九年级数学上册 21.2.2 公式法课件 (新版)新人教版
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人教版数学九年级上册21.2.2 公式法 课件(共20张PPT)
（1）x2-2x-1=0；
（2）2x2+7x-15=0.
自主探究
1.阅读课本9-12页.
请同学们回忆并说出利用配方法解一元二次方程的步骤.
（一移，把含有未知数的项移到等号左边，常数项移到
等号右边；二化，将二次项系数化为1；三配，等号两
边同时加上一次项系数一半的平方；四开，利用平方根
的定义把方程降次；五解，解一元一次方程）
程最多有两个实数根.
教师讲评
知识点3：用公式法解一元二次方程的一般步骤（重点）
1. 把方程化成一般形式，并写出a, b, c的值.
2. 求出b2－4ac的值.
特别注意：当b2－4ac<0时，方程无实数解；
当b2－4ac≥0时，一元二次方程才有实数根.
3. 代入求根公式 ： =
−± −
小的一个根是 ≠ ,则 + − = _________.(用含m
的代数式表示)
点拨：由题意，得
−− −
= ,
整理，得 + − = −.
【题型三】已知方程根的情况求字母系数的值或范围
例3 关于x的一元二次方程( − ) + + = 有实
(2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号.
(3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解.
(4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果.
【教材习题】完成课本12页练习.
【实践性作业】你去文具店买笔，想知道价格，老板告诉你笔
的价格是方程2x2-3x=5的正解.你知道笔的价格是多少吗？
2.回忆用配方法解方程的一般步骤.
(1)移常数项，二次项系数化为1；(2)配方， 两边都加上一次项系数
人教版九年级数学上册课件：21.2.2 公式法(共15张PPT)
2a
解： 化简为一般式：x2 2 3 x 3 0
这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） x
02
3
3
21
2
即 ： x1 x2 3
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随堂 练习
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新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程； பைடு நூலகம்.了解公式法的概念； 3.会熟练应用公式法解一元二次方程．
2
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用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得 配方，得
x2 b x c
a
a
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
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2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无实数根 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
人教版九年级数学上册课件：21.2.2公式法(共15张PPT)
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新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2.了解公式法的概念； 3.会熟练应用公式法解一元二次方程．
2
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新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程 如果分式 的值为0，那么x的值为 _
用配方法解一般形式的一元二次方程
1、把方程化成一般形式，并写出
的值。
3、代入求根公式 : x b 新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
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一元二次方程的求根公式
1、把方程化成一般形式，并写出
的值。
Thank you !
用公式法解一元二次方程
关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
例 1 用公式法解方程：
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
3. t t
解： a ,b ,c
b ac 漯河市中学网络课堂>>数学>> 九年级上>>一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
人教版九年级上册数学课件：21.2.2公式法(共16张PPT)
求根公式 : X=
1、把方程化成一般形式, 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
独立
知识的升华
作业
祝你成功！
3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
5
x1
6 5
;
x2
2.
5.定根:写出原方 程的根.
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2 , b=5, c= -3
∴ b2-4ac=52 - 4×2×(-3)=49
公式法是这样生产的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
解 : x2 b x c 0. aa
Байду номын сангаас
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b x c .
2.移项:把常数项移到方程的右边;
aa
x2 b x b 2 b 2 c . 3.配方:方程两边都加上一次项
a 2a 2a a 系数绝对值一半的平方;
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解 : a 5, b 4, c 12
1.变形:化方程为 一般形式;
b 2 4ac 42 4 5 (12) 256 0. 2.确定系数:用
x b b2 4ac
a,b,c写出各项系 数;
2a
4 256 4 16 .
用公式法解一元二次方程
一、用配方法解以下方程 2x²-12x+10=0
1、把方程化成一般形式, 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
独立
知识的升华
作业
祝你成功！
3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
5
x1
6 5
;
x2
2.
5.定根:写出原方 程的根.
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2 , b=5, c= -3
∴ b2-4ac=52 - 4×2×(-3)=49
公式法是这样生产的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
解 : x2 b x c 0. aa
Байду номын сангаас
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b x c .
