集合与简易逻辑专项复习
【新人教】高考数学总复习专题训练集合与简易逻辑
第一章集合与简易逻辑【知识网络】【学法点拨】集合与简易逻辑是近代数学中最基本、应用非常广泛的基础知识，是研究数学问题、进行数学思维的基本工具．集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支，有关简易逻辑常识与原理无不贯穿在数学的分析推理、计算与探索之中．复习巩固有关知识，对于提升数学语言素养，增强解决数学问题能力、提高思维能力等都会产生一定的影响，同时也为今后进一步学习高等数学打好基础．解决集合问题时一要注意吃透概念，准确表示，善于推理判断，并留心元素互异性的特征的利用、所给集合能否为空集的讨论、所求特定系数的取舍；二要注意集合与函数、方程、不等式、三角、解几、立几等知识的密切联系与综合应用；三要注意灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合、补集法等思想方法解题．在面临与命题相关的具体问题中，应结合语境仔细阅读、推敲，反复咀嚼有关逻辑联结词．为了加深对于逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义的理解，可联系集合运算中的“交”、“并”、“补”对应地理解．尤其应注意，对逻辑联结词“或”的理解是难点；在研究四种命题及其相互关系时，应注意逆命题、否命题、逆否命题都是相对于原命题而言的．另应注意区分“否命题”与“命题的否定”的不同含义：前者是同时否定条件和结论，而后者只否定结论；反证法是一种重要的证题方法，其理论基础是互为逆否命题的等价性，证明步骤应分为三步：反设、归谬、结论．具体证题时，应注意书写的规范性、步骤的完整性以及导出矛盾时推理的严密性；判断条件的充要关系时，究竟是充分非必要条件，还是必要非充分条件？还是既充分又必要条件？还是非充分又非必要条件？应当判断到位．在寻求充要条件或证明充要性命题时，应准确运用相关概念，防止误把“充分”当“必要”，或把“必要”当“充分”．第1课 集合的概念【考点指津】理解集合、子集、全集、交集、并集、补集等基本概念的内涵，了解属于、包含、相等关系的意义；正确识别与使用集合的有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【知识在线】 １．设集合A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==N m x x m ,21|，若,,21A x A x ∈∈则必有 （ ）A ．A x x ∈+21B ．A x x ∈21C ．A x x ∈-21D ．A x x ∈21２．给出6个关系式：（1）0∈∅，（2）∅∈{∅}，（3）{}0φ，（4）{}φφ≠，（5）φ{}φ，（6）{}0φ≠.其中正确的个数是 （ ）A ．6B ． 5C ． 4D ． 33．设Ｓ为全集，,B A S ⊆⊆则下列结论中不正确的是 （ ）Ａ．S S A B ⊆痧 Ｂ．A B B = Ｃ．()S A B =∅ ð Ｄ．()S A B =∅ ð 4．已知集合A=},21|{+≤≤-a x a x B=},53|{<<x x 则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是5．满足{1,2}X ⊆ {1,2,3,4,的集合X 的个数为 ．【讲练平台】例１．（2002年全国高考）设集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则 （ ） A ．M ＝N B 。
集合与简易逻辑知识点总结- 高三数学一轮复习
知识点总结1 集合与简易逻辑一、集合(一)元素与集合1.集合的含义某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2.集合元素的特征(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关．3.元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．4.集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．5.常用数集的表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 NN ∗或N + Z Q R (二)集合间的基本关系1.集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.(2)真子集：若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）. 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(3)相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A =B ．(4)空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；(三)集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂， 即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．(2) 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，(3) 即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．(四)集合的运算性质(1)集合的运算性质：①交换律：A ∪B ＝B ∪A ；A ∩B ＝B ∩A ；②结合律：(A ∪B )∪C ＝A ∪(B ∪C )；(A ∩B )∩C ＝A ∩(B ∩C )；③分配律：(A ∩B )∪C ＝(A ∪C )∩(B ∪C )；(A ∪B )∩C ＝(A ∩C )∪(B ∩C )；【集合常用结论】1.