虚功原理与位移计算习题课
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结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3
6、把复杂图形分为简单图形 、 使其易于计算面积和判断形心位置） （使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形， 取作面积的图形有时是不规则图形，面积 的大小或形心的位置不好确定。 的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形 分解为简单图形（规则图形） 分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠 加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法 、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时， 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应 乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积 乘其形心所对应 图上的竖标y 再除以EI。 图上的竖标 C，再除以 。 正负号规定： 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 与 在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第3版)章节题库-虚功原理与结构位移计算(中册)(圣才出品)
8（b）所示，结点 K 处的竖向位移为
．
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图 5-8
【答案】
【解析】此结构为二次超静定，要求结点 K 的位移，可以取其一静定基本结构（图 5-
9（a）），在此基本结构上 K 处虚设一竖向单位力，画出其弯矩图（图 5-9（b）），再与已知
的原结构的弯矩图图乘即可求得 K 点竖向位移．
图 5-9
此题选取的基本结构可以有多种形式，相应的 图也不一样，与 M 图图乘时的计算量 就不同．所以在选择基本结构时应尽量使图乘时的计算量小（弯矩图分布范围小且简单）．
4．已知图 5-10（a）所示弯矩图，图 5-10（b）中由 （已知）产生的 C 截面竖向位
MA＝0 有
（拉）．
要求铰 C 处的竖向位移，需要画出此结构的弯矩图（图 5-13（c））；然后在结构上 C 处
虚设一竖向单位力（图 5-13（d）），求出此时 AC 杆弯矩和 EG 杆轴力，然后图乘得 C 点竖
向位移为
7 / 25
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挠度大
．
【答案】
图 5-18
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【解析】（1）结构为静定，图 5-18（a）、（b）两图的唯一区别是在图 5-18（a）中竖 向支座链杆处会有变形，而图 5-18（b）中没有，静定结构的支座移动不会引起内力，所以 两结构的弯矩图完全一样．
移等于
．
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图 5-10 【答案】 【解析】（1）选一基本结构，在 C 处虚设一竖向单位力，作 图（图 5-11）．
力学3章虚功原理和结构的位移
第三章 虚功原理和结构的位移一 判 断 题1. 已知P M ,Mk 图，用图乘法 求位移的结果为：（ω1у1+ω2у2）/（EI ）。
（ ）（X ） 题1图 题2图 题3图2. 图示结构中B 点挠度不等于零。
（ ）（√）3. 图示桁架中腹杆截面的大小对C 点的竖向位移影响。
（ ）（X ）4. 求图示A 点竖向位移可用图乘法。
（ ）（X ）题4图 题5图5. 图示梁的跨中挠度为零。
（ ）（√）6. 在位移互等定理中，可以建立线位移和角位移的互等关系：12δ=21ϕ。
这里12δ，21ϕ与只是数值相等而量纲不同。
（ ）（X ）7. 三个刚片用不在同一直线上的三个虚铰两两相联，则所组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
（ ）（√）8. 几何瞬变体系产生的运动非常微小并很快就转变成几何不变体系，因而可以用作工程结构。
（ ）（X ）9. 在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变体系。
（ ）（√）10. 两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则中，不仅指明了必需的约束数目，而且指明了这些约束必须满足的条件。
（ ）（√）11. 在非荷载因素（支座移动，温度变化，材料收缩等）作用下，静定结构不产生内力，但会有位移，且位移只与杆件相对刚度有关。
