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t
其中t为行标排列 p1 p 2 p n 的逆序数.
2011.3.22
线性代数
６ n阶行列式的性质
1)行列式与它的转置行列 式相等, 即D DT . 2)互换行列式的两行 列), 行列式变号. ( 3)如果行列式有两行 列)完全相同, 则此行列式 ( 等于零. 4)行列式的某一行 列)中所有的元素都乘以同 ( 一数k , 等于用数 k 乘此行列式.
n
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a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 , 如果线性方程组 a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n . 的系数行列式 D 0, 那么它有唯一解 Dj , j 1,2, , n. xj D 其中 D（j 1,2, , n）是把系数行列式D中第j列 j 换成常数项b1 , b２， b n 所得到的行列式 .
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８ 克拉默法则
克拉默法则的理论价值
定理 如果线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 , a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n . 的系数行列式D 0, 那么它一定有解，且解 唯一.
１ 全排列
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元 素的全排列（或排列）．
且 Pn n!．
n 个不同的元素的所有排列的种数用 Pn 表示，
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线性代数
２ 逆序数
在一个排列 i1i2 it i s in 中若数 it i s， 则称这两个数组成一个逆序．
定理
如果上述齐次线性方程 组有非零解，则
它的系数行列式必为零 .
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典 型 例 题
一、计算排列的逆序数
二、计算（证明）行列式
三、克拉默法则
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线性代数
一、计算排列的逆序数
例１ 求排列 2k 12k 122k 2 32k 3
k 1k 的逆序数, 并讨论奇偶性.
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．
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４ 对
换
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元 素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调， 叫做相邻对换．
定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
t
其中t是排列 p1 p 2 p n 的逆序数.
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线性代数
而
p１ p2 pn 1 2 n,
t
所以 2 ( 1) a1 p1 a2 p2an pn D1 . D
评注 本题证明两个行列式相等，即证明两 点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一 项所带的符号相同．这也是用定义证明两个行列 式相等的常用方法．
次数自左至右按递升次 序排列，但不是从 变到 0 n 1, 而是由1递升至n.若提取各行的公因子， 则方 幂次数便从0增至n 1，于是得到 1 1 1
1 2 n 1 3 . n
n 1 n 1
1 Dn n! 1 1
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2 3 n
2 2 3 n
2
2

１ 用定义计算（证明） 用行列式定义计算
0 a12 a 21 a 22 D5 a 31 a 32 0 a 42 0 a 52
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例２
a13 a 23 a 33 a 43 a 53
线性代数
0 0 a 24 a 25 a 34 a 35 0 0 0 0
解 设 D 5中第1,2,3,4,5行的元素分别为a 1 p1 , a 2 p2 ,
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于是排列的逆序数为
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k

21 k 1k 1
2
k
k2
当 k 为偶数时，排列为偶排列，
当 k 为奇数时，排列为奇排列．
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二、计算（证明）行列式
定理 如果上述线性方程组无 解或有两个不同的
解，则它的系数行列式 必为零.
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定理
如果齐次线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n 0, a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0, a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n 0. 的系数行列式D 0, 那么它没有非零解 .
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７ 行列式按行（列）展开
１）余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把元素a ij 所在的第i行和第 j 列划去后，留下来的n 1阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作M ij ；记 Aij ( 1)
i j
M ij ,
Aij 叫做元素a ij 的代数余子式.
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x ai a2 a3
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线性代数
提取第一列的公因子，得
t
其中t是排列 p1 p 2 p n 的逆序数.
1 p 2 p n p D 2 ( 1) (a 1 p1 b 1)( a 2 p2 b 2 )(a n pn b n ) t
( 1) a 1 p1 a 2 p2 a n pn b (1 2 n ) ( p1 p2 pn ) ,
t
p1 p 2 p n
其中 p1 p 2 p n 为自然数1,2,, n的一个排列 t为这 ; 个排列的逆序数 表示对1,2,, n的所有排 ;
p1 p2 pn
列取和.
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n阶行列式D亦可定义为 D
p1 p2 pn
( 1) a p11 a p2 2 a pn n ,
推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．
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５ n阶行列式的定义
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann 1 a p1 1a p 2 2 a p n n
解 分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和，即算出排列中每个元素的逆序数．
2k排在首位, 故逆序数为 ; 0
1的前面比1大的数有一个 2k ), 故逆序数为 ; ( 1
( 2k 1)的前面比( 2k 1)大的数有一个( 2k ), 故 逆序数为 ; 1
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2的前面比2大的数有两个( 2k ,2k 1), 故逆序 数为2; 2k 2的前面比2k 2大的数有两个 2k ,2k (
a3 an a3 an
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线性代数
解 将第2,3,, n 1列都加到第一列，得
x ai x ai
i 1 n i 1 n i 1 n
n
a1 a 2 a n x a2 an x an x
Dn1 x ai a2
i 1
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评注 本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如 提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行 列式化成范德蒙行列式．
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线性代数
３ 例５
用化三角形行列式计算 计算
x
a1
a2
a1 x a 2 D n 1 a1 a 2 x a 3 a n . a1 a 2 a 3 a 4 x
a 3 p3 , a 4 p4 , a 5 p5 , 那么，由D 5中第1,2,3,4,5行可能 的非零元素分别得到
p1 2,3; p3 1,2,3,4,5; p 1,2,3,4,5; 2 p 2,3; 4 p5 2,3.
因为 p1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 在上述可能取的代码中 , 一个5元排列也不能组成， 故 D 5 0.
a11 a 21 b D2 a n1 b
证明： １ D 2 . D
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a12 b a 22 an2 b
1
a1n b1 n a 2 n b2 n , a nn
n 1
n 2
线性代数
证明
由行列式的定义有
D1 ( 1) a 1 p1 a 2 p2 a n pn ,
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数．
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列．
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线性代数
３ 计算排列逆序数的方法
方法1 分别计算出排在 1 ,2 , , n 1 , n 前面比它大的 数码之和，即分别算出 1 ,2 , , n 1 , n 这 n个元素 的逆序数，这 n 个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序数． 方法2
线性代数
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
D n n! ( xi x j)
n i j 1
n! ( 2 1)( 3 1)( n 1) ( 3 2)( 4 2)( n 2)[n ( n 1)] n! ( n 1)! ( n 2)! 2!1!.