分析力学第二章虚功原理及应用
取 s=3N-k 个独立的广义坐标
来表示出任意质点位矢，即
r ri
r ri
(q1
,
q2
,L
, qs )
(i 1, 2, L , N)
变分得：
rri
s 1
rri q
q
W
N i 1
r Fi
rri
N i 1
r Fi
s
1
rri q
q
s
= =1
N i 1
r Fi
r ri
yC =-|OC|sin=-
R2
-
a2 4
sin
δyC
=-
R2- a2 cosδ=0
4
Q δ 0, cos 0 , 3 .
22
例4. 均匀杆OA，重P1 ，长为l1，能在竖直平面内绕固定光滑铰链O转动，此 杆的A端用光滑铰链连接另一重为P2 ，长为l2的均匀杆AB。在AB杆的B端加一
水平力。求平衡时此两杆与水平线所成的角度及。
因此必有某一虚位移与实位移重和，即
。因此
但在理想约束下，
； 于是有
显然，此结论与原假设相矛盾，这说明如果满足
质点系不能从静止进入运动；即质点系处于原来平衡状态。
2. 虚位移原理的各种形式
(1). 矢量形式
N
r Fi
r ri
0
i 1
(2). 广义坐标形式
假设N个质点组成的质点系，受到k个不可解、理想、稳定的约束，则可
x B
(xA +xB )2 +(yA +yB )2 =4R 2 -a2
y
x
C
y
C
= =
1 2 1 2
(x A (yA
+xB ) +yB )
x
2 C
+yC2
=R
2
-
a2 4
o
A
CPr
x B
因此取杆重心C的纵坐标 为广义坐标，则杆的位置完全确定。平衡时，虚
位移原理为：
PδyC =0 δyC =0
[充分性]反推由结论推导已知
设主动力的虚功之和为零，即
； 但质点系不平衡；这意
味着质点系中必有 部分质点由静止进入运动，现取这样的一个质点来分析。 当质点不平衡时作用在其上的主动力与约束力的合力不为零，即
此质点将沿着其所受的合力 的方向由静止开始运动，故 做正功为：
因此，对于整个质点系有
由于质点系受到的约束是稳定的完整约束，所以实位移是虚位移中的一个，
例3. 如图所示，均匀杆AB长为a，重P，约束在一个固定光滑的铅直圆环中。
圆环的半径为R，求其平衡位置。
解：根据已知知道该系统有三个约束条件，自由度为
s=1.设Ａ、Ｂ、C三点坐标分别为
y
x x
2 A
2 B
+y
2 A
=R
2
+y
2 B
=R
2
(xA -xB )2 +(yA -yB )2 =a2
o
A
C
r P
设力学体系由N个质点组成，受k个完整约束。对第i个质点来 说，平衡时应有
设每一个质点在平衡位置发生一个虚位移 , 则作虚功为:
对所有质点取和：
由于约束是不可解的、理想的， 因此有
于是
δW=
N
r Fi
δ
r ri
=0
i=1
N
或
δW= (Fixδ xi +Fiyδ yi +Fizδ zi )=0
i=1
是分析力学的一个基本原理。
§2、 虚位移原理的应用 1. 用虚功原理解静力学问题
例1. 离心调速器如图，已知小球AB的重量都是P，套筒C 和各杆的重量
均不计，套筒的尺寸和系统摩擦也不计。AD=BC=b，OC=OD=a，在铅直轴
上作用一力偶，其力偶矩为M。若取调速器转角为 及杆AD和BC与铅直线 间的夹角 为广义坐标，求对应的广Q义力Q和 。
Qα Q
= 2Pbsinα =M
P
P y
例2. 如图所示的劈，求平衡时P, P1, P2 之间的关系。
解：取三物体为系统，设各接触面都是光
r
P
滑的且满足理想约束条件。系统有两个自 r
r
由度。取直角坐标xoy，劈尖C(x,y)为广义 P2
r
P1
坐标，A(x1 ,0)，B(x 2 ,0) 。
BP1 A C
由虚功原理：
Pδy+P1δx1+P2δx2 =0
由几何关系写出约束方程：
x1 =x+ytgα x2 =x-ytgα
δx1 =δx+δytgα δx2 =δx-δytgα
(P-P1tgα-P2tgα)δy+(P2 -P1)δx=0
由于
是相互独立的，故得平衡条件：
PP2-P-P1t1g=α0-P2tgα=0 PP2==2PP11tgα
q
q =0
定义：