子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n；其真子集个数为2n－1；其非空子集个数为2n－1；其非空真子集个数为2n－2.2. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；4.A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.5.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.二、简易逻辑(一).全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题：¬p：∃x0∈M，¬p(x0).(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：¬p：∀x∈M，¬p(x).(二).充分条件与必要条件的判定方法(1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系。
高中数学会考集合与简易逻辑复习
高中数学会考集合与简易逻辑复习要求：1、理解集合、子集、交集、并集、补集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些简单的集合；2、理解命题的条件与结论的四种关系：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分与不必要条件．基础热身:1、设全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}3,2,1{=A ，}5,4,2{=B ，则)(B A C U 等于（ ） A }2{ B }6{ C }6,5,4,3,1{ D }5,4,3,1{2、设}4,3,0{},2,1,0{},4,3,2,1,0{--=--=----=N M U ，则N M C U )(等于（ ） A ｛0｝ B ｛－1,－2｝ C ｛－3，－4｝ D ｛－1，－2，－3，－4｝3、已知集合{}{}x x y y B x x y y A 2,222-==+==，则A B =（ ） A {}1-≥y y B φ C {（0,0）} D {0}4、若集合{}{}01,062=+==-+=mx x T x x x P ，且P T ⊆，则实数m 的可取值组成的集合是（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,31B ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧31C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-0,21,31 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21 5、已知两条直线0523:1=++y x l ，032)1(:22=-+-y x m l ，则“2=m ”是“21//l l ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、 已知3|2:|>-x p ，5:>x q ，则p ⌝是q ⌝成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7、下列命题中，为真命题的是（ ）A ．5>3且-3<0B ．若φ=B A ，则φ=AC ．方程0)1()2(22=-++y x 的解为12=-=y x 或 D ．存在R x ∈使得12-=x8、若命题{}{},3,22:∈p 命题{}{}3,22:⊂q ，对由p ，q 构成的复合命题给出下列判断： ①q p 或为真；②q p 或为假；③ q p 且为真；④q p 且为假；⑤p ⌝为真；⑥p ⌝为假。
集合与简易逻辑知识复习练习及典型高考题
A B且 B A ，则 A B 中的元素是一样的，因此 A B
即AB
AB BA
结论： 任何一个集合是它本身的子集 （三） 真子集的概念
若集合 A B ，存在元素 x B且 x A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集（ proper
subset）。 记作： A
B（或 B A ）
读作： A 真包含于 B（或 B 真包含 A ）
（）
（A）p>1
（B）p≥1
（C）p<1
（D）p≤1
（ 10）设全集 U x, y | x, y R ，集合 M
y x, y |
3
1
，
x2
T x , y | y 3 x 2 ，那么 ( CU M ) T 等于（ ）
（ A） Φ
(B) 2,3
(C) 2,3
(D) x, y | y 3 x 2
二．填空题 （ 11）已知集合 A={y| y=2x ＋ 1,x ＞ 0} ， B={y| y= － x2＋ 9, x ∈ R}, 则 A∩
5/8
B=________. （ 12）设集合 A＝{ x| x=6k, k ∈Z} ，B＝{ x| x=3k, k ∈ Z} ，两个集合的关系可 表示为 A B. （ 13）设集合 P x | x 2, x R ，集合 Q x | x 2 x 2 0, x N ，则集合
P Q 等于
（ 14）设 U＝R，集合 A＝ {x| x 2＋ px＋12=0, x ∈N}，集合 B＝ {x| x 2－5x＋q=0,
那么就称这个
集合为 全集（ Universe），通常记作 U。
补集：对于全集 U 的一个子集 A ，由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集 合称为集合 A 相对于全集 U 的补集（ complementary set） ,简称为集合 A 的补集， 记作： CUA 即： CUA={x|x ∈ U 且 x ∈ A} 补集的 Venn 图表示
