数学周报2013高考第一轮复习考点追踪下理科数学答案
2013年高考理科数学全国卷1-答案
故选A．故选A．综上可知：[,0]2a ∈-．（步骤4）【提示】由1n n a a +=可知n n n A B C △的边n n B C 为定值1a ，由111112(2)2n n n n b c a b c a +++=+--及1112b c a +=得12n n b c a +=，则在n n n A B C △中边长1n n B C a =为定值，另两边n n n n A C A B 、的长度之和12n n b c a +=为定值，由此可知顶点n A 在以n n B C 、为焦点的椭圆上，根据111()2n n n n b c b c ++=---，得1111()2n n n b c b c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，可知n →+∞时n n b c →，据此可判断n n n A B C △的边n n B C 的高n h 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．51111得1AB AC ⊥； （Ⅱ）易证OA ，1OA ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OA u u u r的方向为x 轴的正向，||OA u u u r 为单位长，建立r u u u r【提示】（Ⅰ）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得1212()()|+|+++4PM PN R r r R r r ==-=||，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点,()P x y ，由于||2222PM PN R ≤|-|=-，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为所以可设l ：4)+(y k x =，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出． 【考点】圆的标准方程及其性质，椭圆的的定义及其几何性质，直线与双曲线的位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）4a =2b = 2c = 2d =（Ⅱ）2[1,]e【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2f =，(0)2g =，(0)4f '=，(0)4g '=．（步骤1）而+()2f x x a ='，((+))+xg x e cx d c '=，故2b =，2d =，4a =，+4d c =.（步骤2）从而4a =，2b =，2c =，2d =．（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()+4+2f x x x =，()21)+(x g x e x =．设函数2()()()2()+142x F x kg x f x ke x x x =-=---，则()2+()2242+1(2())x x F x ke x x x ke '=--=-．由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥（步骤4）令()0F x '=得1ln x k =-，22x -=．（步骤5）①若21k e ≤<，则120x <≤-．从而当12(),x x ∈-时，()0F x '<；当1(),+x x ∈∞时，()0F x '>．即()F x 在1()2,x -单调递减，在1(),+x ∞单调递增．故()F x 在[)2,+-∞的最小值为1()F x ．（步骤6）而1111211()2+24+0)22(F x x x x x x =--=-≥-．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤7）②若2k e =，则2222+()()()2x F e x e e x -'=-．从而当2x >-时，)0(F x '>，即F (x )在()2,+-∞单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤8）③若2k e >，则22222+220()()F ke e k e ---=-=-<-．从而当2x ≥-时，()()f kg x x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1,]e ．（步骤9）【提示】（Ⅰ）对()f x ，()g x 进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，从而解出a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x ，()g x 的解析式，再求出()F x 及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出()F x 的【提示】（Ⅰ）对于曲线1C 利用三角函数的平方关系式22sin cos 1t t +=即可得到圆1C 的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到1C 的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线2C 的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标3⎝⎦21||23|2|x x y x +-=---，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．。
2013高考数学一轮复习试题 5.3答案
用心 爱心 专心12013高考数学一轮复习试题 5.3答案 一、选择题 D ．－781.解析： a ·(b ·c )＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．答案： A2.解析： 设P 点坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)， BP →＝(x －4，－1)．AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴点P 坐标为(3,0)，故选C.答案： C3.解析： 对于A ，(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝0，则(a ＋b )⊥(a －b )，A 正确；对于B ， cos 〈a ，b 〉＝ab|a ||b |＝cos(α－β)，a 与b 的夹角等于α－β或β－α，则B 错误；对于C ，|a ＋b |＋|a －b |＝2＋2cos α－β＋2－2cos α－β， ∵－1＜cos(α－β)＜1，∴|a ＋b |＋|a －b |＞2，则C 正确； 对于D ，a 在a ＋b 方向上的投影为|a |·cos〈a ，a ＋b 〉，b 在a ＋b 方向上的投影为 |b |·cos〈b ，a ＋b 〉，∵cos 〈a ，a ＋b 〉＝cos 〈b ，a ＋b 〉，则D 正确．故选B.答案： B4.解析： 由已知得|m |＝34，|n |＝5，m ·n ＝11， ∵(λm ＋n )⊥(2n ＋m )，∴(λm ＋n )·(2n ＋m )＝λm 2＋(2λ＋1)m ·n ＋2n 2＝0，即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－38.答案： C5.解析： ∵|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－23，∴cos θ＝－232×2＝－32.又θ∈[0，π]，∴sin θ＝12.∴|a ×b |＝2×2×12＝2.故选B.答案： B6.解析： 在△ABC 中，AB →－AC →＝CB →，①错误； 若AB →·BC →＞0，则∠B 是钝角，△ABC 是钝角三角形，④错误． 答案： C 二、填空题7.解析： ∵a ∥b ，∴x ＝4，∴b ＝(4，－2)， ∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，∴y ＝－4，故向量MN →＝(－8,8)，|MN →|＝8 2.答案： 8 28.解析： 由AB →＋BC →＋CA →＝0可得(AB →＋BC →＋CA →)2＝0，∴9＋16＋25＋2(AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →)＝0， AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.答案： －259.解析： 命题①明显错误．由两向量平行的充要条件得1×6＋2k ＝0，k ＝－3，故命 10.题②正确．由|a |＝|b |＝|a －b |，再结合平行四边形法则可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题③错 误．答案： ②三、解答题10.解析： (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)， ∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b ·c ＝2×6－2×6＝0， ∴(b ·c )a ＝0a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.∴λ的值为52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.∴|a |cos θ＝a ·b|b |＝1×2＋2×－222＋－22＝－222＝－22. 11.解析： (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4， 所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.12.解析： (1)∵m ·n ＝1，即3sin x 4cos x4＋cos 2x4＝1，即32sin x 2＋12cos x 2＋12＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B －cos B sin C ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，∴cos B ＝12，B ＝π3，∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
2013年状元360一轮复习理科数学14 (6)
考点一 平行射影 示范1 求证：三角形的中位线平行射影具有不变性．
分析 先写成已知、求证的命题形式．
解析 已知：△ABC，DE是其中位线，它们的平行射影分 别是△A′B′C′和D′E′，如图． 求证：D′E′仍然是△A′B′C′的中位线． 证明：连结AA′、EE′、CC′， 则AA′∥EE′∥CC′. ∵AE＝EC， ∴A′E′＝E′C′. 同理，A′D′＝D′B′. ∴D′E′是△A′B′C′的中位线．
方法点拨：从平面与圆柱面的位置关系定量的判断平面与 圆柱面的截线的形状直线、圆、椭圆.
