第十讲-虚功原理及单位载荷法
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结构力学虚功原理课件
刚体的位移
01
刚体的位移
在结构力学中，刚体的位移是研究结构在受力作用下的变形和运动状态
的基本概念。刚体的位移涉及到结构的位移、转角、挠度等参数，这些
参数可以通过测量或计算得到。
02
位移的测量
位移的测量是确定结构在受力作用下的变形程度和运动状态的重要手段。
通过测量位移可以了解结构的响应和行为，从而评估结构的性能和安全
能量原理与虚功原理的关系
能量原理与虚功原理 的联系
能量原理和虚功原理都是弹性力学中 的基本原理，它们之间存在密切的联 系。能量原理指出，对于一个处于平 衡状态的弹性体，其总能量（包括外 力势能和内能）在任何微小虚位移下 的改变量等于零。而虚功原理则是能 量原理的一种特殊情况，即当外力势 能忽略不计时，能量原理就变为虚功 原理。
03
虚功原理的推导
力的平衡方程
力的平衡方程是结构力学中的 基本方程，它描述了结构中力 的平衡条件。在平衡状态下， 作用在结构上的所有外力之和 为零。
力的平衡方程可以表示为：∑F = 0，其中∑F表示作用在结构上 的所有外力矢量和。
力的平衡方程是求解静力学问 题的基础，通过它我们可以求 解出结构的位移、应变和应力 等参数。
实例分析
以梁为例，通过应用虚功原理，可以分析梁在不同载荷下的变形和应力分布，从而优化梁的截面尺寸和 形状，提高其承载能力和刚度。
06
总结与展望
虚功原理的重要性和意义
结构力学中的虚功原理是分析结构稳定性和变形的关键理论之一，对于工程设计和建筑安全具有重要 意义。
虚功原理能够为结构设计和优化提供理论基础，帮助工程师更好地理解和控制结构的力学行为，提高结 构的稳定性和安全性。
变形方程，进而求解物体的内力和变形。
第四章 虚功原理
若令 k = 1 m = 1
rmk × 1 = rkm ×1
rmk = rkm
反力互等定理：k支座发生单位位移在m支座引起的反力 rmk 等于m支座发生单位位移在k支座引起的反力 rkm
m =1
结构力学
第4章 虚功原理
4、反力位移互等定理
r mk
Fk =1
θm=1
δkm
k状态
m状态
虚功互等定理
v Cm
可直接用几何方法验证。 静力方法解决几何问题。
l1
l2
l3
结构力学
第4章 虚功原理
七、互等定理 虚功互等定理、位移互等定理、反力互等定理、反力位移互等定理 1、虚功互等定理
Fk A
θmk
FNk
C
mm A B km C
εm γm
1
B
FQk Mk
k状态（静力） 虚功原理
s
m状态（ 位移） λ FQm 1 M m FNm = εm = γm = EA GA ρ m EI
D a
C
建立静力状态（k）
2、沿FRD 方向给以微小单位虚位移 km =1，建立位移状态（m）
D FR D
q=F/ 2a A E B
F
C
3、建立虚功方程，求未知力
FRD ×1 = 0
静力状态（k）
A E B C D' km=1 D
FRD = 0
可直接用平衡方程验证。
位移状态（m）
几何方法解决静力问题。
结构力学
第4章 虚功原理
5、等值反向共面的两力偶的虚功
mk
（a）
A
B
mk
（b）
A
θ'km θ"km
虚功原理ppt
i 1
i 1
i 1
又因为体系所受约束是理想约束，于是有
n
r Fi
rri
0
i 1
-
虚功原理的另一种表述
受有理想约束的力学体系平衡的充要 条件是：力学体系的诸主动力在任意虚位 移中所做的元功之和等于零，也叫虚位移 原理。
-
虚功原理的分量表达式
nu u ru r n W F i.r i(F ixx i F iy y i F iz z i) 0
-
1 基本概念
（1）虚位移
想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有 改变（δt =0）， 表示为 rr。
-
关于虚位移的说明 • rr 称为 rr 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
-
• 虚位移与可能位移
✓ 稳定约束下实位移是许多虚位移中一个 ✓ 不稳定约束下实位移一般不是虚位移中一个
q r r ti
s
t
r ri
1 q
q
i1, 2, L , n
-
（2）理想约束
如果在任何时刻，对于系统的任何 虚位移，约束力所作的虚功之和等于零， 则系统受到的约束是理想约束。
