分数裂项六种题型
六年级数学思维训练——分数裂项
分数的速算与巧算—裂项知识导航分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，将算式中的项进行拆分，使拆分后的项 可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是 将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的 分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需 复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它 们消去才是最根本的。
1.分数裂差型运算公式：(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面， 即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型特征：(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是 只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间的差是一个定值。
2.分数裂和型运算公式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵 消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数裂项 (1)
分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。
裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数裂项计算【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯。
【例 2】1111 11212312100 ++++++++++L LL【例 3】1111 133******** ++++=⨯⨯⨯⨯L【例 4】11111111()128 8244880120168224288+++++++⨯=【例 5】1111 135357579200120032005 ++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L【例 6】74.50.1611111813153563 13 3.75 3.23⨯+⎛⎫⨯+++=⎪⎝⎭-⨯&【例 7】11111 123420 261220420 +++++L【例 8】111 123234789 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L例题精讲【例 9】11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 10】 57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L ．【例 11】 12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L【例 12】 123456121231234123451234561234567+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 13】 234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++L L L【例 14】 22222211111131517191111131+++++=------ .【例 15】 5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯【例 16】22222222 122318191920 122318191920 ++++ ++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯【例 17】111111 23459899515299 +++++++=⨯⨯⨯L L【例 18】24612 335357357911 ++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L【例 19】计算：283411 1222222 1335571719135357171921⎛⎫++++-+++=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭L L【巩固】 111......101111125960+++⨯⨯⨯【巩固】 2222109985443++++=⨯⨯⨯⨯L【巩固】 1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭L【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008+++++⨯⨯⨯⨯⨯L【巩固】 3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 11111111612203042567290+++++++=_______【巩固】 111111136********++++++=【巩固】 1111111112612203042567290--------＝【巩固】 11111104088154238++++= 。
分数裂项变形
裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两 抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
练习： 1 1 1 L
1
135 35 7 5 79
2001 2003 2005
【巩固】 4 4 ......
4
4
135 35 7
。
18
54
108
180
270
11 2 1 3 1 4 1 L 20 1
例 4： 2 6 12 20
420
【巩固】计算： 1 1 2 2 4 2 6 15 35 77
____。
1 1 1 1
1
例 5： 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6
6 7 8 9 7 8 9 10
【巩固】 3 3 ......
3
1 23 4 23 45
17 1819 20
5 7 L 19
．
例 6： 1 2 3 2 3 4
8 9 10
【巩固】计算：1155（ 5 7 L 17 19 ）
234 345
8 9 10 9 10 11
练习： 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） a b a b 1 1 （2） a2 b2 a2 b2 a b
ab ab ab b a
ab ab ab b a
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为
六年级分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：知识点拨教学目标分数裂项计算1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
六年级数学思维训练——分数裂项
六年级数学思维训练——分数裂项知识导航六年级数学思维训练——分数裂项六年级数学思维训练——分数裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项；常见的裂项方法是 将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时；要仔细的观察每项的 分子和分母；找出每项分子分母之间具有的相同的关系；找出共有部分；裂项的题目无需 复杂的计算；一般都是中间部分消去的过程；这样的话；找到相邻两项的相似部分；让它 们消去才是最根本的。
1.分数裂差型运算公式：(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数；即1a b⨯形式的；这里我们把较小的数写在前面； 即a b <；那么有1111()a b b a a b =-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数；即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+；1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的；我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型特征：(1)分子全部相同；最简单形式为都是1的；复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的；但是 只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
(2)分母上均为几个自然数的乘积形式；并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间的差是一个定值。
2.分数裂和型运算公式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”；裂和型运算的题目不仅有“两两抵 消”型的；同时还有转化为“分数凑整”型的；以达到简化目的。
3.整数裂项运算公式：(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+111123453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯思路点拨观察分数特征；此题属于裂差型分母为4个连续自然数乘积；可直接运用公式。
小学数学分数裂项