1-1集合与简易逻辑总复习1
第一章几何与简易逻辑第1课时集合的概念与运算1一、选择题1．若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有()A. A⊆C B．C⊆A C．A≠C D．A＝∅解析：A⊆A∪B＝B∩C⊆C，则A⊆C.答案：A2．设D是正三角形P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心．若集合S ＝{P|P∈D，|PP0|≤|PP i|，i＝1,2,3}，则集合S表示的平面区域是()A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域解析：∵|PP0|≤|PP i|，∴点P在P0P i的垂直平分线将平面分成的靠近P0的区域内，即点P在如图六边形ABCDEF内(包括边界)，故选D.答案：D3．设A、B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝()A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪(2，＋∞) C．[0,1] D．[0,2]解析：由2x－x2≥0解得0≤x≤2，则A＝[0,2]，B＝{y|y＝2x，x＞0}＝(1，＋∞)．A×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：A4．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M为{2,3}，{1,2,3}，共两个．答案：B二、填空题5．设全集U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5,6}，则上图中阴影部分表示的集合是________．解析：图中阴影部分表示的集合是B ∩(∁Z A )＝{2,4,6}．答案：{2,4,6}6．(原创题)已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2＋y 241}，B ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈A }，则(∁U A )∩(∁U B )等于________．解析：A ＝{x |－1≤x ≤1}＝[－1,1]，B ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈A }＝[0，2]，(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析：由容斥原理知共有(26＋15＋13)－36＝18名同学同时参加两个小组，没有人参加三个小组，于是同时参加数学和化学小组的有18－(6＋4)＝8(人)．答案：8三、解答题8．设A ＝{2，－1，x 2－x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1,7}，且A ∩B ＝C ，求x 、y的值．解答：∵A ∩B ＝C ＝{－1,7}，∴必有7∈A,7∈B ，－1∈B .即有x 2－x ＋1＝7⇒x ＝－2或x ＝3.①当x ＝－2时，x ＋4＝2，又2∈A ，∴2∈A ∩B ，但2∉C ，∴不满足A ∩B ＝C ， ∴x ＝－2不符合题意．②当x ＝3时，x ＋4＝7，∴2y ＝－1⇒y ＝－12.因此，x ＝3，y ＝－12. 9．已知集合A ＝{x |y ＝15－2x －x 2}, B ＝{y |y ＝a －2x －x 2}，若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围． 解答：由15－2x －x 2≥0，即(x ＋5)(x －3)≤0得－5≤x ≤3，∴A ＝[－5,3]．又y ＝a －2x －x 2＝a ＋1－(x ＋1)2≤a ＋1，∴B ＝(－∞，a ＋1]，A ∩B ＝A 即A ⊆B . ∴a ＋1≥3.即a ≥2.因此实数a 的取值范围是[2，＋∞)．10．设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解答：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，因此A 的子集分别为∅，{0}，{－4}，{0，－4}． 又B ⊆A ，若B ＝∅，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝4(2a ＋2)<0，解得a <－1；若B ＝{0}，⎩⎪⎨⎪⎧ －2(a ＋1)＝0，a 2－1＝0，解得a ＝－1； 若B ＝{－4}，⎩⎪⎨⎪⎧－2(a ＋1)＝－8，a 2－1＝16，无解；若B ＝{0，－4}，⎩⎪⎨⎪⎧－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1； 综上所述，实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1.1．设集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －2|，x ≥0}，B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋b }，A ∩B ≠∅.(1)b 的取值范围是________；(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，则b 的值是______．解析：(1)如图所示，A ∩B 为图中阴影部分，若A ∩B ≠∅，则b ≥2；(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，x ＋2y 在(0，b )处取得最大值，∴2b ＝9，b ＝92.答案：(1)b ≥2 (2)922．