经典位移法习题课
位移法习题解答
8-2、清华8-2c 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
题8-2c (a )方法一：列位移法典型方程解：（1）D 处定向支座与AD 段不平行，视为固定端。
AB 段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来，DA 杆D 端支座与杆轴线不平行，视为固定端。
结构只有一个转角位移法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：11110P k z R ⋅+=（3）画基本结构的P M 、1M 的弯矩图：如图(c) 、(d) 所示。
（4）利用结点的力矩平的平衡求系数：1110;k i =1P R P l =-⋅（5)将系数，自由项代入典型方程得z 1。
110P lz i⋅=（6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：11P M M M z =+⋅30.3()1040.4()20.2()101030.3()10AC AD DA AEP lM i Pl i P l P lM i Pl M i Pl i iP l M i Pl i⋅=+⋅=⋅⋅=+⋅==+⋅=⋅=+⋅=左拉上拉下拉右拉 方法二：转角位移法(c)ACMAB(d)(b)(e)Q ABF Q解：（1）确定结构的基本未知量。
有一个角位移z1，如图所示（b）。
（2）列杆端的转角位移方程：AB段剪力和弯矩静定，DA杆D端支座与杆轴线不平行，视为固定端。
C1111,,3,3,4,2 FAB AB A AE AD DAM Pl M Pl M i z M i z M i z M i z =-=-=⋅=⋅=⋅=⋅（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量z1：111100343010AB AC AD AEPl M M M M M Pl i z i z i z zi =→+++=→-+⋅+⋅+⋅=→=∑（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。
C1111,,330.3,330.3,1010440.4,220.21010FAB ABA AEAD DAM Pl M PlPl PlM i z i Pl M i z i Pli iPl PlM i z i Pl M i z i Pli i=-=-=⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯=讨论；本题将D处的滑动支座改为与杆轴线平行。
位移法习题
结构力学-位移法习题1.确定用位移法计算下图所示结构的基本未知量数目，并绘出基本结构。
2.判断题1)位移法基本未知量的个数与结构的超静定次数无关。
（）2)位移法可用于求解静定结构的内力。
（）3)用位移法计算结构由于支座移动引起的内力时，采用与荷载作用时相同的基本结构。
（）4)位移法只能用于求解连续梁和钢梁，不能用于求解桁架。
（）3.已知下图所示钢架的结点B产生转角，试用位移法概念求解所作用外力偶M。
4.若下图所示结构结点B向右产生单位位移，试用位移法概念求解应施加的力。
5.已知钢架的弯矩图如下图所示，各杆常数，杆长，试用位移法概念直接计算结点B的转角。
6.用位移法计算下图所示的连续梁，作弯矩图和剪力图。
EI=常数。
7.用位移法计算下图所示结构，作弯矩图。
常数。
8.用位移法计算下图所示各结构，并作弯矩图。
常数。
9.利用对称性计算下图所示结构，作弯矩图。
常数。
10.下图所示等截面连续梁，，已知支座C下沉，用位移法求作弯矩图。
11.下图所示的刚架支座A下沉，支座B下沉，求结点D的转角。
已知各杆。
12.试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
