2020年江苏省苏州市高考数学模拟试卷(3月份)
2020年江苏省苏州市高考数学模拟试卷（3月份）
一．填空题（共14题，共70分）
1．已知A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3，4}．
2．若复数z满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i是虚数单位），则|z|＝．
3．执行如图所示的算法流程图，输出的S的值是7．
4．若数据2，x，2，2的方差为0，则x＝2．
5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．
6．先把一个半径为5，弧长为6π的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为．
7．若双曲线的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为6．
8．在△ABC所在的平面上有一点P，满足，则＝．9．已知直线y＝kx﹣2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为1+ln2．
10．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），直线y＝b与椭圆C交于A，B两点，若OA ⊥OB，则椭圆离心率的值等于．
11．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a12＝2，且当n≥2时，为S n和S n﹣1的等差中项，则S32的值为8
12．设α，θ为锐角，tanθ＝a tanα（a＞1），若θ﹣α的最大值为，则实数a的值为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4上两个动点，且AB＝2．若直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，则实数a的取值范围为
．
14．已知函数f（x）＝e x，若函数g（x）＝（x﹣2）2f（x）﹣+2a|x﹣2|有6个零点，则实数a的取值范围为．
二、解答题（共6题，共计90分）
15已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（A﹣B）+sin C＝1．（1）求sin A cos B的值；
（2）若a＝2b，求sin A的值．
16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：
（1）MN∥平面ABB1A1；
（2）AN⊥A1B．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F （1，0），并且点在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为k（k为常数）的直线l与椭圆交于A，B两点，交x轴于点P（m，0），Q 为直线x＝2上的任意一点，记QA，QB，QP的斜率分别为k1，k2，k0．若k1+k2＝2k0，求m的值．
18．如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E 两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为L．
（1）①设∠ACO＝θ，求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②设AB＝2x米，求出L关于x的函数关系式L（x）．
（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．
19．设f（x）＝ae x﹣a，g（x）＝ax﹣x2（a为与自变量x无关的正实数）．（1）证明：函数f（x）与g（x）的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；
（2）是否存在实数k，使得对任意的恒成立，若存在，求出k的取值范围，否则说明理由．
20．定义：对于一个项数为m（m≥2，m∈N*）的数列{a n}，若存在k∈N*且k＜m，使得数列{a n}的前k项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”．例如：因为3＝2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”．请解答以下问题：（1）判断数列2，﹣4，6，﹣8是否是“等和数列”，请说明理由；
（2）已知等差数列{a n}共有r项（r≥3，且r为奇数），a1＝1，{a n}的前n项和S n满足
nS n+1＝（n+1）S n+n（n+1）（n≤r﹣1）．判断{a n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．（3）{b n}是公比为q项数为m（m∈N*，m≥3）的等比数列{b n}，其中q≥2．判断{b n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．
二．【选做题】（3选2，每题10分）
21．在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2＝0在矩阵A＝对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2＝0，求矩阵A．
22．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数）．求直线l与曲线C交点P的直角坐标．
23．已知x，y，z均为正数，且，求证：x+4y+9z≥10．
【必做题】（每题10分）
24．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点．
（1）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；
（2）求二面角A﹣CE﹣B的余弦值．
25．在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．
（1）求P3（1）
（2）求P4（k）；
（3）证明kP n（k）＝n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．。
江苏省苏州市吴中区2020届高三高考数学模拟试卷