3n
Rixi 0
i1
n R rirri 0
i1
-
几种典型的理想约束
• 质点沿光滑的曲面运动； • 质量可忽略的刚性杆所连接的两个质点； • 两个刚体以光滑的表面接触； • 两个物体以完全粗糙的表面接触（无滑动）； • 两个质点以柔软的且不可伸长的绳子相连接。
P 1 ( l 2 1 c o ) P 2 s ( l 1 c o l 2 2 s c o ) F s ( l 1 s i n l 2 s i) n 0
虚功原理——精选推荐
虚功原理ΔCΔCyΔCxiP静定结构结构位移计算§4.1 应⽤虚⼒原理求刚体体系位移1、结构的位移：结构在荷载作⽤下，要产⽣内⼒和变形，结构的变形引起结构的位移，位移⼀般分为线位移和⾓位移两种，线位移是指结构上点的移动，⾓位移是指杆件横截⾯产⽣的转动。
2、产⽣位移的主要原因产⽣位移的主要原因主要由上述三种：①荷载作⽤、②温度改变和材料胀缩、③⽀座移动和制造误差。
(1)荷载使静定结构产⽣内⼒、变形、位移；（2）温度改变或材料胀缩使静定结构不产⽣内⼒、但能产⽣变形、位移；（3）⽀座移动或制造误差使静定结构不产⽣内⼒变形、但能产⽣位移；§4.2 结构位移计算的⼀般公式如结构在荷载、温度改变、⽀座移动等因素作⽤下⽽发⽣了图1所⽰变形和位移，这是结构的实际的位移状态。
要利⽤虚功⽅程求位移Δi2（状态②中i ⽅向的位移）。
应先虚拟⼒状态：在欲求位移处沿着求位移的⽅向，加上与所求位移相应的⼴义单位荷载（如图2）。
求出虚拟⼒状态的内⼒和反⼒。
由虚功⽅程，即得平⾯杆系结构位移计算的⼀般公式：该式适⽤于：①静定结构和超静定结构；②弹性体系和⾮弹性体系；③各种因素产⽣的位移计算。
4.3 荷载作⽤下的位移计算如果弹性体系由荷载产⽣了内⼒（M P ，N P ，Q P ），⽽内⼒产⽣的变形可由材料⼒学公式得到：(a )M PM(b )注意：1．该式可⽤来求弹性体系由荷载产⽣的位移；2．该式既⽤于静定结构也⽤于超静定结构；3．第⼀、⼆、三项分别表⽰弯曲变形、轴向变形、剪切变形产⽣的位移；4．结构不同简化为：梁、刚架只考虑弯曲变形：桁架只有轴向变形：组合结构：对于具有弹性⽀承和内部弹性联结的结构，在位移计算公式中应增加⼀项弹性⼒的虚功项：N i N P /k ，N i ，N P 分别为虚拟状态和实际状态中弹性⽀承和内部弹性联结的弹性⼒，两者⽅向⼀致时，乘积为正，否则取负，k 是弹性⽀承和内部弹性联结的为刚度系数。
结构力学虚功原理课件
(二)虚功原理
具有理想约束的刚体体系在任意平衡力系作用下，体 系上所有主动力在任一与约束条件相符合的无限小刚 体位移上所作的虚功总和恒等于零。
W 0
刚体体系的虚功方程
所谓理想约束，是指其约束力在虚位移 上所作的功恒等于零的约束。
(三)虚功原理的两种应用
1.虚设位移状态——求未知力
拟求支座A处的支反力
位移的分类：线位移；角位移。
角位移
线位移
A
A
B
B
相对角位移
2、结构位移计算的目的
①验算结构的刚度； ②为超静定结构的内力计算打下基础； ③结构制作、施工的需要。
3、结构位移计算的假定
①材料服从虎克定律。 ②结构的变形是微小的。 ③结构各处的约束都是理想约束。
线弹性体系
§5-2 虚功原理
（1）刚体体系虚功原理 （2）变形体体系虚功原理
FP
A
B FBx
FA
a
b
l
FBy
W FA A FP P 0
FA
FP
P A
P b A l
b FA l FP
FP
A
B
FA
△A
△P
B
A
A 1
P
b l
B
A
FA FP P
虚位移原理
应用虚位移原理求解静定结构的某一约束力时， 一般应遵循如下步骤： （1）解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反 力来代替。 （2）把机构可能发生的刚体位移当作虚位移，写 出虚功方程。 （3）求出虚位移之间的几何关系，利用虚功方程 即可求解约束反力。
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
第十讲-虚功原理与单位载荷法_图文
可能内力满足： 虚位移满足：
（平衡条件） （静力边界条件） （变形连续条件）
（位移边界条件）
外力虚功
内力虚功 比较
证毕！
变形体虚功原理的例证——讨论 讨论： 1）简支梁： 位移边界条件与静力边界条件
变形体虚功原理的例证——讨论 2）悬臂梁： 位移边界条件与静力边界条件
§5 单位载荷法
解： 影响小曲率梁变形的主要内力－弯矩
