虚功原理讲解
附录Ⅰ虚功原理及其应用(修订版)
CD
FN i FN i li (2 2) Fa Fa 1.138 Ei Ai 3EA EA i 1
n
()
21
I.3
图乘法*
22
I.3 图乘法*
梁和刚架的莫尔积 M ( x) M ( x) dx （a） 分公式可表示为： l EI 对于莫尔积分的计算，既可采用前面的直接 积分法，还可采用下面的图乘法。
I.2.1 单位载荷法
利用虚功原理可导出计算 结构一点位移的单位载荷法， 具体步骤如下： 位移状态
为求结构任一指定位移 力状态 （如图a所示）；就在结构的 位移点沿位移方向作用一单 位力（如图b所示）。 图b中的内力分别为：F （ ），M （x）和F （ ）。 N x Q x 把图（b）作为虚功原理的力状态，再把图（a）作为其 位移状态，则虚功原理（式13.18）可化为：
表示外力作用点沿外力方向的
虚位移，产生虚位移中外力保持不变，则其总虚功为：
W F1v1 F2v2 F3v3 q( x)v ( x)dx （a） l
i
注意：这种算法中， 杆件上的内力所做虚功为零。
5
I.1 虚功原理
而按另一种方法计算
总虚功，取右图所示 微段，分析表明：只 有两端内力在其虚变 形上做虚功，为
（b）
若轴力沿杆轴线为常量，（b）式化为：
FN l
n
（ c）
对有n根杆的杆系，如桁架等，（c）式化为：
FNi li
i 1
（13.21）
12
I.2 莫尔积分及单位载荷法
同理，对受扭杆件，亦可推导得：
M x ( x ) d
l
（*13.22）
虚功原理
虚功原理的证明
必要性
设质点系处于静力平衡状态， 设质点系处于静力平衡状态，证明作用于质点系所 有主动力所做虚功之和为 0。 。 r r Fi + Ri = 0 已知 设该体系有一虚位移， 设该体系有一虚位移，则对其中某一质点有
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri = 0
∑
n
i =1
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri =
1
基本概念
（1）虚位移 ）
想象中可能发生的无限小的位移， 想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束， 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有
r 改变（δt =0）， 表示为 δ r ） 。
关于虚位移的说明 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
3
虚功原理
设一个完整的由n 个质点组成的力学 系统， 系统，在k 个理想约束条件下处于静平衡 状态。 状态。其中第i 个质点受到的主动力为 F 则该体系静力平衡条件为： 约束力为 R ，则该体系静力平衡条件为：
i i
∑
n
i=1
uu r u r F i .δ r i = 0
虚功原理的证明
充分性
设作用于质点系所有主动力中所做虚功之和为 0， ， 证明该质点系处于静力平衡。用反证法。 证明该质点系处于静力平衡。用反证法。 设质点系在所有力作用下不平衡，则其中某些质点 设质点系在所有力作用下不平衡， 将从静止进入运动状态，于是对质点系内任意质点上有 将从静止进入运动状态，
10δr1 − RDδrD + 8δr2 = 0
如何求虚位移间的关系 由几何关系
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理结构力学虚功原理是结构力学中的一个重要概念，它是通过能量方法来分析结构的力学性能和变形规律的一种理论工具。
虚功原理的提出，为结构力学的研究和工程实践提供了一种简洁而有效的分析方法，对于工程结构的设计和优化具有重要意义。
首先，我们来看一下虚功原理的基本假设。
虚功原理假设结构在受力作用下，其位移满足虚位移的要求。
所谓虚位移，是指在结构受力作用下，结构的位移不仅满足实际受力平衡条件，还需满足虚位移的平衡条件。
这个假设为后续的分析提供了基础，也是虚功原理得以应用的前提。
虚功原理的核心思想是能量守恒。