2.移项:把常数项移到方程的右边;
aa
x2 b x b 2 b 2 c . 3.配方:方程两边都加上一次项
a 2a 2a a 系数绝对值一半的平方;
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解 : a 5, b 4, c 12
1.变形:化方程为 一般形式;
b 2 4ac 42 4 5 (12) 256 0. 2.确定系数:用
x b b2 4ac
a,b,c写出各项系 数;
2a
4 256 4 16 .
用公式法解一元二次方程
一、用配方法解以下方程 2x²-12x+10=0
21.2.2 公式法 人教版数学九年级上册课件
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
定义总结
总结
由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
的实数根可写为
的形式，这个式子叫
做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
知识点 2：用公式法解方程 例3 用公式法解下列方程： (1) x2 − 4x − 7 = 0； 解：(1) a = 1，b = −4，c = −7. Δ = b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0. ∴ 方程有两个不等的实数根.
当堂练习
1. (威海) 解方程 3x2 − 5x + 1 = 0 . 解：∵ a = 3，b = −5，c = 1， ∴ Δ = b2－4ac = (−5)2－4×3×1= 13＞0.
2. (1) 关于 x 的一元二次方程
有两个实
根，则 m 的取值范围是
.
(2) 若关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x2 − 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围. 解：化为一般式，得 (m − 1)x2 − 2mx + m − 2 = 0．
Δ=0
两个相等的实数根
Δ<0 Δ≥0
没有实数根 两个实数根
典例精析 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 3x2 + 4x − 3 = 0； (2) 4x2 = 12x − 9；
(1) 3x2 + 4x − 3 = 0 Δ = 42 − 4×3×(−3) = 52＞0
(2) 4x2 − 12x + 9 = 0
人教版数学九年级上册 21.2.2公式法 课件(共20张PPT)
人教版数学九年级上册
第二十一章 二元一次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用b2-4ac 的值判断一元二次方程根的情况，会运用公式法解一元二次 方程。
2.通过对求根公式的发现和探索过程，提高观察能力、 分析能力和逻辑思维能力。
3.发展独立思考，勇于探索的创新精神，渗透转化思想， 使其感受数学的内在美。
例 用公式法解方程：
解：(1)a＝1，b＝－4，c＝－7．
1．确定系数
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0，2．计算 Δ 方程有两个不相等的实数根.
．
3．代入
即
，
．
4．定根
Байду номын сангаас
例 用公式法解方程： 解：
．
例 用公式法解方程：
解： (3)方程化为5x2－4x－1＝0．
a＝5，b＝－4，c＝－1．
导入新知
同学们，用直接开平方法和配方法解一元二 次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的 方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
合作探究
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
x2 b x c 0 aa
1．化1: 把二次项系数化为1 2．移项: 把常数项移到方程的右边
3．配方: 方程两边都加上一次项 系数的一半的平方
故选B．
A
A．2x2+4x+1=0 B．2x2-4x+1=0 C．2x2-4x-1=0 D．2x2+4x-1=0
4.当 a<0 时，方程x|x|+|x|-x-a=0 的解为
．
再见
2．计算根的判别式：将 a，b，c 的值代入 Δ=b2-4ac 计算，并判断 Δ 的符号．
第二十一章 二元一次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用b2-4ac 的值判断一元二次方程根的情况，会运用公式法解一元二次 方程。
2.通过对求根公式的发现和探索过程，提高观察能力、 分析能力和逻辑思维能力。
3.发展独立思考，勇于探索的创新精神，渗透转化思想， 使其感受数学的内在美。
例 用公式法解方程：
解：(1)a＝1，b＝－4，c＝－7．
1．确定系数
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0，2．计算 Δ 方程有两个不相等的实数根.