（ ）（X ）12. 虚功中的力状态和位移状态是彼此独立无关的，这两个状态中的任一个都可看作是虚设的。
（ ）（√）13. 温度改变，支座位移，材料收缩和制造误差不会使静定结构产生内力，因而也不产生位移。
（ ）（X ）14. 计算自由度W 小于等于零是体系几何不变的充要条件。
（ ）（X ）15．若体系计算自由度W<0，则它一定是几何可变体系。
（ ）（X ）16．平面几何不变体系的三个基本组成规则是可以相互沟通的。
（ ）（√）17．三刚片由三个单铰或任意六根链杆两两相联，体系必为几何不变。
（ ）（X ）18．图示三铰刚架，EI 为常数，A 铰无竖向位移。
09虚功原理和结构的位移计算--习题解读
( N Q 0 M )ds R k ck
（3）荷载作用下的位移计算。对弹性材料，应变表达式为
NP EA
0 k
QP GA
MP EI
KP ( N Q 0 M )ds R k ck ( NN P QQP M M P k )ds EA GA EI
A 10kN 3m C 10kN 3m 5m B
5m
【解】
A 20 10
20
20 10
N P (kN)
C
10
1
A 1 1
N
1
NN P CV l EA B (0.5 5)(10 5 103 ) 8 5 11 4 2.1 10 30 10 10 1 20 103 16 2.11011 30 104 B 1.22 103 m 1.22mm()
结构力学电子教程
9 虚功原理和结构的位移计算
2 虚功和虚功原理 9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式 9.4 荷载作用下的位移计算 9.5 图乘法 9.6 温度变化时的位移计算 9.7 支座移动时的位移计算 9.8 线性变形体系的互等定理 *9.9 空间刚架的位移计算公式
t 0 0 0
h
M t t t ds N t0 ds M d s t N d s AM t0 AN 0 h h h
（6）支座移动在静定结构引起的位移属于刚体位移，计算 公式为 R k ck ；关键是正确计算作功的支座反力。 （7）位移计算中遇到的符号及正负号确定较多，关键是功 的正负号规定，即力与位移的乘积的正负号规定。当力与位 移方向一致时，乘积为正，反之为负；图乘法中是A与yC于杆 件同一边时，乘积为正，反之为负。
（3）荷载作用下的位移计算。对弹性材料，应变表达式为
NP EA
0 k
QP GA
MP EI
KP ( N Q 0 M )ds R k ck ( NN P QQP M M P k )ds EA GA EI
A 10kN 3m C 10kN 3m 5m B
5m
【解】
A 20 10
20
20 10
N P (kN)
C
10
1
A 1 1
N
1
NN P CV l EA B (0.5 5)(10 5 103 ) 8 5 11 4 2.1 10 30 10 10 1 20 103 16 2.11011 30 104 B 1.22 103 m 1.22mm()
结构力学电子教程
9 虚功原理和结构的位移计算
2 虚功和虚功原理 9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式 9.4 荷载作用下的位移计算 9.5 图乘法 9.6 温度变化时的位移计算 9.7 支座移动时的位移计算 9.8 线性变形体系的互等定理 *9.9 空间刚架的位移计算公式
t 0 0 0
h
M t t t ds N t0 ds M d s t N d s AM t0 AN 0 h h h
（6）支座移动在静定结构引起的位移属于刚体位移，计算 公式为 R k ck ；关键是正确计算作功的支座反力。 （7）位移计算中遇到的符号及正负号确定较多，关键是功 的正负号规定，即力与位移的乘积的正负号规定。当力与位 移方向一致时，乘积为正，反之为负；图乘法中是A与yC于杆 件同一边时，乘积为正，反之为负。
结构力学(虚功原理和结构位移计算)
几何法
单位荷载法
A
10
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
A
11
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。
MP EI
κ
F NP EA
ε k
F QP GA
γ 0
g F N d sF Q 0 d sM ds
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA GA
A
35
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法
• 其中 M、FN、FQ、FRK----虚拟单位力下的弯距、轴力、 剪力和反力
、 、 g0、 ck•----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
A
22
分析，见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 K P
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。
单位荷载法
A
10
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