13.试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
14.试用位移法计算图示结构，并绘出M图。
15.试用位移法计算图示结构，并绘出M图。
16.试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。
6m 6m9ml lq(a)4m 4m4m(b)10kN/m6m6m 6m 6m6m(a)8m 4m 4m 4m 4m20kN/m17. 试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M 图。
18. 试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
19. 试用位移法求作下列结构由于温度变化产生的M 图。
已知杆件截面高度h ＝0.4m ，EI ＝2×104kN ·m 2，α＝1×10－5。
20.试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M 图。
3EI lA D CB l EI EIϕl Δ=ϕa 2aa 2aaF P6m 4m A B C +20℃0℃ +20℃0℃ 20kN8m 8m 6m 3m A C D EB F G EI 1=∞EI 1=∞ 3EI3EI 3EI EI。
高中物理必修一 位移 习题课
3、物体（质点）在同一直线上运动时（可以是单 、物体（质点） 同一直线上运动时（ 向也可以是往返），我们就用数学的正负代表方向 ），我们就用 向也可以是往返），我们就用数学的正负代表方向 具体的方法如下： 、先确定（假设） 具体的方法如下：1、先确定（假设）正方向 2、若位移方向与正方向一致则位移为正数，否则 一致则位移为正数， 、若位移方向与正方向一致则位移为正数 为负数。 或可以这样表达 或可以这样表达： 位移为正数， 为负数。(或可以这样表达：若位移为正数，则方向 与正方向相同，否则相反） 与正方向相同，否则相反） 思考：用正负代表方向有什么局限性？ 思考：用正负代表方向有什么局限性？
ห้องสมุดไป่ตู้ 思考
1、为什么前4s位移会是 ？那是不是说明物 、为什么前 位移会是 位移会是0？ 体在4s内没有运动 内没有运动？ 体在 内没有运动？ 2、由思考 你能不能说说位移这个物理量对 你能不能说说位移 、由思考1你能不能说说位移这个物理量对 描述物体的运动有什么优势 不足？ 优势和 描述物体的运动有什么优势和不足？ 能确切表示出某时间段的初位置和末位置， 能确切表示出某时间段的初位置和末位置， 但无法具体描述物体在这段时间的每时每刻 的运动情况
位移习题课
领悟1： 领悟 ：
1、位移的大小的运算不能简单用算术运算法 、 则 但用什么呢？ 但用什么呢？ 2、位移是有大小又有方向的量，只求出大小 有大小又有方向的量 、位移是有大小又有方向的量， 而不说明方向是不完整的答案。 而不说明方向是不完整的答案。
领悟2： 领悟 ：
1、求位移要先确定是哪段时间内的，因为在 、求位移要先确定是哪段时间内的 哪段时间内 不同时间段内物体的初、 不同时间段内物体的初、末位置不同 2、求位移必须确定物体在所求时间段内的初 、 位置（ 初时刻对应在什么位置） 位置（及初时刻对应在什么位置）和末位置 末时刻对应在什么位置）， ），因为只有确 （及末时刻对应在什么位置），因为只有确 定初、末位置才可以确定位移（ 定初、末位置才可以确定位移（包括大小和 方向） 方向）
位移法习题
一、图示结构，要使结点 B 产生单位转角， 则在结点 B 需施加外力偶为 ——.
D
3i Ai
E
3i
Bi
C
二、已知图示结构 C 点线位移为 pl 3 ( ↓ )， 30 EI
各杆EI=常数，作 M 图。
P
D
B
A
E
F
C
l
l
三、作图示结构的 M 图。P=24KN, M0=15KNm, EI=常数.