考点三 平面与圆锥面的截线 示范3 用一个平面去截一个正圆锥(两边可以无限延伸)且 这个平面不通过圆锥的顶点，当平面与一条母线平行时，平面 与正圆锥的交线是一条________；当平面不与母线平行时，若 平面只与圆锥的一半相交，交线是________；若平面与圆锥的 两部分都相交，交线是________．
方法点拨：从平面与圆锥面的旋转轴的夹角及母线与旋转 轴的夹角的大小关系，判断截线的形状.
本课的考点有平行射影、平面截圆柱面的截线、平面截圆 锥面的截线．
1．一个正方形利用平行投影后得到的图形是( A．正方形 B．正方形或矩形 C．正方形或矩形或线段 D．以上都不对
)
2013年全国高考理科数学试题及答案详解
绝密*启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯= （8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A-(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2013年状元360一轮复习课件理科数学13.2
解析 法一
∵(a－1)2≥0， (b－1)2≥0， (c－1)2≥0， ∴(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0， 整理有 a2＋b2＋c2≥2(a＋b＋c)－3. 法二 ∵a2＋1≥2a， b2＋1≥2b， c2＋1≥2c， ∴a2＋b2＋c2＋3≥2(a＋b＋c)， 即 a2＋b2＋c2≥2(a＋b＋c)－3.
∴a2＋c2＝b2＋ac.
∴
c a＋b
＋
a b＋c
＝
bc＋c2＋a2＋ab a＋bb＋c
＝
bc＋b2＋ac＋ab a＋bb＋c
＝
ba＋ ＋cbab＋＋bc＝1.
方法点拨：利用综合法证明数学命题，就是从已知条件、 定理等出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论，这是常 见的证明方法.
⇒xxxx0000－ ＋－ ＋2121＜ ＋01， ＞0
－1＜x0＜2， ⇒x0＞12或x0＜－1
⇒12＜x0＜2与假设x0＜0矛盾． ∴方程f(x)＝0没有负数根．
【点评】当从正面证明较难时，可用反证法，经逻辑推理导 出矛盾，从而肯定原结论是正确的．
展示3 若 x，y 都是正实数且 x＋y>2， 求证：1＋y x<2 与1＋x y<2 中至少有一个成立．
＋4 a2＋a12≥a2＋a12＋2＋2 2a＋1a＋2，
即证 2 a2＋a12≥ 2a＋1a， 需证 4a2＋a12≥2a2＋a12＋2， 即证 a2＋a12≥2，而 a2＋a12≥2， 显然成立，且以上每步都可逆． ∴原不等式成立．
等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，
这种证明方法叫综合法．
2013高考数学(理科)复习冲剌参考题参考答案
点 P,Q 的抛物线的切线方程分别为 y = 4 x − 8, y = −2 x − 2, 联立方程组解得 x = 1, y = −4, 故 点 A 的纵坐标为 −4.
3π )． 4 37. ρ = 4sin θ
36. ( 2, 38. 99
°
39. 15 解析：由 相 交 弦 定 理 可得 TD = 9 . 设 PB = x ，由 切 割线 定 理 可得 PT 2 = PB ⋅ PA 即
解析：设设备甲租 x 天，设备乙租 y 天，则有
x ≥ 0 y ≥ 0 作出可行域，可知，过 两 直线 10 x + 20 y ≥ 140 5 x + 6 y ≥ 50 10 x + 20 y = 140 ， 5 x + 6 y ≥ 50 交点 (4,5) 时， 租
赁费 z = 200 x + 300 y 最少，其值为 z = 200 x + 300 y = 200 × 4 + 300 × 5 = 2300 34.
