CNC系统中任意空间曲线的插补方法
插补运动(逐点比较法)
1、概述在机床的实际加工中，被加工工件的轮廓形状千差万别，各式各样。
严格说来，为了满足几何尺寸精度的要求，刀具中心轨迹应该准确地依照工件的轮廓形状来生成。
然而，对于简单的曲线，数控装置易于实现，但对于较复杂的形状，若直接生成，势必会使算法变得很复杂，计算机的工作量也相应地大大增加。
因此，在实际应用中，常常采用一小段直线或圆弧去进行逼近，有些场合也可以用抛物线、椭圆、双曲线和其他高次曲线去逼近（或称为拟合）。
所谓插补是指数据密化的过程。
在对数控系统输入有限坐标点（例如起点、终点）的情况下，计算机根据线段的特征（直线、圆弧、椭圆等），运用一定的算法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，即所谓数据密化，从而自动地对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹运行，以满足加工精度的要求。
机床数控系统的轮廓控制主要问题就是怎样控制刀具或工件的运动轨迹。
无论是硬件数控（NC）系统，还是计算机数控（CNC）系统或微机数控（MNC）系统，都必须有完成插补功能的部分，只是采取的方式不同而已。
在CNC或MNC中，以软件（程序）完成插补或软、硬件结合实现插补，而在NC中有一个专门完成脉冲分配计算（即插补计算）的计算装置——插补器。
无论是软件数控还是硬件数控，其插补的运算原理基本相同，其作用都是根据给定的信息进行数字计算，在计算过程中不断向各个坐标发出相互协调的进给脉冲，使被控机械部件按指定的路线移动。
有关插补算法问题，除了要保证插补计算的精度之外，还要求算法简单。
这对于硬件数控来说，可以简化控制电路，采用较简单的运算器。
而对于计算机数控系统来说，则能提高运算速度，使控制系统较快且均匀地输出进给脉冲。
经过多年的发展，插补原理不断成熟，类型众多。
从产生的数学模型来分，有直线插补、二次曲线插补等；从插补计算输出的数值形式来分，有基准脉冲插补（又称脉冲增量插补）和数据采样插补。
在基准脉冲插补中，按基本原理又分为以区域判别为特征的逐点比较法插补，以比例乘法为特征的数字脉冲乘法器插补，以数字积分法进行运算的数字积分插补，以矢量运算为基础的矢量判别法插补，兼备逐点比较和数字积分特征的比较积分法插补，等等。
数控机床填空题及判断
基本概念1.NC机床的含义是数控机床，CNC机床的含义是计算机数字控制机床，FMS的含义是柔性制造系统, CIMS的含义是计算机集成制造系统。
2.数控机床按控制运动轨迹可分为点位控制、点位直线控制和轮廓控制等几种。
按控制方式又可分为开环控制、闭环控制和半闭环控制等。
3.数控机床的进给伺服系统可以分为开环控制系统、半闭环控制系统和闭环控制系统。
4机电一体化系统的设计过程，主要包括系统总体设计、机械结构设计、控制系统设计、软件设计等几个方面。
编程1.数控机床坐标系三坐标轴X、Y、Z及其正方向用右手定则判定，X、Y、Z各轴的回转运动及其正方向+A、+B、+C分别用右手螺旋判断。
2.在数控机床坐标系中，绕平行于X、Y和Z轴的回转运动的轴，分别称为 A 轴、B轴和 C轴。
3.以下常用G代码含义分别是：（1）G01 直线插补指令，G02 顺时针圆弧插补（2）G17 XY平面选择（3）G42 刀具右补偿（2）G41 刀具左补偿6.数控铣床中以下常用G代码含义分别是：（1）G00 点定位（2）G18 ZX平面选择（3）G41 刀具左补偿数控车床中以下常用G代码含义分别是：（4）G98 指定每分钟移动量（5）G50 主轴最高转速设置4.数控机床的坐标联动数是指数控装置控制的坐标轴同时到达空间某一点的坐标数若G01X50Y126Z200A60F90S500是一合法程序段，说明此机床数控系统能控制的联动坐标数为4轴以上。
5.在数控编程时，使用刀具半径补偿指令后，就可以按工件的轮廓尺寸进行编程，而不需按照刀具的中心线运动轨迹来编程。
7.轮廓控制中，为了保证一定的精度和编程方便，通常需要有刀具半径和长度补偿功能。
8.APT（自动编程系统）中，刀具运动轨迹由1）零件面 2）驱动面 3）检查面三个面控制。
1.数控加工的编程方法主要有_手工编程_和__自动编程_两大类。
3.编程时的数值计算，主要是计算零件的__基点和__节点__的坐标，或刀具中心轨迹的__对刀点_和__换位点__的坐标。