．
3．代入
即
，
．
4．定根
Байду номын сангаас
例 用公式法解方程： 解：
．
例 用公式法解方程：
解： (3)方程化为5x2－4x－1＝0．
a＝5，b＝－4，c＝－1．
导入新知
同学们，用直接开平方法和配方法解一元二 次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的 方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
合作探究
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
x2 b x c 0 aa
1．化1: 把二次项系数化为1 2．移项: 把常数项移到方程的右边
3．配方: 方程两边都加上一次项 系数的一半的平方
故选B．
A
A．2x2+4x+1=0 B．2x2-4x+1=0 C．2x2-4x-1=0 D．2x2+4x-1=0
4.当 a<0 时，方程x|x|+|x|-x-a=0 的解为
．
再见
2．计算根的判别式：将 a，b，c 的值代入 Δ=b2-4ac 计算，并判断 Δ 的符号．
人教新课标版数学九年级上册21.2.2-一元二次方程的解法-公式法(2)课件
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注对意吗二？次
项系数
2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.
例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实
数解根：∵. 一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴ k≠0， b2 4ac 0
凡形先如把方a程x2+的c常=0数(项a≠移0到, a方c<程0的) 右边，再把左边配成一
个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接
开平方法或来求a出(x+它p的)2解+q.=0 (a≠0, aq<0)
的公一式元二法次是方解程一都元可二用次直接方开程平的方通法法解..
一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
解：∵ b2 4ac (m 5)2 4 2(m 1)
把判别式配方 m2 10m 25 8m 8
m2 2m 17
(m 1)2 16 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
典型例题解析
【例5】 已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
解 : a 1, b 2m 1, c m2 4, b2 4ac (2m 1)2 4(m2 4) 4m2 4m 1 4m2 16 4m 17
由4m 17 0, 得m 17 . 4
当m 17 时,b2 4ac 0, 4
（3） x2 x 1 0
（4） x2 x 1 0
（5） 2x2 x 3 0 （6）2x2 x 3 0
最新人教版初中数学九年级上册《21.2.2 公式法》精品教学课件
2a
写出一元二次方程的根.
b
(2)当∆=0时，代入求根公式： x1 x2
2a
写出一元二次方程的根.
（3）当∆<0时，方程无实数根.
巩固练习
用公式法解方程：
3x 6 x 2 0
2
解：a=3, b=-6, c=-2,
∆=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.
x
A. k>-1
B. k>-1 且k≠ 0
C. k<1
D. k<1 且k≠0
课堂检测
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx
＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵ x 2 2 x m 1 0 没有实数根，
∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0.
2
2
x
对于方程 x ＋mx＝1-2m ，即 mx 2m 1 0 .
a＝1，b＝4 ，c＝﹣2,
△= b2-4ac
△= b2-4ac
=24－4×（﹣1）×（-6）=0.
=16-4×1×（-2）=24＞0.
该方程有两个相等的实数根.
该方程有两个不相等的实数根.
探究新知
（3）4x2+1=-3x;
（4）x²-2mx+4（m-1）=0.
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,
用判别式△= b2-4ac判定一元二次方程
根的情况.
课后研讨
1.说一说本节课的收获。
2.谈谈在解决实际问题中有哪些需要
注意或不太懂的地方。
请以课堂反思的方式写
一写你的收获。
写出一元二次方程的根.
b
(2)当∆=0时，代入求根公式： x1 x2
2a
写出一元二次方程的根.
（3）当∆<0时，方程无实数根.
巩固练习
用公式法解方程：
3x 6 x 2 0
2
解：a=3, b=-6, c=-2,
∆=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.
x
A. k>-1
B. k>-1 且k≠ 0
C. k<1
D. k<1 且k≠0
课堂检测
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx
＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵ x 2 2 x m 1 0 没有实数根，
∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0.
2
2
x
对于方程 x ＋mx＝1-2m ，即 mx 2m 1 0 .
a＝1，b＝4 ，c＝﹣2,
△= b2-4ac
△= b2-4ac
=24－4×（﹣1）×（-6）=0.
=16-4×1×（-2）=24＞0.
该方程有两个相等的实数根.
该方程有两个不相等的实数根.
探究新知
（3）4x2+1=-3x;
（4）x²-2mx+4（m-1）=0.
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,
用判别式△= b2-4ac判定一元二次方程
根的情况.