作出可行域 ，可知，当直线 z = 400 x + 300 y 过点
(4, 2) 时， zmin = 2200 ，故选 B
1４.C 解析：
x − y + 1 ≤ 0， y 表示的平面区域如图所示， 表示坐标原点与区域上 x x > 0， y ∈ (1，+ ∞ ) x
一点 P ( x, y ) 所在直线斜率，可得 15.C
x + y − 3 = 0 的交点时，函数 y = 2 x 的图像仅有一个点 P
在可行域内，由
y = 2x 得 P (1,2) ，所以 m ≤ 1 .故选 B. x + y − 3 = 0
2013年全国高考数学(理科)试题及答案-新课标1卷(解析版)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I 卷)数学(理科)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（1）已知集合{}022>-=x x x A ，{}55B <<-=x x ，则 （A ）A B =ΦI （B ）A B =R U （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆（2）若复数z 满足()i 34i 43+=-z（A ）4- （B ）54- （C ）4 （D ）54 （3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（A ）简单的随机抽样 （B ）按性别分层抽样（C ）按学段分层抽样 （D ）系统抽样（4）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为 （A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±= （5）执行右面的程序框图，如果输入的[]31t ，-∈，则输出的s 属于（A ）[]43，- （B ）[]25，- （C ）[]34，- （D ）[]52，-（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为（A ）3cm 3500π （B ）3cm 3866π （C ）3cm 31372π （D ）3cm 32048π（7）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）8π16+（B ）8π8+（C ）π6116+（D ）16π8+（9）设m 为正整数，()m y x 2+展开式的二项式系数的最大值为a ，()12++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b ，若b a 713=，则m ＝（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点。
【全本】步步高大一轮复习讲义数学理科A版【答案解析】2013版
步步高·大一轮复习讲义答案（校正版·贰）§1.1 集合的概念及其基本运算要点梳理1.(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于 不属于 ∈ ∉ (3)列举法 描述法 图示法 区间法 (5)有限集 无限集 空集2.(1)A B B A ⊆ ⊆ ⊆ 2n 2n －1 2n －23.(1){x |x ∈A ，且x ∈B } {x |x ∈U ，且x ∉A } 基础自测 1.{2,4} 2.{x |0<x <1} 3.(2,3)4.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，－12 5.B题型分类·深度剖析例1 解 (1)当a ＋2＝1，即a ＝－1时，(a ＋1)2＝0，a 2＋3a ＋3＝1与a ＋2相同，∴不符合题意.当(a ＋1)2＝1，即a ＝0或a ＝－2时，①a ＝0符合要求. ②a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝1与(a ＋1)2相同，不符合题意. 当a 2＋3a ＋3＝1，即a ＝－2或a ＝－1.①当a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝(a ＋1)2＝1，不符合题意. ②当a ＝－1时，a 2＋3a ＋3＝a ＋2＝1，不符合题意. 综上所述，a ＝0，∴2 013a ＝1.(2) ∵当x ＝0时，x ＝x 2－x ＝x 3－3x ＝0，∴它不一定能表示一个有三个元素的集合.要使它表示一个有三个元素的集合，则应有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠x 2－x ，x 2－x ≠x 3－3x ，x ≠x 3－3x .∴x ≠0且x ≠2且x ≠－1且x ≠－2时，{x ，x 2－x ，x 3－3x }能表示一个有三个元素的集合. 变式训练 1 0或98例2 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论：①若a ＝0，则A ＝R ；②若a <0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |4a ≤x <－1a ；③若a >0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a <x ≤4a .(1)当a ＝0时，若A ⊆B ，此种情况不存在.当a <0时，若A ⊆B ，如图：，则⎩⎨⎧4a >－12－1a ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0或a <－8a >0或a ≤－12，又a <0，∴a <－8.当a >0时，若A ⊆B ，如图：，则⎩⎨⎧－1a ≥－124a ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a <0a ≥2或a <0.又∵a >0，∴a ≥2.综上知，当A ⊆B 时，a <－8或a ≥2. (2)当a ＝0时，显然B ⊆A ；当a <0时，若B ⊆A ，如图：，则⎩⎨⎧4a ≤－12－1a >2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－8≤a <0－12<a <0.又∵a <0，∴－12<a <0.当a >0时，若B ⊆A ，如图：，则⎩⎨⎧－1a ≤－124a ≥2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤20<a ≤2.又∵a >0，∴0<a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(3)当且仅当A 、B 两个集合互相包含时，A ＝B ，由(1)、(2)知，a ＝2.变式训练 2 4 例3 1或2变式训练3 解 (1)∵A ＝{x |12≤x ≤3}，当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}.(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－14.例4 A变式训练 4 6 {0,1,2,3} 课时规范训练 A 组1.C2.C3.A4.－1或25.{(0,1)，(－1,2)}6.187.解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}.(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3. 8.解 ∵M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，N ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R }＝{y |－3≤y ≤3}，∴M －N ＝{y |y >3}，N －M ＝{y |－3≤y <0}，∴M *N ＝(M －N )∪(N －M )＝{y |y >3}∪{y |－3≤y <0}＝{y |y >3或－3≤y <0}. B 组1.C2.B3.A4.A5.a ≤06.－37.(－∞，－3)8.解 由x －5x ＋1≤0，∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}.(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}. (2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件要点梳理1.判断真假 判断为真 判断为假2.(1)若q ，则p 若綈p ，则綈q 若綈q ，则綈p ，(2)逆命题 否命题 逆否命题 (3)①相同 ②没有3.(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件基础自测 1.3 2.②③ 3.充分不必要 4.C 5.D题型分类·深度剖析 例1 ②④ 变式训练1 ①③例2 解 (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，∵A 与B 不可能互补(∵三角形三个内角和为180°)，∴只有A ＝B .故p 是q 的充要条件.(2)易知，綈p ：x ＋y ＝8，綈q ：x ＝2且y ＝6，显然綈q ⇒綈p ，但綈p 綈q ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件.(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，∴p 是q 的必要不充分条件.(4)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，∴p ⇒q 但q p ，故p 是q 的充分不必要条件. 变式训练2 ①④例3 证明 充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，其根为x ＝－12，方程有一个负根，符合题意.当a <0时，Δ＝4－4a >0，方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的实根，且1a <0，方程有一正一负根，符合题意.当0<a ≤1时，Δ＝4－4a ≥0，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根，且⎩⎨⎧－2a<01a >0，故方程有两个负根，符合题意.综上知：当a ≤1时，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根. 必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根. 当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0符合题意.当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0应有一正一负根或两个负根.则1a<0或⎩⎨⎧Δ＝4－4a ≥0－2a <01a>0，解得a <0或0<a ≤1.综上知：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一负根，则a ≤1.故关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1.变式训练3 证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p ＋q ＝p －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立，于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p (n ∈N *)即数列{a n }为等比数列.必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1). ∵p ≠0，p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，又S 2＝a 1＋a 2＝p 2＋q ，∴a 2＝p 2－p ＝p (p －1)，∴p (p －1)p ＋q ＝p ，即p －1＝p ＋q .∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件.课时规范训练 A 组1.D2.B3.A4.充分不必要5.①③④6.[3,8)7.解 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5，∴綈p ：x <1或x >5，q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5.∴2≤m ≤4.8.