CNC轨迹控制与插补原理
插补方法的分类
完成插补运算的装置或程序称为插补器 硬件插补器 软件插补器 软硬件结合插补器
1.基准脉冲插补 每次插补结束仅向各运动坐标轴输出一个控制脉冲，各坐标仅产生一个脉冲当量或 行程的增量。脉冲序列的频率代表坐标运动的速度，而脉冲的数量代表运动位移的大 小。基准脉冲插补的方法很多，如逐点比较法、数字积分法、脉冲乘法器等。 2.数据采样插补 采用时间分割思想，根据编程的进给速度将轮廓曲线分割为每个插补周期的进给直 线段（又称轮廓步长）进行数据密化，以此来逼近轮廓曲线。然后再将轮廓步长分解 为各个坐标轴的进给量（一个插补周期的近给量），作为指令发给伺服驱动装置。该 装置按伺服检测采样周期采集实际位移，并反馈给插补器与指令比较，有误差运动， 误差为零停止，从而完成闭环控制。
18
19
计算程序流程图：
图3
20
实现直线插补，至少需要4个寄存器存放 运算数据。 P寄存器： 存放偏差运算结果； x寄存器： x终点坐标值； y寄存器： y终点坐标值； 终点寄存器： x，y所需走的总步数；
21
逐点比较法圆弧插补
圆弧插补加工： 是将加工点到圆心的距离与被加工圆弧的名义半径 相比较，并根据它们之间的偏差大小确定坐标进给方向， 以逼近被加工圆弧。下面以第一象限逆圆弧为例，讨论 圆弧的插补方法。
Y
B
F>0 P i （ X i ， Y i）
F<0
A
X
23
（2）偏差函数的递推计算 2 1） 逆圆插补 规定向若F≥0，规定向-X方向 走一步 <0，规定向+Y +Y方向 若Fi<0，规定向+Y方向 走一步 2） 顺圆插补 ≥0，规定向若Fi≥0，规定向-Y方向 走一步 <0，规定向+y +y方向 若Fi<0，规定向+y方向 走一步 （3）终点判别 判断插补或进给的总步数： 1）判断插补或进给的总步数： 2）分别判断各坐标轴的进给步数； 分别判断各坐标轴的进给步数
CNC系统中NURBS曲线插补及相关算法研究
2009，45（34）目前，计算机数字控制机床在我国机械制造业的应用越来越广泛，推动了我国机械制造水平及自动化加工程度的极大提高[1]。
CNC机床的核心———CNC系统，是一种基于计算机平台的软硬件系统并由该系统执行对机床的自动控制任务[2]。
CNC 系统是计算机控制技术在机械制造工程（包括航空、航天制造工程）领域内的一种典型应用。
CNC系统的控制软件是一种位置、速度控制软件，其最重要、最核心的功能模块为插补控制模块。
传统的CNC系统上的插补算法通常为直线、圆弧插补[3]，要用这种系统控制机床走出样条曲线则必须将样条曲线以直线段或圆弧段逼近的方式进行，从而损失掉部分加工精度[4]。
非均匀有理B样条（NURBS）能为自由曲线和标准解析曲线提供统一的表达形式[5]，已成为众多计算机辅助设计与制造（CAD/ CAM）系统进行产品设计交换的唯一标准。
如果在CNC系统中添加NURBS曲线直接输出的功能，则可以在一定程度上大大提高机床的位置控制精度和零部件的加工精度。
基于时间分割的思想研究在CNC系统上如何实现NURBS曲线的直接插补，使系统具备样条输出的能力，并同时研究插补运算过程中涉及的相关算法，为NURBS插补算法在CNC系统上的实现和应用奠定理论基础。
1NURBS曲线表示三维空间一条NURBS曲线可由参数形式描述如下[6]r（u）=[x（u）y（u）z（u）]T=ni=0Σw i B i，p（u）C ini=0Σw i B i，p（u）0≤u≤1（1）式中p为NURBS曲线的次数，p+1为其阶数；Ci为第i个三维控制顶点（xi，yi，zi），形成控制多边形，共n+1个；wi为第i个控CNC系统中NURBS曲线插补及相关算法研究陈良骥1，刘元朋1，王永章2CHEN Liang-ji1，LIU Yuan-peng1，WANG Yong-zhang21.郑州航空工业管理学院机电工程学院，郑州4500152.