江苏省淮安市2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试卷 Word版含答案

淮安市2016—2017学年度高二期末调研测试数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知复数1iz i+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 . 2. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，若圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，则圆心C 的直角坐标为 .3.若346n nA C =，则n 的值为 . 4.已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，若ka b + 与b 相互垂直，则k 的值是 .5．已知二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则它的展开式中的常数项为 .6.在3名男教师和3名女教师中选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则有 种不同的选取方法（用数字作答）.7.已知曲线()22:1C x y y -+=在矩阵2201A -⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到曲线C '，则曲线C '的方程为 .8.甲、乙、丙三人各自独立的破译一个密码，假定它们译出密码的概率都是15，且相互独立，则至少两人译出密码的概率为 .9.已知矩阵1101,20201A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则AB 的逆矩阵()1AB -= . 10.已知P 为曲线cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ≤≤）上一点，O 为坐标原点，若直线OP的倾斜角为4π，则P 点的坐标为 .11.现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X,则X 的数学期望()E X = .12.从3名男生和3名女生中选出4人分别分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不能担任一辩手，那么不同的编队形式有 种.（用数字作答）13.已知1232727272727S C C C C =++++ ，则S 除以9所得的余数是 . 14.利用等式()111,,k k n n kC nC k n k n N -*-=≤≤∈可以化简12111222n n n n n C C n C -⋅+⋅+⋅ ()101122111111222123.n n n n n n n n nC n C n C n C n n -------=+⋅+⋅++⋅=+=⋅ 等式11k k n n kC nC --=有几种变式，如：1111k k n n C C k n--=又如将1n +赋给n ，可得到()111,k k n n kC n C -+=+ ，类比上述方法化简等式：23101211111115253515n n n n n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅++⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）已知矩阵221a M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a R ∈，若点()1,2P -在矩阵M 的变换下得到点()4,0.P '- （1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量.16.（本题满分14分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ-+=，曲线D的参数方程为21x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线D 的参数方程化为普通方程；（2）若点P为直线14x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）上的动点，点Q 为曲线D 上的动点，求P,Q 两点间距离的最小值.17.（本题满分14分）在某次问卷调查中，有a,b 两题为选做题，规定每位被调查者必须且只需在其中选做一题，其中包括甲乙在内的4名调查者选做a 题的概率均为23，选做b 题的概率均为1.3（1）求甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率；（2）设这4名受访者中选做b 题的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.18.（本题满分16分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，1,2,3,AB AC AB AC AA M ⊥===是侧棱1CC 上一点.（1）若1BM AC ⊥，求1C MMC的值； （2）若2MC =，求直线1BA 与平面ABM 所成角的正弦值.19.（本题满分16分）已知()()()()()201211112,.nn x n a a x a x a x n n N *+=+-+-+++≥∈ .（1）当3n =时，求31223222a a a ++的值； （2）设232,.2nn n n n a b T b b b -==+++ ①求n b 的表达式；②使用数学归纳法证明：当2n ≥时，()()11.6n n n n T +-=20.（本题满分16分）设函数()()(),10,0.xf x y my m y =+>>（1）当2m =时，求()7,f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）已知()2,f n y 的展开式中各项的二项式系数和比(),f n y 的展开式中各项的二项式系数和大992，若()01,nn f n y a a y a y =+++ ，且240a =，求1ni ai =∑；（3）已知正整数n 与正实数t ，满足()1,1,,n f n m f n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭求证：162017,.f f t ⎛⎛⎫>- ⎪ ⎝⎭⎝.淮安市2016—2017学年度高二期末调研测试数学试卷（理科）参考答案与评分标准一、填空题:1．1 2．()2,0 3. 7 4. 5． 5. -20 6.18 7．2214x y += 8.13125 9.114102⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10．,骣÷ç÷ç÷ç桫121255 11．95 12．300 13．7． 14．