解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}，B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0} ＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈pD ⇒/綈q ，则{x |綈q x |綈p }，而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，{x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}， ∴{x |－4≤x <－x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，则⎩⎨⎧ 3a ≥－2，a <0或⎩⎨⎧a ≤－4，a <0.综上，可得－23≤a <0或a ≤－4.B 组1.A2.C3.B4.⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞) 5.[1,2) 6.①③②④ 7.3或48.解 (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x －52<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －94x －12<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94， ∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94，∴(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}.①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}.∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎨⎧a ≤23a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，∴－12≤a <13.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词要点梳理1．(1)或 且 非 (2)真 假 假 真 假 假 真 真 假 真 假 真 真 2．(3)∀ ∃ (4)①含有全称量词 ②含有存在量词 基础自测1．所有的三角形都不是等边三角形 2．[－4,0] 3．①② 4．A 5．C 题型分类·深度剖析 例1 q 1，q 4变式训练1 解 (1)p ∨q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题．p ∧q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题． 綈p ：1不是素数．真命题．(2)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p ∧q ：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题． 綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题． p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题． 綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号不相同．真命题．例2 解 (1)綈p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题．(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假 命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题． 变式训练2 解 (1)綈p ：∃x >0，使x 2－x >0，为真命题．(2)綈q ：∀x ∈R,2x ＋x 2>1，为假命题． 例3 解 ①若p 正确，则由0<⎝⎛⎭⎫12|x －1|≤1，得a >1.②若q 正确，则ax 2＋(a －2)x ＋98>0解集为R .当a ＝0时，－2x ＋98>0不合题意，舍去；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0(a －2)2－4a ×98<0，解得12<a <8. ③∵p 和q 中有且仅有一个正确，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ≤12或a ≥8或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤112<a <8，∴a ≥8或12<a ≤1.变式训练3 解 ∵函数y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a >1，不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，∴a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4，∴q ：0<a <4.∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，∴p 、q 中必有一真一假．①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a ≥4，得a ≥4；②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤10<a <4，得0<a ≤1. 故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．课时规范训练 A 组1．C 2．A 3．C 4．－22≤a ≤22 5．a >1 6．綈p 、綈q7.解 由命题p 为真知，0<c <1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1. 综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.8.解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，∴函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，∴3－2a >1，∴a <1. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，，∴1≤a <2；(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <1，，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2，或a ≤－2. B 组1．C 2．D 3．D 4.⎣⎡⎦⎤0，12 5．(－∞，1] 6．(－∞，－2]∪[－1,3) 7．①③ 8．解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2，∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2，∵命题“p 或q ”为假命题，∴a >2或a <－2. 即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．§2.1 函数及其表示要点梳理1.(1)数集 任意 唯一确定 y ＝f (x )，x ∈A (2)定义域 值域 (3)定义域 值域 对应关系 (4)定义域 对应关系2.解析法 图象法 列表法3.都有唯一 一个映射4.函数 非空数集 基础自测1.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，522.①②3.－1 104.23或－1题型分类·深度剖析 例1 (2)(3)变式训练1 解 (1)y ＝1的定义域为R ，y ＝x 0的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，∴它们不是同一函数.(2)y ＝x －2·x ＋2的定义域为{x |x ≥2}，y ＝x 2－4的定义域为{x |x ≥2或x ≤－2}，∴它们不是同一函数.(3)y ＝x ，y ＝3t 3＝t ，它们的定义域和对应关系都相同，∴它们是同一函数. (4)y ＝|x |的定义域为R ，y ＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，∴它们不是同一函数.例2 (2) 变式训练2 (1)D (2)A 例3 C 变式训练3 B 例4 0 变式训练4 D 课时规范训练 A 组1.D2.D3.A4.65.16.－347.解 当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝030k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝115b 1＝0，∴y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝260k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110b 2＝－2，∴y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ， x ∈[0，30]2， x ∈(30，40)110x －2， x ∈[40，60].8.解 当f (x )≤0时，由x 2＋2x －3≤0，可得－3≤x ≤1，此时，g (x )＝0；当f (x )>0时，由x 2＋2x －3>0可得x <－3或x >1，此时g (x )＝f (x )＝(x ＋1)2－4.∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (－3≤x ≤1)(x ＋1)2－4 (x <－3或x >1)，其图象如图所示：B 组1.C2.D3.D4.②④5.(1)a (a 为正整数) (2)166.－27.[－4,2]8.解 (1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎡⎦⎤74＝1，g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34，∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛⎭⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1，∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4.∴716≤x <12.§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式要点梳理1.(1)使函数有意义的自变量的取值范围 (3)③R ④R ⑤⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z⑥{x |x ∈R 且x ≠0}2.(1)函数值 函数值的集合 (2)①R ②⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ③{y |y ∈R 且y ≠0} ④(0，＋∞) ⑤R ⑥[－1,1] ⑦R 基础自测1.[－1,2)∪(2，＋∞)2.{x |－3<x <2}3.(0，＋∞)4.x 2＋1x 2－1(x ≠0)题型分类·深度剖析 例1 (1)⎝⎛⎭⎫－13，1 (2)(－1,1) 变式训练1 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤0，34 例2 解 ∵f (2x )的定义域是[－1,1]，∴12≤2x ≤2，即y ＝f (x )的定义域是⎣⎡⎦⎤12，2，由12≤log 2x ≤2⇒2≤x ≤4.∴f (log 2x )的定义域是[2，4].变式训练2 解 ∵f (x )的定义域为[0,4]，(1)有0≤x 2≤4，∴－2≤x ≤2，故f (x 2)的定义域为[－2,2]；(2)有⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，∴1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3].例3 解 (1)(配方法) y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15].