由虚功原理可得
()
杆微段的虚变形用dd *、df *与dq *表示
4、 虚功（以梁为例）
如温度
结构的外力与内力 变形
任取结构的虚位移与虚变形
如何表示？ 二者的关系？
5、内力虚功与外力虚功
作用在所有微段上的可能内力 在虚变形上作之总虚功－内力虚功
外力在可能位移上所作之总虚功－外力虚功
变形体虚功原理的例证
第十讲-虚功原理与单位载荷法_图文.ppt
上讲回顾
余功与余能
Complementary Work and Complementary Energy
余功的定义:
弹性体的余能Vc数 值上等于余功：
余能计算 单向应力状态下 的余能密度为
故拉压杆与梁 的余能为
《材料力学（II）》第1版， 单辉祖编著，高教社
变形 1）与外力保持平衡并满足静力边界条件的
内力，称为静力可能内力或可能内力
2）杆的可能内力用FN, T, FS与M表示
）可能内力与外力
结构的静力许可场
几个概念 2、 可能位移与可能变形（运动许可场）
1）满足变形连续条件与位移边界条件的任意结构位 移，称为几何可能位移，相应之变形称为可能变形
单位载荷法的基本公式 单位载荷法的常用公式 例题
虚功原理
力所作的变形虚功总和。即：
W=Ｖ
称为虚功方程，式中：
W ——外力虚功 Ｖ ——内力虚功（虚应变能）
对于杆件结构虚功原理
对于直杆构成的结构
杆件的虚功方程
虚功原理的两种用法
1．虚设位移状态——可求实际力状态的未知力。 这是在给定的力状态与虚设的位侈状态之间应用 虚功原理，这种形式的应用即为虚位移原理。 2．虚设力状态——可求实际位移状态的位移。这 是在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚 功原理，这种形式的应用即为虚力原理。
三、单位荷载法
P1
t1
P2 t2
K
ΔKH
需首先虚拟力状态
在欲求位移处沿所求位移方向 加上相应的广义单位力P=1. 一个体系，两种状态
K‘ Ε2γ2κ2 位移状态 2 c2 c1
实际位移状态 虚拟力状态
W = 1D R1c1 R2c2
虚功
一般可写为： W = D Rc
V = M d FN du FQ dv
t t B β ΔB Δ B m P
Δ
B
5）两种情况的功 广义力是等值、反 向的一对力F
W = F D A F DB = F (D A DB )
桁架结构，在C、D上 作用与杆垂直的等值反 向的两个力F
DC D D W = F D C F D D = F (D C D D ) = F d
பைடு நூலகம்作业情况
一、桁架的内力标注在图上。
二、隔离体要画出。 用1-1截面将其断开……完了？？？ 应说明取那边为隔离体，并将隔离体 要画出。 三、桁架的内力+、-号代表 拉、压，仍有同学出错。 四、右面隔离体能计算出 FN1、FN2、FN3、FN4吗？
虚功原理(微分形式的变分原理)
1 Fcos sin m sin 0 1 m 1g 1 2g 2 1 F cos m g sin 0 2 2 2 2
广义平衡方程
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程:
2F tan 1 2 m m g 2 1 tan 2 F 2 m2 g
Q δq 0
1
s
Q δ q Q δ q Q δ q 0 1 1 2 2 s s
δ q 若 δ q 0 相互独立 1
Q q 0 1 1
δ q ,..., δ q 0 2 s
Q 1 0
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
同 , 若 理 δ q 0 1
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
一、虚功原理
受有理想约束[、 定常约束]的力学系统, 保持[静]平 衡的必要[充分]条件是作用于该系统的全部主动力的 虚功之和为零. n Fi δri 0
i1
在直角坐标系中, 上式写成
( F δ x F δ y F δ z) 0
i 1 ix i iy i iz i n
i 1 i 1
对理想约束
0 0 n F r i δ i 0
i 1
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
充分条件的证明： 若系统的主动力虚功之和为零, 对于受有理想约束的系统
F ri 0 i δ 1 n i n F δ r F δ r 0 i i Ri i