P
k
l/ 2 l/ 2 l
3
P
A
BC
D
பைடு நூலகம்
E
七、作图示结构弯矩图 。
E
F
I
P C
D
l/2 B
l
A
G
H
l
l/2
l/2
八、用 位 移 法 作 图 示 结 构 M 图 。 E I = 常数，
EI1= ∞
q
A EI1 C EI D EI1 B
l/3
l/3
l/3
九、作图示结构M图， EI=常数
A l
q
B
C
F l
G l
D
E
l
H
I
l
十、如图n1, n2均为比例系数，当 n1>n2时，则有： (1) MA> MB , (2) MA<MB , (3) MA= MB , (4)不定
aP
A EI
n1EI
n1EI
h
l
aP
B EI
n2EI
n2EI
h
l
十一、试用位移法求解图示刚架，各杆EI相同。
qa
F
q
位移法习题课
6i
6i
1
Pl
lC
lD
8C
D
i
i
k13
6i k23
6i
l
l 3 k331
A
21i2i
B 12i
l
l
2i
2i
Pi
i
F1P 1
1 Pl F2 P 8
F3 P
8 Pl A
2i
B
P
2i
2i
12i E
12i
F
l
l
E
1 Pl 8
F
k 33
72i l2
F1P 0 F2 P 0 F3P P
（3）列经典方程：20i1
M BA
1 2
ql 2
q
F 0.5l
i ql
0.5l
M BC 4i1 2i 2 M BD 4i1
M CB 2i1 4i 2
M CE
3i 2
3 ql 2 16
A iB
i
C 0.5l
i
i ql 0.5l
D
E
M CF
i 2
3 ql 2 8
l
l
（3）基本方程：
M B 0 M BA M BC M BD 0 MC 0 M CB M CE M CF 0
位移法习题课
1、超静定构造
力法：多出未知力，变形协调条件 位移法：结点位移，静力平衡条件
相对每一种独立旳结点角位移，可列一种结点力矩平衡方程 相对每一种独立旳结点线位移，可列一种截面力矩平衡方程
2、基本未知量鉴定
结点角位移：构造内部刚结点数；支座位移不作为基本未知量。
结点线位移：将构造中全部结点均改为铰结（点弹（性涉支及座固除定外端）），
结构力学(5.1.2)--位移法习题及参考答案
习 题6-1 试确定图示结构位移法基本未知量的个数。
6-2～6-6作图示刚架的M 图。
(a)(f)习题6-1图(d)习题6-2图习题6-5图习题6-3图（BC 杆件为刚性杆件）习题6-4图6-6 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
6-7 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
6-8 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
EI 为常数。
6-9试用位移法计算图示结构，并作弯矩图。
EI 为常数。
6-10 试用位移法计算图示结构，并作弯矩图（提示：结构对称）。
习题6-9图习题6-7图6-11作图示刚架的体系内力图。
6-12 设支座 B 下沉0.5cm B D =，试作图示刚架的M 图。
6-13如图所示连续梁,设支座C 下沉淀1cm ，试作M 图。
6-14图示等截面正方形刚架,内部温度升高+t°C ，杆截面厚度h ,温度膨胀系数为 ，试作M 图。
10 kN/m( a )( b)40 kN习题6-10图BGH习题6-11图（a ）（b ）q6-15试作图示有弹性支座的梁的弯矩图，332EIk l=，EI =常数。
6-16 试用弯矩分配法计算图示连续梁，并作M 图。
6-176-18 用力矩分配法计算图示结构，并作M 图。
6-19 已知图示结构的力矩分配系数1238/13,2/13,3/13,A A A m m m ===作M 图。
6-20 求图示结构的力矩分配系数和固端弯矩。
已知q=20kN/m,各杆EI 相同。
习题6-17图习题6-13图习题6-14图6-21～6-22 用力矩分配法计算图示连续梁，作M 图，并计算支座反力。
EI=常数。
6-23～6-25用力矩分配法计算图示刚架，作M 图。
EI=常数。
参考答案6.1 (a) 2 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 6 (f) 26.2 15BD M =kN·m （右侧受拉）20kN/m 40kN习题6-22图习题6-21图15kN/m习题6-23图F P =10kN 习题6-24图习题6-25图6.321112AB M ql =（上侧受拉）6.4P 0.4AD M F l =（上侧受拉）6.5150AC M =kN·m （左侧受拉）6.651.3AB M =kN·m （左侧受拉）6.780AB M =kN·m （上侧受拉）6.816.9AB M =kN·m （左侧受拉）6.9 (a) 10.43CA M =kN·m （左侧受拉） (b) 56.84CE M =kN·m （下侧受拉）6.10 (a) 8.5AB M =kN·m （上侧受拉） (b) 34.3AC M =kN·m （左侧受拉）6.11 (a) 20.794DC M ql =（右侧受拉） (b) 6.14GD M q =（右侧受拉）6.1223.68AC M =kN·m （右侧受拉）6.1359.3310BA M =ￗkN·m （上侧受拉）6.142/M EIt h a =（外侧受拉）6.152/32BA M ql =（下侧受拉）6.1617.5CB M =kN·m （下侧受拉）6.1778.75CD M =kN·m （上侧受拉）6.1827/12AB M ql =（上侧受拉）6.191117.95A M =kN·m （上侧受拉）6.200.34AD m =，13.33AD M =kN·m 6.2142.3BA M =kN·m （上侧受拉）6.2217.35BA M =kN·m （上侧受拉）6.2357.4BA M =kN·m （上侧受拉）6.2428.5BA M =kN·m （上侧受拉）6.2573.8BD M =kN·m （左侧受拉）。
位移法习题
习题8-1 图示梁杆端弯矩=ABM， 侧受拉；杆端剪力Q AB F = 。
题8-1图 题8-2图8-2图示梁杆端弯矩BA M = ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。
8-3图示梁杆端弯矩ABM= ，侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。
设i =EI /l 。
2EI AB题8-3图 题8-4图 8-4图示梁杆端弯矩ABM= ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。
设i =EI /l 。
8-5图示梁杆端弯矩BA M = ， 侧受拉；杆端剪力Q AB F = 。
Q B A F = 。
题8-5图 题8-6图8-6 图示梁杆端弯矩BA M = ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。
Q AB F = 。
8-7图示梁杆端弯矩BA M = ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。
设i =EI /l 。
题8-7图 题8-8图 8-8 图示梁杆端弯矩ABM= ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。
设i =EI /l 。
8-9 图示梁杆端弯矩BA M = ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。
题8-9图 题8-10图8-10 图示梁杆端弯矩BA M = ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。
8-11 图示梁杆端弯矩ABM = ， 侧受拉；杆端剪力Q B A F = 。
设i =EI /l 。
6EI AB1题8-11图 题8-12图 8-12 试作图示梁弯矩图，并求B 支座的反力。
8-13 图示梁的跨度为l ，若使A 端截面的转角为零，在A 端施加的弯矩=ABM。
1M1Δ题8-13图 题8-14图8-14 已知图示结构的柱端水平位移为EIlF Δ93P 1=，试作弯矩图。
8-15 试用位移法计算图示结构，作弯矩图。
（a ） (b)题8-15图8-16 试用位移法计算图示结构，作弯矩图。
(a) (b) (c)题8-16图8-17 用位移法解图示结构，基本未知量最少为2个的结构是（ ）。
A．（a）、（b）B．(b)、（c）C．（c）、（a）D．（a）、（b）、（c）（a）(b) (c)题8-17图8-18 用位移法解图示结构，基本未知量最少为3个的结构是（）。
位移法例题
r21=- 24i/l 2
0
6i/l 6i/l
r12= -24i/l 2
r12
Z2=1
-12i/l 2 -12i/l 2 12i/l 2
-12i/l 2 -12i/l 2 r22=48i/l 2 12i/l 2
r22
6i/l
M 2图
FP
说明：水平杆的M图没画，并不是其M=0，而 是EI无穷大的杆能平衡任何弯矩。
R1P FP
R1P=-FP
0 0 0 0 0
FP
R2P FP MP图
R2P=-FP
0
作用在结点上的外力相当于 支座，故杆件无弯矩。 解得
3FP l 2 Z1 = 24i FP l 2 Z2 = 12i
FPl /4 FPl /4 FPl / 2
FPl / 2
M图
(4) 利用叠加法作出弯矩图
例4:用位移法计算图示结构 ,并作弯矩图.EI= 常数. 4:
l
A l
D
（同济大学，2004年考研题）
Z1 = 1
B 4i A 4i 2i l
C 2i l D
Z2 = 1
6i/l
2i/l
B
C
4i/l
M1 图
A
6i/l
D
l
M2 图
l
Z1 = −ql / ( 84i )
2
Z 2 = ql / ( 3i )
3
M 图（× ql ）
2
例2： 位移法求解图示结构。
P
P /2
l A EA = B
Z1
l
l
P
l
注意： M 1图和 M P图的正确作图
例3：用位移法作图示结构的 M 图。EI=常数.