哈尔滨工业大学机电工程学院，哈尔滨1500011.School of Mechanical Engineering，Zhengzhou Institute of Aeronautics，Zhengzhou450015，China2.School of Mechanical Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin150001，ChinaE-mail：chenjiaxiclj@CHEN Liang-ji，LIU Yuan-peng，WANG Yong-zhang.Study on NURBS curve interpolation and relative algorithms in CNC puter Engineering and Applications，2009，45（34）：219-221.Abstract：In order to improve contour controlling accuracy of Computer Numerical Control（CNC）system，the problem that control software of the system can directly output spline must be solved.Iterative relationship between parameters of two adjacent interpolation points on a Non-Uniform Rational B Spline（NURBS）curve is obtained based on Taylor formula.To B spline basis functions and their arbitrary order derivatives which need to be frequently calculated during interpolating a NURBS curve，a uniform calculating method of block matrix multiplying continuously is presented.Numerical calculation method is used to solve some relative problems such as curve’s length and so on during interpolating.The example demonstrated here indicates that the proposed method can be applied to actual CNC system.Key words：Computer Numerical Control（CNC）；Non-Uniform Rational B Spline（NURBS）；interpolation；basis function摘要：为提高计算机数字控制（CNC）系统的轮廓控制精度，需解决系统控制软件样条直接输出的问题。
《数控原理与数控机床》填空 多选
1. 数字控制是用数字化的信息对机床的运动及加工过程进行控制的一种方法。
2. 数控机床按伺服系统的控制原理可分为开环控制、半闭环控制和闭环控制数控机床，其中，精度最高的是闭环控制数控机床。
3. 按机械加工的运动轨迹分类，数控机床可分为点位控制、直线控制和轮廓控制数控机床。
4. NC 机床的含义是数控机床，CNC 机床的含义是计算机数字控制机床。
5. 数控机床大体由输入输出设备、数控装置、测量反馈装置、伺服系统和机床本体组成，其中，数控机床的核心是数控装置。
6. 简单地说，是否采用数控机床进行加工，主要取决于零件的复杂程度；而是否采用专用机床进行加工，主要取决于零件的生产批量。
7. 数控机床按功能水平可分为高级型、普及型和经济型数控机床。
8. 对刀点就是在数控机床上加工零件时，刀具相对于工件运动的起点。
为了提高零件的加工精度，应尽量选在零件的设计基准或工艺基准上。
9. 数控机床坐标系三坐标轴X、Y、Z 及其正方向用右手定则判定，X、Y、Z 各轴的回转运动及其正方向+A、+B、+C 分别用右手螺旋法则判断。
10. 数控机床中的标准坐标系采用笛卡儿直角坐标系，并规定增大刀具与工件之间距离的方向为坐标正方向。
11. 机床的最小设定单位，即数控系统能实现的最小位移量称为脉冲当量，它是数控机床的一个重要技术指标，一般为0.001~0.01mm。
12. 与机床主轴重合或平行的刀具运动坐标轴为Z轴，并规定刀具远离工件的运动方向为正方向。
13. 对于机床X 坐标轴，规定其方向为水平方向，且垂直于Z 轴并平行于工件的装夹面。
