人教高中数学A版必修一 第五章 三角函数 章末复习提升课PPT课件
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第五章 三角函数
三角恒等变换的“4 大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； (2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋ cos2α，α＝(α－β)＋β 等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． [提醒] 要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用．
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第五章 三角函数
解析：选 D.因为 f(x)＝sin2x－32π＝－sin32π－2x＝cos 2x，所以 函数 f(x)是偶函数，且最小正周期 T＝2ωπ＝π，故 A，B 正确；由 2x＝kπ＋π2(k∈Z)，得 x＝k2π＋π4(k∈Z)，当 k＝0 时，x＝π4，所以 函数 f(x)的图象关于点π4，0中心对称，故 C 正确；当 x∈0，π2 时，2x－32π∈[－32π，－π2]，所以函数 f(x)在0，π2上是减函数， 故 D 不正确．故选 D.
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第五章 三角函数
解析：选 D.由题图知函数的最大值为 A＋2＝3，则 A＝1， 函数的周期 T＝2×56π－π6＝43π＝2ωπ， 则 ω＝32，则 y＝sin32x＋φ＋2， 则当 x＝56π时，y＝sin56π×32＋φ＋2＝3，
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即 sin54π＋φ＝1， 即54π＋φ＝π2＋2kπ，则 φ＝－34π＋2kπ， 因为|φ|<π，所以当 k＝0 时，φ＝－34π， 故 A＝1，T＝43π，φ＝－34π.
3．已知－π2<x<0，sin x＋cos x＝15，则 sin x－cos x 的值为________． 解析：由 sin x＋cos x＝15， 平方得 sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝215， 即 2sin xcos x＝－2245，
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所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝4295. 又因为－π2<x<0， 所以 sin x<0，cos x>0，sin x－cos x<0， 故 sin x－cos x＝－75. 答案：－75
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第五章 三角函数
(1)由图象或部分图象确定解析式 y＝Asin(ωx＋φ)中的参数 ①A：由最大值、最小值来确定 A. ②ω：通过求周期 T 来确定 ω. ③φ：利用已知点列方程求出．
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第五章 三角函数
(2)函数 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin(ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0)x ∈R 图象的两种方法
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第五章 三角函数
(2)求三角函数值域(最值)的方法 ①利用 sin x，cos x 的有界性． ②从 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式逐步分析 ωx＋φ 的范围，根据正 弦函数单调性写出函数的值域． ③换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间 上的值域(最值)问题．
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
第五章 三角函数
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第五章 三角函数
(2) 令
z
＝
2x
－
π 3
，
则
函
数
y ＝ 2sin
z
的单调递增区间是
－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z.
由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，
得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z.
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第五章 三角函数
1．函数 y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是(
)
解析：选 A.令 x＝0，得 y＝sin－π3＝－ 23，排除 B，D.由 f－π3 ＝0，fπ6＝0，排除 C.
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第五章 三角函数
2．要得到函数 y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数 y＝cos 2x 的图 象( ) A．向左平移π3个单位 B．向左平移π6个单位 C．向右平移π6个单位 D．向右平移π3个单位 解析：选 B.因为 cos2x＋π3＝cos2x＋π6，所以只需把函数 y＝ cos 2x 的图象向左平移π6个单位即可得到 y＝cos2x＋π3的图象， 故选 B.
第五章 三角函数
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第五章 三角函数
所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝255， 因此 tan(α＋β)＝－2. 因为 tan α＝43，所以 tan 2α＝1－2tatannα2 α＝－274， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝1t＋anta2nα－2αttaann（（αα＋＋ββ））＝ －121.