江苏省苏州市吴中区2020届高三高考数学模拟试卷一、填空题（共14题；共14分）1.已知，为虚数单位，且，则=________.2.已知集合，，则________．3.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为________．4.执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是________.5.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为________.6.函数的定义域为________.7.已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________.8.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面积为，则该棱锥的体积为________．9.公比为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________．10.在平面直角坐标系中，已知圆，圆．直线与圆相切，且与圆相交于，两点，则弦的长为________11.将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为________．12.己知函数，若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是________.13.如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为________.14.记实数中的最大数为，最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则的取值范围是________.二、解答题（共11题；共100分）15.已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，，求．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD ，E ，F分别是棱AB，PC的中点.求证：（1）EF //平面PAD；（2）平面PCE⊥平面PCD ．17.如图,设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，（1）求椭圆的方程.（2）当时，求的面积.18.如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足∥，宽度为．圆为江中的一个半径为的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线，．现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切．设．（1）试将通道的长表示成的函数，并指出定义域；（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？19.已知函数，.（1）当时，①求函数在点处的切线方程；②比较与的大小;（2）当时，若对时，，且有唯一零点，证明：．20.若数列满足：对于任意，均为数列中的项，则称数列为“ 数列”．（1）若数列的前项和，，试判断数列是否为“ 数列”？说明理由；（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；（3）若数列为“ 数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．21.已知变换将平面上的点，分别变换为点，．设变换对应的矩阵为．（1）求矩阵；（2）求矩阵的特征值．22.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系．23.已知函数，，若存在实数使成立，求实数的取值范围.24.如图，在三棱柱中，平面，，且.（1）求棱与所成的角的大小；（2）在棱上确定一点，使二面角的平面角的余弦值为.25.设，，其中．（1）当时，求的值；（2）对，证明：恒为定值．答案解析部分一、填空题1.【答案】42.【答案】{1}3.【答案】854.【答案】85.【答案】6.【答案】7.【答案】8.【答案】9.【答案】5610.【答案】11.【答案】12.【答案】[-4,0]13.【答案】814.【答案】二、解答题15.【答案】解：（I）∵，，，∴，∴，即，又∵，∴，又∵，∴．（Ⅱ）∵，∴，又，即，∴，故16.【答案】（1）解：如图，取的中点，连接，，是棱的中点，底面是矩形，，且，又，分别是棱，的中点，，且，，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面（2）解：，点是棱的中点，，又，，平面，平面，，底面是矩形，，平面，平面，且，平面，又平面，，，，又平面，平面，且，平面，又平面，平面平面17.【答案】（1）解：因为直线过点，且斜率.所以直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，又因为，圆的半径为，所以，即，解之得，或（舍去）.所以，所以所示椭圆的方程为（2）解：由(1)得，椭圆的右准线方程为，离心率，则点到右准线的距离为，所以，即，把代入椭圆方程得，，因为直线的斜率，所以，因为直线经过和，所以直线的方程为，联立方程组得，解得或，所以，所以的面积18.【答案】（1）解：以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系．设，则，，．因为，所以直线的方程为，即，因为圆与相切，所以，即，从而得，在直线的方程中，令，得，所以，所以当时，，设锐角满足，则，所以关于的函数是，定义域是（2）解：要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即最小．令，得，设锐角，满足，得．列表：减极小值增所以时，，所以建造此通道的最少费用至少为百万元．19.【答案】（1）解：①当时，，，，又，切线方程为，即；②令，则，在上单调递减．又，当时，，即；当时，，即；当时，，即（2）证明：由题意，，而，令，解得．，，在上有唯一零点．当时，，在上单调递减，当，时，，在，上单调递增．．在恒成立，且有唯一解，，即，消去，得，即．令，则，在上恒成立，在上单调递减，又，，．在上单调递增，20.【答案】（1）解：当时，又，所以．所以当时，，而，所以时，不是数列中的项，故数列不是为“ 数列”（2）解：因为数列是公差为的等差数列，所以．因为数列为“ 数列”所以任意，存在，使得，即有．①若，则只需，使得，从而得是数列中的项．②若，则．此时，当时，不为正整数，所以不符合题意．综上，（3）解：由题意，所以，又因为，且数列为“ 数列”，所以，即，所以数列为等差数列．设数列的公差为，则有，由，得，整理得，①．②若，取正整数，则当时，，与①式对应任意恒成立相矛盾，因此．同样根据②式可得，所以．又，所以．经检验当时，①②两式对应任意恒成立，所以数列的通项公式为21.【答案】（1）解：设，则，，即，解得，则（2）解：设矩阵的特征多项式为，可得，令，可得或22.【答案】解：把直线方程化为普通方程为．将圆化为普通方程为，即．圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.23.【答案】解：存在实数使成立，等价于的最大值大于，因为，由柯西不等式：，所以，当且仅当时取“ ”，故常数的取值范围是24.【答案】（1）解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，.，故与棱所成的角是（2）解：为棱中点，设，则.设平面的法向量为，，则，故而平面的法向量是，则，解得，即为棱中点，其坐标为25.【答案】（1）解：当时，，又，所以.（2）解：即，由累乘可得，又，所以．即恒为定值1．。
2020届江苏省苏州市高三下学期3月调研数学试题(解析版)