14. 在轮廓控制中，为了保证一定的精度和编程方便，通常需要有刀具长度和半径补偿功能。
15. 在铣削平面轮廓零件时，为减少刀具切入切出的刀痕，应采用外延法，即刀具应沿着零件轮廓延长线的切向方向切入切出。
16. 机床接通电源后的回零操作是使刀具或工作台返回到机床参考点。
17. 数控编程时的数值计算，主要是计算零件的基点和节点的坐标。
数控编程中的曲线插补算法分析
数控编程中的曲线插补算法分析数控编程是现代制造业中不可或缺的一环，它将设计师的创意转化为机器能够理解和执行的指令。
在数控编程中，曲线插补算法是一个重要的技术，它能够将离散的点连接起来，形成平滑的曲线轨迹。
本文将对数控编程中的曲线插补算法进行分析。
首先，我们需要了解曲线插补算法的基本原理。
在数控编程中，曲线通常用一系列的离散点来表示，这些点被称为插补点。
曲线插补算法的目标是通过这些插补点，计算出机床在每个离散时间点上的位置和速度，从而实现平滑的运动。
常见的曲线插补算法有直线插补算法、圆弧插补算法和样条插补算法等。
直线插补算法是最简单的一种插补算法，它通过计算两个相邻插补点之间的直线方程，来确定机床的位置和速度。
圆弧插补算法则是通过计算圆弧的参数方程，来实现机床的曲线运动。
样条插补算法则是通过一系列的插值点和控制点，来生成平滑的曲线轨迹。
在实际应用中，曲线插补算法需要考虑多个因素，例如加速度限制、速度限制和精度要求等。
加速度限制是指机床在运动过程中的加速度不能超过一定的限制，以避免机床的震动和损坏。
速度限制则是指机床在运动过程中的速度不能超过一定的限制，以确保运动的平稳和安全。
精度要求则是指机床在运动过程中的位置误差不能超过一定的限制，以保证产品的质量。
除了基本的曲线插补算法，还有一些高级的曲线插补算法被广泛应用于数控编程中。
例如，B样条曲线插补算法是一种常用的曲线插补算法，它通过一系列的控制点和节点向量，来生成平滑的曲线轨迹。
贝塞尔曲线插补算法则是一种基于贝塞尔曲线的插补算法，它通过控制点和权重系数，来生成平滑的曲线轨迹。
曲线插补算法的选择和应用，需要根据具体的制造需求和机床性能来确定。
在选择曲线插补算法时，需要考虑产品的设计要求、机床的性能和加工的复杂程度等因素。
同时，还需要进行算法的优化和调整，以提高加工效率和产品质量。
总之，曲线插补算法是数控编程中的重要技术之一，它能够将离散的点连接起来，形成平滑的曲线轨迹。
CNC系统中复杂空间曲线的插补
首端 ：ｂ＝ ｌ３，ｃ＝ ，ｄ＝ ＇ ３ ｌ １０ ｌＰｌ Ｐ ＋ 末端 ：ａ＝ ，ｂ＝ ，ｄ＝ Ｐ ， ｎ０ ｒ３ ｒ３ Ｐ ｎ Ｉ Ｉ 当取 自由端 条件 时 ：
首 端 ：ｂ＝ ，ｃ＝ ３ ｌ６ １ ｌ９ ｌ一 ，ｄ＝ Ｐ
１１ 给定 任意 型值点 列 ．
表 １型值点坐标数据
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７
ｌ 蔫 茎
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１９ ７
维普资讯
・
数 控 机 床世 界 ・
曲线 的 曲率 半 径 或 计 算 曲线 的切 线 方 程 。 因此
适 用 于 各 种 非 圆 曲线 。
特别 是在 进 行 计 算 机 处 理 时 。是 依 给 定 的 编 程 允差来 确定 节点 位置 。
通 常 只知 道 其 大 致 形 状 或 者 是 它 通 过 的 一 些 空 间 点 列 当给定切 失 时 ：
ａＩ ｂ ｒ
式 中 ：ｂ ，ｃ，ｄ，ａ，ｂ 和 ｄ 分 别 按 如 下 公 式 选 。 ｒ Ｉ
（ 为型 值点 ） 称 ，基 于数控 机床 的特 点 ，本 文采 用 三次 准 均 匀 Ｂ样 条 这一数 学模 型来 描述 零件 的外 形轮 廓 ，通 过 给定 型值点 来反求 控制 点 ，从 而 确定 零件 轮廓 外形 。
丝： ｌ ＝
＝： ｌ ： 型 丝： ＝ ！ 垫
：
Ｉ
ｌ
１４ 绘 制 Ｂ样 条 曲线 ．
用 ｄ — ｏｒ 法 即可绘 制 Ｂ样 条 曲线如 图 １ ｏＢ ｏ 算 所示 。
１３ 反 求控制点 ．
根 据端 点情况 ，可 分别 采用 不 同的方 程组 求解 ：
进 行 加工 。
１
２
数控系统插补的方法和原理