应用虚功原理解题的主要步骤是： (1)明确系统的约束类型, 看是否满足虚功原理所要求 的条件； (2)正确判断系统的自由度, 选择合适的广义坐标； (3)分析并图示系统受到的主动力； (4)通过坐标变换方程, 将虚功原理化成
结构力学虚功原理PPT课件
l FNdu l FQdv l Md Rc
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
位移为广义位移，力是与广义位移对 应的广义力。
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
(3)求解时关键一步X 是找出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
例题9-1 用单位位移法求图 a所示多跨静定梁的支座反 力FBy和截面E处的弯矩ME。
解：（1）求支座反力FBy
1
1 2
,2
3 4
虚功方程：X 1+FP11+FP22 =0
解得：
bc / a 找出虚力状态的静力
这是虚单位荷载法 (Dummy-Unit平L衡oa关d 系Me。thod)
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出(解4，)几是故何用也问静称题力为。平衡法来
Maxwell-Mohr Method
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
平衡力状态之间----虚位移原理
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(实(12将通))际对虚由常受静位外力取定移X力状结与/ 虚态构实C的功，际平这 力a总/衡里 状b和方实 态代1为程际 无入零用 关得，的,故:是即可刚M设：体B虚XX位x0移X原b1P理P/，a 实C质上0是
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
位移为广义位移，力是与广义位移对 应的广义力。
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
(3)求解时关键一步X 是找出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
例题9-1 用单位位移法求图 a所示多跨静定梁的支座反 力FBy和截面E处的弯矩ME。
解：（1）求支座反力FBy
1
1 2
,2
3 4
虚功方程：X 1+FP11+FP22 =0
解得：
bc / a 找出虚力状态的静力
这是虚单位荷载法 (Dummy-Unit平L衡oa关d 系Me。thod)
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出(解4，)几是故何用也问静称题力为。平衡法来
Maxwell-Mohr Method
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
平衡力状态之间----虚位移原理
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(实(12将通))际对虚由常受静位外力取定移X力状结与/ 虚态构实C的功，际平这 力a总/衡里 状b和方实 态代1为程际 无入零用 关得，的,故:是即可刚M设：体B虚XX位x0移X原b1P理P/，a 实C质上0是
结构力学-虚功原理
R
G
H
20kN
FQC
1
R
1 FQC .1 + −10 × = 0 2 10kN
FQC
20kN
L FQF
R
FQF
10kN
L
运动前后两杆平行
1 1 FQF .1 + 10 × = 0 2 professor Pan. All rights reserved. 广西工学院《结构力学》 课件. 广西工学院《结构力学》 课件 Copyright (c) 2012 by
M
FQC
1 a+b
机构如何 运动？
1
b a+b
a a+b
虚位移放大说明
1 a+b
1
b a+b
a a+b
运动前后，截面左右杆段无相对转动——需平行
广西工学院《结构力学》 课件. 广西工学院《结构力学》 课件 Copyright (c) 2012 by professor Pan. All rights reserved.