(2009·北京)已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a j a i两数中至少有一个属于A . (1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由；(2)证明：a 1＝1，且a 1＋a 2＋…＋a n a －11＋a －12＋…＋a －1na n ； (3)证明：当n ＝5时，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列．解答：(1)由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，所以该数集不具有性质P . 由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，所以该数集具有性质P .(2)证明：因为A ＝{a 1，a 2，…，a n }具有性质P ，所以a n a n 与a n a n中至少有一个属于A . 由于1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，所以a n a n ＞a n ，故a n a n ∉A .从而1＝a n a n∈A ，因为1＝a 1＜a 2＜…＜a n ，所以a k a n ＞a n ，故a k a n ∉A (k ＝2,3，…，n )． 由A 具有性质P 可知a n a k ∈A (k ＝1,2,3，…，n )．又因为a n a n ＜a n a n －1＜…＜a n a 2＜a n a 1， 所以a n a n ＝a 1，a n a n －1＝a 2，…，a n a 2＝a n －1，a n a 1＝a n .从而a n a n ＋a n a n －1＋…＋a n a 2＋a n a 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n .故a 1＋a 2＋…＋a n a －11＋a －12＋…＋a －1n＝a n . (3)证明：由(2)知，当n ＝5时，有a 5a 4＝a 2，a 5a 3＝a 3，即a 5＝a 2a 4＝a 23. 因为1＝a 1＜a 2＜…＜a 5，所以a 3a 4＞a 2a 4＝a 5，故a 3a 4∉A .由A 具有性质P 可知a 4a 3∈A . 由a 2a 4＝a 23得a 3a 2＝a 4a 3∈A ，且1＜a 3a 2＜a 3，所以a 4a 3＝a 3a 2＝a 2.故a 5a 4＝a 4a 3＝a 3a 2＝a 2a 1＝a 2. 即a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是首项为1，公比为a 2的等比数列．。
高一数学集合与简易逻辑复习
第一章集合与简易逻辑【知识网络】1．1 集合的性质与运算【考点透视】一、考纲指要1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.2．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.二、命题落点1．集合的基本概念和关系、集合之间的运算是近几年的的高考热点.是每年高考必考内容之一. 如例1，例3.2．对集合语言和集合思想的运用，如方程与不等式的解集，函数的定义域和值域.如例2.【典例精析】例1：（2005·浙江）设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( ) A ．{0，3} B ．{1，2} .C ． (3，4，5) D ．{1，2，6，7}解析：ˆP ={0,1,2},N ðˆP ={n ∈N|n ≥2},Q ∧={1,2,3},NðQ ∧={n ∈N|n=0或n ≥4}, 故P ∧∩N ðQ ∧={0},Q ∧∩N ðP ∧={3},得(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝{0,3},答案:A ．例2：（2005•上海）已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（ ） A ．{}Z x x x ∈≤<,30| B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|解析：{}R x x x M ∈≤≤-=,31| ， {}Z x x x P ∈≤≤=,40|P M ={}Z x x x ∈≤≤,30|．D :B ．例3：设全集{}1,2,3,,9,A B I =、是I 的子集,若{}A B=123，，,就称集对( A, B)为好集，那么所有好集的个数为（ ）. A ．6！B ． 26C ． 62D ． 63解析：要使{}AB=123，，,必须满足集合A,B 中都含有元素1,2,3, 且对全集中的其它6个元素4,5,6,7,8,9中的每个元素,要么在集合A 中,要么在集合B 中或不在集合A 、B 中，这三种情况只能选其一，于是这6个元素所处集合的不同情况为63333333⨯⨯⨯⨯⨯=.而这6个元素所处不同集合的个数即为好集的不同个数. 答案:D ．【常见误区】1．解题粗心大意，不考虑元素的特征，对数集，点集理解有误；如{}{}{}222,(,)x y x y y x x y y x ===就表示完全不同的三个集合，如不注意它们的区别，很容易出错.2．不能准确把握子集、真子集、相等、补集等相关概念，在转化命题时往往出现错误; 3．对空集理解不正确或忽视空集在解题中的地位和作用而产生错误.【基础演练】1．(2005•全国1)设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则 下面论断正确的是（ ）A ．Φ=⋃⋂）（321S S S C IB ．123I I SC S C S ⊆⋂（） C ．Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I ID ．