4.4 单调性和极值最值_修改

说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,
y y 3 x2
o y
x
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
y x3
x
例 4 . 当 x 0 时 , 试证 x ln( 1 x ) .
证 . 设 f ( x ) x ln(1 x ) .
证 . x1 , x2 [a , b] , 且 x1 x2 ,
在 [ x1 , x2 ] 上应用 Lagrange中值定理得 :
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 ) ( x1 x2 )
如果在 (a , b) 内 f ( x ) 0 , f ( ) 0 ,
y
y f ( x)
B
y
A y f ( x)
B
A
o a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 1 . 设 函数 y f ( x ) 在 [a , b] 上连续 , 在 (a , b) 内可导 .
(1) 如果在 (a , b) 内 f ( x ) 0 , 那么函数 y f ( x ) 在[a , b]上单调增加 ; ( 2) 如果在 (a , b) 内 f ( x ) 0 , 那么函数 y f ( x ) 在[a , b]上单调减少 .
练习:
1 2 试证：当x 0时, 试证 ln(1 x ) x x 成立. 2 1 2 令f ( x ) ln(1 x ) x x , f (0) 0 2 1 f ( x ) 1 x , f (0) 0 1 x 1 f ( x ) 1 0 2 1 x
1 例6. 证 明: ln x 1 x 1
证 ： 设 ( x) l n x f
( x 0)
x 1 1 x 1 ( x ) 2 f 0 2 x x x 得唯一驻点 1 x 当x 1时 ，f ( x ) 0, 从 而f ( x )在(1， )递 增; 当0 x 1时 ，f ( x ) 0, 从 而f ( x )在( ，)递 减. 1 故f ( x )在x 1处 取 得 最 小 值 ， 最 小 为f (1) 1, 值 1 所 以 当 0时 ， 有 ( x ) 1, 即 l n x 1 x f x
注意: 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调 性. 3 例如, y x , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加.
例如 :
f ( x ) x sin x 5 在 ( , ) 连续 ,
0 x 2k , ( k 0 , 1, 2 ,) f ( x ) 1 cos x 0 x 2k
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
例如
y
f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 3
为极大点 , 是极大值
2 1
为极小点 ,
注意:
是极小值
o
1 2
x
y
1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.
例2. 确定函数
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
的单调区间.
( x) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2) 解: f
x
f (x) f (x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)


2 0 1
( 2 , )
y
2
2 的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 1
则 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 , y f ( x ) 在 [a , b] 上单调增加 .
如果在 (a , b) 内 f ( x ) 0 , f ( ) 0 ,
则 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 , y f ( x ) 在 [a , b] 上单调减少 .
(2) 类似可证 .
例2. 求函数 解: 1) 求导数
的极值 .
f ( x) 6 x ( x 2 1) 2 ,
f ( x) 6 ( x 2 1)(5 x 2 1)
2) 求驻点 令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别
例4
求函数 y 2 x 3 3 x 2 12 x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x ) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x ) 0, 得
计算 f ( 3) 23;
x1 2, x2 1.
f ( 2) 34; f (4) 142;
x 0 x 0

1 x

如果n 2.
lim x n 2 nx sin 1 cos x
x 0
1 x
0
f (0) 0 如果n 1.
因此,当n 2时, f ( x ) 连续.
第四章 第四节 函数的单调性与 极值
一、函数单调性的判定法 二、函数的极值及其求法 三、最大值与最小值问题
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4
x5 b
x
定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内连续 , 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时, (1) f (x) “左正右负” ,则 f ( x) 在 x0 取极大值 .
(2) f (x) “左负右正” ,则 f ( x) 在 x0 取极小值 ;
(自证)
y

y


o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
(2) 找出驻点及导数不存在 ; 的点
( 3) 检查 f ( x ) 在驻点及导数不存在的 点左右的 正负号 判断极值点 , ; (4) 求极值.
lim x
x 0
n 1
sin 1 0 如果n 1. x
1 x
nx n1 sin 1 x n 2 cos x 当 n 1 时 , f ( x ) 0
x0 x0
lim f ( x ) lim nx n1 sin 1 x n 2 cos x
例1. 求函数
解: 1) 求导数 f ( x) x 2) 求极值可疑点 3) 列表判别
2 3
的极值 .
1 ( x 1) 2 x 3 3
2 x 5 5 3 3 x
2 令 f ( x) 0 , 得 x1 5 ;
令 f ( x) , 得 x2 0
2 5 2 ( 5 , )
n(1 x) n 1[1 (n 1) x]
x n1 1
n
令 f ( x) 0 ,
易判别 x 通过此点时 f ( x)由增变减 , 故所求最大值为 n n 1 1 ) M ( n) f ( ) ( n 1 n 1 1 n 1 1 lim M (n) lim (1 ) e n n n 1
f ( x ) 0 的点都是孤立点 , 所以 f ( x ) 在 ( , ) 单调增加 .
例 1 . 讨论函数 y e x x 1 的单调性 .
解 . 函数的定义域: D (,)
y e x 1 .
在 ( , 0) 内 , y 0 , 在 ( , 0]内 , 函数单调减少 . 在 (0 , ) 内 , y 0 , 在 [0 , ) 内 , 函数单调增加 . 注意 1) . 函数的单调性是一个区间上的性质 , 用导数在这 一区间上的符号来判定 , 而不能由一点的导数来 判定函数的单调性 . 2) . 函数的定义域往往被分割成几个不同的单调区间 . 导数为0 的点( 称为驻点)和不可导的点 , 可能是单 调区间的分界点 .
一、 函数单调性的判定法
对于区间I上任意两点 x1 x2 , 恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) , 则称 f ( x ) 在区间 I 上是单调增加的 . 对于区间I上任意两点 x1 x2 , 恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) , 则称 f ( x ) 在区间 I 上是单调减少的 .
因 f (0) 6 0 , 故 为极小值 ;
y
又 f (1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
1
1
x
定理3 (判别法的推广)
数,且 则: 1) 当 n为偶数时,
f
为极值点 , 且
是极小点 ; 是极大点 .
( n)
(
f (1) 7;
比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
例5 设 f ( x) n x (1 x) n , n N ， 试求 f (x) 在[0 ,1] 上的
最大值 M (n) 及 lim M (n).
解:
f (x) n (1 x) n n x n (1 x) n 1
的单调减区间为 (1 , 2).
o
1 2
x
例3 . 确定函数 f ( x ) x 的单调区间.
3 2
解.
D ( , ) . f ( x ) 32 , 3 x
( x 0)
y 3 x2
当 x 0 时 , 导数不存在 . 在 ( , 0) 内， ( x ) 0 , f ( x ) 在 ( , 0 ] 上单调减少 ； f 在 ( 0 , ) 内， ( x ) 0 , f ( x ) 在 [ 0 , ) 上单调增加 . f 单调区间为: ( , 0 ] , [ 0 , ) .