(2)(分离常数法) y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1，∵4x ＋1≠0，∴1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}. (3)方法一 (换元法) 令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，∴y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.方法二 (单调性法) 容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，∴y ≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12. (4)(基本不等式法) 函数定义域为{x |x ∈R ，x >0，且x ≠1}，当x >1时，log 3x >0， 于是y ＝log 3x ＋1log 3x－1≥2log 3x ·1log 3x－1＝1；当0<x <1时，log 3x <0，于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－log 3x －1 ≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞).变式训练3 解 (1)方法一 (配方法) ∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1，∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. 方法二 (判别式法) 由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R ，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0.∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1，又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0，解得－13≤y ≤1.综上得－13≤y <1，∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (2)方法一 (换元法)：设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24，于是f (x )＝g (t )＝2·13－t 24－1－t ＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数，∴g (t )≤g (0)＝112，因此原函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 方法二 (单调性法)：函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134，当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小，∴2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是一个单调递增函数，∴当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝⎛⎭⎫134＝112，故原函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 例4 解 (1)令x ＋1x ＝t ，则t 2＝x 2＋1x 2＋2≥4，∴t ≥2或t ≤－2且x 2＋1x2＝t 2－2，∴f (t )＝t 2－2，即f (x )＝x 2－2 (x ≥2或x ≤－2).(2)令2x ＋1＝t ，由于x >0，∴t >1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1 (x >1).(3)设f (x )＝kx ＋b ，∴3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3[k (x ＋1)＋b ]－2[k (x －1)＋b ]＝kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17.∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝25k ＋b ＝17，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7. (4)∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，∴2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x .∴f (x )＝2x －1x(x ≠0). 变式训练4 解 (1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1 (x ≥1).(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，又f (0)＝c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝44a ＋2b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋3. 课时规范训练 A 组1.C2.B3.C4.C5.(－∞，3]6.⎣⎡⎦⎤2，103 7.[－2,7] 8.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx ，又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝12，∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝⎛⎭⎫x 2－322－18， 当x 2＝32时，y 取最小值－18，∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为⎣⎡⎭⎫－18，＋∞. B 组1.B2.C3.A4.(－1，－910)∪(－910，2] 5.22 6.2837.解 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12.∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间.∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.∴a 、b 的值分别为32、3.8.解 (1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，∴2a 2－a －3＝0，∴a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝8(2a 2－a －3)≤0.∴－1≤a ≤32.∴a ＋3>0，∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174 ⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减，∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4.§2.3 函数的单调性与最值要点梳理1.(1)f (x 1)<f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 上升的 下降的 (2)增函数 减函数 区间D2.(1)f (x )≤M (2)f (x 0)＝M (3)f (x )≥M (4)f (x 0)＝M 基础自测 1.[1,4] 8 2.43，1 3.(－3,0) 4.A 5.C题型分类·深度剖析例1 (1)解 由2f (1)＝f (－1)，可得22－2a ＝2＋a ，得a ＝23. (2)证明 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1－ax 1－x 22＋1＋ax 2＝x 21＋1－x 22＋1－a (x 1－x 2)＝x 21－x 22x 21＋1＋x 22＋1－a (x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a . ∵0≤x 1<x 21＋1，0<x 2<x 22＋1，∴0<x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1<1.又∵a ≥1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递减.(3)解 任取1≤x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a ， ∵f (x )单调递增，∴f (x 1)－f (x 2)<0，又x 1－x 2<0，那么必须x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a >0恒成立.∵1≤x 1<x 2⇒2x 21≥x 21＋1,2x 22>x 22＋1，∴2x 1≥x 21＋1，2x 2>x 22＋1.相加得2(x 1＋x 2)>x 21＋1＋x 22＋1⇒x 1＋x 2x 21＋1x 22＋1>22，∴0<a ≤22. 变式训练1 (1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增. (2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.例2 解 令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝12log u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数.令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2，∴函数y ＝212log (32)x x -+的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞).又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上.∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数. 而y ＝12log u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝212log (32)x x -+的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1).变式训练2 解 令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数.由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数，∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞).例3 (1)证明 方法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0，再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )，在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2).又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，因此f (x )在R 上是减函数. 方法二 设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2). 又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数. (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3).而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2，∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式训练3 解 (1)∵当x >0，y >0时，f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，∴令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0.