在结构受力作用下，结构内部会产生应变能和变形能，而外部施加的力会做功。
根据能量守恒的原理，结构受力平衡时，内部的能量增加等于外部做功，这就是虚功原理的基本表达式。
通过对这个表达式的分析，可以得到结构的受力方程和变形规律，为结构设计和分析提供了重要的依据。
虚功原理的应用非常广泛，它可以用于分析各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。
在工程实践中，虚功原理常常被用于分析复杂结构的受力性能，比如钢结构、混凝土结构等。
通过虚功原理的分析，可以得到结构的内力分布、变形情况，为结构的设计和施工提供了重要的参考依据。
除此之外，虚功原理还可以用于结构的优化设计。
通过对结构受力性能的分析，可以找到结构的薄弱环节，进而对结构进行合理的优化设计，提高结构的受力性能和使用效率。
这对于工程结构的安全性和经济性都具有重要意义。
总的来说，结构力学虚功原理是结构力学中的重要理论工具，它通过能量方法来分析结构的受力性能和变形规律，为工程结构的设计、分析和优化提供了重要的理论依据。
在工程实践中，虚功原理的应用具有重要的意义，可以帮助工程师更好地理解和分析结构的受力性能，为工程结构的设计和施工提供重要的参考依据。
通过对虚功原理的深入研究和应用，可以推动结构力学理论的发展，为工程结构的安全性和经济性提供更好的保障。
虚功原理(微分形式的变分原理)
代入虚功原理中, 代入虚功原理中,有
∂V ∑ ∂q δqα = 0 α =1 α
s
即, δV = 0
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
三、虚功原理的应用
例题3 如图所示, 匀质杆OA, 质量为 1, 长为 1, 能在 质量为m 长为l 例题 如图所示 匀质杆 转动, 竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动 此杆的 A端 转动 端 用光滑铰链与另一根质量为m 长为 长为l 用光滑铰链与另一根质量为 2,长为 2的匀质杆 AB r 相连. 求处于静平衡时, 相连 在 B端有一水平作用力 .求处于静平衡时 两 端有一水平作用力 求处于静平衡时 F 杆与铅垂线的夹角ϕ1和 ϕ2. 1、判断约束类型 、 x O 是否完整约束?是否理想约束 是否理想约束? 是否完整约束 是否理想约束 ϕ 1 l1 2、判断自由度 、 l2 A A 、 B 两点的位置，4个变量 两点的位置，
q1 = ϕ1 , q2 = ϕ 2
r r r r ∂r3 r ∂r1 r ∂r2 +F⋅ Q1 = m1 g ⋅ + m2 g ⋅ l1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 y1 = 2 cos ϕ1 ∂x ∂y ∂y = m1 g 1 + m2 g 2 + F 3 l2 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 y 2 = l1 cos ϕ1 + cos ϕ 2 2 1 = − m1 gl1 sin ϕ1 − m2 gl1 sin ϕ1 + Fl1 cos ϕ1 x3 = l1 sin ϕ1 + l 2 sin ϕ 2 2 =0
广义平衡方程
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 所满足的方程: 可求出系统处于静平衡时ϕ1，ϕ2所满足的方程
虚功原理资料
虚功原理
在物理学中，虚功原理是一个重要的概念，它在力学、电磁学等领域有着广泛的应用。
虚功原理是基于能量守恒和力学平衡的原理，通过考虑系统内部各部分之间的相互作用，从而得出系统达到平衡的条件。
1. 虚功原理的基本概念
在力学中，虚功原理可以简单地表述为：在一个平衡的力学系统中，作用在系统内所有部分的外力所作的虚功之和为零。
这意味着系统内各个部分之间的相互作用满足一个使得整个系统保持平衡的条件。
2. 虚功原理在力学中的应用
在力学中，虚功原理可以应用于弹簧系统、摩擦力系统等各种力学问题的分析中。
通过将系统分解为各个部分，并考虑各部分之间的相互作用，可以利用虚功原理来求解系统的平衡条件和运动规律。