数控系统插补的方法和原理数控机床上进行加工的各种工件，大部分由直线和圆弧构成。
因此，大多数数控装置都具有直线和圆弧的插补功能。
对于非圆弧曲线轮廓轨迹，可以用微小的直线段或圆弧段来拟合。
插补的任务就是要根据进给速度的要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干中间掌握点的坐标值。
由于每个中间点计算的时间直接影响数控装置的掌握速度，而插补中间点的计算精度又影响整个数控系统的精度，所以插补算法对整个数控系统的性能至关重要，也就是说数控装置掌握软件的核心是插补。
插补的方法和原理许多，依据数控系统输出到伺服驱动装置的信号的不同，插补方法可归纳为脉冲增量插补和数据采样插补两种类型。
一、脉冲增量插补这类插补算法是以脉冲形式输出，每次插补运算一次，最多给每一轴一个进给脉冲。
把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动。
一个脉冲产生的进给轴移动量叫脉冲当量，用δ表示。
脉冲当量是脉冲安排计算的基本单位，依据加工的精度选择，一般机床取δ＝0.01mm，较为精密的机床取δ＝1μm或0.1μm 。
插补误差不得大于一个脉冲当量。
这种方法掌握精度和进给速度低，主要运用于以步进电动机为驱动装置的开环掌握系统中。
二、数据采样插补数据采样插补又称时间标量插补或数字增量插补。
这类插补算法的特点是数控装置产生的不是单个脉冲，而是数字量。
插补运算分两步完成。
第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来拟合给定曲线，每一微小直线段的长度△L 都相等，且与给定进给速度有关。
粗插补时每一微小直线段的长度△L 与进给速度F和插补T周期有关，即△L＝FT。
图1 数据采样插补其次步为精插补，它是在粗插补算出的每一微小直线上再作“数据点的密化”工作。
这一步相当于对直线的脉冲增量插补。
数据采样插补方法适用于闭环、半闭环的直流或沟通伺服电动机为驱动装置的位置采样掌握系统中。
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’ 参数曲线插补算法
一般曲线! 可写成如下形式 （ ｛ （ ， （ ， （ ｝ "! ［ ］（ ） ! "） Q # "） "） % "） " " ’ $ %， ; 通常 %"""’ 。大多数 ! ／ " 是任意参数， / R ! /S 系统采用参数形式表示曲线。用参数描述曲 线有以下优点： 参数形式曲线对于控制多轴机床是 非常方便的， 每个轴可以单独驱动。另外， 曲线上点 的计算容易， 这是由于 #， % 都是参数" 的显函 $， 数， 故易于计算。 （& ! " ! 系统插补器的任务是在恒插补周期 & ［ ］ ’ 是常数， 一般为’ 内计算输出一次由下式 ! ’ % H > ） 确定的进给弦长 " （" ） 在 #， ’ % 轴上的坐标分量 $， T
（ ） # & 由于插补步长很短， 因此可将被插补弧看作半 径为 ,! 的圆弧。这样的简化是偏安全的。,! 由下 式决定 ／ （ （! ） ， （ 1 ） ）（ ， ， ， …， ,!$ # . / 0 $ #， -$ & # % 1 %! （上接第+ +页）
图+ 分厘卡读数原理图
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在! 无论是加工曲面还是 " ! 机床上加工工件， 曲线， 加工过程的刀具中心轨迹都是曲线。传统的 加工 ! " ! 机床只能加工简单的直线和圆弧等曲线， 复杂的曲线需要在编程时转化为简单曲线。随着计 算机技术的发展和机械零件复杂程度的提高， 人们 希望 ! " ! 机床能直接加工任意空间曲线。尤其样 条曲线的发展， 这种希望更迫切。本文运用数据采 样时间分割法和泰勒 （( ） 公式， 推导出一种任意 ) + , * 参数曲线的等速进给实时插补算法。下面给 以 介 绍。
机械
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・+ (・ ； ） （ ） $’ # ! ! !! # # !! 1 ! " # 那么， 的弓高误差" 如图 " *! 逼近曲线弧 " 2 ! ! 之间的关系可表达为 #所图。图#中， " *! 和" !
