nC.f 的正惯性指数等于f 的秩D.f 的负惯性指数为n8．实二次型f(x 1,x 2,x 3)的秩为3，符号差为-1，则f 的标准形可能为（ ）A.332221y y y -+-B.332221y y 2y +-2 C.332221y y 2y -+ D.21y -9．当根据样本观察值画出的频率直方图为一矩形（即各“条形”高相同）时，则（ ）A.这组数据的极差为零B.这组数据的平均偏差为零C.这组数据的方差为零D.这组数据的极差、方差都不一定为零10．将一枚均匀硬币反复抛掷10次，已知前三次抛掷中恰出现了一次正面，则第二次出现正面的概率为（ ） A.31 B.21 C.41D.103 11．设随机变量ηζ和的密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=ζ其它,01x 0,x 3)x (p 2 ⎩⎨⎧≤>=-η0y ,00y ,e 3)y (p y 3，若ηζ和不相关，E(ζη)=（ ） A. 41 B.21 C.43 D.1 12．设离散型随机变量ζ的分布列为（ ）A.32B.31C.0D.32- 13．设随机变量ζ的密度函数p(x)=⎩⎨⎧π∈其他,0],0[x ,ASinx ，则常数A=（ ） A.41 B.21 C.1D.214．设随机变量ζ的概率密度为p(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<<-其他,a x a ,a 21，其中a>0，要使P{ζ>1}=31，则a=（ ）3A.1B.2C.3D.415．设ζ的分布函数为F(x)=A++∞<<∞-πx x arctan 1，则常数A=（ ） A.21B.1C.2D.π 16．设总体X~N(2,σμ)，X 1，X 2是总容量为2的样本，2,σμ为未知参数，下列样本函数不是统计量的是（ ）A.X 1+X 2B.22221X X 4X ++C.2221X X +D.μ+1X17．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若E(θˆ)=θ，则θˆ是θ的（ ） A.极大似然估计B.矩估计C.无偏估计D.有偏估计18．设总体X 为参数为λ的动态分布，今测得X 的样本观测值为0.1,0.2,0.3,0.4，则参数λ的矩估计值λˆ为（ ） A.0.2B.0.25C.1D.419．作假设检验时，在以下哪种情形下，采用Z -检验法（ ）A.对单个正态总体，已知总体方差，检验假设00:H μ=μB.对单个正态总体，未知总体方差，检验假设00:H μ=μC.对单个正态总体，已知总体均值，检验假设2020:H σ=σD.对两个正态总体，检验假设22210:H σ=σ20．一元线性回归分析中F=)2n /(Q U -的值较小，则说明x 与y 之间（ ） A.有显著的线性相关关系B.没有显著的线性相关关系4C.不相关D.线性相关关系不可判定第二部分 非选择题（共60分）二、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）21．设33A ⨯的行列式|A|=2，试问能确定出|A -1|AA *的具体结果吗？为什么？若能得出结果，结果是什么？22．)4,2,0,3(=β能否由)1,1,1,0(),3,1,7,2(),2,0,4,1(321--=α=α=α线性表示？为什么？23．全年级120名学生中有男生（以A 表示）100人，来自北京的（以B 表示）40人，这40人中有男生30人，试写出P(A)、P(B)、P(B|A )，和P(B |A )24．设随机变量N ~ζ(5,5)，η在[0，π]上均匀分布，相关系数21=ρζη，求（1）)2(E η-ζ；（2）)2(D η-ζ三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）25．A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111222111能否相似于对角阵？为什么？26．加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%，3%，5%，3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
高等数学二试题及答案
高等数学二试题及答案试题一：1. (10分) 在直角坐标系中，曲线 $y = \sqrt{x}$ 与 $y = -\sqrt{x}$ 交于两点 $A$ 和 $B$，且两点的横坐标之差为 $4$，求 $A$、$B$ 两点的坐标。
试题一答案解析：解析：我们可以通过将两个函数相等，来找到交点的横坐标。
$\sqrt{x} = -\sqrt{x}$将等式两边平方，得到$x = x$因此，两个函数相等的条件是 $x=0$。
又因为两个函数在对称轴 $y$ 轴上对称，所以 $A$、$B$ 两点的横坐标之差为 $4$，即 $B$ 点的横坐标是 $4$。
所以，$A$、$B$ 两点的坐标分别为 $(0, 0)$ 和 $(4, 0)$。
试题二：2. (15分) 计算 $\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx$。
试题二答案解析：解析：首先，我们需要对被积函数进行积分。
$\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx$通过对多项式逐项积分，得到$\int_{0}^{1} x^4 \ dx - \int_{0}^{1} 2x \ dx + \int_{0}^{1} 1 \ dx$根据积分的定义，我们可以进行求解：$\frac{1}{5}x^5 \Bigg|_{0}^{1} - x^2 \Bigg|_{0}^{1} + x\Bigg|_{0}^{1}$代入上下限进行计算，结果为：$\frac{1}{5} - 1 + 1 = \frac{1}{5}$所以，$\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx = \frac{1}{5}$。
试题三：3. (20分) 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最小值。
试题三答案解析：解析：对于给定的区间 $[0, 1]$，我们需要找到函数 $f(x) =e^{2x}$ 在该区间上的最小值。