3. 虚功原理在电磁学中的应用
在电磁学中，虚功原理同样具有重要的作用。
在电磁场中，电荷之间的相互作用可以通过虚功原理来描述，从而推导出麦克斯韦方程组等电磁学的基本规律。
4. 虚功原理的应用举例
以简单的弹簧振子系统为例，可以通过虚功原理来推导出系统的振动方程，并进一步分析系统的动力学行为。
类似地，可以将虚功原理应用于其他复杂系统的分析中，从而揭示系统的运动规律和平衡条件。
5. 结语
虚功原理作为力学和电磁学中的重要原理之一，对于系统的分析和理解具有重要意义。
通过应用虚功原理，可以更深入地理解自然界中的各种物理现象，为科学研究和工程应用提供有力的理论支持。
在今后的研究和应用中，虚功原理必将继续发挥重要作用，推动科学技术的发展和进步。
结构力学虚功原理PPT课件
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
位移为广义位移，力是与广义位移对 应的广义力。
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
(3)求解时关键一步X 是找出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
例题9-1 用单位位移法求图 a所示多跨静定梁的支座反 力FBy和截面E处的弯矩ME。
解：（1）求支座反力FBy
1
1 2
,2
3 4
虚功方程：X 1+FP11+FP22 =0
解得：
bc / a 找出虚力状态的静力
这是虚单位荷载法 (Dummy-Unit平L衡oa关d 系Me。thod)
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出(解4，)几是故何用也问静称题力为。平衡法来
Maxwell-Mohr Method
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
平衡力状态之间----虚位移原理
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(实(12将通))际对虚由常受静位外力取定移X力状结与/ 虚态构实C的功，际平这 力a总/衡里 状b和方实 态代1为程际 无入零用 关得，的,故:是即可刚M设：体B虚XX位x0移X原b1P理P/，a 实C质上0是
力学系统的虚功原理与最小能量原理
力学系统的虚功原理与最小能量原理力学是研究物体运动和力的学科，虚功原理和最小能量原理是力学中的两个重要概念。
虚功原理是指在平衡状态下，外力对于系统所做的虚功为零；最小能量原理则是指在运动过程中，系统的能量达到最小值。
本文将介绍力学系统的虚功原理与最小能量原理，并探讨其在实际问题中的应用。
一、虚功原理虚功原理是力学中的一个重要原理，它描述了力学系统在平衡状态下外力对系统所做的虚功为零。
虚功原理的基本思想是，当系统处于平衡状态时，任何微小的虚位移所做的功都是虚功，而这些虚功的总和为零。
虚功原理的应用十分广泛。
例如，在静力学中，我们可以利用虚功原理来求解物体的平衡条件。
在弹性力学中，虚功原理可以用来推导物体的弹性形变和应力分布。
在动力学中，虚功原理可以用来推导物体的运动方程。
二、最小能量原理最小能量原理是力学中的另一个重要原理，它描述了力学系统在运动过程中系统的能量达到最小值。
最小能量原理的基本思想是，系统在运动过程中，会通过各种力的作用进行能量的转化，而系统的能量会趋向于最小。
最小能量原理的应用也非常广泛。
例如，在弹性力学中，我们可以利用最小能量原理来求解物体的弹性形变和应力分布。
在动力学中，最小能量原理可以用来推导物体的运动方程。
此外，在流体力学中，最小能量原理可以用来推导流体的运动方程和流速分布。
三、虚功原理与最小能量原理的联系虚功原理和最小能量原理在某种程度上是相互关联的。
虚功原理描述了系统在平衡状态下外力对系统所做的虚功为零，而最小能量原理描述了系统在运动过程中系统的能量达到最小值。
虚功原理可以看作是最小能量原理的一种特殊情况，即在平衡状态下系统的能量已经达到最小值。
虚功原理和最小能量原理的联系在实际问题中具有重要意义。
通过应用虚功原理和最小能量原理，我们可以求解物体的平衡条件、弹性形变、应力分布、运动方程等问题。
