新编文档-同济大学《高等数学》61节定积分的元素法-精品文档
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定积分的元素法
b
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上， 部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小 区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的 元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点： 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有 关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间， 则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章 定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上， 部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小 区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的 元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点： 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有 关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间， 则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章 定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法
大学高等数学6-1定积分的元素法精品PPT课件
弧长 s 2(t ) 2(t )dt.
2
2
2
例 3 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1
y
4 2 x2 y2dt 0
4 2 3a sin t cos tdt 0
a
3
四、旋转体的体积和表面积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y f (x)
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
2
2
2
例 3 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1
y
4 2 x2 y2dt 0
4 2 3a sin t cos tdt 0
a
3
四、旋转体的体积和表面积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y f (x)
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
6-1定积分的元素法59653
பைடு நூலகம்
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
terima Kasih
得力马卡系
3） 以 所 求 量 U 的 元 素 f(x)d为 x被 积 表 达 式 ， 在
区 间 [a,b]上 作 定 积 分 ， 得 U a bf(x)d， x
即 为 所 求 量 U 的 积 分 表 达 式 .
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
元素法的一般步骤：
1 ） 根 据 问 题 的 具 体 情 况 ， 选 取 一 个 变 量 例 如 x 为 积 分 变 量 ， 并 确 定 它 的 变 化 区 间 [ a ,b ] ；
2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[x,xdx]，求出相应于这小区 间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与 dx 的乘积，就把f(x)dx称为量U的元素且记作 dU，即dU f(x)dx；
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
terima Kasih
得力马卡系
3） 以 所 求 量 U 的 元 素 f(x)d为 x被 积 表 达 式 ， 在
区 间 [a,b]上 作 定 积 分 ， 得 U a bf(x)d， x
即 为 所 求 量 U 的 积 分 表 达 式 .
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
元素法的一般步骤：
1 ） 根 据 问 题 的 具 体 情 况 ， 选 取 一 个 变 量 例 如 x 为 积 分 变 量 ， 并 确 定 它 的 变 化 区 间 [ a ,b ] ；
2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[x,xdx]，求出相应于这小区 间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与 dx 的乘积，就把f(x)dx称为量U的元素且记作 dU，即dU f(x)dx；
高等数学上6.1定积分的元素法
或微元分析法) 这种分析方法成为元素法 (或微元分析法 或微元分析法 元素的几何形状常取为: 元素的几何形状常取为 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
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b
积分的四个步骤如下： 积分的四个步骤如下： （1）分割 上任取一小区间[x 在[a, b]上任取一小区间 , x+dx] 上任取一小区间 积 元
∆
用 ∆A表示任一小区间[ x , x + ∆x ]上的窄曲 面 边梯形的面积
（2）近似代替
∆A ≈ f ( x )dx = dA
（ ）
dA
y
素
y = f (x)
A = ∫a f ( x)dx
b
o a x x + dx x b
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元素法应用方向： 元素法应用方向： 应用方向
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 水压力；引力等． 功；水压力；引力等．
第六章
定积分的应用
利用元素法解决: 利用元素法解决 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
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第一节
第六章 六
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
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一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间 , b]上的某分布 f (x) 有关的 是与区间[a 上的某分布 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小 常代变 近似和 取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小 表示为
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b
积分的四个步骤如下： 积分的四个步骤如下： （1）分割 上任取一小区间[x 在[a, b]上任取一小区间 , x+dx] 上任取一小区间 积 元
∆