M 例2 求C截 面弯矩 和剪力 A a M M FQC C b
b a+b
B
1 a+b
1
a a+b
1 1 FQC .1 + M . = 0 ⇒ FQC = − M a+b a+b
广西工学院《结构力学》 课件. 广西工学院《结构力学》 课件 Copyright (c) 2012 by professor Pan. All rights reserved.
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G
H
20kN
FQC
1
R
1 FQC .1 + −10 × = 0 2 10kN
FQC
20kN
L FQF
R
FQF
10kN
L
运动前后两杆平行
1 1 FQF .1 + 10 × = 0 2 professor Pan. All rights reserved. 广西工学院《结构力学》 课件. 广西工学院《结构力学》 课件 Copyright (c) 2012 by
M
FQC
1 a+b
机构如何 运动？
1
b a+b
a a+b
虚位移放大说明
1 a+b
1
b a+b
a a+b
运动前后，截面左右杆段无相对转动——需平行
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M 例2 求C截 面弯矩 和剪力 A a M M FQC C b
b a+b
B
1 a+b
1
a a+b
1 1 FQC .1 + M . = 0 ⇒ FQC = − M a+b a+b
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卡氏定理
应用卡氏定理的几个问题：
1）适用于线弹性体；
2）附加载荷法； 3）引入新变量，区分相关载荷；
4）求相对位移；
5）正确理解载荷相应位移的概念。
§4 变形体虚功原理
变形体虚功原理 变形体虚功原理的证明
变形体虚功原理 几个概念
1、可能内力与外力（静力许可场） 1）与外力保持平衡并满足静力边界条件的 内力，称为静力可能内力或可能内力 2）杆的可能内力用FN, T, FS与M表示 ）可能内力与外力 结构的静力许可场
We Mdq *
l
内力虚功
Wi Mdq *
l
比较
We Wi
证毕！
变形体虚功原理的例证——讨论 讨论：
1）简支梁： 位移边界条件与静力边界条件
w * ( 0) w * ( l ) 0
We
பைடு நூலகம்
M (l ) 0
M (0) 0
l
dFS dw * l w* dx FS w * 0 FS dx l dx dx
荷 Fk 的偏导数，等于该 载荷的相应位移 k－ 克 罗第－恩格塞定理
卡氏定理
对于线性弹性体：
Vc Vε
k
V ε Fk
线性弹性体的应变能，对载
荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的 相应位移 k
－－ 卡氏第二定理
M y ( x ) M y M z ( x ) M z FN ( x ) FN ( x ) T ( x ) T ( x ) Δk dx dx dx dx l EA l GI l EI l EI Fk F F F t k y k z k
l
外力在可能位移上所作之总虚功－外力虚功
* * We q( x )w *( x )d x M ee Fp uP lq
变形体虚功原理
Principle of Virtual Work
可以证明：外力在虚位移上所作外 力虚功 We，等于可能内力在虚变形上所 作内力虚功 Wi，即
We ＝ Wi
第 11 章 能量法（一）
讲授内容
§1 §2 §3 §4 §5