这些原理为我们研究力学系统提供了重要的理论工具。
总结起来，虚功原理和最小能量原理是力学中的两个重要概念。
虚功原理讲解
（续）
● 反力位移互等定理：k12
21 （量纲不同）
● 四个互等定理的应用范围：
⑴ 线弹性结构（静定、超静定，满足虎克定律）；
⑵ 结构变形（位移）微小（叠加原理成立）。
结论：
① 功的互等定理最基本，可据之推导其它三个定理。 ② 变形体的虚功原理和线弹性体的互等定理是力学
中的基本原理，是结构分析的重要工具。
• 实功原理求位移——能量法（功能原理） • 虚功原理——单位荷载法 • 线弹性体位移计算 应用条件（亦即叠加原理的应用条件）： ⑴ 材料满足虎克定律 ⑵ 结构变形微小，不影响力的作用。
§9.2 虚功和虚功原理
●
虚功的概念（虚功不虚！）
力P与经历的位移Δ独立无关（无因果关系！） “虚功”区别于“实功”，并非不存在。 ● 虚功原理（包含虚位移原理和虚力原理） ◆ 定义：外力所做的虚功等于外力产生的内力在 微段上所做的虚功之和。 ◆ 虚功方程：外力虚功=内力虚功（ We Wi ） ◆ 虚位移原理 位移状态：可能的位移；力状态：真实的平衡力系。
（续）
●
虚力原理
位移状态：真实的位移（拟求）； 力状态：虚拟的平衡力系（加单位荷载）。
●
微元分析（计算变形体内力虚功）
广义力：N、Q 、M ；广义位移：dλ、dη、dθ 广义虚力： N 、Q 、M 微元内力虚功： dWi Nd Q d Md
§9.3 单位荷载法及其位移计算公式
●
NP EA
NP , d ds ds EA
平均切应变：
QP 0 k GA
QP , d 0 ds k ds GA MP , d ds ds EI
弯曲应变：
MP EI
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MM P EI
ds
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
3。荷载作用下位移计算的步骤：
⑴ 沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；
⑵ 由静力平衡条件，求出结构虚内力 N Q M
⑶ 由静力平衡条件，计算实际荷载下结构内力NQM
⑷ 代入如上公式，计算Δ。
4。各类结构的位移计算公式
● 梁和刚架
MM EI
B Mi ( x)Mk ( x) ds 1
A
EI
EI
B
A Mi Mkdx
1 EI
B
A ( x tan )Mkdx
1 tan
EI
B
A xMkdx
1 EI
tan ( Ax0 )
1 EI
A( x0
tan )
1 EI A y0
（ A 与 y0同侧为正、异侧为负）
四、图乘的分段和分块叠加
1. 常见图形的面积和形心
P
ds
（仅取一项）
● 桁架
NNP EA
ds
NNP EA
l
●
组合结构
MM EI
P
ds（梁式杆）
NNP EA
l（链杆）
●拱
MM EI
P
ds
NNP EA
ds
● 微弯曲杆（同梁）
5。荷载作用下位移计算举例（积分法）
例1. 求刚架（折杆）自由端A点的竖向位移（挠度）
ΔAY（E、I、A=常数）。
q
B x
A x A
• 实功原理求位移——能量法（功能原理） • 虚功原理——单位荷载法 • 线弹性体位移计算
应用条件（亦即叠加原理的应用条件）： ⑴ 材料满足虎克定律 ⑵ 结构变形微小，不影响力的作用。
§9.2 虚功和虚功原理
● 虚功的概念（虚功不虚！）
力P与经历的位移Δ独立无关（无因果关系！） “虚功”区别于“实功”，并非不存在。
结论：
⑴ 对于浅梁，轴力和剪力影响所占比重不大。
⑵ 轴力项和剪力项通常可略去，仅取弯矩项。
例2. 计算图示桁架下弦中点C的挠度。已知各杆弹
性模量 E 2.1108 kPa，截面面积 A 12cm2 。
思考：虚拟状态（单位荷载）的选取
求桁架如下位移： D点水平位移 DB间距改变 CD高差改变 CE杆转角 CD杆与CE杆相对转角（夹角DCE改变量）
AB段： M x , N 0 , Q 1 BC段： M l , N 1 , Q 0 3. 代入位移计算公式：
AV
MM P EI
ds