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第五章 三角函数
(2)用诱导公式化简求值的方法 ①对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点， 将角化成 2kπ±α，π±α，π2±α，32π±α(或 k·π2±α，k∈Z)的形式， 再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简． ②解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关 键在于观察分析条件角与结论角，理清条件与结论之间的差异， 将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．
章末复习提升课
第五章 三角函数
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第五章 三角函数
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第五章 三角函数
同角三角函数基本关系式和诱导公式 已知 cos(π＋α)＝－12，且角 α 在第四象限，计算： (1)sin(2π－α)； (2)sin[sαi＋n（（π2－n＋α）1）coπs（]＋αs＋in2（nππ＋）α）(n∈Z)．
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第五章 三角函数
3．如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0，|φ|<π) 的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是 () A．A＝3，T＝43π，φ＝－π6 B．A＝3，T＝43π，φ＝－34π C．A＝1，T＝43π，φ＝－π6 D．A＝1，T＝43π，φ＝－34π
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第五章 三角函数
2．已知43ssiinn（（－π＋α）α）－＋cocso（s（9π－＋αα））＝2，则 tan α＝________．
解析：由已知得－－43ssiinn
α＋cos α＋cos
αα＝2，
则 5sin α＝cos α，所以 tan α＝15.
答案：15
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第五章 三角函数
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【解】 因为 cos(π＋α)＝－12，
所以－cos α＝－12，cos α＝12. 又角 α 在第四象限，
所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 23.
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)
＝－sin
α＝
3 2.
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sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α） (2) sin（π－α）cos（α＋2nπ） ＝sin（α＋s2innπα＋cosπ）α －sin α ＝sin（sπin＋ααc）os－αsin α＝s－in2αscionsαα ＝－co2s α＝－4.
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第五章 三角函数
三角恒等变换 (2018·高考江苏卷)已知 α，β 为锐角，tan α＝43，cos(α＋ β)＝－ 55. (1)求 cos 2α 的值； (2)求 tan(α－β)的值．
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【解】 (1)因为 tan α＝43，tan α＝csoins αα， 所以 sin α＝43cos α. 因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝295， 因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－275. (2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π)． 又因为 cos(α＋β)＝－ 55，
第五章 三角函数
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第五章 三角函数
(1)同角三角函数基本关系的应用 ①已知一个三角函数求另外两个：利用平方关系、商式关系直 接求解或解方程(组)求解． ②已知正切，求含正弦、余弦的齐次式； (i)齐次式为分式时，分子分母同除以 cos α 或 cos2α，化成正切 后代入． (ii)齐次式为整式时，分母看成 1，利用 1＝sin2α＋cos2α 代入， 再通过分子分母同除以 cos α 或 cos2α 化切．
f(x)＝4tan xcos xcosx－π3－ 3
＝4sin xcosx－π3－ 3
＝4sin
1 x2cos
x＋
23sin
x－
3
＝2sin xcos x＋2 3sin2x－ 3
＝sin 2x＋ 3(1－cos 2x＝2sin2x－π3.
因为函数在π4，π2上是减函数，
所以排除 B，故选 A.
)
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第五章 三角函数
2．(2019·郑州市第二次质量预测)已知函数 f(x)＝sin2x－32π(x∈ R)，下列说法错误的是( ) A．函数 f(x)的最小正周期是 π B．函数 f(x)是偶函数 C．函数 f(x)的图象关于点π4，0中心对称 D．函数 f(x)在0，π2上是增函数
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【解】 (1)由题可知 T＝2ωπ＝π， 所以 ω＝2.又 f(x)min＝－2， 所以 A＝2.由 f(x)的最低点为 M， 得 sin43π＋φ＝－1. 因为 0<φ<π2，所以43π<43π＋φ<116π. 所以43π＋φ＝32π.所以 φ＝π6. 所以 f(x)＝2sin2x＋π6.
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第五章 三角函数
(1)三角函数的两条性质 ①周期性：函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期 为|2ωπ|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为|ωπ |. ②奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx 或 y＝ Atan ωx，而偶函数一般可化为 y＝Acos ωx＋B 的形式．
第五章 三角函数
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第五章 三角函数
三角恒等变换的“4 大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； (2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋ cos2α，α＝(α－β)＋β 等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． [提醒] 要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用．
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第五章 三角函数
解析：选 D.因为 f(x)＝sin2x－32π＝－sin32π－2x＝cos 2x，所以 函数 f(x)是偶函数，且最小正周期 T＝2ωπ＝π，故 A，B 正确；由 2x＝kπ＋π2(k∈Z)，得 x＝k2π＋π4(k∈Z)，当 k＝0 时，x＝π4，所以 函数 f(x)的图象关于点π4，0中心对称，故 C 正确；当 x∈0，π2 时，2x－32π∈[－32π，－π2]，所以函数 f(x)在0，π2上是减函数， 故 D 不正确．故选 D.