为对应于广义坐标 的广义力，则有
s
δW= Qαδqα =0 -----虚功原理的广义坐标形式 α=1
它表明受理想约束的体系处于平衡的充要条件是所有作用在体系上的广
义力等于零，即
Q
N i 1
r Fi
rri q
0,
1, 2, L , s
若不用广义坐标对虚功原理作变换，仍采用不独立的直角坐标形式，则 不能直接用来求解具体的问题，这时需要应用拉格朗日不定乘子法求解。 3. 虚功原理的意义
第二章 虚功原理及其应用 §1、虚位移原理 1.虚位移原理及其证明 虚位移原理，亦称虚功原理，其表述如下： 在不可解、理想、完整、稳定的约束下，力学系统平衡的充要条件 是作用在系统上的主动力在任何虚位移中所作元功之和等于零。
注：平衡是指在诸主动力作用下系统仍然保持原来状态。 证明：[必要性]由已知推结论
由虚功原理，有oyC1(x1, y1)P1 A
C2(x2, y2)
F
x P2 B(x3, y3 )
解：建如图直角坐标系, 系统所做虚功为：
DC
x
O
A
B
δW=Pδy1+Pδy2 +Mδ -2Pbsinαδα+Mδ P =Qαδα+Q δ
P y
-2Pbsinαδα+Mδ Qαδα+Qδ
DC
x
(Qα +2Pbsinα)δα+(Q -M)δ 0
O
由于
是相互独立的，有
A
B
Qα Q
+2Pbsinα=0 M)=0
解 ： 我们只要能确定A、B两点的位置，问题 就可解决。因为这是一个平面问题，确定A、B 两点的位置需要四个坐标，但有两个约束方程:
OA l1, AB l2
所以只有两个自由度。现取及为两个广义坐 标。因两杆均匀，则和两重力作用点分别在两
杆的中点。设此两中点的坐标分别为 (x1,y1) 和 (x2 ,y2 ), 并设的作用点B的坐标(x3,y3 ) , 则
(1). 虚功原理是静力学的最普遍的原理，由它可以推导出全部静力学。 (2). 虚位移原理是从功的观点来研究力学系统的平衡的，而几何静力学
是从力的观点来研究平衡的。 (3). 当系统有较多约束时，利用分析静力学的方法解静力学问题比几何
静力学简单得多。 (4). 虚功原理与达朗伯原理联合而构成动力学普遍方程，因此虚功原理
虚功原理和位移计算
位移是描述物体位置 变化的量，是运动学 的基本概念之一。
位移是矢量，具有大 小和方向两个物理量 ，可以用矢量表示。
位移的大小表示物体 在某一方向上移动的 距离，方向则表示移 动的方向。
位移计算的应用场景
工程设计
在机械、建筑、航空航天等工程领域中，需要进行结构分析和优 化设计，位移计算是其中的重要环节。
02
位移计算是确定物体位置和运动轨迹的过程，它涉及到对实际
位移的测量和计算。
虚功原理和位移计算在理论和实践上都有广泛的应用，它们在
03
某些情况下是相互关联的。
虚功原理在位移计算中的应用
在某些情况下，位移计算可以通 过虚功原理进行简化。
例如，当分析一个系统在平衡状 态下的位移时，可以使用虚功原
理来找到作用在系统上的力。
现潜在的安全隐患，并采取相应的措施进行维修和加固。
实例二：建筑结构稳定性分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
建筑结构稳定性分析是虚功原理和位移计算的重要应用之 一，通过分析建筑结构的位移变化，可以评估建筑物的稳 定性和安全性。
在建筑结构稳定性分析中，虚功原理和位移计算被广泛应 用于评估建筑物在不同载荷下的稳定性。通过在建筑物上 设置传感器和测量设备，可以实时监测建筑物的位移变化 ，并将数据传输到计算机进行分析。这些数据可以帮助工 程师评估建筑物的稳定性和安全性，及时发现潜在的安全 隐患，并采取相应的措施进行加固和维护。
通过将虚功原理应用于位移计算 ，可以确定系统在平衡状态下可
能的位移。
位移计算在虚功原理中的应用
01
位移计算的结果可以用来验证虚功原理的正确性。
02
通过测量和计算实际位移，可以验证虚功原理是否 成立。
结构力学虚功原理课件
刚体的位移
01
刚体的位移
在结构力学中，刚体的位移是研究结构在受力作用下的变形和运动状态