116()115n n +⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦ 二、解答题:15. （1）由221a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=40-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以2243a a -=-⇒=……………………………4分 （2）由（1）知M 2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵M 的特征多项式为 223()(2)(1)63421f λλλλλλλ--==---=---- ，令0)(=λf ，得矩阵M 的特征值为1-与4. ………………………………………8分当1-=λ时， (2)3002(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒+=⎨-+-=⎩所以矩阵M 的属于特征值1-的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; …………………………11分当4λ=时， (2)302302(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒-=⎨-+-=⎩所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………………………14分16．（1）因为曲线C 的极坐标方程cos sin 30ρθρθ-+=，所以曲线C 的直角坐标方程为：x －y ＋3＝0. ………………………………………3分因为曲线D的参数方程为21x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩ (α为参数).所以曲线D 的普通方程为()()22212x y -+-= …………………………………6分 （2）将直线方程化为普通方程 30x y -+=， ……………………………………9分圆D ：()()22212x y -+-=的圆心到直线的距离d ==,……………………………………………………………………12分所以PQ的最小值为d 。

…………………………………………………14分 17．（1）设事件A 表示“甲选做第a 题”，事件B 表示“乙选做第a 题”，则甲、乙2名受访者选做同一道题的事件为“AB AB +”，且事件A 、B 相互独立.所以()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+=2211533339⨯+⨯= ………………5分答：甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率59……………………………………6分（2）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～1(4,)3B . (8)分所以44441112()()(1)()()(0,1,2,3,4)3333k k k k k kP k C C k ξ--==-==， …………10分 所以变量ξ的分布表为：……12分所以1632248140123481818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（或14433E np ξ==⨯=）…14分18.（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，…………………………………………1分 如图所示，则()2,0,0B ,()10,0,3A ， ()0,2,0C ，设MC h =，则 ()0,2,M h ()2,2,BM h =-，MB 1C 1()10,2,3AC =- ……………………2分由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=，即2230h ⨯-= 解得43h =，…………………………………5分故154C M MC =； ………………………………7分 (2) 因为2MC =，所以()0,2,2M ，()()()12,0,0,0,2,2,2,0,3AB AM BA ===-设平面ABM 的一个法向量为(),,n x y z =，由0{0n AB n AM ⋅=⋅=得0{0x y z =+=， 所以()0,1,1n =-，………………………………………………………………………10分14分 设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ,所以1sin cos ,n BA θ== ，所以直线1BA 与平面ABM. ……………………………16分.19.（1）记3()(1)f x x =+，令01,8x a ==得， …………………………………………2分令31223312522228a a a x =+++=0得 a ，……………………………………………………4分故3122312561822288a a a ++=-=； ………………………………………………………5分 （2）设y x =-1，则原展开式变为：()n n ny a y a y a a y ++++=+...22210，则2222-=n n C a ， ………………………………………………………………………7分所以222(1)22n nn a n n b C --===，………………………………………………………9分 证明：①当2=n 时，221,1T b ==，结论成立；……………………………………10分②假设k n =时成立，即(1)(1)6k k k k T +-=，那么1+=k n 时，11(1)(1)(1)62k k k k k k k k T T b +++-+=+=+[][](1)(1)1(1)1(1)(2)66k k k k k k ++++-++==所以当1n k =+时结论也成立．…………………………………………………………14分综上①②当2n ≥时，(1)(1)6n n n n T +-=． …………………………………………16分20．（1）因为f (7，y )＝()712y +，故展开式中二项式系数最大的项分别是第4项和第5项，即T 4＝()3372C y =3280y ，()444572560T C y y ==； ……………………………5分（2）由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，所以2n ＝32，解得n ＝5， ………………………………………………………………7分则由()5(5,)1f y my =+=5015a a y a y +++ ，又222540a C m ==，且0m >，所以2m =，则51i i a ==∑()5512131+-=-=242； …………………………………………10分(3)证明：由1(,1)(,)nf n m f n t=，得(1＋m )n ＝m n(1＋m t )n ＝(m ＋m 2t )n ，则1＋m ＝m ＋m2t ，所以m ＝t ， ………………………………………………………12分又f ＝(1＋m 1 000t )2 017＝(1＋11 000)2 017 >1＋12017C 11 000＋22017C (11 000)2＋32017C (11 000)3>1＋2＋2＋1＝6， 而1(2017,)f t -=20171m t -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝(1＋1t )－2 017<1，所以f >16(2017,)f t -．………………………………………………16分。