用 ∆A表示任一小区间[ x , x + ∆x ]上的窄曲 面 边梯形的面积
（2）近似代替
∆A ≈ f ( x )dx = dA
（ ）
dA
y
素
y = f (x)
A = ∫a f ( x)dx
b
o a x x + dx x b
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元素法应用方向： 元素法应用方向： 应用方向
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 水压力；引力等． 功；水压力；引力等．
第六章
定积分的应用
利用元素法解决: 利用元素法解决 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
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第一节
第六章 六
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
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一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间 , b]上的某分布 f (x) 有关的 是与区间[a 上的某分布 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小 常代变 近似和 取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小 表示为
定积分元素法课件
元素法的应用范围
01 02 03
适用于被积函数为连续函数的定积 分计算。
适用于被积函数为分段函数的定积 分计算。
适用于被积函数为周期函数的定积 分计算。
03
元素法的具体应用
求解定积分的具体方法
01
矩形法
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，用
矩形近似代替该小区间上的曲线，求出矩形面积之和，即得定积分的近
计算方法则是通过数值计算方法（如梯形法、辛普森法等）来求解近似值。 • 两者都可以得到较为精确的结果，但数值计算方法需要更多的计算量。
元素法与物理方法的比较研究
元素法是通过数学模型和数值计 算方法来得到近似解，而物理方 法则是通过实验测量数据来得到 近似解。
在求解积分问题时，物理方法通 常是通过实验测量数据来得到近 似解。
元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积 函数，从而将积分转化为求和。
微积分提供了一般的理论框架，而元素法是一种具体的计算方法，两者相辅相成。
元素法与数值计算方法的比较研究
• 数值计算方法是一种通过数值计算求解数学问题的方法，包括数值积分、数值微分、数值求解方程等。 • 元素法与数值计算方法在求解积分问题时，都采用了近似代替的方法。 • 元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。而数值
近似方法的选取
根据具体问题的特点，选择合适的近 似方法（矩形法、梯形法或辛普森法 ），以保证近似值的精度和计算效率 。
求解定积分的实例分析
计算定积分$\int_{0}^{1}e^{x}dx$
通过矩形法、梯形法和辛普森法分别计算该定积分的近似值，并比较其精度和计算效率 。
06定积分应用(同济教材)39页20180926
2 b Vx 2 y dx 2 0 a 4 2 ab 3
a 2 2
a
0
(a x )dx
2 2
x y 例: 计算由椭圆 2 2 1 围成的图形 a b
2
2
绕 y 轴旋转一周所成的旋转体（称为旋
转椭球体）的体积。
2 a Vy 2 x dy 2 0 b 4 2 a b 3
dV y dx f ( x)dx
2 2
y=f(x)
x dx
a
x
b 2 b 2
b
Vx y dx f ( x)dx
a a
求由曲线 x=(y) ，（假设曲线 (y) 与 y 轴不相交）与直线 y=c，y=d (c<d) 及 y 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一 周而成的旋转体的体积。
U dU (x ) 注意：这样表示的前提条件是： 否则可能造成失误，这里，称 dU 为量U的元 素。
3、对元素关系式 dU f ( x )dx 在 [a,b] 上作定积分，即得所求量 U 的积分 表达式 b
U ∫ f ( x ) dx . a
上述这种解决问题的方法称为元素 法，也称微元法。
y
y=f(x)
dA
o
a
b a
x x+dx b
x
A f ( x)dx
y
a
x x+dx b
o
y=f(x)
x
dA
A f ( x)dx
a
b
求由曲线 x=(y)， x=(y) ((y)≤(y))及 直线 y=c，y=d (c<d) 围成的平面图形的 dA 面积 A。 y
a 2 2
a
0
(a x )dx
2 2
x y 例: 计算由椭圆 2 2 1 围成的图形 a b
2
2
绕 y 轴旋转一周所成的旋转体（称为旋
转椭球体）的体积。
2 a Vy 2 x dy 2 0 b 4 2 a b 3
dV y dx f ( x)dx
2 2
y=f(x)
x dx
a
x
b 2 b 2
b
Vx y dx f ( x)dx
a a
求由曲线 x=(y) ，（假设曲线 (y) 与 y 轴不相交）与直线 y=c，y=d (c<d) 及 y 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一 周而成的旋转体的体积。
U dU (x ) 注意：这样表示的前提条件是： 否则可能造成失误，这里，称 dU 为量U的元 素。
3、对元素关系式 dU f ( x )dx 在 [a,b] 上作定积分，即得所求量 U 的积分 表达式 b
U ∫ f ( x ) dx . a
上述这种解决问题的方法称为元素 法，也称微元法。
y
y=f(x)
dA
o
a
b a
x x+dx b
x
A f ( x)dx
y
a
x x+dx b
o
y=f(x)
x
dA
A f ( x)dx
a
b
求由曲线 x=(y)， x=(y) ((y)≤(y))及 直线 y=c，y=d (c<d) 围成的平面图形的 dA 面积 A。 y
6-1 定积分的元素法
(3) 求和. 得A的近似值
n
A f ( i )xi
y
i 1
n
(4) 求极限. A lim 0
f ( i ) xi
i 1
y = f (x)
b
f ( x)dx a
0 1 2 i
x0 a x1 xi1 xi
xn返1nb回xxn
把上述步骤略去下标，改写为：
(1) 分割. 把区间[a, b]分成n个小区间，任取其中一个小
区间[x, x+dx]（区间微元），用A表示[x, x+dx]上
的小曲边梯形的面积，于是 A A
(2) 近似. 计算A的近似值 A f ( x) dx
并记 dA f ( x)dx 称为面面积积元微元素y
y f Leabharlann x返回b 回顾曲边梯形面积A转化为定积分
f ( x)dx 的计算过程：
a
n
(1) 分割. 把区间[a, b]分成n个小区间, 有 A Ai
i 1
总量A 对于[a, b]具有区间可加性, 即A可以分割成
n个部分量Ai 的和.
(2) 近似. 计算Ai的近似值 Ai f ( i )xi ( xi1 i xi )
(2) 求全量
应用方向：
元素积分得 U
b
f ( x)dx
a
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
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微元法 (Element Method)
例1. 写出长为l的非均匀细直棒质量的积分表达式
任一点的线密度是长度的函数。 解:建立坐标如图,
o x x+dx
lx
则任意点x的密度为 ( x)
6.1 定积分的元素法
(1)所求量是与一个变量的变化区间[, ]有关的量;
(2)所求量对于区间[, ]具有可加性, 就是说, 如果把区间[, ]
分成许多部分区间, 则相应地分成许多部分量, 而等于所有
部分量之和.