课后研讨
1.说一说本节课的收获。
2.谈谈在解决实际问题中有哪些需要
注意或不太懂的地方。
请以课堂反思的方式写
一写你的收获。
九年级数学上册21.2.2公式法课件新版新人教版
A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0
课堂检测
4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是
(
D
) A.当k=1/2时，方程两根互为相反数
B.当k=0时，方程的根是-1
C.当k=±1时，方程两根互为倒数
D.当k≤1/4时，方程有实数根
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
.
∵a≠0, 4a2>0,
b2 4ac
∴当b2－4ac≥0时，
0, 4a2
∴
x b
b2 4ac .
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
特别提醒 推导时必须 写
∴
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac . 2a
（2）方程两边同除以a，得
x2 b x c
a
a
.
( b )2
（3）方程两边同时加上___2_a___，得
x2 b x ( b )2 c ( b )2.
a 2a
a 2a
左边写成完全平方式，右边通分，得
（4）开平方…
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
.
课堂探究
① 2、求出b2-4ac的值。 ②
3、代入求根公式 :
∴x=
=
③ (注意：a≠0, b2-4ac≥0)
= 即 x1= - 3 , x2=
4、写出方程的解：
课堂检测
4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是
(
D
) A.当k=1/2时，方程两根互为相反数
B.当k=0时，方程的根是-1
C.当k=±1时，方程两根互为倒数
D.当k≤1/4时，方程有实数根
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
.
∵a≠0, 4a2>0,
b2 4ac
∴当b2－4ac≥0时，
0, 4a2
∴
x b
b2 4ac .
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
特别提醒 推导时必须 写
∴
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac . 2a
（2）方程两边同除以a，得
x2 b x c
a
a
.
( b )2
（3）方程两边同时加上___2_a___，得
x2 b x ( b )2 c ( b )2.
a 2a
a 2a
左边写成完全平方式，右边通分，得
（4）开平方…
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
.
课堂探究
① 2、求出b2-4ac的值。 ②
3、代入求根公式 :
∴x=
=
③ (注意：a≠0, b2-4ac≥0)
= 即 x1= - 3 , x2=
4、写出方程的解：
新人教版九年级上册初中数学 21-2-2 公式法 教学课件
方程有两个相等的实数根
b 2 2 2 x1 x2 2a 2 2 2 .
第二十二页，共三十页。
新课讲解
(2)方程化为5x2－4x－1＝0.
a＝5，b＝－4，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.
方程有两个不等的实数根
x b b2 4ac (4) 36 4 6 .
A．k≥0 C．k<0 且 k≠-1
B．k≤0 D．k≤0 且 k≠-1
第二十八页，共三十页。
当堂小练
4.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等 的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
解：方程化简为x2-5x+6-p2=0
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,
第八页，共三十页。
新课讲解
知识点1 一元二次方程的求根公式 一般地，式子 b2−4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式， 通常用希腊字母“Δ”表示它，即 Δ＝b2−4ac． 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根有三种情况： 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根．
第三十页，共三十页。
1．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 中的左边是一个完全 平方式，则该方程有两个相等的实数根； 2．若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两个不相
等的实数根；
3．当方程中a，c同号时，通过Δ的符号来判断根的情况．
第十二页，共三十页。
新课讲解
练一练
1 方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分
b 2 2 2 x1 x2 2a 2 2 2 .
第二十二页，共三十页。
新课讲解
(2)方程化为5x2－4x－1＝0.
a＝5，b＝－4，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.
方程有两个不等的实数根
x b b2 4ac (4) 36 4 6 .
A．k≥0 C．k<0 且 k≠-1
B．k≤0 D．k≤0 且 k≠-1
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当堂小练
4.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等 的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
解：方程化简为x2-5x+6-p2=0
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,
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新课讲解
知识点1 一元二次方程的求根公式 一般地，式子 b2−4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式， 通常用希腊字母“Δ”表示它，即 Δ＝b2−4ac． 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根有三种情况： 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根．
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1．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 中的左边是一个完全 平方式，则该方程有两个相等的实数根； 2．若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两个不相
等的实数根；
3．当方程中a，c同号时，通过Δ的符号来判断根的情况．
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新课讲解
练一练
1 方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分