的基本概念。刚体的位移涉及到结构的位移、转角、挠度等参数，这些
参数可以通过测量或计算得到。
02
位移的测量
位移的测量是确定结构在受力作用下的变形程度和运动状态的重要手段。
通过测量位移可以了解结构的响应和行为，从而评估结构的性能和安全
能量原理与虚功原理的关系
能量原理与虚功原理 的联系
能量原理和虚功原理都是弹性力学中 的基本原理，它们之间存在密切的联 系。能量原理指出，对于一个处于平 衡状态的弹性体，其总能量（包括外 力势能和内能）在任何微小虚位移下 的改变量等于零。而虚功原理则是能 量原理的一种特殊情况，即当外力势 能忽略不计时，能量原理就变为虚功 原理。
03
虚功原理的推导
力的平衡方程
力的平衡方程是结构力学中的 基本方程，它描述了结构中力 的平衡条件。在平衡状态下， 作用在结构上的所有外力之和 为零。
力的平衡方程可以表示为：∑F = 0，其中∑F表示作用在结构上 的所有外力矢量和。
力的平衡方程是求解静力学问 题的基础，通过它我们可以求 解出结构的位移、应变和应力 等参数。
实例分析
以梁为例，通过应用虚功原理，可以分析梁在不同载荷下的变形和应力分布，从而优化梁的截面尺寸和 形状，提高其承载能力和刚度。
06
总结与展望
虚功原理的重要性和意义
结构力学中的虚功原理是分析结构稳定性和变形的关键理论之一，对于工程设计和建筑安全具有重要 意义。
虚功原理能够为结构设计和优化提供理论基础，帮助工程师更好地理解和控制结构的力学行为，提高结 构的稳定性和安全性。
变形方程，进而求解物体的内力和变形。
刚体的虚功原理和应用
刚体的虚功原理和应用1. 背景介绍刚体是物理学中一个重要的概念，它指的是在力的作用下，其形状和大小不发生变化的物体。
虚功原理是研究刚体力学性质的一种重要方法，它在解决刚体静力学和动力学问题中起到关键作用。
本文将介绍刚体的虚功原理以及其在实际应用中的相关案例。
2. 刚体的虚功原理虚功原理是指刚体平衡条件的一个重要理论基础。
它可以通过物理实验和数学推导来证明。
2.1 虚位移虚功原理中关键的概念是虚位移。
虚位移是指在物体受力作用下，被限制在某些条件下的位移。
虚位移的特点是没有实际发生位移，而是一种假想的状态。
虚位移可以用来推导刚体平衡条件。
2.2 刚体平衡条件刚体平衡条件是指刚体处于平衡状态时，作用在刚体上的各个力和力矩之间存在一种平衡关系。
根据虚功原理，刚体平衡的必要条件是所有作用在刚体上的外力和力矩的虚功之和等于零。
这一条件可以用数学表达式来表示。
3. 刚体虚功应用案例3.1 杠杆原理虚功原理可以应用于杠杆的分析。
杠杆是一种常见的刚体应用，它可以将力的大小和方向进行调整。
虚功原理可以用来解释杠杆的工作原理，以及杠杆的力矩平衡条件。
3.2 倾斜平面虚功原理还可以应用于倾斜平面的分析。
倾斜平面是一个倾斜角度不为零的平面，它可以改变物体所受到的重力和摩擦力。
通过虚功原理的分析，我们可以推导出倾斜平面上物体的受力情况，以及物体在倾斜平面上的静态和动态平衡条件。
3.3 扭矩原理除了杠杆和倾斜平面，虚功原理还可以应用于扭矩的分析。
扭矩是指刚体受到力矩作用时所产生的转动效应。
虚功原理可以帮助我们理解扭矩的平衡条件，以及在实际应用中如何利用扭矩来实现机械工作。
4. 总结刚体的虚功原理是一种重要的力学方法，在解决刚体平衡和运动问题中具有广泛的应用。
本文介绍了虚功原理的概念、刚体平衡条件和一些相关应用案例。
通过对虚功原理的学习和理解，我们可以更好地理解刚体的力学性质，并在实际应用中应用这一原理。
虚功原理——精选推荐
虚功原理ΔCΔCyΔCxiP静定结构结构位移计算§4.1 应⽤虚⼒原理求刚体体系位移1、结构的位移：结构在荷载作⽤下，要产⽣内⼒和变形，结构的变形引起结构的位移，位移⼀般分为线位移和⾓位移两种，线位移是指结构上点的移动，⾓位移是指杆件横截⾯产⽣的转动。
2、产⽣位移的主要原因产⽣位移的主要原因主要由上述三种：①荷载作⽤、②温度改变和材料胀缩、③⽀座移动和制造误差。