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角位移数目： 6 个 线位移数目： 4 个
位移法计算10个未知量 力法计算2个未知量
角位移数目： 4 个 线位移数目： 6 个
B
aβ
l
A
Δ
斜杆 AB
al
角位移数目：
t°C
因为温度轴向变形产生的位移不能忽略不计，
所以该结构有 4 个独立的结点线位移。( ×)
MC2 16kN.m
44
↑↑↑↑↑↑
12 24
12
（f）
28
M
（kN.m）
16
用位移法计算图示结构,并绘弯矩图.
40
10kNA/m↓↓↓↓↓↓
10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
80
30kN
30kN
EI=C 25 5
25
20
M (kN.m)
10
4m 4m 4m 4m
4m 4m
30kN
B
80kN.m
温度轴向变形引起结点C、D发生水平和竖向位移。但温度 轴向变形产生故端力可事先求出来，该结构只有1个独立结点 线位移。
P
B
A
l/2
l1 l/2
q=3kN/m
a
↓↓↓↓↓↓
Δ
A
B
（a）
q=3kN/m ↓↓↓↓↓↓
（b）
题8-29图
题8-30图
题8-31图
1-29、图示单跨超静定梁的固端弯矩MBA=
√ A －3Pl/16
M本BC未=知4θ量B+）2。θC － 16 =－18
A
D
E1I
E1I
E
MCB=2θB+ 4θC +16 =18
4m
4m
MCE=θC －64 =－63 MEC= － θC －32 =－34
3）由平衡条件列位移法方程；
1B8 18
M24BC 18 63 C 45
MBA
24
MBC MCE34
1M0θBB+2MθCB+A 8+=M0 BC 0
ED
3i l
D
+
ql 2 8
7iqC -M3lCi DMCB0+MCD + MCA(1) 0
QDC
QDE
QDC
-
M3li qDCCl
+ +
0l32i-q2Dl
-
3ql 8
解方程（1）（2）：
QDE
-
3-i l2
M DDEl++380ql+
ql 2
-
3i l
qYC
+Ql62iDC-D
Q- D3Eql0 4
A 位移法方程的系数= 0
C R1P= 0
√ E R2P= 0
√ B MP= 0
D 各杆端弯矩= 0
F 结点位移= 0
1-42、图示结构在荷载作用下，下列答案正确的是
A r11= 0
√ B R1P= 0
√ C A点位移= 0
√ √ D AB杆的弯矩= 0
E AB杆的剪力= 0
2-7、图示单跨超静定梁，已知θA，则Δ=＿＿QB＿A ＿-
√ A M相同
√ B Q相同
C N相同
D 反力相同
√ E 结点位移相同
BΔ
A
a
MP A
i i
θA θB
A
aa
题2-6图
题1-38图
题1-39图
1-38、下列关于图示结构位移法基本未知量的论述，正确的是
A 三个基本未知量θA，θB，Δ B 两个基本未知量θA=θB，Δ
√ C θA=θB= 0，只有一个未知量Δ D θA=θB=Δ/a，只有一个未知量Δ 1-39、欲使结点A的转角= 0，应在结点A施加的力偶M=
12kN/m
↓↓↓↓↓↓
i 2i
（k）
5.6 2.3
M反对称 34.6
M对称
计算图示结构，并绘弯矩图。
P
A
B
6i M AB M BA - l
-
2Pl QB9A
2,12i l2
,
EI
M CD
M DC
- 6i l
-
Q2PD9Cl
2
,
12i l2
,
C EI D l
EI E l
M DE
3i l
PQl 2D.E 9
I
I
A
B
4m
I
（a） C
4m
M B1 2iq - 3i 2 MC2 -3i 4
M13
M12
Q3 A
-
M A3 4