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第五章 三角函数
解析：选 D.由题图知函数的最大值为 A＋2＝3，则 A＝1， 函数的周期 T＝2×56π－π6＝43π＝2ωπ， 则 ω＝32，则 y＝sin32x＋φ＋2， 则当 x＝56π时，y＝sin56π×32＋φ＋2＝3，
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即 sin54π＋φ＝1， 即54π＋φ＝π2＋2kπ，则 φ＝－34π＋2kπ， 因为|φ|<π，所以当 k＝0 时，φ＝－34π， 故 A＝1，T＝43π，φ＝－34π.
3．已知－π2<x<0，sin x＋cos x＝15，则 sin x－cos x 的值为________． 解析：由 sin x＋cos x＝15， 平方得 sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝215， 即 2sin xcos x＝－2245，
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所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝4295. 又因为－π2<x<0， 所以 sin x<0，cos x>0，sin x－cos x<0， 故 sin x－cos x＝－75. 答案：－75
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第五章 三角函数
(1)由图象或部分图象确定解析式 y＝Asin(ωx＋φ)中的参数 ①A：由最大值、最小值来确定 A. ②ω：通过求周期 T 来确定 ω. ③φ：利用已知点列方程求出．
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第五章 三角函数
(2)函数 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin(ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0)x ∈R 图象的两种方法
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第五章 三角函数
(2)求三角函数值域(最值)的方法 ①利用 sin x，cos x 的有界性． ②从 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式逐步分析 ωx＋φ 的范围，根据正 弦函数单调性写出函数的值域． ③换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间 上的值域(最值)问题．
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
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第五章 三角函数
(2) 令
z
＝
2x
－
π 3
，
则
函
数
y ＝ 2sin
z
的单调递增区间是
－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z.
由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，
得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z.
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第五章 三角函数
1．函数 y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是(
)
解析：选 A.令 x＝0，得 y＝sin－π3＝－ 23，排除 B，D.由 f－π3 ＝0，fπ6＝0，排除 C.
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第五章 三角函数
2．要得到函数 y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数 y＝cos 2x 的图 象( ) A．向左平移π3个单位 B．向左平移π6个单位 C．向右平移π6个单位 D．向右平移π3个单位 解析：选 B.因为 cos2x＋π3＝cos2x＋π6，所以只需把函数 y＝ cos 2x 的图象向左平移π6个单位即可得到 y＝cos2x＋π3的图象， 故选 B.
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第五章 三角函数
所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝255， 因此 tan(α＋β)＝－2. 因为 tan α＝43，所以 tan 2α＝1－2tatannα2 α＝－274， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝1t＋anta2nα－2αttaann（（αα＋＋ββ））＝ －121.
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第五章 三角函数
(2)用诱导公式化简求值的方法 ①对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点， 将角化成 2kπ±α，π±α，π2±α，32π±α(或 k·π2±α，k∈Z)的形式， 再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简． ②解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关 键在于观察分析条件角与结论角，理清条件与结论之间的差异， 将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．
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第五章 三角函数
同角三角函数基本关系式和诱导公式 已知 cos(π＋α)＝－12，且角 α 在第四象限，计算： (1)sin(2π－α)； (2)sin[sαi＋n（（π2－n＋α）1）coπs（]＋αs＋in2（nππ＋）α）(n∈Z)．
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第五章 三角函数
3．如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0，|φ|<π) 的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是 () A．A＝3，T＝43π，φ＝－π6 B．A＝3，T＝43π，φ＝－34π C．A＝1，T＝43π，φ＝－π6 D．A＝1，T＝43π，φ＝－34π
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第五章 三角函数
2．已知43ssiinn（（－π＋α）α）－＋cocso（s（9π－＋αα））＝2，则 tan α＝________．
解析：由已知得－－43ssiinn
α＋cos α＋cos
αα＝2，
则 5sin α＝cos α，所以 tan α＝15.