123I I S C S C S ⊆⋃（）2．设全集U={－2，－1，0，1，2}，A={－2，－1，0}，B={0，1，2}，则（ C U A ）∩B= （ ） A ．{0} B ．{－2，－1} C ．{1，2} D ．{0，1，2} 3．（2005•全国2）已知集合{}47M x x =-≤≤，{}260N x x x =-->，则M N 为 （ ）A ．{42x x -≤<-或}37x <≤ B ．{42x x -<≤-或}37x ≤<C ．{2x x ≤-或}3x >D ．{2x x <-或}3x ≥4．（2006•陕西）已知集合P={x ∈N|1≤x ≤10},集合Q={x ∈R|x 2+x －6≤0}, 则P ∩Q 等于 （ ） A ．{2} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3} 5．（2005•重庆）集合∈=<--∈=x B x x R x A {},06|{2R| }2|2|<-x ，则B A = .6．（2004•上海）设集合A={5,log 2(a +3)},集合B={a ,b}.若A∩B={2},则A ∪B= 7．（2004•辽宁)设全集U=R （1）解关于x 的不等式);(01|1|R a a x ∈>-+- （2）记A 为（1）中不等式的解集，集合}0)3cos(3)3sin(|{=-+-=ππππx x x B ，若（U ðA ）∩B 恰有3个元素，求a 的取值范围.8．(2004•上海) 记函数()f x =132++-x x 的定义域为A, g(x )=lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． （1） 求A ；（2） 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.9．设集合A ={x ||x －a |<2}，B ={x |212+-x x <1}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围. 1．2命题【考点透视】一、考纲指要1．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2．理解四种命题及其相互关系. 二、命题落点1．对命题真假的判断或考查一命题的否定与非命题如例1，例2，例3 .【典例精析】例1（2005•天津）给出下列三个命题 ① 若1a b ≥>-，则11a ba b≥++；② 若正整数m 和n 满足m n ≤2n ； ③ 设()11,P x y 是圆221:9O x y +=上的任意一点，圆2O 以(),Q a b 为圆心，且半径为1。
高考数学第二轮专题复习 集合与简易逻辑
高考数学第二轮专题复习系列（１）——集合与简易逻辑一、大纲解读集合部分的考点主要是集合之间的关系和集合的交并补运算，重点掌握集合的表示法和用图示法表示集合之间的关系；简易逻辑部分的考点主要是逻辑联结词、四种命题和充要条件，重点掌握充要条件和含有逻辑联结词的复合命题.二、高考预测根据考试大纲的要求，结合高考的命题情况，我们可以预测集合与简易逻辑部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现三、高考风向标集合是每年高考的必考内容，主要从两个方面考查:一方面，考查对集合概念的认识和理解，如对集合中涉及的特定字母和符号、元素与集合间的关系，集合与集合间的比较；另一方面，考查对集合的知识应用以及利用集合解决问题的能力．简易逻辑主要是考查命题与命题间的逻辑关系以及判断、推理能力，其中对于充要条件的考查方式非常灵活，其试题内容多结合其他章节的内容来命制．下面结合高考试题，对集合与简易逻辑这部分内容的考点加以透析：考点一对集合中有关概念的考查例１（２008广东卷文１）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（）Ａ．A ⊆B Ｂ．B ⊆C Ｃ．A ∩B =C Ｄ．B ∪C =A分析：本例主要考查子集的概念及集合的运算．解析：易知选Ｄ．点评：本题是典型的送分题，对于子集的概念，一定要从元素的角度进行理解．集合与集合间的关系，寻根溯源还是元素间的关系．考点二 对集合性质及运算的考查例２．（２008 湖南卷文１）已知{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，则 （ ）Ａ．{}4,6M N = Ｂ．M N U = Ｃ．U M N C u = )( Ｄ．N N M C u = )(分析：本题主要考查集合的并、交、补的运算以及集合间关系的应用．解析：由{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，故选Ｂ．点评：对集合的子、交、并、补等运算，常借助于文氏图来分析、理解．高中数学中一般考查数集和点集这两类集合，数集应多结合对应的数轴来理解，点集则多结合对应的几何图形或平面直角坐标系来理解．考点三 对与不等式有关集合问题的考查例３．（２008辽宁卷理 １）已知集合{}30,31x M x N x x x ⎧+⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭，则集合{}1x x 为 （ ）Ａ．M N Ｂ．M N Ｃ．()R M N Ｄ．()R M N 分析：本题主要考查集合的运算，同时考查解不等式的知识内容．可先对题目中所给的集合化简，即先解集合所对应的不等式，然后再考虑集合的运算．解析：依题意：{}{}31,3M x x N x x=-<<=-，∴{|1}M N x x ⋃=<， ∴()R M N ={}1.x x 故选Ｃ．点评：同不等式有关的集合问题是高考命题的热点之一，也是高考常见的命题形式，且多为含参数的不等式问题，需讨论参数的取值范围，主要考查分类讨论的思想，此外，解决集合运算问题还要注意数形结合思想的应用．考点四 对与方程、函数有关的集合问题的考查例４．