2020届江苏省苏州市高三下学期3月调研数学试题一、填空题1．已知{}1,3,4A =， {}3,4,5B =，则A B =I ________． 【答案】{3,4}【解析】由题意，得{3,4}A B =I .2．若复数z 满足(12)34i z i +=-+(i 是虚数单位)，则||z =_______. 【答案】5【解析】化简得到12z i =+，再计算复数模得到答案. 【详解】(12)34i z i +=-+，则()()()()341234510121212125i i i iz i i i i -+--++====+++-，故5z =.故答案为：5. 【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 3．执行如图所示的算法流程图，输出的S 的值是________.【答案】7【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】根据程序框图：0,1S n ==；1,2S n ==；3,3S n ==；7,4S n ==，结束，输出7=S .故答案为：7. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力. 4．若数据2,,2,2x 的方差为0，则x = ． 【答案】2【解析】试题分析：由题意的，数据不变，所以x =2． 【考点】1．方差的意义；5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________． 【答案】310【解析】由题设可得从5个小球中取两个的取法有（12）（13）（14）(15)（23）（24）（25）（34）（35）（45）共10种取法，其中和为3或6 的有（12）（24）（15）共3种，故所求事件的概率是310P =．应填答案310．点睛：解答本题的关键是运用列举法列举出取出2个小球的所有可能情况，即10n =，再列举出符合条件的可能数字，即3m =，然后再运用古典概型的计算公式算出其概率310P =． 6．先把一个半径为5，弧长为6π的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内(假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗)，正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为________.【解析】计算圆锥的体积为12V π=，根据体积相同计算球半径. 【详解】设圆锥底面半径为r ，则26r ππ=，3r =，4h ==，故21123V r h ππ==，设球的半径为R ，则34123V R ππ==，解得R =.【点睛】本题考查了圆锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力.7．若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为________.【答案】6【解析】计算双曲线22154x y-=的左焦点为()3,0-，再利用准线方程计算得到答案. 【详解】双曲线22154x y-=的左焦点为()3,0-，即32p-=-，故6p=.故答案为：6.【点睛】本题考查了双曲线的焦点和抛物线的准线，意在考查学生的综合应用能力.8．在ABC∆所在的平面上有一点P，满足PA PB PC AB++=u u u r u u u r u u u r u u u r，则PA PBPB PC⋅⋅uu u r uu u ruu u r uuu r=____【答案】12-【解析】AB PB PA=-u u u r u u u r u u u r，代入PA PB PC AB++=u u u r u u u r u u u r u u u r即可得到2PC PA=-u u u r u u u r，所以三点P，A，C共线，所以可画出图形，根据向量的数量积的定义式并结合图形即可求得PA PBPB PC⋅⋅uu u r uu u ruu u r uuu r．【详解】解：PA PB PC AB++=u u u r u u u r u u u r u u u r；∴PA PB PC PB PA++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；∴2PC PA=-u u u r u u u r；P∴，A，C三点共线，如图所示：∴||2||PCPA=u u u ru u u r；()cos cos cos12cos cos cosPA PB APB PA APB PA APB PA PBPB PC PB PC CPB PC APB PC APBπ⋅∠∠∠⋅∴====-⋅⋅∠-∠-∠u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故答案为：12-．【点睛】考查向量的减法运算，共线向量基本定理，向量的数量积，属于中档题． 9．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为_________． 【答案】1ln2+ 【解析】【详解】 设切点为()mlnm m ，1ln y x '=+, 1ln x m y m ==+'∴()()y mlnm 1m m ln x -=+- 即()y 1m m ln x =+-，又2y kx =-∴12lnm km +=⎧⎨=⎩，即1ln2k =+故答案为1ln2+点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线y =与椭圆C 交于,A B 两点，若OA OB ⊥，则椭圆离心率的值等于________.【答案】2【解析】根据对称性得到,33B b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程化简得到答案. 【详解】OA OB ⊥，根据对称性不妨取,33B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程，2222313ba +=， 得到222a b =，故2c e a ===.故答案为：2.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，212a =，且当2n ≥时，1na 为n S 和1n S -的等差中项，则32S 的值为________. 【答案】8【解析】化简得到2212n n S S --=，故{}2nS 是首项为2，公差为2的等差数列，22n S n =，得到答案.【详解】当2n ≥，1122n n n n n S S a S S --+==-，即2212n n S S --=， 当2n =时，224S =，满足22212S S -=，故{}2nS 是首项为2，公差为2的等差数列，故22n S n =，故328S =.故答案为：8. 【点睛】本题考查了数列求和，确定{}2nS 是首项为2，公差为2的等差数列是解题的关键.12．设α，θ为锐角，tan tan (1)a a θα=>，若θα-的最大值为4π，则实数a 的值为________.【答案】3+【解析】计算()1tan 1tan tan a a θααα--=≤+1=，得到答案. 【详解】()()21tan tan tan 1tan 11tan tan 1tan tan tan a a a a αθαθαθαααα----===≤+++当1tan tan a αα=，即tan aα=1=，解得3a =+故答案为：3+. 