答案：15
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【解】 因为 cos(π＋α)＝－12，
所以－cos α＝－12，cos α＝12. 又角 α 在第四象限，
所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 23.
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)
＝－sin
α＝
3 2.
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sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α） (2) sin（π－α）cos（α＋2nπ） ＝sin（α＋s2innπα＋cosπ）α －sin α ＝sin（sπin＋ααc）os－αsin α＝s－in2αscionsαα ＝－co2s α＝－4.
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三角恒等变换 (2018·高考江苏卷)已知 α，β 为锐角，tan α＝43，cos(α＋ β)＝－ 55. (1)求 cos 2α 的值； (2)求 tan(α－β)的值．
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【解】 (1)因为 tan α＝43，tan α＝csoins αα， 所以 sin α＝43cos α. 因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝295， 因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－275. (2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π)． 又因为 cos(α＋β)＝－ 55，
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第五章 三角函数
(1)同角三角函数基本关系的应用 ①已知一个三角函数求另外两个：利用平方关系、商式关系直 接求解或解方程(组)求解． ②已知正切，求含正弦、余弦的齐次式； (i)齐次式为分式时，分子分母同除以 cos α 或 cos2α，化成正切 后代入． (ii)齐次式为整式时，分母看成 1，利用 1＝sin2α＋cos2α 代入， 再通过分子分母同除以 cos α 或 cos2α 化切．
f(x)＝4tan xcos xcosx－π3－ 3
＝4sin xcosx－π3－ 3
＝4sin
1 x2cos
x＋
23sin
x－
3
＝2sin xcos x＋2 3sin2x－ 3
＝sin 2x＋ 3(1－cos 2x＝2sin2x－π3.
因为函数在π4，π2上是减函数，
所以排除 B，故选 A.
)
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2．(2019·郑州市第二次质量预测)已知函数 f(x)＝sin2x－32π(x∈ R)，下列说法错误的是( ) A．函数 f(x)的最小正周期是 π B．函数 f(x)是偶函数 C．函数 f(x)的图象关于点π4，0中心对称 D．函数 f(x)在0，π2上是增函数
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【解】 (1)由题可知 T＝2ωπ＝π， 所以 ω＝2.又 f(x)min＝－2， 所以 A＝2.由 f(x)的最低点为 M， 得 sin43π＋φ＝－1. 因为 0<φ<π2，所以43π<43π＋φ<116π. 所以43π＋φ＝32π.所以 φ＝π6. 所以 f(x)＝2sin2x＋π6.
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(1)三角函数的两条性质 ①周期性：函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期 为|2ωπ|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为|ωπ |. ②奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx 或 y＝ Atan ωx，而偶函数一般可化为 y＝Acos ωx＋B 的形式．
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第五章 三角函数
三角恒等变换的“4 大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； (2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋ cos2α，α＝(α－β)＋β 等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． [提醒] 要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用．
3．已知－π2<x<0，sin x＋cos x＝15，则 sin x－cos x 的值为________． 解析：由 sin x＋cos x＝15， 平方得 sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝215， 即 2sin xcos x＝－2245，
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所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝4295. 又因为－π2<x<0， 所以 sin x<0，cos x>0，sin x－cos x<0， 故 sin x－cos x＝－75. 答案：－75
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(2)用诱导公式化简求值的方法 ①对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点， 将角化成 2kπ±α，π±α，π2±α，32π±α(或 k·π2±α，k∈Z)的形式， 再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简． ②解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关 键在于观察分析条件角与结论角，理清条件与结论之间的差异， 将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．
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第五章 三角函数
(2)y＝2sin2x＋π6――的―横2倍―坐―（标―纵伸―坐长―标到―不原―变来―）―→ y＝2sin12×2x＋π6＝2sinx＋π6――平―沿移―xπ轴 6―个向―单右―位―→ y＝2sinx－π6＋π6＝2sin x， 所以 g(x)＝2sin x.