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3 4 / " 56 7 8
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收稿日期： 2 % % ’ 1 % P 1 % &
I + （I +） "） （"） （I * Q Q I , I " I , " * 或I Q ／ I , I +I " 其中+ 为曲线的自然参数即弧长， 有
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（ ） $ （ ） #
展开进行迭代求解。由泰勒公式得 （ ）! ! ! ! " #$ !""! !" " % ! ・ ・ （ ， ， ， …， ， ） （ ） #$ & # % $’ # ! ! ( !! !! ! " # ! 最后一项为一阶泰勒公式的余项， 是二阶无穷 小量， 对于插补计算可忽略不计。把式 （)） 代入式 （ ） ， 忽略二阶余项， 得 (
+ 结束语
本文介绍的插补方法能用在所有以参数方程表 示的任意空间曲线上。这些曲线可包括 5 样条等所 有样条曲线。计算的复杂程度也不是很高， 一般带 浮点运算器的计算机都能胜任， 加之插补时间固定， 能很好地满足控制系统对实时性的要求。 维上 / 方向上的误差。
% % % % " " "" "" " # 6 < * # . 9 1 . :$; # 7 0 8 0 0 %" 0 +$; & 同理求得 % % % % " " "" "" " # 6 < * # . 7 8 = %" 9 1 . =$; # = +$; & > > % % % % " " " " " # 6 < * # . 9 1 . ?$; # 7 ?" 8 ?" ? %" ? +$; & 则三维精密移动工作台仪器总的测量误差为
优点就是保证插补点始终在曲线上， 无累积误差， 只 有弓高误差。
% 大插补步长和弓高误差的关系
由以上恒速实时插补算法推导可知， 插补点始 终在曲线上， 无累积误差， 因此弓高误差就是插补误 差。弓高误差 " 受给定精度指标# 的限制， 即必须 有"!#。实 际 加 工 的 弓 高 误 差 取 决 于 插 补 步 长 曲 线 的 曲 率 $ 和 挠 率%。$ 和% 由 下 式 决 " *!、
（ ） P
I # I I % # -Q -Q $ % -Q $ I " I " I " 式 （ ） 要求 I ／ ， 由式 （P ） 知， 即要求该曲 # + I "#% ［ ］ 线为正则曲线 $ 。 把式 （ ） 代入式 （ ） ， 得 P # I " * （ ） Q 2 0 ／ 2 2） ’ 2 I , （# -U U % $ 花少量的时间计算式 （ ） 的解是实时插补算法 0 的关键， 然而 * 为常值条件下的解" （ 一般难以求 ,） 得。因此， 不妨在,Q( （( ） 级数 & 处使用泰勒 ) + , *
% " *. $ %# % , #’ # / 0 式 （ ） 中 , 由下式决定 # +
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・$ 0・
机械
2 % % 2年第2 V卷第2期
! " ! 系统中任意空间曲线的插补方法
张 伟
（武汉科技大学 机械自动化学院， 湖北 武汉 # ） $ % % & ’ 摘要： 针对机床 ! 提出了一种基于泰勒 （( ） 公式的用于实时控制的等速进给 " ! 系统中加工任意空间曲线的实际问题， ) + , * 插补算法。凡是可以表示为矢量参数方程的正则曲线， 都可以用该方法进行插补。 关键词： 参数曲线； 等速进给； 插补算法 中图分类号： ( . $ % ’ 文献标识码： / 文章编号： （ ） ’ % % 0 1 % $ ’ 0 2 % % 2 % 2 1 % % $ 0 1 % 2