（２008陕西卷理２）已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=， {|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C U 中元素的个数为 （ ）Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４分析：本题集合A 表示方程的解所组成的集合，集合B 表示在集合A 条件下函数的值域，故应先把集合A 、B 求出来，而后再考虑)(B A C U ．解析：因为集合{}{}1,2,2,4A B ==，所以{}1,2,4AB =，所以{}()3,5.UC A B =故选Ｂ．点评：在解决同方程、函数有关的集合问题时，一定要搞清题目中所给的集合是方程的根，或是函数的定义域、值域所组成的集合，也即要看清集合的代表元素，从而恰当简化集合，正确进行集合运算．考点五 对充分条件与必要条件的考查例５．（２008福建卷理２）设集合{|0}1x A x x =<-,{|03}B x x =<<，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的 （ ）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件分析：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，需首先对命题进行化简，然后再进行判断． 解析：由01x x <-得01x <<,可知“m A ∈”是“m B ∈”的充分而不必要条件，故选Ａ． 点评：充分条件和必要条件，几乎是每年高考必考内容，且此考点命题范围广泛，形式灵活多样，因此在解答时要特别细心．此考点的解题关键是要分清条件和结论，然后判断是由条件推结论，还是由结论推条件，从而得出条件和结论的关系．从集合的包含关系来判断条件与结论间的逻辑关系常用有如下结论：设p 包含的对象组成集合A ，q 包含的对象组成集合B ，若A 错误!B ，则p 是q 的充分不必要条件；若B 错误!A ，则p 是q 的必要不充分条件；若A B =，则p 是q 的充要条件；若A 错误!B 且B 错误!A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.考点六 对新定义问题的考查例6．（２008江西卷理２）定义集合运算：{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为 （ ）Ａ．0 Ｂ．２ C ．３ Ｄ．6分析：本题为新定义问题，可根据题中所定义的*A B 的定义，求出集合*A B ，而后再进一步求解．解析：由*A B 的定义可得：*{0,2,4}A B =，故选Ｄ．点评：近年来，新定义问题也是高考命题的一大亮点，此类问题一般难度不大，需严格根据题中的新定义求解即可，切忌同脑海中已有的概念或定义相混淆． 四 扫雷先锋易错点一：集合的概念【例１】已知集合M=，，，，}13|{}3|{Z n n x x N Z n n x x ∈+==∈=}13|{Z n n x x P ∈-==，，且P c N b M a ∈∈∈，，，设c b a d +-=，则（ ）A ．M d ∈B ．N d ∈C ．P d ∈D ．P M d ∈【分析】三个集合都是整数集的子集，集合M 中的整数都能被３整除，集合N 中的整数被３整除余数是１，集合P 中的整数被３整除余数是２．三个集合中的整数n ，在进行c b a d +-=的运算时，n 只代表整数的意思．考生可能忽视了集合元素的无序性，认为三个集合中的n 必须是同一个值．【解析】 ()331313()2311d n l s n l s n l s N =--+-=-+-=-+-+∈，选B ．【点评】集合{}3,M x x n n Z ==∈中的n 可以用任何一个字母表示，只要这个字母是整数就可，即{}{}{}(){}3,3,3,31,x x n n Z x x k k Z x x t t Z x x n n Z =∈==∈===∈==+∈等，这就是集合中的元素无序性的体现，这和数列中的项有确切的位置是不同的． 易错点二 集合的运算 【例２】已知向量()(){}|1,23,4,M a a R λλ==+∈，()(){}|2,24,5,N a a R λλ==--+∈，则=N M （ ）Ａ．(){}1,1 Ｂ．()(){}2,2,1,1-- Ｃ．(){}2,2-- Ｄ．Φ【分析】集合()(){},,4,32,1|R a a M ∈+==λλ ()(){},,5,42,2|R a a N ∈+--==λλ均是坐标形式的向量的集合，两个集合中的λ并非同一个值．两个集合的代表元素均是有序实数对． 【解析】令1212342245λλ+=--+（，）（，）（，）（，）得方程组 12121324124252λλλλ+=-+⎧⎨+=-+⎩…………（）…………（）解得1210λλ=-⎧⎨=⎩，故=N M (){}2,2--．选Ｃ． 【点评】本题的两个集合实际上是以向量的形式给出的两条直线上的点的集合，如集合M 中，如果我们设(),a x y =，则有1324x y λλ=+⎧⎨=+⎩（这实际上是直线的参数方程），消掉λ得4320x y -+=，我们所求的是这两条直线的交点坐标．本题易出错的地方是将两个集合中的λ误认为是同一个值，而那样的λ是不存在的，从而选Ｄ．易错点三：逻辑连接词１．命题“p 且q ”为真；２．命题“p 或非q ”为假；３．命题“p 或q ”为假；４．命题“非p 且非q ”为假．【分析】本题既涉及函数的知识又涉及命题真假的判断．可能出错的地方，一是对函数的性质认识不足，导致对命题,p q 的真假判断出错；二是对含有逻辑连接词的命题真假判断的法则掌握不准确，导致解答失误．【解析】由30x ->，得3x <，所以命题p 为真，所以命题非p 为假．又由0k <，易知函数()k h x x=在(0,)+∞上是增函数，命题q 也为假，所以命题非q 为真．