(1)荷载使静定结构产⽣内⼒、变形、位移；（2）温度改变或材料胀缩使静定结构不产⽣内⼒、但能产⽣变形、位移；（3）⽀座移动或制造误差使静定结构不产⽣内⼒变形、但能产⽣位移；§4.2 结构位移计算的⼀般公式如结构在荷载、温度改变、⽀座移动等因素作⽤下⽽发⽣了图1所⽰变形和位移，这是结构的实际的位移状态。
要利⽤虚功⽅程求位移Δi2（状态②中i ⽅向的位移）。
应先虚拟⼒状态：在欲求位移处沿着求位移的⽅向，加上与所求位移相应的⼴义单位荷载（如图2）。
求出虚拟⼒状态的内⼒和反⼒。
由虚功⽅程，即得平⾯杆系结构位移计算的⼀般公式：该式适⽤于：①静定结构和超静定结构；②弹性体系和⾮弹性体系；③各种因素产⽣的位移计算。
4.3 荷载作⽤下的位移计算如果弹性体系由荷载产⽣了内⼒（M P ，N P ，Q P ），⽽内⼒产⽣的变形可由材料⼒学公式得到：(a )M PM(b )注意：1．该式可⽤来求弹性体系由荷载产⽣的位移；2．该式既⽤于静定结构也⽤于超静定结构；3．第⼀、⼆、三项分别表⽰弯曲变形、轴向变形、剪切变形产⽣的位移；4．结构不同简化为：梁、刚架只考虑弯曲变形：桁架只有轴向变形：组合结构：对于具有弹性⽀承和内部弹性联结的结构，在位移计算公式中应增加⼀项弹性⼒的虚功项：N i N P /k ，N i ，N P 分别为虚拟状态和实际状态中弹性⽀承和内部弹性联结的弹性⼒，两者⽅向⼀致时，乘积为正，否则取负，k 是弹性⽀承和内部弹性联结的为刚度系数。
虚功原理(物理竞赛)教学内容
虚功原理(物理竞赛)§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i F δ。
虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。
这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。
三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F 有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。
这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。
第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。
②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有两个。
一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用在杆子的质心上。
因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。
③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。
现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。
列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。
为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。
这种方法既方便而又不容易搞错。
在列方程时必须要注意这个问题。
∵F 的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B 取正，∴此力的虚功为负的，即：0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。
虚功原理(微分形式的变分原理)
代入虚功原理中, 代入虚功原理中,有
∂V ∑ ∂q δqα = 0 α =1 α
s
即, δV = 0
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
三、虚功原理的应用