(3)部分量Δ 的近似值可表示为( )Δ , 就可以考虑用定积分
来表达这个量.
第六章
目 录
CONTENTS
第一节 定积分的元素法
第二节 定积分在几何学上的应用
第三节 定积分在物理学上的应用
第一节 定积分的元素法
一、问题的提出
二、元素法的条件和三步曲
第六章 定积分的应用
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
= ()(() ≥ 0),
[, + Δ]
这种分析方法成为元素法(或微元分析法)
第一节 定积分的元素法
第一节 定积分的元素法
第六章 定积分的应用
2. 元素法的三部曲
步骤1. 依据所求问题, 选取适当的积分变量例如, 并确定其范围
∈ [, ]
步骤2. 任取, + d ∈ [, ], 考虑区间[, + d]上所求量的表达式
定积分的计算.
例如: 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长;
功;水压力;引力和平均值等.
因此对这种方法要进行研究和简化.
研究和简化的结果就产生了应用定积分解决问题的元素法.
第一节 定积分的元素法
第一节 定积分的元素法
第六章 定积分的应用
第六章 定积分的应用
二 、元素法的条件和三步曲
1. 应用定积分解决问题的条件
直线 = , =
(1)分割
及轴所围成.
(2)以常代变
(2)所求量对于区间[, ]具有可加性, 就是说, 如果把区间[, ]
分成许多部分区间, 则相应地分成许多部分量, 而等于所有
部分量之和.
(3)部分量Δ 的近似值可表示为( )Δ , 就可以考虑用定积分
来表达这个量.
第六章
目 录
CONTENTS
第一节 定积分的元素法
第二节 定积分在几何学上的应用
第三节 定积分在物理学上的应用
第一节 定积分的元素法
一、问题的提出
二、元素法的条件和三步曲
第六章 定积分的应用
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
= ()(() ≥ 0),
[, + Δ]
这种分析方法成为元素法(或微元分析法)
第一节 定积分的元素法
第一节 定积分的元素法
第六章 定积分的应用
2. 元素法的三部曲
步骤1. 依据所求问题, 选取适当的积分变量例如, 并确定其范围
∈ [, ]
步骤2. 任取, + d ∈ [, ], 考虑区间[, + d]上所求量的表达式
定积分的计算.
例如: 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长;
功;水压力;引力和平均值等.
因此对这种方法要进行研究和简化.
研究和简化的结果就产生了应用定积分解决问题的元素法.
第一节 定积分的元素法
第一节 定积分的元素法
第六章 定积分的应用
第六章 定积分的应用
二 、元素法的条件和三步曲
1. 应用定积分解决问题的条件
直线 = , =
(1)分割
及轴所围成.
(2)以常代变
第六节、定积分的元素法
sn si
i 1
n
Oa
y
.x . x . .x . . . x.
1 i 1 i
n 1
b
x
f ( x)
si f ( i )xi
作和
sn f ( i )xi
i 1
n
A
Oa
f ( i )
B
si
x i 1 x i i
b
x
则
s sn f ( i )xi
f ( x)
B
A
Oa
x
s
x dx
b
x
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法)
二、什么问题可以用定积分解决
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的
一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 表示为
第六节、定积分的元素法
一、元素法
二、什么问题可以用定积分解决
三、如何应用定积分解决问题
四、作业
一、元素法
y
计算曲边梯形面积的具体步骤： (1)分割 用任意一组分点 b, a x0 < x1 < x2 < xn1< xn
A
si
f ( x) B
s s1 s2
(2)近似求和
定积分定义
三、如何应用定积分解决问题
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量 的 微分表达式 近似值
d U f ( x ) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量 的 精确值 积分表达式
U a f ( x ) dx
高等数学教案章节题目第六章、定积分的应用§6-1定积分的元素法
高等数学教案§6-1 定积分的元素法一、 再论曲边梯形面积计算设f x ()在区间],[b a 上连续，且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边，底为],[b a 的曲边梯形的面积A 。
1．化整为零用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110将区间分成n 个小区间[,]x x i i -1，其长度为),,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-并记 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ相应地，曲边梯形被划分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积记为ni A i ,,2,1, =∆。
于是 ∑=∆=ni iA A 12．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈∀∆≈∆-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=∆≈ni iixf A 1)(ξ4．取极限，使近似值向精确值转化⎰∑=∆==→bani iidx x f x f A )()(lim1ξλ上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：（1）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则A 相应地分成部分量),,2,1(n i A i =∆，而∑=∆=ni i A A 1这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。
(2)用i i x f ∆)(ξ近似i A ∆，误差应是i x ∆的高阶无穷小。
只有这样，和式∑=∆ni iixf 1)(ξ的极限方才是精确值A 。
故关键是确定))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ∆=∆-∆∆≈∆ξξ通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。
二、元素法1．能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (2) U 对于区间],[b a 具有可加性；(3) U 部分量i U ∆可近似地表示成i i x f ∆⋅)(ξ。