(2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1，∵x 2>x 1>0.∴x 2x 1>1，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数. (3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数.∴f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)，∵f (4)＝2，由f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )， 知f ⎝⎛⎭⎫164＝f (16)－f (4)，∴f (16)＝2f (4)＝4，∴f (x )在[1,16]上的值域为[2,4]. 课时规范训练 A 组1.B2.D3.A4.[3，＋∞)5.①③6.(1，＋∞)7.(1)证明 设x 2>x 1>0，设x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x 2－⎝⎛⎭⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的.(2)解 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，又f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2.∴易得a ＝25. 8.解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 21－1<0，x 22－1<0.－1<x 1x 2<1，∴x 1x 2＋1>0，∴(x 2－x 1)(x 2x 1＋1)(x 21－1)(x 22－1)>0. 因此，当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时函数在(－1,1)上为减函数；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时函数在(－1,1)上为增函数.B 组1.B2.B3.C4.(－∞，0)∪(1,3]5.a >0且b ≤06.[1，＋∞)7.①③④8.解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )在[－1,1]上单调递增.(2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增.∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立，下面来求m 的取值范围. 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立.②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1，1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0， ∴m ≤－2，或m ≥2，∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.§2.4 函数的奇偶性与周期性要点梳理1．f (－x )＝f (x ) f (－x )＝－f (x ) 2．(1)相同 相反 (2)①奇函数 ②偶函数 ③奇函数 3．(1)f (x ) (2)存在一个最小 基础自测1.132.②③3.－9 4．(－1,0)∪(1，＋∞) 5.C 题型分类·深度剖析例1 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0x 2－9≥0，得x ＝±3，∴f (x )的定义域为{－3,3}．又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数，又是偶函数． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＋x ≥01＋x ≠0，得－1<x ≤1.∵f (x )的定义域(－1,1]不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0，∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．∴f (x )＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x，∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )是奇函数． 变式训练1 解 (1)由1－x1＋x>0⇒－1<x <1，定义域关于原点对称．又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，故原函数是奇函数． (2)由2＋x2－x ≥0且2－x ≠0⇒－2≤x <2，定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数．(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x 2－2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f (x )＝lg (1－x 2)－(x 2－2)－2＝－lg (1－x 2)x 2.∵f (－x )＝－lg[1－(－x )2](－x )2＝－lg (1－x 2)x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 例2 解 (1)令x ＝y ＝0⇒f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝0⇒f (－x )＝－f (x )⇒f (x )在(－1,1)上是奇函数．(2)设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2，而x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1⇒x 1－x 21－x 1x 2<0⇒f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2>0，即当0<x 1<x 2<1时，f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0,1)上单调递减．(3)由于f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫15＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－15＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－151－12×5＝f ⎝⎛⎭⎫13，同理，f ⎝⎛⎭⎫13－f ⎝⎛⎭⎫111＝f ⎝⎛⎭⎫14，f ⎝⎛⎭⎫14－f ⎝⎛⎭⎫119＝f ⎝⎛⎭⎫15，∴f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫111－f ⎝⎛⎭⎫119＝2f ⎝⎛⎭⎫15＝2×12＝1. 变式训练2 解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，且由f (1)＝0得f (－1)＝0.若f [x (x －12)]<0＝f (1)，则⎩⎨⎧x (x －12)>0x (x －12)<1即0<x (x －12)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.若f [x (x －12)]<0＝f (－1)，则⎩⎨⎧x (x －12)<0x (x －12)<－1，由x (x －12)<－1，解得x ∈∅.∴原不等式的解集是{x |12<x <1＋174或1－174<x <0}．例3 (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＝0，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＝0. 变式训练3 2.5 课时规范训练 A 组1.B2.A3.B4.A5.－16.－1 7．－38.解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x ) ，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x ，任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21＋1x 1)－⎝⎛⎭⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，∴f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数． B 组1.A2.C3.B4.(1)(2)(3) 5．0 6.②③⑤7.(1)证明 由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )． 从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0. x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x ，故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.8.解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．§2.5 二次函数要点梳理 1．(2)①ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ②a (x －m )2＋n (a ≠0) ③a (x －x 1)(x －x 2) (a ≠0) 基础自测 1．2 2.[1,2] 3.6 4.(－∞，－2] 5.B 题型分类·深度剖析例1 解 方法一 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意有⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，，∴所求二次函数为y ＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 设f (x )＝a (x －m )2＋n ，a ≠0，∵f (2)＝f (－1)，，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值为n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解之，得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三 依题意知：f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0. 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a＝8，解之，得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.变式训练1 解 (1)设顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的方程为y ＝a (x －3)2＋4，将(2,2)代入可得a ＝－2，∴y＝－2(x －3)2＋4，即x >2时，f (x )＝－2x 2＋12x －14.当x <－2时，即－x >2，又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝－2×(－x )2－12x －14， 即f (x )＝－2x 2－12x －14.∴函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式为f (x )＝－2x 2－12x －14.(2)函数f (x )的图象如图：(3)由图象可知，函数f (x )的值域为(－∞，4]．例2 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．变式训练2 解 f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ，对称轴为x ＝a2，顶点为⎝⎛⎭⎫a 2，－4a . ①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在区间[0,1]上递增．∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5，∴a ＝±1<2(舍去)．