例题3 如图所示, 匀质杆OA, 质量为 1, 长为 1, 能在 质量为m 长为l 例题 如图所示 匀质杆 转动, 竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动 此杆的 A端 转动 端 用光滑铰链与另一根质量为m 长为 长为l 用光滑铰链与另一根质量为 2,长为 2的匀质杆 AB r 相连. 求处于静平衡时, 相连 在 B端有一水平作用力 .求处于静平衡时 两 端有一水平作用力 求处于静平衡时 F 杆与铅垂线的夹角ϕ1和 ϕ2. 1、判断约束类型 、 x O 是否完整约束?是否理想约束 是否理想约束? 是否完整约束 是否理想约束 ϕ 1 l1 2、判断自由度 、 l2 A A 、 B 两点的位置，4个变量 两点的位置，
q1 = ϕ1 , q2 = ϕ 2
r r r r ∂r3 r ∂r1 r ∂r2 +F⋅ Q1 = m1 g ⋅ + m2 g ⋅ l1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 y1 = 2 cos ϕ1 ∂x ∂y ∂y = m1 g 1 + m2 g 2 + F 3 l2 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 y 2 = l1 cos ϕ1 + cos ϕ 2 2 1 = − m1 gl1 sin ϕ1 − m2 gl1 sin ϕ1 + Fl1 cos ϕ1 x3 = l1 sin ϕ1 + l 2 sin ϕ 2 2 =0
广义平衡方程
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 所满足的方程: 可求出系统处于静平衡时ϕ1，ϕ2所满足的方程
虚功原理资料
虚功原理
在物理学中，虚功原理是一个重要的概念，它在力学、电磁学等领域有着广泛的应用。
虚功原理是基于能量守恒和力学平衡的原理，通过考虑系统内部各部分之间的相互作用，从而得出系统达到平衡的条件。
1. 虚功原理的基本概念
在力学中，虚功原理可以简单地表述为：在一个平衡的力学系统中，作用在系统内所有部分的外力所作的虚功之和为零。
这意味着系统内各个部分之间的相互作用满足一个使得整个系统保持平衡的条件。
2. 虚功原理在力学中的应用
在力学中，虚功原理可以应用于弹簧系统、摩擦力系统等各种力学问题的分析中。
通过将系统分解为各个部分，并考虑各部分之间的相互作用，可以利用虚功原理来求解系统的平衡条件和运动规律。
3. 虚功原理在电磁学中的应用
在电磁学中，虚功原理同样具有重要的作用。
在电磁场中，电荷之间的相互作用可以通过虚功原理来描述，从而推导出麦克斯韦方程组等电磁学的基本规律。
4. 虚功原理的应用举例
以简单的弹簧振子系统为例，可以通过虚功原理来推导出系统的振动方程，并进一步分析系统的动力学行为。
类似地，可以将虚功原理应用于其他复杂系统的分析中，从而揭示系统的运动规律和平衡条件。
5. 结语
虚功原理作为力学和电磁学中的重要原理之一，对于系统的分析和理解具有重要意义。
通过应用虚功原理，可以更深入地理解自然界中的各种物理现象，为科学研究和工程应用提供有力的理论支持。
在今后的研究和应用中，虚功原理必将继续发挥重要作用，推动科学技术的发展和进步。
虚功原理概念
虚功原理概念
虚功原理是力学中的重要概念，主要运用于静力学和弹性力学的问题中。
该原理是通过比较系统在实际情况下的受力和在虚位移情况下的受力之间的差异，来推导出力学问题的解析解。
虚功原理的基本思想是，如果一个力系统处于平衡状态，则在任意虚位移下，系统所受到的合力必然为零。
这意味着在虚位移下，系统没有做任何实际的功。
因此，可以根据虚功原理来解决平衡问题。
虚功原理的应用主要涉及到两个方面：平衡条件和变形计算。
在平衡条件中，通过比较系统在实际情况下的受力和在虚位移情况下的受力，可以得出力的平衡条件。
在变形计算中，可以通过比较系统在实际变形和虚位移情况下的变形能量，来计算系统的位移和应变。
虚功原理的使用需要考虑以下几个要点：
1. 虚位移应满足几何约束条件，即虚位移必须满足系统的边界条件和约束条件。