首先，求函数的导数 $f'(x)$：$f'(x) = 2e^{2x}$在 $[0, 1]$ 区间上，我们可以通过求解导数为 $0$ 的点来找到函数的极值点。
2021年全国硕士研究生入学统一考试(高等数学二)真题及答案解析
dt
当=r 1= 0, h 5 时， dV = −100π , dS = 40π ，故选 C。
dt
dt
(4)设函数 f (x) = ax − b ln x, (a > 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是( ) a
(A) (e, +∞)
(B) (0, e)
(C) (0, 1) e
(D) (1 , +∞) e
故正确答案为 C。
1
∫ (7)设函数 f (x) 在区间[0,1] 上连续，则 f (x)x = ( ) 0
∑n 2k −1 1
(A) lim f ( )
n→∞ k =1
2n 2n
∑n 2k −1 1
(B) lim f ( )
n→∞ k =1
2n n
∑2n
(C) lim
f ( k −1) 1
n→∞ k =1 2n n
为( )
(A) 2, 0
(B)1,1
(C) 2,1
(D)1, 2
【答案】B。
【解析】 f (x1, x2 , x3 ) = (x1 + x2 )2 + (x2 + x3 )2 − (x3 − x1)2 = 2x22 + 2x1x2 + 2x2 x3 + 2x1x3
0 1 1 所以 A = 1 2 1 ，故特征多项式为
【答案】A
【解析】令 f (x) =ax − b ln x =0 ， f ′(x)= a − b ，令 f ′(x) = 0 得驻点 x = b ，
x
a
f ( b ) = a ⋅ b − b ⋅ ln b < 0 ，从而 ln b > 1，可得 b > e ，正确答案为 A。
高等数学(二)试题及答案
高等数学（二）05062B一、填空题（每题4分）（1）微分方程)1()1(322y x y +-='的通解____________（2）直线⎩⎨⎧=-+=-+212z y x z y x 的方向向量 （3）设),(y x z z =是由0=-xyz e z 所确定的函数,则x z ∂∂= （4）过原点P （1，2，3）且与原点与P 的连线垂直的平面方程为（5）改变积分次序⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx = （6）∑∞=-+1)2)1(1(n n nn 是 （收敛、发散）级数 （7）∑∞=-122)1(n n nn x 的收敛半径R= 收敛域 二、计算题（8）（10分）D xydxdy D,⎰⎰是有直线0,2,=-==y x y x y 所围成的闭区域（9）（6分）判别级数∑∞=⋅1!5n n nn n 的收敛性（10）（10分）求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体（11）（10分）求曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程（12）（10分）把2)4(1)(x x f -=展开成x 的幂级数，并求出收敛区间.（13）（8分）求微分方程xy x y 2sin tan '=⋅+的通解。
（14）（10分）设函数)(x φ连续，且满足⎰-+=x dt t x t x x 02)()()(φφ，求)(x φ（15）（8分）求由2,2+==x y x y 围成图形的面积，以及此图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积高等数学（二）05062B 解答及评分标准一、填空题（每题4分）（1）])1tan[(3C x y +-= （2）{}1,1,0 （3）xye yz z - （4）1432=++z y x （5）⎰⎰-+-101122),(y y dx y xf dy （6）发散 （7）2；)2,2(-二、计算题（8）解：{}y x y y y x D -≤≤≤≤=2,10),(……………….2分 ⎰⎰⎰⎰-=y y D xydx dy xydxdy 210……………….6分⎰⎰+-=⋅=-1022102)244(|2dy y y x y dy y y …….8分 31321023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=y y ……………10分 （9）解：!5)!1(5)1(lim lim 111n n n n u u n nn n n n n n ⋅++=++∞→+∞→……………………3分 155)11(lim <=+=∞→e n nn ………………………………..4分 故原级数收敛…………………………………….6分（10）解： 建立空间直角坐标系，原点在球心设在第一卦限的长方体的顶点为),,(z y x则xyz V 8= 且满足2222a z y x =++……………..3分)(82222a z y x xyz L -+++=λ……………………5分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=)4()3(028)2(028)1(0282222a z y x z xy L y xz L x yz L zy x λλλ由)3)(2)(1(得z y x == 由)4(得a z y x 33===……8分当长方体为正方体且边长为a 332时体积最大……………10分 （11）解：设切点),,(000z y x ，则有 {}0006,4,2z y x n =………………2分 有条件得：664412000z y x ==，即0002z y x ==及2132202020=++z y x ……4分 解得：2,1000±==±=z y x …………………………………………………6分 曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程为： 2164±=++z y x ……………………………………………………10分（12）解：14)4(4141141410<⋅=-⋅=-∑∞=x x x x n n …………5分 两边求导2)4(1x -= 14)4(4112<⋅-∞=∑x x n n n ………………10分 （13）解：x x Q x x