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
（续）
l 0
(x)
qx2 2
dx EI
l 0
(l)
ql 2 2
dx EI
l (1)(ql) dx
● 虚功原理（包含虚位移原理和虚力原理）
◆ 定义：外力所做的虚功等于外力产生的内力在 微段上所做的虚功之和。
◆ 虚功方程：外力虚功=内力虚功（ We Wi ）
◆ 虚位移原理 位移状态：可能的位移；力状态：真实的平衡力系。
（续）
● 虚力原理
位移状态：真实的位移（拟求）； 力状态：虚拟的平衡力系（加单位荷载）。
l
k (1)(qx)
dx
0
EI 0
GA
5 8
ql 4 EI
ql2 EA
kql2 2GA
5 8
ql 4 EI
1
8 5
I Al2
4 5
kEI GAl2
5
ql 4
1
2
h
2
2
E
h
2
8 EI 15 l 25 G l
（续）
5 8
ql 4 EI
1
1 750
1 500
其中，设 h/l =1/10，取G = 0.4E，k = 1.2
例3. 图示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形， 圆弧AB的圆心角为α，半径为R 。设沿水平线作用均 布荷载q，求B点的竖向位移。并比较剪切变形和轴 向变形对位移的影响。
实际 状态
虚拟 状态
（续）
忽略小曲率杆的曲率影响，仍用直杆位移公式。
实际荷载
虚拟荷载
MP
1 2
qx2
NP qxsin
M x
第九章
虚功原理
和
结构位移计算
§9.1 位移计算概述
1。位移计算的目的 • 验算结构的刚度（刚度条件、施工控制）
• 计算超静定结构（力法）
2。结构位移的分类 • 位移与变形（外因作用下）
• 刚体位移与形变位移 • 线位移：点沿直线移动；角位移：截面转动 • 广义力与广义位移
（续）
3。位移计算的原理与方法 • 积分法求挠曲线方程—— EIy M
凸抛物线：
S n hl n 1
,
xc
n 1 2(n 2)
l
(短）
凹抛物线：
1
1
S hl n 1
,
xc n 2 l
(短）
2. 折线分段图乘与变截面分段图乘
3. 复杂图形分块图乘（面积和形心位置难确定）
五、图乘法计算位移举例
● 位移计算的一般公式：
Nd Qd Md Rc
§9.4 荷载作用下的位移计算
1。假设材料是线弹性的（满足虎克定律）
轴向应变：
NP
,
d ds NP ds
EA
EA
平均切应变：
0
k
QP GA
,
d
0ds
k
QP GA
ds
弯曲应变：
M P , d ds M P ds
EI
EI
（续）
2。直杆在荷载作用下计算弹性位移一般公式：
N sin
QP qx cos
Q cos
坐标变换：x Rsin , y R(1 cos ) , ds Rd
*例4. 试求图示简支梁在中点C的竖向位移Δ，并比
较 弯曲变形与剪切变形对位移的影响（梁的截面为
矩形：b×h）。
பைடு நூலகம்
q
A x
C
B
l/2 l/2
P=1
A
B
xC
l/2 l/2
实际位移状态
虚拟力状态
答案：
CV
5ql 4 384 EI
§9.5 图乘法 （维利沙金,1925）
一、图乘法的应用条件： ● 直杆 ● EI不变 ● 至少有一个直线弯矩图
（竖标 y0应取自直线图）
二、图乘法的计算公式
MM EI
P
ds
()
1 EI
Ay0
公式推导示意图
三、图乘法公式的推导
B M M P ds
A EI
B
x
P=1 A x
l
C
C
l
实际状态（位移、变形）
虚拟状态（力）
解：
1. 逐杆建立坐标系，并分别写出实际状态
的各杆内力方程。
AB段：
MP
qx2 2
,
NP 0 ,
QP qx
BC段：
MP
ql 2 2
,
NP ql ,
QP 0
（续）
2. 在A点加一竖向单位荷载作为虚拟状态，并 写出该状态内力方程。
● 微元分析（计算变形体内力虚功）
广义力：N、Q 、M ；广义位移：dλ、dη、dθ
广义虚力：N 、Q 、M
微元内力虚功： dWi Nd Q d Md
§9.3 单位荷载法及其位移计算公式
● 虚拟力——单位荷载（最简） P=1 或 M=1 或 广义单位力（成对）
● 总外力虚功： P Rc 总内力虚功：