布丰投针实验原理
蒲丰投针试验讲解课件
该试验不仅在理论上具有重要意义，对 于理解随机性和几何规律的本质有重要 贡献，而且在实际应用中也有广泛的应
用价值。
蒲丰投针试验可以应用于统计学、物理 学、计算机科学等多个领域，为相关领
域的研究提供了重要的启示和工具。
蒲丰投针试验的局限性
01
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蒲丰投针试验虽然是一个经典 的试验，但是它也存在一些局
针方向与平行线垂直。
重复投掷蒲丰投针N次，记录每 次投掷的结果。
测量与计算阶段
测量投掷后蒲丰投针 与平行线之间的距离 ，记录下来。
根据公式π=2*n/N ，计算π的近似值， 其中n为相交次数， N为投掷次数。
根据记录的数据，计 算蒲丰投针与平行线 相交的次数。
CHAPTER 03
试验结果分析
蒲丰投针试验的预期结果
蒲丰投针试验是一种估算π值的方法，其预期结果是通过投掷 一根针到一张白纸上，然后统计针与白纸边缘相交的次数， 来估算π的值。
蒲丰投针试验的预期结果是根据概率论和几何学原理推导出 来的，即当投掷次数足够多时，针与白纸边缘相交的频率接 近于π/4。
实际结果与预期结果的比较
在实际进行蒲丰投针试验时，需要记录针与白纸边缘相交的次数，并计 算出相应的π值。
限性。
首先，该试验的结果受到投针 方式、试验环境等因素的影响 ，可能导致结果存在误差。
其次，蒲丰投针试验的应用范 围相对有限，主要适用于一些 特定的几何形状和随机性问题
。
最后，蒲丰投针试验的结论仅 适用于理想化的模型，与实际
情况可能存在差异。
未来研究方向与展望
随着科学技术的发展和研究的深入， 蒲丰投针试验在未来仍有广阔的研究 前景。
蒲丰投针试验讲解课 件
蒲丰投针问题
蒲丰投针问题1.蒲丰简介蒲丰有的时候翻译成布丰，是18世纪法国著名的博物学家。
他喜欢研究数学和生物学。
主要的贡献有：（1）翻译了牛顿的《流数法》，流数法按现在的说法就叫微积分。
（2）写了一本巨著，这部巨著的名字叫《自然史》，因为他特别喜欢研究生物。
这个自然史一共有44卷，其中他生前写了36卷，后来他学生又完成了。
这本书对后来的世界有很大的影响，尤其影响到一个人叫达尔文，所以蒲丰这个人其实是很厉害的。
2.蒲丰投针1777年，在蒲丰晚年的时候，他有一次举行了一个家庭宴会。
邀请了一大堆他的朋友来帮他做实验。
做什么实验呢，就“投针”。
那朋友来了之后发现，就是桌子上有很多根间距相等的平行线。
然后蒲丰就说了，给你们同样大的针，你把这些针随机扔到这个桌子上。
然后宾客就随便扔吗，有可能这样，有可能这样……，随便扔是吧，这都有可能，什么情况都有可能。
有的针就没有跟平行线相交，比如这个，这个，这个，就没有相交，也有相交的，比如这个，这个，这个，这是相交的，对吧，然后他就数，他说这个针一共投了多少个呢？一共投了n =2212个。
其中与这个平行线相交的针有多少个，数了一下有m =704个。
然后他说，我现在可以计算圆周率了，别人都不信，他说你看我圆周率怎么算，我只要把这两个数相除就行了。
我用n 除以m ，这个数除完了大概是3.142，这个就是圆周率了。
别人说好神奇，这怎么回事儿，蒲丰说我给你解释解释这个原理是什么？其实这个原理并不复杂，我们来看一下它的原理是什么。
3. 蒲丰投针原理(1)首先，它这个平行线是严格平行的，那平行线之间的距离是固定的，是a 。
然后我随意地把一根针投上去，也许相交，也许不相交，这不一定。
比如说这个针投上去了，投上去了之后，针的总长是b ，针有一个中点叫M ，对吧，这个M 到它比较近的平行线之间的距离我们设为x ，大家注意，这个是针的中点到比较近的平行线的距离是x ，所以我们应该知道x 的范围。
x 的最小值就是这个终点正好落在平行线上，那最小值是0，对吧。
蒲丰投针实验原理
蒲丰投针实验原理
蒲丰投针实验是一种检测泥沙粒径分布的实验方法，它是利用悬浮在水中的粒度分布模拟藉由空气流抛掷及落入平板上的控制情形来模拟河流中悬浮颗粒的粒径分布，从而进行检测的。
该实验流程是：将检测的粒料悬浮于水中，利用抛掷及落入平板上的控制条件来模拟河流中悬浮颗粒的粒径分布，然后借助投针实验来观测平面上粒料的分布情况。
最后，根据获得的结果计算出每种粒径的百分率，从而可以得出泥沙粒径分布情况。
6.2-投针试验
实验：
同学们,我们按下列步骤,亲自来体验一下这个有趣 的试验: 1.两人一组; 2.在纸上画出一些平行线,先确定平行线之间的距离a和 针长l(l<a)的值(每根小针的长度都是平行线之间距离的 一半); 3.至少做100次试验,分别记录其中相交(用1表示)和不 相交(用0表示)的次数; 4.统计试验数据,估计针与平行线相交的概率.