A
11
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。
MP EI
κ
F NP EA
ε k
F QP GA
γ 0
g F N d sF Q 0 d sM ds
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA GA
A
35
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法
• 其中 M、FN、FQ、FRK----虚拟单位力下的弯距、轴力、 剪力和反力
、 、 g0、 ck•----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
A
22
分析，见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 K P
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)
温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
Page 10
14:26
LOGO
温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
14:26
D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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LOGO
结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
LOGO
3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评
第9章 虚功原理及结构的位移计算
x
dx
l
力状态
x ql
dx
力状态
l
ql/2
ql/2
△
位移状态 外力虚功
位移状态 外力虚功
1 2 We qd x x ql 0 0 2
l
1 We qd x x ql 0 0 l 2
l
内力虚功 Wi =0
内力虚功 Wi =0
按由特殊到一般的推理方法，我们可以总结出刚体体系 的虚功原理： 在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态下的力系能满 足平衡条件，位移状态的刚体位移能与约束几何相容（位移 与约束相对应，位移是连续的杆件变形后不断开、不重叠）， 则外力虚功为零。 或：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合 约束条件的无限小刚体位移，平衡力系在位移上所作的虚功 为零。 特别说明：对于刚体，力状态下有内力，但因位移状态下 没有对应位移，故内力虚功为零，因此对于刚体的虚功原理也 可以这样理解：外力虚功等于内力虚功都等于零。
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位 移方向与假设的单 位力方向一致。
求 （1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； 解 （2）建立虚功方程 1 FRk ck 0 步 骤 （3）解方程得 FRk ck 定出方向。
2.变形体的虚功原理
根据刚体的虚功原理，按照从特殊到一般的推理原则，总 结得出变形体的虚功原理： 在具有理想约束的变形体系上，若力状态的力系满足平衡 条件（整体平衡、局部平衡），位移状态下的位移满足变形协 调条件（包括变形与应变的协调：轴向应变对应轴向线位移、 剪应变对应横向位移、弯曲应变也就是曲率对应角位移；位移 与约束的几何相容：位移连续、杆件变形后不断开、不重叠， 约束和位移是相对应的），则外力在位移上所作的虚功恒等于 各个微段的内力在相应变形上所作的内虚功。即：
结构力学 9虚功原理和结构的位移计算
Ax
P
引起结构位移的原因 还有什么原 荷载 因会使结构产 温度改变 生位移? 支座移动 制造误差 等
t
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
例3：求AB两点的相对水平位移。
A 3m
EI常数
MP
P=1 6kN B 3m P=1
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
18
6
3
36 9
6m 9 9
1 2 × × ×3 6 1 1 ×6 ×6 ×18 ×6 ×3 ×0 6 9 2 3 2 EI 2 1 1 × × × 3 × 18×3 2 × -756 × 3 36 6 6 EI 3 4 2 3 EI
h
(a+l)/3
(b+l)/3
2 A lh 3
二次抛物线
l
1 A lh 2
(2) 复杂图形（分段+叠加） a、梯形相乘（分段+叠加）
a
b
a
b
c
d
c
d b a
l AyC (2ac 2bd ad bc) 6
c
b、一般形式的二次抛物线相乘（分段+叠加）
=
+
C、曲线图形与折线图形相乘（分段+叠加）