②当0<a 2<1，即0<a <2时，y max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a ，令－4a ＝－5，∴a ＝54∈(0,2)． ③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在区间[0,1]上递减，此时f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2.令－4a －a 2＝－5，即a 2＋4a －5＝0，∴a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或a ＝－5.例3 解 (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． 变式训练3 解 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n ，∴f (－1＋x )＝(－1＋x )2＋m (－1＋x )＋n ＝x 2－2x ＋1＋mx ＋n －m ＝x 2＋(m －2)x ＋n －m ＋1， f (－1－x )＝(－1－x )2＋m (－1－x )＋n ＝x 2＋2x ＋1－mx －m ＋n ＝x 2＋(2－m )x ＋n －m ＋1. 又f (－1＋x )＝f (－1－x )，∴m －2＝2－m ，即m ＝2.又f (x )的图象过点(1,3)， ∴3＝12＋m ＋n ，即m ＋n ＝2，∴n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，又y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称，∴－g (x )＝(－x )2＋2×(－x )，∴g (x )＝－x 2＋2x . (2)∵F (x )＝g (x )－λf (x )＝－(1＋λ)x 2＋(2－2λ)x ，当λ＋1≠0时，F (x )的对称轴为x ＝2－2λ2(1＋λ)＝1－λλ＋1，又∵F (x )在(－1,1]上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λ<01－λ1＋λ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ>01－λ1＋λ≥1，∴λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F (x )＝4x 显然在(－1,1]上是增函数． 综上所述，λ的取值范围为(－∞，0]．课时规范训练 A 组1.D2.A3.B4.y ＝12(x －2)2－1 5．0≤m ≤14 6．0或－17.解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2，当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝1＋3a ＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a －a 2＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1； 当0<a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a －a 2＝－2，f (－1)＝1＋3a ＝2⇒a 不存在；当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1＋3a ＝2，f (1)＝1－a ＝－2⇒a 不存在．综上可得a ＝－1.8.解 (1)∵f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 而二次函数f (x )的对称轴为x ＝－b2a ，∴－b2a＝1.① 又f (x )＝x 有等根，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，∴Δ＝(b －1)2＝0.②由①②得b ＝1，a ＝－12.∴f (x )＝－12x 2＋x .(2)∵f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，如果存在满足要求的m ，n ，则必需3n ≤12，∴n ≤16.从而m <n ≤16<1，而x ≤1，f (x )单调递增，∴⎩⎨⎧f (m )＝－12m 2＋m ＝3m f (n )＝－12n 2＋n ＝3n ，可解得m ＝－4，n ＝0满足要求．∴存在m ＝－4，n ＝0满足要求． B 组1.D2.B3.C4.⎝⎛⎭⎫2，525.0<a ≤146.⎣⎡⎦⎤1，31277.[1，＋∞)8.证明 (1)由于f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .∴f (x )＝1⇔(x ＋2t )(x －1)＝0，(*)∴x ＝1是方程(*)的根，即f (1)＝1，因此x ＝1是f (x )＝1的实根，即f (x )必有实根．(2)当12<t <34时，f (－1)＝3－4t >0，f (0)＝1－2t ＝2⎝⎛⎭⎫12－t <0. f ⎝⎛⎭⎫12＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t >0，又函数f (x )的图象连续不间断． 因此f (x )＝0在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12上各有一个实根．§2.6 指数与指数函数要点梳理1.(1)a 的n 次方根 根式 根指数 被开方数 (2)①n a ②n a － n a ± na ③a④a ⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a ＜0)2.(1)②1 ③1a p ④n a m ⑤1a m n 1na m ⑥0 没有意义 (2)①a r ＋s ②a rs ③a r b r3.(1)R (2)(0，＋∞) (3)(0,1) (4)y >1 0<y <1 (5)0<y <1 y >1 (6)增函数 (7)减函数 基础自测1.(1)x 23 (2)(a ＋b )34 (3)m 52 2.7 3.(－2，－1)∪(1，2) 4.3 5.B题型分类·深度剖析例1 解 (1)原式＝23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭＋121500-⎛⎫ ⎪⎝⎭－105－2＋1＝23827⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12500－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝5－2－1－(5－2)2＝(5－2)－1－(5－2)＝－1.(3)原式＝1122323311233b a b a b ab a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3111111226333a b +-++--＝ab －1. 变式训练1 解 (1)原式＝1323⎛⎫⎪⎝⎭×1＋()1342×142＋(132×123)6－1323⎛⎫⎪⎝⎭＝2＋4×27＝110. (2)令13a ＝m ，13b ＝n ，则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷⎝⎛⎭⎫1－2n m ·m ＝m (m 3－8n 3)m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n＝m 3(m －2n )(m 2＋2mn ＋4n 2)(m 2＋2mn ＋4n 2)(m －2n )＝m 3＝a . 例2 (1)D (2)0<a <1、b <0 (3)1 变式训练2 (1)A(2)解 函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴 上方得到的，函数图象如图所示.当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方 程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的 图象有唯一的交点，∴方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同交点，∴方程有两解. 例3 解 令t ＝a x (a >0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2 (t >0). ①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数. ∴f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，∴a ＝－15或a ＝13. 又∵a >0，∴a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数. ∴f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去). 综上得a ＝13或3.变式训练3 解 (1)当x <0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12，∵2x >0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0， ∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞).。
2013年状元360一轮复习理科数学8 (1)
(4)随机事件：在 S 条件下，______________________的事 可能发生也可能不发生 件，叫做相对于条件 S 的随机事件，简称随机事件； (5)互斥事件：若 A∩B 为不可能事件(A∩B＝∅)，那么称 事件 A 与事件 B 互斥 _______________________， 其含义是事件 A 与事件 B 在任何一 不会 次试验中______同时发生； (6)对立事件：若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件， 事件 A 与事件 B 互为对立事件 那么称______________________________，其含义是事件 A 与
有且仅有一个 事件 B 在任何一次试验中_____________发生．
2．概率与频率 (1)频数与频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某 一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 nA 频数 A 出现的______；称事件 A 出现的比例 fn(A)＝ n 为事件 A 出现 频率 的______；
(2)概率： 在大量重复试验后， 随着试验次数的增加， 事件 A
稳定 发生的频率如果逐渐______在区间[0,1]中的某个常数上， 这个常 概率 数便称为事件 A 的______，用 P(A)表示； 0 (3)性质：0≤P(A)≤1；P{不可能事件}＝___；P{必然事件} 1 P(A)＋P(B) 1 ＝____；若 A、B 对立，则 P(A∪B)＝__________＝___.
解析 (1)“取出的球是黄球”是不可能事件， 它的概率是 0. 4 (2)“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是9. (3)“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是 1.
【点评】弄清必然事件，不可能事件，随机事件的概率．
2013年状元360一轮复习理科数学14 (3)
2
θ，
(0≤θ＜π)程为 ＋y ＝1(－ 5＜x≤ 5，0≤y≤1)，曲线 4 消 5 y＝t 4 2 去参数后的普通方程为 y ＝ x，联立两个曲线的普通方程，得 x 5 2 2 ＝－5(舍)或 x＝1.所以 y＝ 5.故它们的交点坐标为1，5 5. 5
∴－ 2＋1≤x＋y≤ 2＋1. (2)若 x＋y＋c≥0 恒成立，则 c≥－(x＋y)＝－(cos θ＋sin θ π ＋1)对 θ∈R 恒成立，又－(cos θ＋sin θ)－1＝－ 2sinθ＋4－1， 最大值为 2－1，∴c≥ 2－1.
方法点拨： 在圆或椭圆条件下的有关最值范围，用参数 方程代入求解较简便.
解析 (1)C1 为圆，C2 为椭圆． 当 α＝0 时，射线 l 与 C1，C2 交点的直角坐标分别是(1,0)， (a,0)，因为这两点间的距离为 2，所以 a＝3. π 当 α＝ 时，射线 l 与 C1，C2 交点的直角坐标分别是(0,1)， 2 (0，b)，因为这两点重合，所以 b＝1.