第五章 三角函数
三角恒等变换的“4 大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； (2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋ cos2α，α＝(α－β)＋β 等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． [提醒] 要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用．
3．已知－π2<x<0，sin x＋cos x＝15，则 sin x－cos x 的值为________． 解析：由 sin x＋cos x＝15， 平方得 sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝215， 即 2sin xcos x＝－2245，
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所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝4295. 又因为－π2<x<0， 所以 sin x<0，cos x>0，sin x－cos x<0， 故 sin x－cos x＝－75. 答案：－75
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(2)用诱导公式化简求值的方法 ①对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点， 将角化成 2kπ±α，π±α，π2±α，32π±α(或 k·π2±α，k∈Z)的形式， 再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简． ②解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关 键在于观察分析条件角与结论角，理清条件与结论之间的差异， 将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．
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(2)y＝2sin2x＋π6――的―横2倍―坐―（标―纵伸―坐长―标到―不原―变来―）―→ y＝2sin12×2x＋π6＝2sinx＋π6――平―沿移―xπ轴 6―个向―单右―位―→ y＝2sinx－π6＋π6＝2sin x， 所以 g(x)＝2sin x.
新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 2022新高考一轮复习课件
设角 α 终边上的任一点为 P(-4a,3a),
r=|OP|=|5a|(a≠0)(O 为坐标原点).
3
α= ,cos
5
4
3
α=- ,tan α=- ,
5
4
当 a>0 时,r=5a,sin
5sin α+5cos α+4tan α=3-4-3=-4;
3
α=-5,cos
4
3
α=5,tan α=-4,
当 a<0 时,r=-5a,sin
∵在区间(0,2π)内终边在直线 y=
π
= + π,∈Z
3
;
π 4π
3x 上的角是 , ,
3 3
π 4π
与角 , 终边相同的角分别为
3 3
π
4π
π
2kπ+3(k∈Z),2kπ+ 3 =(2k+1)π+3(k∈Z),
∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 =
π
+
π,∈Z
3
.
6π
方法二(象限等分法):
如图,求 所在的象限,需将每个象限两等分,再逆时针循环标
2
1,2,3,4.
因为 α 是第三象限角,所以图中标记为数字 3 的象限就是2所在的
象限,所以 是第二或第四象限角.
2
能力形成点2 利用三角函数定义求三角函数值
例 2 (1)如图,在平面直角坐标系 Oxy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,
与整数个周角的和.
2.弧度制
(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位
用符号rad表示.
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
人教A版高中数学必修一课件 《三角恒等变换》三角函数PPT(第5课时简单的三角恒等变换)
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 运用和、差、倍角公式化简 ↓
统一化成f（x）＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式 ↓
利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋k 的形式，研究其性质
1．已知函数 f(x)＝cos2x－1π2＋sin2x＋1π2－1，则 f(x)(
)
A．是奇函数
＝79×－13－－4
9
2×2
3
2＝13.
本部分内容讲解结束
α ＝cos
α.
(变条件)若本例中式子变为
（1＋sin θ＋cos θ）sin
θ2－cos
θ
2
2＋2cos θ
(0＜θ＜π)，则化简后的结果是什么？
2sin 解：原式＝
θ 2cos
θ2＋2cos2
θ
2
sin
θ2－cos
θ 2
4cos2
θ 2
cos ＝
θ2sin2
θ2－cos2
θ 2
θ
cos
2
2sin2
α 2
α
2sin
2
αα
2 ＝－
2sin 2cos
sin
α
2
2.
因为 0＜α＜π，
所以 0＜α2＜π2.所以 sin α2＞0.
所以原式＝－2 2cos α2.
与三角函数性质有关的问题
已知函数 f(x)＝cos(π＋x)cos 32π－x－ 3cos2x＋ 23. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值；
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
人教A版高中数学必修一《5.2.1三角函数的概念》精品课件(39页)
D．第四象限
解析：由sin α<0可知α在第三或第四象限，由tan α>0可知α在第一或第三象
限，综上，α在第三象限． 答案：C
3．已知角
α
的终边与单位圆的交点
P
55，－2
5Hale Waihona Puke 5，则sinα＋cos
α＝(
)
5 A. 5
B．－
5 5
25 C. 5
D．－2 5 5
解析：由三角函数的定义知 sin α＝－255，cos α＝ 55，所以 sin α＋cos α＝－255
所以 1100x＝
x x2＋9 .