2. 虚功原理可以应用于单个物体或整个力系统，这取决于具体的力学问题。
3. 虚功原理可以推广到三维空间中的力学问题，并且可以应用于弹性体和非弹性体。
4. 虚功原理还可以推广到动力学问题，即考虑物体的运动和加速度。
总之，虚功原理是力学中非常重要的概念，可以用于平衡条件
和变形计算。
通过应用虚功原理，可以简化力学问题的分析，得到解析解。
分析力学讲义-第二章
{T1l1 cos ϕ1 − m1 gs1 sin ϕ1 + T2l1 cos ϕ1 − m2 gs1 sin ϕ1 + T3l cos ϕ1 − m3 gl1 sin ϕ1}δϕ1 + {T2l2 cos ϕ2 − m2 gs2 sin ϕ 2 +
(f) T3l2 cos ϕ2 − m3 gl2 sin ϕ 2 }δϕ 2 + {T3l3 cos ϕ3 − m3 gs3 sin ϕ3}δϕ3 = 0 因 δϕ1 , δϕ 2 , δϕ3 彼此独立，由式(f)的系数为零，得到
T3 = m3 g
s3 tan ϕ3 。 l3
§2.2 广义力表示的虚位移原理
对于有 N 个质点的质点系，其自由度为 k，可以选取 n=k 个广义坐标 qj (j=1,2,…,k)，以 Fi 表示作用于质点 Pi 上的主动力合力，δri 为质点的任意虚位移。这时质点系各个质点位置 的矢径可表示为：
ri = ri (q1 , q2 ,..., qn , t )
将（2.10）代人（2.8）有：
N ∂V ∂xi ∂V ∂yi ∂V ∂zi − − − Qj = ∑ ∂x ∂q ∂yi ∂q j ∂zi ∂q j i =1 i j
(2.10)
(2.11)
当采用广义坐标时， xi，yi，zi， （i=1,2,…,N）均为广义坐标 qj (j=1,2,…,k)的函数，势能 V=V(xi，yi，zi，t)（i=1,2,…,N）也是广义坐标 qj (j=1,2,…,k)的函数，则其对 qj 的偏导为：
(2.9)
（3） 若力系{Fi}（i=1,2,…,N）中所有力均为有势力，即系统处于势力场中，相应的势 能为 V=V（xi，yi，zi，t） （i=1,2,…,N） ，则各个质点合力 Fi 的分量可以表示为：
虚功原理-分析力学
10δr1 − RDδrD + 8δr2 = 0
如何求虚位移间的关系 由几何关系
δr1 1 = δrD 2
2
对于静力平衡条件的回顾和引伸
（1）力的平衡 ）
r ∑F = 0 ⇒
∑F δx
ix
i
=0
（2）力矩平衡 ）
uu r ∑M = 0 ⇒
∑F δ y
iy
i
=0
结
论
牛顿力学中的平衡条件在分析 力学中只要一个条件即可表达， 力学中只要一个条件即可表达，即 主动力所作虚功之和为零。 主1 , 2 , L , n
（2）理想约束 ）
如果在任何时刻， 如果在任何时刻，对于系统的任何 虚位移，约束力所作的虚功之和等于零， 虚位移，约束力所作的虚功之和等于零， 则系统受到的约束是理想约束。 则系统受到的约束是理想约束。
∑ Rδ x
i =1 i
3n
i
=0
r r ∑ Ri ⋅ δ ri = 0
虚功原理的分量表达式
n uu u r r δ W = ∑ Fi .δ ri = ∑ ( Fixδ xi + Fiy δ yi + Fizδ zi ) = 0 n i =1 i =1
问题： 问题：什么情况下上式成立的条件是
Fix = Fiy = Fiz = 0
虚功原理的广义坐标表达式
广义座标表示的虚功原理： 广义座标表示的虚功原理：受理 想约束的体系处于平衡状态的充要条 件是 Q = 0 ，其中
重物。 重物。设 A 点的顶角为 2α ，试用虚功原理求 绳中的张力。 绳中的张力。
作业 图示曲柄式压榨机的销钉上作用有水平力F ，此力位 于平面 ABC内。作用线平分 ∠ABC 。设AB = BC ， ∠ABC = 2θ， 各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。 解：取机构为研究对象，受力如图 建立图示坐标系，以 θ 角为自变量 δ 如两点的虚位移为 δ x B ， y C 根据虚 位移原理，有