P 2sin )(,tan )(==])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-…………………………4分]2sin [tan tan C dx xe e xdx xdx +⎰⎰=⎰-)cos 2(cos c x x +-=……………………………………………………8分（14）解：两边求导数，得⎰-=xdt t x x 0)(2)('φφ 及 )(2)(''x x φφ-=（1）0)( )( "=+x x φφ的特征方程为01 2=+ri r i r -==21,，则：x c x c y sin cos 21+=………………………………4分（2）观察知2)(*=x φ …………………………………………6分（3）通解为：2sin cos )(21++=x c x c x φ…………………………8分 0)0(=φ，0)0('=φ 得：0,221=-=c c即：2cos 2)(+-=x x φ……………………………………………10分（15）解：)4,2(),1,1(22-⇒⎩⎨⎧+==x y x y{}2,21|),(2+≤≤≤≤-=x y x x y x D …………2分dx x x S )2(212⎰--+=………………………………3分 =29)31221(2132=-+-x x x ………………………4分 dx x dx x V ⎰⎰---+=214212)2(ππ…………………………6分 =ππ572]51)2(31[2153=-+-x x ………………………………8分版权所有，翻版必究、本事。
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2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题与全面解析（Word 版）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.若()212lim 1x x x e ax bx→++=，则（）（A ）1,12a b ==-（B ）1,12a b =-=-（C ）1,12a b ==（D ）1,12a b =-=【答案】(B )【解析】由重要极限可得()()()222222211220111lim211lim lim 1(1)lim 1(1)x x x x x x x x x x e ax bx e ax bx x x e ax bx x x e ax bx e ax bx e ax bx e →→→++-++-•++-→=++=+++-=+++-=，因此，222222001()12lim 0lim 0xx x x x ax bx x e ax bx x x →→++++++-=⇒=ο 或用“洛必达”：2(1)200012212lim 0lim lim 0222x x x b x x x e ax bx e ax b e a ax x ⇒=-→→→++-++++=⇒=======， 故1,12a b ==-，选（B ）.2.下列函数中在0x =处不可导的是（） （A ）()sin f x x x =（B）()f x x =（C ）()cos f x x =（D）()f x =【答案】(D )【解析】根据导数定义，A.000sin ()(0)limlim lim 0x x x x x x x f x f x x x→→→-===，可导； B.000()(0)lim0x x x x x f x f x x→→→-===,可导；C.20001cos 1()(0)2lim lim lim 0x x x x x f x f x x x→→→---===，可导；D.20001122lim lim x x x x x x→→→--==，极限不存在。
故选（D ）. 3.设函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，2,1(),10,0ax x g x x x x b x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩ ，若()()f x g x +在R 上连续，则（）. （A ）3,1a b ==（B ）3,2a b ==（C ）3,1a b =-=（D ）3,2a b =-= 【答案】（D ）【解析】令1,1()()()1,101,0ax x F x f x g x x x x b x -≤-⎧⎪=+=--<<⎨⎪-+≥⎩ ， 则(1)1,(0)1,F a F b -=+=-(10)2,(00)1,F F -+=--=-因为函数连续，所以极限值等于函数值，即12,113,2a b a b +=--=-⇒=-=， 故选（D ）. 4.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导。
且10()0f x dx =⎰，则（）（A ）当()0f x '<时，1()02f <（B ）当()0f x ''<时，1()02f <（C ）当()0f x '>时，1()02f <（D ）当()0f x ''>时，1()02f <【答案】（D ）【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。
从选项中判断，展开点为012x =。
将函数()f x 在012x =处展开，有2111()1()()()()()2222!2f f x f f x x ξ'''=+-+-，其中12x ξ<<。
两边积分，得1201()1()()22!2f f x dx ξ''=+-⎰，由于120()1()0()02!2f f x x dx ξ''''>⇒->⎰，所以1()02f <，应选（D ）. 【解析二】排除法。
（A ）错误。
令1()2f x x =-+，易知1()0f x dx =⎰，()10f x '=-<，但是1()02f =。
（B ）错误。
令21()3f x x =-+，易知10()0f x dx =⎰，()20f x ''=-<，但是1()02f >。
（C ）错误。
令1()2f x x =-，易知1()0f x dx =⎰，()10f x '=>，但是1()02f =。