又 x≠0，所以 x＝±1，所以 r＝ 10.又 y＝3＞0，
所以 θ 是第一或第二象限角．
当 θ 为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
＋
55＝－
5 5.
答案：B
知识点二 诱导公式一 (一)教材梳理填空 (1)终边相同的角的同一三角函数的值 _相__等___. (2)公式
[微思考] 同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？ 提示：不一定，如 sin 30°＝sin 150°＝12.
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.
3.三角函数值的符号： 如图所示：
正弦： 一二 象限正， 三四 象限负； 余弦： 一四 象限正， 二三 象限负； 正切： 一三 象限正， 二四 象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． [微思考] 三角函数值在各象限的符号由什么决定？ 提示：由α的终边所在的象限决定．
第5章 三角函数(复习课件) 高一数学 (人教A版2019必修第一册)
6
6
变、横坐标缩短为原来的 1 ,得到 y=sin(2x+ π ),再横坐标保持不变,纵坐
2
6
标变为原来的 1 得到 y= 1 sin(2x+ π ),最后把函数 y= 1 sin(2x+ π )的图
2
2
6
2
6
象向下平移 1 个单位,得到 y= 1 sin(2x+ π )-1 的图象.
2
6
解题方法（三角函数的图象及变换注意事项）
＝14.
解法3：令M＝sin 220°＋cos 280°＋ 3sin 20°cos 80°，
则其对偶式N＝cos 220°＋sin 280°＋ 3cos 20°sin 80°.
因为M＋N
＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋ 3(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin
(1)求 f(x)的解析式； (2)将 y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿 x 轴向右平移π6个单位长 度，得到函数 y＝g(x)的图象，写出函数 y＝g(x)的解析式．
[解] (1)由题可知 T＝2ωπ＝π，所以 ω＝2. 又 f(x)min＝－2，所以 A＝2. 由 f(x)的最低点为 M， 得 sin43π＋φ＝－1. 因为 0＜φ＜π2，所以43π＜43π＋φ＜116π. 所以43π＋φ＝32π.所以 φ＝π6. 所以 f(x)＝2sin2x＋π6.
知识梳理
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
二倍角公式sin2α＝2sinαcosα
三
tan2α＝1－2tatannα2α
人教高中数学必修一A版《三角函数的图象与性质》三角函数说课教学课件复习(正、余弦函数的单调性与最值)
cos x＝m－1 有意义，须有－1≤m－ 1≤1，所以 0≤m≤2.]
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合
作 课件
课件 课件 课件 课件 课件 课件
课件
课件 课件 课件 课件 课件
课件
课件 课件
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课件 课件
课件
课件
探
究
提素养
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正弦函数、余弦函数的单调性
【例 1】 (1)函数 y＝cos x 在区间[－π，a]上为增函数，则 a 的取值范
的计算，提升数学运算
2.掌握 y＝sin x，y＝cos x 的单调性，并能利用单
素养.
调性比较大小．(重点)
2.结合函数图象，培养
3.会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)的单
直观想象素养.
调区间．(重点、易混点)
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自
主 课件
课件 课件 课件 课件 课件 课件
课件
课件 课件 课件 课件 课件
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
第3课时 正、余弦函数的单调性与最值
课件
学习目标
核心素养
1.掌握 y＝sin x，y＝cos x 的最大值与最小值，并
课件
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课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
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课件
1.通过单调性与最值
会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)
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1．求形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 或形如 y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中 A≠0，
人教高中数学必修一A版《三角函数的图象与性质》三角函数说课教学课件复习(正切函数的性质与图象)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 第4课时 正切函数的性质与图象
课件
学课件 课件 课件 课件
课件 课件
课件 课件
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课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
习
目
标
1.能画出正切函数的图象．(重点)
核心素养 1.借助正切函数的图象研究问
2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 题，培养直观想象素养.