§9-4 荷载作用下的位移计算
kp N N P ds M M P ds K QQP ds EA EI GA
P
引起结构位移的原因 还有什么原 荷载 因会使结构产 温度改变 生位移? 支座移动 制造误差 等
t
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
例3：求AB两点的相对水平位移。
A 3m
EI常数
MP
P=1 6kN B 3m P=1
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
18
6
3
36 9
6m 9 9
1 2 × × ×3 6 1 1 ×6 ×6 ×18 ×6 ×3 ×0 6 9 2 3 2 EI 2 1 1 × × × 3 × 18×3 2 × -756 × 3 36 6 6 EI 3 4 2 3 EI
h
(a+l)/3
(b+l)/3
2 A lh 3
二次抛物线
l
1 A lh 2
(2) 复杂图形（分段+叠加） a、梯形相乘（分段+叠加）
a
b
a
b
c
d
c
d b a
l AyC (2ac 2bd ad bc) 6
c
b、一般形式的二次抛物线相乘（分段+叠加）
=
+
C、曲线图形与折线图形相乘（分段+叠加）
§9-4 荷载作用下的位移计算
kp N N P ds M M P ds K QQP ds EA EI GA
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(2 Pl(l - x ) Px(l - x )) (l - x ) ( x 2l )
2
DA
2 DH A
M
2 DVA
DH arctan VA arctan0.4 21.8 DA
ql 4 0.673 EI
q ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓
A
ql 2 2
l cosa
P=1
a
EI
DA
l
EI MP
M
l
l (cosa sin a )
1 1 ql 2 3 l ql 2 l l cosa (l cosa l (cosa sin a ) ) A EI 3 2 4 2 2 ql 4 (5 cosa 2 sin a ) 8EI dDaA ql 4 (- 5sin a 2 cosa ) 0 da 8EI 4 ql tana 0.4,即：a 21.8时DaA max D A 0.873 EI Da
求A点全位移
q ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓ EI
ql 2 2
A P=1
DA
MP
M
l
EI
l
l
l P=1
1 l 2 ql 2 ql 4 EI 2 2 4 EI 2 2 4 1 1 ql 3 ql 5 ql DVA l l l l EI 3 2 4 2 8EI DH A
M M
i
⑦非标准图形乘直线形： a）直线形乘直线形
k
l a
dx
b
d
l( 2ac 2bd ad bc ) 6
b)非标准抛物线成直线形
c
a
h
b d l
=
a
b
c
d 2 hl c S l (2 ac 2 bd ad bc ) 6 3 2
+
h
判断下列图乘结果正确与否。（ ）
5kN
MP
kN.m 4 1/2
4
kN.m
8
1
例3：求图示梁中 B结 点的竖向位移及 B两 侧截面的相对转角位 移。
2M ql 2 ll 6
M
A
2M/l
q
C
解：（1）求B点竖向位移 先画弯矩 M P 和 M
EI
l 2
B
EI
l
1 1 ql2 4l 2Ml 2l DB l EI 4 6 5 2 3
B
①
P=1
②
B
A
A P=1/l l ④ P=1/l B l ⑤ B P=1/l
P=1/l
P=1/l
B l ⑥
P=1/l
A
P=1/l P=1/l l C
①AB两点相对水平位移；②AB两截面的相对转角； ③AB两点相对竖向位移； ④ AB杆的转角； ⑤ AB连线的转角； ⑥ AB杆和AC杆的相对转角。
7 静定结构由于温度改变而产生的位移计算
0
MC 1 H m f 8
0
1/8
5 80 2 5 5 80 2 5 1 2 5 32 1 5 ( 1 ) 2 3 8 2 3 8 3 3 2 8 0.005867 rad 2 5 104
G
E
20 5m
A 5m 10 15kN
10 (2 20 20 - 2 10 10 6 - 20 10 10 20)
10
10
3187.5 1594 . 10 -2 m EI
20
1kN
5m
10kN
5m
D 10
50kN.m B
5m
例5：求图示结构 A点的水平
7kN F
1、计算结构位移主要目的
a）验算结构的刚度； b）为超静定结构的内力分析打基础。 a）荷载作用； b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
2、产生位移的原因主要有三种
3、变形体系的虚功原理: 状态1是满足平衡条件的力状态，状态 2是满足变形连续条件的位移状态，状态1的外力在状态2的位 移上作的外虚功等于状态1的各微段的内力在状态2各微段的 变形上作的内虚功之和
d12d 21
r12=r21
P
P
P