故选（D ）.5.设2222(1)1x M dx x ππ-+=+⎰，221x x N dx e ππ-+=⎰，22(1K dx ππ-=+⎰，则（） （A ）MN K >>（B ）M K N >>（C ）K M N >>（D ）K N M >>【答案】（C ）【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。
22222222222(1)122(1)111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++===+=+++⎰⎰⎰，2222(11K dx dx πππππ--=+>=⎰⎰，令()1,(,)22xf x e x x ππ=--∈-，则()1x f x e '=-，当(,0)2x π∈-时，()0f x '<，当(0,)2x π∈时，()0f x '>，故对(,)22x ππ∀∈-，有()(0)0f x f ≥=，因而 11x x e +≤，222211x x N dx dx e πππππ--+=<=⎰⎰，故K M N >>。
应选（C ）.6.222121(1)(1)x x xxdx xy dy dx xy dy ----+-=⎰⎰⎰⎰（）（A ）53（B ）56（C ）73（D ）76【答案】（C ）【解析】还原积分区域，如图所示：积分区域D 关于y 轴对称，被积函数中xy 关于x 是奇函数，所以222121120(1)(1)7(1)(2)3x x xx D Ddx xy dy dx xy dyxy dxdy dxdy x x dx ----+-=-==--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 故选（C ）。
7.下列矩阵中阵，与矩阵110011001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似的是（） （A ）111011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（B ）101011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（C ）111010001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（D ）101010001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【答案】（A ）【解析】记矩阵110011001H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩()3r H =，迹()3tr H =,特征值1λ= （三重）。
观察,,,A B C D 四个选项，它们与矩阵H 的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：()2r E H λ-=,()2r E A λ-=，()1r E B λ-=()1r E C λ-=,()1r E D λ-=。
如果矩阵A 与矩阵X 相似，则必有kE A -与kE X -相似（k 为任意常数），从而()()r kE A r kE X -=-），故选（A ）,8.设,A B 是n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则（） （A ）(,)()r A AB r A =（B ）(,)()r A BA r A = （C ）(,)max{(),()}r A B r A r B =（D ）(,)(,)TT r A B r AB =【答案】（A ）【解析】把矩阵,A AB 按列分块，记1212(,,),(,,)n n A AB αααβββ==，则向量组12,,n βββ可以由向量组12,,n ααα线性表出，从而12,,n ααα与12,,n ααα，12,,n βββ，等价，于是(,)()r A AB r A =，故选（A ）。
,二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9.若2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-=。
【答案】1.【解析】【方法一】由拉格朗日中值定理可得21arctan(1)arctan ,1x x +-=+ξ其中1,0x x x ξ<<+>，可知2221111(1)11x x <<++++ξ，而2222limlim 11(1)1x x x x x x →+∞→+∞==+++， 根据夹逼定理可得，222lim [arctan(1)arctan ]lim11x x x x x x →+∞→+∞+-==+ξ。
【方法二】0∞型未定式的极限必须化成商式。
432212lim 12(1)[1(1)]x x x x x →+∞+==+++。
10.曲线22ln y x x =+在其拐点处的切线方程为。
【答案】43yx =-.【解析】函数的定义域为(0,)+∞，22y x x '=+，222y x''=-；34y x '''=。
令0y ''=，解得1x =，而(1)0y '''≠，故点(1,1)是曲线唯一的拐点。
曲线在该点处的斜率(1)4y '=，所以切线方程为43y x =-。
11.2543dxx x +∞=-+⎰； 【答案】1ln 22。
【解析】2555111131ln ln 243231212dx x dx x x x x x +∞+∞+∞-⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪-+---⎝⎭⎝⎭⎰⎰。
12.曲线33cos sin x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，在4t π=对应处的曲率。
【答案】23。
【解析】有参数方程求导公式可知223sin cos tan 3cos sin dy t t t dx t t ==--，22222(tan )sec 3cos sin 3cos sin d y t tdx t t t t'-==-， 故曲率22332222sec 3cos sin 13cos sin (1)(1tan )t y t t K t ty t ''==='++，代入4t π=，可得423t Kπ==。
13.设函数(,)z z x y =由方程1ln z z exy -+=确定，则1(2,)2zx ∂=∂。