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正切函数单调性的应用
[探究问题]课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
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课件 课件
课件 课件
课件
课件
1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？ 提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的
单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函 数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.
课件
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课件 课件
课件 课件
课件
课件
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图象
y＝tan x
定义域 值域
__x_x_∈__R__，__且__x≠___π2__＋__k_π_，__k_∈__Z__ R
栏目导航
周期 奇偶性 对称中心
单调性
课件
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5.4 三角函数的图象与性质 第4课时 正切函数的性质与图象
课件
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目
标
1.能画出正切函数的图象．(重点)
核心素养 1.借助正切函数的图象研究问
2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 题，培养直观想象素养.
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正切函数单调性的应用
[探究问题]课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件
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1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？ 提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的
单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函 数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.
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y＝tan x
定义域 值域
__x_x_∈__R__，__且__x≠___π2__＋__k_π_，__k_∈__Z__ R
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人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：第五章三角函数章末复习课
(2)由题意知，cos α＝xr≤0，sin α＝yr>0， 即x≤0，y>0， 所以3mm＋－29>≤0，0， 所以－2<m≤3，即实数m的取值范围为(－2，3].
【训练 1】 已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝－45，则 m
的值为( )
A.－12
B.12
(3)正切曲线：
6.三角函数的性质(表中k∈Z)
y＝sin x
定义域
R
y＝cos x R
y＝tan x {x|x∈R，且 x≠π2＋kπ}
增区间：[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]， 单调性
减区间：[π2＋2kπ，32π＋2kπ]
增减区区间间：：[[2－kππ，＋π2＋kπ，2kπ2]kπ]，增区间：(－π2＋kπ，π2＋kπ)
章末复习课
[网络构建]
[核心归纳] 1.任意角与弧度制 (1)与角 α 终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}. (2)角度与弧度的互化：1°＝1π80 rad，1 rad＝(1π80)°. (3)弧长公式：l＝|α|r， 扇形面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.
2.任意角的三角函数 设任意角 α 的终边上任意一点 P(x，y)，r＝ x2＋y2，则 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).
C.－
3 2
D.
3 2
解析 由题意知 P(－8m，－3)且 cos α＝－45，∴r＝ 64m2＋9，∴cos α＝
6－4m82m＋9＝－45，且 m>0，∴m2＝14，∴m＝12.故选 B.
答案 B
要点二 同角三角函数基本关系式的应用 同角三角函数基本关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现 α 的正弦、余弦的转化，利用csoins αα＝tan α 可 以实现角 α 弦切互化. (2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－ sin2α，(sin α＋cos α)2＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α. (3)sin α，cos α 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次 式或含有 sin2α，cos2α 及 sin αcos α 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”， 利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解.
人教版高中数学必修第一册第一章 第五章 三角函数 小结与复习【课件】
负未定,则需分类讨论.
正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号,如图,口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余
弦”.
【例4】已知sin α＋cos
________.
α＝ ，α∈(0，π)，则tan
α＝
-
思路点拨：
思路一：根据同角三角函数的基本关系sin2α＋cos2α＝1，再结合
已知条件建立方程组，计算sinα，cos α.思路二：创造性利用同
角三角函数的基本关系，对条件sin α＋cos
α＝ 两边平方，然后
再将分母的1表示为sin2α＋cos2α，转化为齐次商形式之后，分子
第五章 小结与复习
知识网络∙体系构建
主题归纳∙综合提升
【主题1】 任意角的概念和表示方法及数形结合思想的应用
【例1】 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半
轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：
(1) 420°；(2) 855°；(3) －510°.
思路点拨：先画出直角坐标系，再根据角的正负明确逆时针或顺
与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函
数值；② 在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0).则sin
α＝ ，cos
＝ .已知角α的终边上点的坐标求角α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
α
【点评总结】
当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定要注意对字母正、负的辨别,若正、
【例3】 已知角θ的终边上有一点P(x，3)(x≠0)，且cosθ＝
则sinθ＋tanθ的值为________.