例1：求图 示Βιβλιοθήκη 架D点 的竖向位移 ΔDV 解:先计算 N 后计算NP
B
C
3m
A
－8P
D
0
4m×3=12m 0
0
0
0
－4/3
P=1
0 0
0
0
0
D DV
1 5 4 280P 3P 1 3 5P 5 8P 4 EA 3 3 3EA
例6：求图示简支梁中点的挠度。EI=常数，弹簧的刚度系数为k。
q A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8
B
试用单位荷载法求出 梁的挠曲线。 Pl Px
P
MP
A
l
P=1
ql/2
B
MP
l－x
l
P=1
M
DC
l/4 1/2
M
x
MM P NN P dx l-x EI k y ( x) 2 1 2 l ql 5 l 1 ql 6 EI 2 EI 2 2k 3 2 8 8 4 P 4 5ql ql 6 EI 384 EI 4k
y0 ω y0 ω y0 ω
①S=ωy0（× ）
y1 ω1
②S=ωy0 （×）
ω
③S=ωy0 （ ×）
ω y0
y2
ω2 y0
④S=ω1y1+ω2y2 （ ）
×
⑤S=ωy0 （×）
题3-14图
⑥S=ωy0 （ √ ）
图示虚拟力状态可求出什么位移？
P=1 A A m=1 A m=1 ③ B P=1 P=1
ql 2 2 2M ql 6 ll 6
l 13ql 2 - 270 M 120 EI
(
)
2M
16kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
例4：求图示刚架C铰左右两截 面的相对转动。EI=5×104kN.m 3m
1
80
32
5/8
m=1
MP
16
16
5m
M
1/8
4m
4m
2
H
D C
M C 168 16kN f 88
5、弹性体系荷载作用下的位移计算
Dkp
NNP kQQP MMP ds ds ds GA EA EI
1） NP、QP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因； 虚设单位荷载引起的内力是 N ,Q , M
2） 公式右边各项分别表示轴向变形、剪切变形、弯曲 变形对位移的影响。 MM 3）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的 D EI dx NN 4）桁架 D l
T12 N1 2 ds Q1 2 ds M 1 2 ds
4、结构位移计算的一般公式
D ( N 2 Q 2 M 2 )ds- Ri ci
注:1) 2) 3) 4) 5)
既适用于静定结构,也适用于超静定结构; 既适用于弹性材料,也适用于非弹性材料; 产生位移的原因可以是各种因素; 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变形和轴 向变形对位移的影响； 右边四项乘积,当力与变形的方向一致时, 乘积取正。
it at0w N ±
aDt
h
wM
1） 该公式仅适用于静定结构。并假定温度改变沿 截面高度按线性变化。 2）正负规定:P153 8 静定结构由于支座移动而产生的位移计算
Dic -RK cK
1） 该公式仅适用于静定结构。 2）正负规定： 9 互等定理 •适用条件：弹性体系（小变形，σ=Eε） •内容 W12= W21
A B 求A点的 水平位移 P=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
m=1
P=1 求AB两点 的相对位移
P=1
l
1/l
求AB两截面 的相对转角
1/l
求AB两点 连线的转角
6、 图乘法
w y0 MM P D dx EI EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。 ②图乘法的应用条件： a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。 ③竖标y0 取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否则取负号。 ⑤几种常见图形的面积和形心的位置： ⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； b）当EI 分段为常数或M 、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
P iP
P iP
EA
5）桁梁混合结构 7）拱
Δ=
MM P NN P ds EI EA l
用于桁架杆
用于梁式杆
MM P NN P D ds ds EI EA
扁平拱中计算水平位移或压力 线与拱轴线比较接近时才考虑
7）该公式既用于静定结构和超静定结构。但必须是弹性体系 8）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应 的广义单位荷载。
位移。 已知： EI 2 105 kN m2 解：画MP图， 画 M 图
2kN/m 25
C
35
1 1 5 D AH 5 50 10 EI 2 6 1 2 2 25 1 5 50 10 - 5 10 2 3 3 4 2 1 2 5 25 10 2 3