小学数学分数裂项考试要求（1） 能熟练运算常规裂和型题目； （2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。
（4） 4、通项归纳知识结构一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)(()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++()()()()()11222hh n n k n k kn n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h hn n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
小学奥数 分数裂项综合题型训练,非常完整版带答案
分数裂项巧算综合题型训练建立抵消的思想，灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．板块一：基础题型1、计算：⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯10919818717616515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯999727525323123．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯1009818616414214．计算：.90172156142130120112161+++++++5．计算：⋅+++++970011301701281416．计算：⋅⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+109109989887877676656590725642302012628．计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯100999825432432232129．计算：⋅++++++24023921020920191211652110．计算：⋅+⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯-)911()911()311()311()211()211(板块二：中档题1．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2008200716515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯101983141131183853523⨯⨯⨯⨯⨯⨯1311119977553314．计算：;90117721155611342111301920171215613211)1(++++++++⋅⨯-⨯-⨯+⨯++⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯42408241398040387839377611920108189716861475126410538426314)2(5．计算：)10921()921(10)4321()321(4)321()21(3)21(121++++⨯++++++++⨯+++++⨯+++⨯+6．计算：⋅++++++42083938075920391223611237.计算：⋅⨯⨯++⋅⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10097999810798746541328.计算： ⋅+++++++++++++++206421864216421421219.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯504948154314321321110.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10981154364325321411.计算：⋅-⨯⨯⋅-⨯-)9911()311()211(22212.计算：⋅⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+)2009200711()5311()4211()3111(板块三：拔高题型1.计算：⋅⨯++⨯+++⨯++⨯+201920191918191832322121222222222.计算：.1201201181181414121222222222⋅-++-+++-++-+3.已知算式)19189()17168()542()321(+⨯+⨯⨯+⨯+ 的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？4.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯201918375437432532135.计算：!10099!43!32!21++++ （最后结果可以用阶乘表示）6.已知22226411019181,81++++== B A ，请比较A 和B 的大小。
分数巧算之裂项法
例3、计算
33333 20 30 42 56 72
分析与解：这道题目和前面的例题非常相似，我们可结合前 面知识，将原式中的分数进行拆分，如：
3 3 1 ; 3 3 1 ; 3 3 1 ....... 20 20 30 30 42 42
将拆分后的数代入到原式中，题目就变成了前面已学的类型：
3 3 3 3 3 20 30 42 56 72 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
仔细观察这些分数的分母就会发现每个分母都可以 写成两个相邻数的乘积的形式： 6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，…，2450＝49×50。
原来可以 这样拆分啊
这样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自
然数乘积的形式。
1 1 1 ...... 1
6 12 20
2450
1 1 1 ....... 1
【举一反三】计算：
(1) 3 3 3 3 3 6 12 20 30 42
(2) 7 7 7 7 7 42 56 72 90 110
5 5 6
25 6
【举一反三】计算： (1) 8 8 8 8 8
23 24 24 25 25 26 26 27 27 28
(2) 2 2 2 2 2 3 4 45 56 67 78
例3、计算
1 1 1 ...... 1
6 12 20
2450
分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是1，但分母 并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？按照常规做法， 我们应该先通分，再求和。
分数裂项巧求和
学习中这样一个有趣的现象： 如果分数的分子是自然数1，分母是相邻两个自然数
的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。写 成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是相邻的 两个自然数。（这种方法称为“裂项法” ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分数裂项六种题型
一、整数裂项
整数裂项是一种常见的数学问题，通过将整数拆分成两个整数之和或之差，从而简化计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的整数裂项例子：
1.将整数拆分成两个相邻整数之和或之差，例如：5=2+3，10=3+7。
2.将整数拆分成两个绝对值相等的数之和或之差，例如：10=3+(-3)，20=7+(-7)。
二、分数裂项
分数裂项是将分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的分数裂项例子：
1.将分数拆分成两个同分母的分数的和或差，例如：1/2=1/(4)+1/(4)，2/3=1/(3)+1/(3)。
2.将分数拆分成两个异分母的分数的和或差，例如：2/5=3/(15)+(-4)/(15)，4/7=3/(21)+4/(21)。
三、混合数裂项
混合数裂项是指将整数、分数等不同类型的数拆分成两个或多个数之和或差。
以下是一些常见的混合数裂项例子：
1.将混合数拆分成一个整数和一个分数的和或差，例如：3/2=2+(1/2)，5=3+(2/2)。
2.将混合数拆分成两个分数之和或差，例如：4/3=1/(2)+3/(4)，7/6=1/(3)+1/(2)。
四、裂项相消法
裂项相消法是一种常见的数学方法，用于简化分数的计算。
其基本思想是将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于约简分
数。
以下是一个裂项相消法的例子：
求和：1/2+1/6+1/12+1/20+...的值。
解答：原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...
通过约简，我们得到原式=1-1/n（当n趋于无穷大时）。
五、分式裂项相消法
分式裂项相消法是一种将分式拆分成多个分式的和或差，然后约简的方法。
以下是一个分式裂项相消法的例子：
求分式：(a^2-b^2)/(a^2+b^2)的值。
解答：原式=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)/(a^2+b^2)=(a-b)/(a+b)+(a+b) /(a-b)。
通过约简，我们得到原式=(a-b)/(a+b)。
六、等差裂项法
等差裂项法是指把一个数列的前半部分转化为后半部分的对称形式，然后利用等差数列的求和公式进行简化计算。
这种方法主要应用于一些复杂的数列求和问题中。
以下是等差裂项法的例子：。