x2 2 (2)C1，C2 的普通方程分别为 x ＋y ＝1， ＋y ＝1， 9 π 2 当 α＝ 时，射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标是 x＝ ，与 C2 4 2 3 10 交点 B1 的横坐标是 x′＝ ； 10 π 当 α＝－ 时，射线 l 与 C1、C2 的两个交点 A2、B2 的分别与 4 A1、B1 关于 x 轴对称，因此，四边形与 A2A2B2B2 为梯形． 2x′＋2xx′－x 3 故四边形与 A1A2B2B1 的面积为 ＝ . 2 5
答案 抛物线的一段、等轴双曲线
x＝cos (1)由 y＝cos
【点评】将参数方程化为普通方程，常用代入法或整体消 元法消去参数，过程还需要注意同解变形.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 1 1 KL 61 8 : 61 - 51 & 9
]Y !$" 2 !%" 5R./
0 !&" & 3
KL 11& - $6 : 6 9
1 KL - d - 5&1 - 1 $61 8 : 61 9
1 8
1 1
##" _\ 2 8f StuFvw-xy)9:z+{| 83 83 =- 1xy)%& 08 - 8 -8$8 - 8 1 0 0 123 2 =0f9 0 StuFv}-xy)0{| / =-1xy)%& 81 01 - 8 -1$1 - 8 1 0 0 / - (3 2 = f9 " '
8 1 1 1 1
~ 8 J +, )- : )8 ^ : +, m)\^67 : ),p)+ )\^KL : J&)+, Xm\)h&)+, )9 * '/)a>)d:)\, ;p<z\ ;p< ¡w¢W: - £8 W¤)W: -8 /)¥¢d:>¦- 1¦7)mH,W¤ mH §¨©)W: ª«¬¢ * !!" = £ =6 ®zg 781 =6 ®zgW: +/78KL =6 . =)KL¯ = )°±h²\ > ,L ? ,³-L 78 ,´\)µ¶\·H ?,78 ¸)¹P- "9 !# : ++8/8/ ¸£ +7.?7 //8 g 79 , +88%W: ?+7-KL +88%?7KL +88%+7-,7 /79 EFH ++8/8/ j +88%+7-7 /8 /87 8 /7-
"
'" '()*+, "-./)0, #% 2 1"31$ - %1 ! ./ - 0 !( 5 " 0 0 4567 $ - %" 1./)089:*+;<, % 16 )" =:&>?@-()%&AB-.CD;-EF %AG6 *" .(HI(-%&J % @*+,
0 0
31 . 68- 41 - 61- 8 4 8 3 : - & - " 1 ' " 1 '
Z[\ !%" º»- ,®zgwW:)a¢W:¼ 6½>R º»-, ¾ %¿J À ; %Á)ÂàÄPÅÆR º»-~Ç = % È ' ^@-½£ ÉÊËÃi)W:9
! #$%& ! '()*+
!!" ! !!!"#!$%&'(%)*
,-./ +,-../0.012330
@Y !" * (" " Z[\ &" !"#$%%& % % % !-%./ % 1 1 1 0 #" + )" , $" " *" * %" + !+" *
)/-KL 87 ,&+8)/ )\KL 87.)/9 , )/%++8-)/%+,-)/.)8/8KL +p* |-, | 87/W: +8)/-,/0W: +8)/- / 87 ^KL 87 8 ,/ J:z\5 " | '" , +)%)/-+/8%)/-+)1+/8 +KL )/%W: )+/89 , )//W: )+/KLW: )+/%W: )+/8-\J )+9 W: )+/8 ^w /8 9: )+/ ) 9 \ )+ ^ ( ST 8-W: )//)8W: )+, )\, )8, ) + , : ) 8 T8 + / /
K L % & 0 - % -$ - % % $ 1 & & 0 0 1 $ 1 & - &0 9 1 3 ^Y !(" _\ '.Z)[\], 1.Z)^9::& - ^ - _11 - 5`9::& - ` - _21 - 12KL.Z)a9::&;b - ^ : - ` - 1(9 c.Z)d:& - d - e 1 : 2f1 - ;1gJ ;1 - 1(h 1 - 1( 9 ;
1 1 1
$
0 &-%& 5
jq'V
$ 0 '7 0 $ 5 , $ 5 0 $ 5 &
J '0 @*+,
0 0 0
0
0 '- KLI(*+MN)OPQ 5 & 8''- ' ( & 8''9 &
j7 3 - 68 -j7 4 . 61 1 1 rs7 6 6 : -&9 , 11 ' " 11 '
0 ' % " * 7( +
@ () AB, +4CD &+E*+% F *+"&( &()G H I . &* J & ( (&) ) K L M N #*&+G$%& #*&+ ' &+ ' $ # G # &* )*#*&+ ' ()" !" !% #$% O !P QN&( (&)*"&( (*+%R #(*+ , *+R )* *+"&( (&)*R )* *+"()" QNSTU (&)* VWXUR )* ()"&*R )* ()"&( &*+" Y #P Z ()%&* , -R@ &+ B[ .R\] %.E-.R )* -.!*+R^ -. ' ! *+" # QN (%!*+R*+ ' #(%R )* (%!-.R^ (% , -." _`STU (%.- V&aSTUR b %.!(-" QN %.&&( &+%R(-'&( &+%R )* (-!&( &+%R c ()!&( &+%" !&$ #&% Y !P QN (+!)*R^ (+'&( &)*R )* (+!&( &)*" Y #P @ &) AB[ "R&* AB[ 'R CD ("d'"E+'" QN '" V(&)* ABe.R )* '"!)*" fQN (+!)*R )* (+!'"" )* '""&( (&)" gV '""("" QN((&) NW9hU" )* (""&)/ )* (""&( &)*" fQN (+ , '" ' !R(+!'"" )*STU ("'+ N&aSTU" )* +'"&( &)*" i&( &+*"&( &)*" !'$ '( Y !P 67 ,RCD ')E")Rjk 01!")R F#'") lmnhoVp(I. '" J 01 )K Ah"
1 0
!'" , Z[\ !&" ST-UV )* % W: *+%,%- &*,%+% ):& - - % $ 1 % %-XY/)0 $ . )* . $ 1 % 1 1
, * ) ,% )% + /% +% /
5" '
1
2 1f StuFvw-xy)9:z+{| 83 =-* +, / =9 ./)[\] 18 - $/1 : 51 - 5 $ 2 2 =f9 1xy)=:& -8 - / 5 $ 2 - 01 $ 2 2 =1f9 StuFv}-xy)0{| / =9 Y/)[\] 11 - $/1 : 31 - 8' 2 =f9 1xy)=:& -1 - 3 8' - 3' 2 =1f9 2 0f ~ 01 > 08- -1 -8-KLFv}<Fvw 9
,-./ *+,-./01234 5 .06 7,89
.: !$ 2 %$ 4 ;<= %$ 6 'Y 6 #R! 6 #R, 6 PR " " Y 6 Pk6# Y 6 #P 7 ! 8 # 1 * 8 , ' +R ($ 2 &$ 5 *+ 3 '$ 4 ,$ 4 !-$ 5 "$ 5 !!$ 3 #$ 4 !($ 2