所以命题“p 且q ”为假，命题“p 或非q ”为真，命题“p 或q ”为真，命题“非p 且非q ”为假．故答案为１２３．【点评】解答本题的关键是首先要根据题设条件判断命题p 与命题q 的真假，由此作出命题非p 与非q 的真假，命题p 的真假是通过求函数定义域来判断的，而命题q 的真假是根据反比例函数的增减性来判断的．注意“p 或q 为真的充要条件是p ，q 至少有一真”，“p 且q 为真的充要条件是,p q 同时为真”，“p 和p ⌝一真一假”这些含有逻辑连接词的命题真假的判断法则．易错点五：充要条件【例５】 “1a =”是“函数()||f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数”的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件【分析】一是对函数()||f x x a =-认识不清，这个函数实际上是分段函数()()()x a x a f x x a x a -+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，它在(],a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增；二是对充要条件缺乏明确的判断方法．【解析】函数()||f x x a =-的图象是由()||=f x x 的图象左右平移而得到的，函数()||=f x x 在[)0,+∞上单调递增，只要a 1≤函数()||f x x a =-就在区间[)1,+∞ 上单调递增．由此知“a 1=时函数()||f x x a =-在区间[１, +∞）上为增函数”是真命题，而“函数()||f x x a =-在区间[)1,+∞ 上为增函数时1a =”是假命题．故“1a =”是“函数()||f x x a =-在区间[)1,+∞ 上为增函数” 充分不必要条件．选Ａ．【点评】设原命题为“若p 则q ”．则四种命题的真假和充要条件的关系是：１若原命题为真，则p 是q 的充分条件；２若逆命题为真，则p 是q 的必要条件；３若原命题和逆命题都为真，则p 是q 的充要条件；４若原命题为真而逆命题为假，则p 是q 的充分而不必要条件；５若原命题为假而逆命题为真，则p 是q 的必要而不充分条件；⑥若原命题和逆命题都为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件．易错点六：量词【例6】命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是 Ａ．不存在x R ∈，3210x x -+≤ Ｂ．存在x R ∈，3210x x -+≤ Ｃ．存在x R ∈，3210x x -+> Ｄ．对任意的x R ∈，3210x x -+> 【分析】本题是对全称命题的否定，因此否定时既要对全称量词“任意”否定，又为对判断词“≤”进行否定，全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”等，判断词“≤”的否定为“＞”，可能的错误是“顾此失彼”，忽略了细节．【解析】一个命题的否定其实就是推翻这个命题，要推翻“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”，我们只要有一个x ，使3210x x -+>就足够了．即存在x R ∈，3210-+>．选Ｃ．x x【点评】许多同学对全称命题的否定是一个特称命题心存疑惑，实际上我们要肯定一个结论，必须对这个结论所包括的所有对象都适合，我们要否定一个结论只要有一个反例就足够了．同时要注意命题的否定是我们推翻这个命题，故我们之否定它的结论，而否命题是命题之间的一种特定的关系，是对一个命题从形式上做的变化，故对否命题我们必须按照其定义，是既否定它的条件也否定它的结论．注意体会下表五规律总结１．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，即元素分析法的掌握．２．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；３．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；４．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．５．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；6．含参数的问题，要有分类讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；7．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．8．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；9．通常命题“p或q”的否定为“p⌝且q⌝”、“p且q”的否定为“p⌝或q⌝”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；１0．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p，则q”的形式；１１．判断充要关系的关键是分清条件和结论；１２．判断“p 是q 的什么条件”的本质是判断命题“若p ，则q ”及“若q ，则p ”的真假；１３．判断充要条件关系的四种方法：１定义法：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p q ⇔，则p 是q 的充要条件。
集合与简易逻辑专题复习(新编201908)
考点精析：
考点一、集合的概念与计算问题
1、集合问题核心：一是集合元素的互异性；二是交、并、补的运算. 空集是一个特殊的集合.
2、解答集合问题一定要明确集合中元素的属性:是数集还是点集.
3、解答集合问题时,要把握好符号语言、文字语言和图形语言的相互转化.