3．汇总全班各小组的结果，得到钉帽着地的频率， 并绘制折线统计图．
随堂练 习
1.议一议(请简要说明理由) 某个城市的警察，在调查夜间步行者因事故死亡
的服装时,发现死亡者大约4/5的人穿着暗色衣服,1/5 的人穿着较明亮的服装．从这个调查中发现:天黑时, 步行者穿白色服装或手拿白色的东西，很容易被看清, 因而可以降低交通事故的发生率.
知识讲 解
当针投到平行线的纸上时，会有什么情况出现？
当针投到平行线的纸上时，会有什么情况出现？ 相交和不相交的可能性相同吗？
最后布丰宣布结果：大家共投针2212次，其中与直 线相交的就有704次．用704去除2212，得数为3.142．他 笑了笑说：“这就是圆周率π 的近似值．”这时，众宾 客哗然：“圆周率π ?这根本和圆沾不上边呀?” 布丰先 生却好像看透了众人的心思，斩钉截铁地说：“诸位不 用怀疑，这的确就是圆周率π 的近似值．你们看，连圆 规也不要，就可以求出π 的值来.只要你有耐心，投掷的 次数越多，求出的圆周率就越精确．”
合5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 计1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5
合7 计6
7 7
简述蒲丰投针的原理
简述蒲丰投针的原理蒲丰投针，又称为“蒲扇投针”，是一种古老的传统技艺，源于中国民间，被列为国家级非物质文化遗产。
它以独特的技巧和准确度令人惊叹，是一项需要长时间的训练和精确动作的艺术表演。
蒲丰投针是通过将一枚针射出，然后立即由另一只折扇迅速击落这枚针。
表演者通常会用嘴巧妙地抓住一枚针，然后用手迅速将其放入弹弓设备中。
然后他们会用嘴接住折起来的扇子，并将其放在弹弓的侧面。
最后，当他们用力按下弹弓时，针会被迅速射出，被折叠的扇子迅速击中，使针钉在靶上。
这个过程，虽然看似简单，但实际上非常考验投针者精湛的技巧和敏捷的反应能力。
他们必须在非常短的时间内完成将针射出和击中的动作，并且必须非常准确。
这需要长时间的练习和耐心，才能达到高超的水平。
蒲丰投针的原理基于物理学中的一些基本原理。
首先，投针者在将针放入弹弓时，需要精确掌握弹弓的力度和方向。
这样才能使针以合适的速度射出并朝向目标。
其次，投针者在接住折扇时，需要准确而迅速地将其放在弹弓的侧面。
这样才能确保喷出的空气流能够迅速击中针，并使其飞向目标。
最后，针需要在短短的瞬间内被击中，因此需要投针者具备快速反应和敏锐的观察能力。
除了物理原理外，蒲丰投针还依赖于投针者的技巧和经验。
投针者需要通过长时间的训练和反复练习，熟练掌握每一个动作的细节，从而能够准确地完成整个过程。
投针者还需要在训练过程中不断提高反应能力和准确度，以便在表演中达到更好的效果。
蒲丰投针不仅是一种技术，更是一门艺术。
在表演中，投针者需要将技术与表演技巧相结合，以吸引观众的眼球。
他们通常会进行一系列的吸引人的动作和花样，以展示自己的技艺和敏捷度。
这使得蒲丰投针成为一种具有观赏价值和娱乐性的表演艺术形式。
总之，蒲丰投针是一项以准确度和技巧为基础的艺术表演。
它通过将针射出并用折扇击中目标，展示了投针者的精湛技巧和敏捷度。
在演练中，投针者需要准确掌握弹弓的力度和方向，并在非常短的时间内完成各个动作。
这需要长期的训练和经验，以及反应能力和观察力的提高。
Buffon投针实验报告
Buffon投针实验一、实验目的：在计算机上用试验方法求圆周率的近似值。
二、实验原理：假设平面上有无数条距离为1的等距平行线，现向该平面随机投掷长度为L(L≤1)的针，则针与平行线相交的概率 P=。
设针的中心M与最近一条平行线的距离为x，则x~U(0,1);针与平行线的夹角为(不管相交与否)，则~U(0,)如图：()在矩阵上均匀分布，且针与平行线相交的充要条件为x≤=；P=P{ x=}。
记录≤成立的次数，记为由-大数定理：≈,则=2。
在计算机上产生则=~U(0,),i=1,2,…,n;再产生，则, i=1,2,…,n三、实验方法及代码：在计算机上进行模拟实验，求出的实验值。
给定L，在计算机上利用MFC独立随机产生x和，然后判断≤是否成立.代码如下：#include "stdafx.h"#include "buffon.h"#include "ChildView.h"#include "ChoiceDlg.h"#include <ctime>#include <cmath>#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif// CChildViewCChildView::CChildView(){Trynum=1000;}CChildView::~CChildView(){}BEGIN_MESSAGE_MAP(CChildView,CWnd )//{{AFX_MSG_MAP(CChildView)ON_WM_PAINT()ON_COMMAND(ID_TOOL_NUM, OnToolNum)ON_COMMAND(ID_TOOL_RETRY, OnToolRetry)//}}AFX_MSG_MAPEND_MESSAGE_MAP()// CChildView message handlersBOOL CChildView::PreCreateWindow(CREATESTRUCT& cs){if (!CWnd::PreCreateWindow(cs))return FALSE;cs.dwExStyle |= WS_EX_CLIENTEDGE;cs.style &= ~WS_BORDER;cs.lpszClass = AfxRegisterWndClass(CS_HREDRAW|CS_VREDRAW|CS_DBLCLKS,::LoadCursor(NULL, IDC_ARROW), HBRUSH(COLOR_WINDOW+1), NULL);return TRUE;}void CChildView::OnPaint(){CPaintDC dc(this),*pDC;pDC=&dc;CFont font, *pOldFont;font.CreatePointFont(200,"宋体");pOldFont=pDC->SelectObject(&font);pDC->SetTextColor(RGB(255,0,0));pDC->TextOut(100,5,"蒲丰投针试验");pDC->SelectObject(pOldFont);CPen myPen1,myPen2, *pOldPen1,*pOldPen2;CRect rect1(30,30,920,620);pDC->Rectangle(rect1);myPen1.CreatePen(PS_SOLID, 1, RGB(0,0,255));pOldPen1=pDC->SelectObject(&myPen1);for(int i=100;i<600;i+=50){pDC->MoveTo(50,i);pDC->LineTo(900, i);}pDC->SelectObject(pOldPen1);myPen2.CreatePen(PS_SOLID, 1, RGB(0,255,0));pOldPen2=pDC->SelectObject(&myPen2);srand(time(0));int a,b,q,a1,b1,su,flag;np=0;for(int j=0;j<Trynum;j++){a=rand()%850+50;b=rand()%450+100;q=rand()%180;a1=25*cos(q);b1=25*sin(q);su=pow(-1,rand()%2);pDC->MoveTo((a-su*a1),(b-su*b1));pDC->LineTo((a+su*a1),(b+su*b1));if( (b%50) >= 25 )flag =50-b%50;elseflag = b%50;if( 25*sin(q) >= flag )np++;}pDC->SelectObject(pOldPen2);CString str;int c=Trynum/(np*1.0);int d=(int)((Trynum/(np*1.0)*100000))%100000;str.Format("投针次数:%d;\n相交次数:%d;\nπ的估算值:%d.%d",Trynum,np,c,d);MessageBox(str,"实验数据信息");}void CChildView::OnToolNum(){CChoiceDlg mydlg;if(mydlg.DoModal()==IDOK){this->Trynum = mydlg.m_Trynum ;this->RedrawWindow();}}void CChildView::OnToolRetry(){// TODO: Add your command handler code herethis->RedrawWindow();}四、实验数据处理与分析：根据实验数据，得到近似值为3.2313，可得相对误差为δ=（3.2313-π）/π≈0.02856；运行截图：五、实验小结：本次实验，通过MFC进行模拟投针，模拟效果较好，随着投针次数模拟的增多，实验结果逼近于π的真实值，但是实验程序有待优化，在较多投针次数的模拟中，实验程序运行速度较慢，可以改进相关算法来做适当调节。
蒲丰投针原理
/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。
为了估算π的值，我们需要通过实验来估计它的概率，这一过程可交由计算机编程来实现，事实上x+y>z，x²+y²；﹤z²；等价于（x+y-z）（x²+y²-z²；）﹤0，因此只需检验这一个式子是否成立即可。
若进行了m 次随机试验，有n次满足该式，当m足够大时，n/m趋近于（π-2）/4，令n/m=（π-2）/4，解得π=4n/m+2，即可估计出π值。
值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。
计算π最稀奇方法之一计算π的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C·布丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于d，那么有利扔出的概率为2/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值．公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929——准确到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！证明下面就是一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。
可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。
蒲丰投针与蒙特卡洛(MonteCarlo)方法