外力功与应变能 互等定理 余能与卡氏第二定理 变形体虚功原理 单位载荷法
上讲回顾
上讲回顾
余功与余能
Complementary Work and Complementary Energy
W fd
0
余功的定义:
Wc
df
P
y
Px
FN 1 FN 3 cos Px FN 2 FN 3 sin Py
平衡方程有无数内力解答；
y
任一组内力解答均为可能内力
变形体虚功原理 可能变形
3
l3
l2
2
Δl1 Δl3
3
l3
l2
2
Δl3 Δl2
1
l1
A
Δl2
1
l1
A
Δl1
A’
A’
l2 sin l1 cos l3
w * ( 0) w * ( l ) 0
M (l ) 0
q * ( 0) 0
外力虚功
We
l
We w* qdx
l
dFS dw * l w* dx FS w * 0 FS dx l dx dx
l
0
dM l q * dx Mq * 0 Mdq * l dx
几个概念 2、 可能位移与可能变形（运动许可场）
1）满足变形连续条件与位移边界条件的任意结构位 移，称为几何可能位移，相应之变形称为可能变形 2）杆件的位移： l , ( x ), w( x ), q ( x ) 3）杆微段的变形用d , df 与dq 表示
运动 许可场
变形体虚功原理 例如
称为变形体虚功原理（虚位移原理）
变形体虚功原理的例证
可能内力满足： dFS q , dM FS （平衡条件）
dx dx
M ( l ) 0 （静力边界条件）
虚位移满足：
dw * q* （变形连续条件） dx w * (0) w * ( l ) 0 , q * (0) 0 （位移边界条件）
2
l2
2
l2
FN 2
A P
y
1
l1
A
1 P
l1
Px
FN 1
P
y
Px
FN 2
FN 1
P
FN 1 P ,
FN 2 0
cos FN 1 Px Py , sin Py FN 3 sin
变形体虚功原理
可能内力
FN 3
FN 2
Px
FN 1
3
l3 l2
2
P
1
l1
A
0
F
Wc W F
弹性体的余能Vc数 值上等于余功：
Vc Wc
余能计算 单向应力状态下 的余能密度为
vc
d
0
*
故拉压杆与梁 的余能为
Vc
d dV
V 0
*
《材料力学（II）》第1版， 单辉祖编著，高教社
克罗第－恩格塞定理
Vc k Fk
弹性体的余能对载
可能内力满足： dFS q , dM FS （平衡条件）
dx dx
M ( l ) 0 （静力边界条件）
可能位移与变形满足： dw * q* （变形连续条件） dx w * (0) w * ( l ) 0 , q * (0) 0 （位移边界条件）
变形体虚功原理 可能内力
l2 sin l1 cos l3
满足变形协调条件的任一组变形均为可能变形
几个概念
3、 虚位移与虚变形
假想的、微小的可能位移，称为结构的 虚位移，相应之变形称为虚变形
杆微段的虚变形用d *、df *与dq *表示 4、 虚功（以梁为例） 如温度 q( x ) M ( x ) 结构的外力与内力 变形
w* ( x )
dq *
任取结构的虚位移与虚变形
如何表示？ 二者的关系？
We
Wi
5、内力虚功与外力虚功
作用在所有微段上的可能内力
在虚变形上作之总虚功－内力虚功
Wi (FNd * Tdf * Mdq *)
l
Wi (FNd * Tdf * M ydq y * M z dq z *)
l
0
l dM M q * 0 q * dx dx
l
Mdq *
We Mdq * Wi
l
变形体虚功原理的例证——讨论
2）悬臂梁： 位移边界条件与静力边界条件
w * (0) 0 q * (0) 0 M ( l ) 0