+ Q30A
3i 16
-
21
Q1B
-
M1B
+ 4
M B1
- 3i
2q
+ 3i 4
M1B
Q2C
-
3i 16
③列平衡方程：取结点及截面分离体如图
Q3A
Q1B
Q2C
M1 M13 + M1B + M12 0
B 3.4
24.5 14.7
62.5
C
190.803.7D
A
B 80
C
D
50.7 M图(kN4.5M.2)
4m 2m
E E
4m
12..715 4.9F Q图5(mkN) F
2.15 4m
3.7 D
NDE=0 3.7
29.3
A
45.2 C 3.7
NCB
0
2.15
NCF
NCB=－2.15
NCF=－48.9
1 2 i
2
64 3i
⑥校核: M1 12 +12 - 24 0
X Q3A + Q1B + Q2C -17 +13 + 4 0
r22=9i/8
3i / 2
M2
3i / 4
44
↑↑↑↑↑↑
12 24
12
（f）
28
M
（kN.m）
16
Q3A
Q1B
Q2C
Q3 A
-
-44 4
+
(- 14 2
43）4 解方程，求结点M位(移kN；.m)
2MθB+C 5θMC －CB3+=0MCE + 45 0
θC=1, θB= － 1,
5）mB将A 结3点 13位62 移 4代回24杆, m端CB弯 矩-m表BC达式12，124求2 出 1杆6,端弯矩；
6）mC校E 核-
12
3
4
2MB-641, m8E-C 18-
B
M EB - M BE 2EI
l
D B由得单M4位BiC 荷载法求
MBC 4iB + 2iC
14kN/m 4m
↑↑↑↑↑↑ ↑↑↑↑↑↑
例题8-5 用位移法按两种方法计算图8-13a示刚架并绘制弯矩图。 解法1：①基本未知量Z1，Z2及基本体系如图8-13b。②位移法典型方程 ③画单位弯矩图荷载弯矩图求系数和自由项
q4l02kN2.m0•42 --84q1l 2.7k-N82.m0•5
12 12
2
MBA
m 41.7kN.m
EE 300I..77355.M59图(kN.M300)I..55 MCB
MCD
3.9FF7 MCF
4m
5m
4m
MBC
M BE =3θB － 1.125Δ =5.0
CB
M M
M M
BA BC CB
6iq A l
+
12i l2
0
q Al 2
l
↓↓↓↓↓↓ ↓
C
D
B
已知结构弯 A
矩图如图，求结
点 B的转角。
E
F
l
l
l
√A
B
M BA 3i
mBA
√C
MB BA
M3BiEB 4i
+
mBA
√E
MB BE
2M4iBCB 6i
MCB
M BC 4i B + 2iC M CB 2i B + 4iC
√B
1
R2P=0
↑↑↑↑↑↑
2I
I
I
2I
I （a） C
（b） 基本体系
（c）
R2P=21
MP
4m
4m
28
6i r11=16i r21=-3i/2 4i
6i
（d）
M1
2i
3i / 4
r12=-3i/2
（e）
3i / 2
④ 16i1 - 3i 2 2 0
- 3i 2 1 + 9i 8 2 - 21 0
⑤叠加M图如图.
0
(2)
qC
3ql 2 44i
,
D
7ql3 44i
单元练习
2m 2m
位移法的计算步骤：
12kN/m 45kN.m
12））（M定确列B铰A向=定杆结支6位端θ点座B+移弯、的2法4矩铰侧的表支移基=达座不1本8式的作未；转为知角基量，θBθC；32kN↓↓B↓22↓E↓I↓Ei↓=I↓1↓↓↓↓↓C↓
1
D
EI
E
QDE - 9 P
2Pl Pl l
99
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
BC
D
解：1、基本未知量θC，ΔD
E
2、列杆端弯矩表达式
l
EI=C