蒲丰投针与蒙特卡洛（Monte —Carlo）方法1777年法国科学家蒲丰（Buffon ）提出并解决了如下的投针问题：桌面上画有一些平行线，它们之间的距离都是，一根长为a )(a l l ≤的针随机地投在桌面上。
问：此针与任一直线相交的概率是多少？设表示针的中点到最近的一条平行线的距离，Y 表示针与平行线的夹角（如图），如果X 2sin l Y X <， 或Y lX sin 2<时，针与一条直线相交。
由于向桌面投针是随机的，所以用来确定针在桌面上位置的是二维随机向量。
并且在),(Y X X ⎟⎠⎞⎜⎝⎛2,0a 上服从均匀分布，在Y ⎟⎠⎞⎜⎝⎛2,0π上服从均匀分布,与Y 相互独立。
由此可以写出的联合概率密度函数：X ),(Y X⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其它20,204),(ππy ax ay x f 于是，所求概率为：∫∫∫∫===⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<20sin 20sin 224),(sin 2πππal dxdy adxdy y x f Y l X P y ly lx ①由于最后的结果与π有关，因此有些人想利用它来计算π的值。
其方法是向桌面投针次，若针与直线相交次，则针与直线相交的频率为n k n k ，以频率代替概率，则有al n k π2=，所以aknl2=π。
下表列举了这些试验的有关资料。
投针试验的历史资料（折算为1）a 试验者 年份 针长投针次数n 相交次数k π的试验值Wolf 1850 0.85000 2532 3.1596 Smith1855 0.63204 1219 3.1554 De.Morgan 1860 1600 383 3.137 Fox 1884 0.751030 489 3.1595 Lazzerini 1901 0.833408 1801 3.1415929 Reina1925 0.5425208593.1795这个思路已被人们发展成为统计学的一个分支—随机试验法或称为蒙特卡洛（Monte—Carlo ）方法，其中随机试验可借助计算机大量重复，以致结果更接近真值。
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布丰投针实验原理
在张远南先生的著作《偶然中的必然》里，有关于“布丰投针实验”的故事。
为了增加阅读的趣味性，我稍微做了一点改动。
1777 年的一天，法国科学家布丰的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。
试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先
画好了一条条等距离的平行线。
接着他又抓出一大把原先准备好的小针。
然后
布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必
把扔下的针是否与纸上的平行线相交，以及相交的次数告诉我。
客人们不知布丰先生要玩什么把戏，只好客随主意，一个个加入了试验的
行列。
一把小针扔完了，把它捡起来再扔。
而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。
最后，布丰先生高声宣布：“先
生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针 2212 次，其中与平行线相交的有 704 次。
总次数 2212 与相交次数 704 的比值为 3.142。
”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”
客人们一片哗然，议论纷纷，大家全都感到莫名其妙：“圆周率π？这可跟投针半点也不沾边呀！”
布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π 的更精确的近似值呢。
”
那么，“布丰投针实验”的依据究竟是什么呢？下面就是书中简单而巧妙
的证明。
为了便于理解，我把证明过程说得稍微详细一点。
假设那组平行线的间距等于 d。
如果把一个直径为 d 的铁丝圆圈，扔到平行线组上，因为它的周长等于πd，所以，不论怎样扔，每个圆圈都会与平行线有两个交点。
因此，如果扔下的次数为 n，交点的总数为 m，必定有 m＝2n。
还用那组平行线，不过这回把圆圈剪开拉直，变成长度为πd的直铁丝。
显然，直铁丝与平行线相交的情形要比圆圈复杂，最多可能有 4 个交点，也可能有 3 个、2 个、1 个交点，也可能不相交，没有交点。
不过，由于圆圈和直铁
d ，也就是 kπd＝2n ，
上面的故事中，布丰有意让针长 b 恰好
b 。
丝的长度相同，根据概率学的“机会均等原理”，当圆圈和直铁丝投掷的次数较多并且相等时，它们与平行线组的交点总数可望也是一样的。
这就是说，如果直铁丝扔下的次数为 n ，与平行线组的交点总数 m 也应该大致为 2n 。
现在讨论铁丝长度为 b 的一般情况。
这种铁丝与平行线组的交点总数 m ， 应当与长度 b 成正比，因而有 m ＝kb ，式中 k 是比例系数。
为了求出 k ，回到前面直铁丝的特殊情形，此时 b ＝πd，m ＝2n 。
由于 m ＝kb ，所以 kb ＝2n ，而b ＝π
这里改用约等号，是因为“机会均等原理”毕竟只是一种或然推断而已。
在 等于平行线间距离 d 的一半，即 d ＝2
才使他很快就能算出结果。
客人们万万想不到，π 竟然会出现在这种与圆毫不相干的场合，然而，投针实验能够得到圆周率的近似值，却是千真万确的事实。
这，正是数学的奥妙之处。