4、集合运算的两个性质:
p是q的既不充分也不必 要条件
pq , q p q p , pq pq q p , pq
从集合观点看
A ≠ B B ≠ A
A=B
A B, B A
典例分析:
1.已知集合M {0,1,2}, N {x | x 2a, a M}, 则集合M N A.{0} B.{0,1} C.{1,2} D.{0,2}
AB A A B AB A B A
考点二、简易逻辑问题
1、 复合命题“p或q”、 “p且q”、 “非p”的真值的确定.{x|x满足条件p}, B={x|x满足条件q}
从逻辑观点看
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
； sade 笔记本电源 户外电源 太阳能移动电源
；
群竖飙扇 琰遣攻辅之 吾执心行己 盖不余半 母忧去职 妻各产子 农桑不收 父抱笃疾弥年 分禄秩之半以供赡之 徒存日昃 齐之贱士乎 太常卿 与洛阳令杨毅合二百骑 紫极诸殿 孰往非命 伐罪吊民 蠲租布 以元景之势 了知在宥 佛化被於中国 富贵在天 殊功仍集 州别驾从事史 所亡太 半 世祖义军至界首 跨沧流而轶姑余 故近因此施行 飞矢雨集 兵食相连 迁辅国将军 至是追赠前将军 岂可委罪小郎 常珍奇据汝南 敕将命者勿使食器宿喜家 会 焕时兼中庶子 字孟道 为作衣服 有如皎日 京邑肃然 过於义士 斩任城 时天下殷实 邵
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集合与简易逻辑专项复习
一、基础知识总结
基础知识框图表解
跟踪训练题
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分）
1.设合集U=R ，集合}1|{},1|{2
>=>=x x P x x M ，则下列关系中正确的是（ ） A ．M=P B ．M P C ． P M D ．M ⊇P 2．如果集合{
}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ， 那么(A U )B 等于 （ ）
(A){}5 (B) {
}8,7,6,5,4,3,1 (C) {}8,2 (D) {}7,3,1 3．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若 }6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是( )
（ ）
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9
4. 设集合{}21|<≤-=x x A ，{}a x x B <=|，若φ≠B A ，则a 的取值范围是( )
（A ）2<a （B ）2->a （C ）1->a （D ）21≤<-a
5． 集合A ＝｛x |1
1+-x x ＜0｝，B ＝｛x || x －b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件， 则b 的取值范围是 （ ）
（A ）－2≤b ＜0 （B ）0＜b ≤2 （C ）－3＜b ＜－1 （D ）－1≤b ＜2
6．设集合A ＝｛x |1
1+-x x ＜0}，B ＝｛x || x －1|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ ”的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件
7. 已知23:,522:>=+q p ,则下列判断中，错误．．
的是 （ ） (A)p 或q 为真，非q 为假 (B) p 或q 为真，非p 为真
(C)p 且q 为假，非p 为假 (D) p 且q 为假，p 或q 为真
8．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1<0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2<0的解集分别为集合M 和N ，那么“
111222a b c a b c ==”是“M ＝N ” ( ) （A ）充分非必要条件
（B ）必要非充分条件 （C ）充要条件
（D ）既非充分又非必要条件 9．“21=
m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的（ ）
(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
10. 已知01a b <<<，不等式lg()1x x a b -<的解集是{|10}x x -<<，则,a b 满足的关系
是( )
（A ）1110a b ->（B ）1110a b -=（C ）1110a b
-<（D ）a 、b 的关系不能确定 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）
11．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：
①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件 ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件.
其中为真命题的是
12．若集合{}x A ,3,1=，{}2
,1x B =，且{}x B A ,3,1= ，则=x 13．两个三角形面积相等且两边对应相等，是两个三角形全等的 条件
14．若0)2)(1(=+-y x ，则1=x 或2-=y 的否命题是
15．已知集合M ＝{x |1≤x ≤10，x ∈N }，对它的非空子集A ，将A 中每个元素k ，都乘以(－
1)k 再求和(如A={1，3，6}，可求得和为(－1)·1＋(－1)3·3＋(－1)6·6＝2，则对M 的所有非空子集，这些和的总和是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
用列举法写出集合⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧->-+-+≥+∈)9(321)1)(1()1(|22x x x x x x x Z x
17．（本小题满分12分）
已知p ：方程x 2＋m x ＋1＝0有两个不等的负实根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根。
若p 或q 为真，p 且q 为假。
求实数m 的取值范围。
18．（本小题满分12分）
设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。
19．（本小题满分12分）
解关于x 的不等式：0)2)(2(>--ax x
20．（本小题满分13分）
已知集合A=｛x || x 3π-
|≤2π｝, 集合B=｛y | y = －21cos 2x －2asinx +23, x ∈A ｝, 其中6
π≤a ≤π, 设全集U=R, 欲使B ⊆A, 求实数a 的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知函数)lg()(2b ax x x f ++=的定义域为集合A ,函数34)(2+++=k x kx x g 的定义域为集合B ,若}32|{)(,)(≤≤-==x x B A C B B A C R R ,求实数b a ,的值及实数k 的取值范围.。