【点睛】本题考查了和差公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆22:()(2)4C x a y -+-=上两个动点，且AB =若直线:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=u u u r u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为________.【答案】[22---+【解析】设AB 中点为(),M x y ，设(),P t t -，计算得到()()2221x a y -+-=，根据PA PB OC +=u u u r u u u r u u u r 得到21a x ty t⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，代入计算得到答案. 【详解】设AB 中点为(),M x y ，设(),P t t -，AB =2r =，故1MC ===()()2221x a y -+-=.()()22,,2PA PB PM x t y t OC a +==-+==u u u r u u u r u u u u r u u u r ，故21a x ty t ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，代入方程得到()22112a t t ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即()222204a t a t +-+=，()22220a a ∆=--≥，解得[22a ∈---+.故答案为：[22---+. 【点睛】本题考查了向量运算，圆方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.14．已知函数()xf x e =，若函数2()(2)()2|2|()ag x x f x a x f x =--+-有6个零点，则实数a 的取值范围为________.【答案】2,121e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭【解析】函数零点等价与()()22222x x x a x e F x e a -+--=的零点，设()2xx e t -=，求导根据单调性画出图像，()222,02,0t at a t K t t at a t ⎧+-≥=⎨--<⎩，有4个零点且满足12340e t t t t -<<<<<，计算得到答案. 【详解】22()(2)()2|2|(2)2|2|()x xa ag x x f x a x x a x f x e e=--+-=--+-， 函数零点等价与()()22222x x x a x e F x e a -+--=的零点， 设()2xx e t -=，则()'1xt x e =-，故函数y t =在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 且当1x =时，t e =-，画出()2xy t x e ==-的图像，如图所示：()222,02,0t at a t K t t at a t ⎧+-≥=⎨--<⎩，原函数有6个零点，则只需()K t 有4个零点且满足12340e t t t t -<<<<<，故2122440440a a a a ⎧∆=+>⎨∆=+>⎩， 解得0a >或1a <-；且343420t t a t t a +=->⎧⎨=->⎩，解得0a <，且对称轴满足0e t a -<=<，()0K e ->，解得2021e a e -<<-.综上所述：2,121e a e ⎛⎫∈-- ⎪-⎝⎭.故答案为：2,121e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查了函数零点问题，换元画出函数图像是解题的关键.二、解答题15．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin()sin 1A B C -+=. （1）求sin cos A B 的值； （2）若2a b =，求sin A 的值.【答案】（1）12；（2 【解析】（1）1sin()sin sin()sin()A B C A B A B =-+=-++，展开化简得到答案. （2）根据正弦定理sin 2sin A B =，1sin 22B =，根据角度范围得到12B π=，计算得到答案. 【详解】（1）因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=， 从而1sin()sin sin()sin()A B C A B A B =-+=-++(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )A B A B A B A B =-++2sin cos A B =，故1sin cos 2A B =； （2）由2a b =及正弦定理得，sin 2sin A B =， 故1sin cos 2sin cos sin 22A B B B B ===， 且sin 2sin 1A B =„，所以1sin 2B „，又易得a b >，从而A B >，故0,6B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 即20,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以26B π=，即12B π=，此时sin 2sin 2sin 2sin cos cos sin 124646462A πππππππ⎛⎫⎛⎫==-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ； （2）求证：1AN A B ⊥.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，通过中位线定理求证四边形1PMNB 是平行四边形，进而求证；（2）连接1AB ，，设法证明11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，进而证明1A B ⊥平面1AB N ，求得1A B AN ⊥. 【详解】解：（1）如图，取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，,M P Q 分别是,AC AB 的中点，//PM BC ∴，且12PM BC =，在直三棱柱11t ABC A B C -中， 11//BC B C ，11BC B C =， N Q 是11B C 的中点，∴1PM B N =，且1//PM B N ，∴四边形1PMNB 是平行四边形，1//MN PB ∴， 而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，//MN ∴平面11ABB A .（2）如图，连接1AB ，由111ABC A B C -是直三棱柱，90ABC ︒∠=，1AB AA =可知，111B C BB ⊥，1111B C A B ⊥，1111BB B A B =I ， ∴11B C ⊥平面11A B BA ，111B C A B ∴⊥，又Q 侧面11A B BA 为正方形，11A B AB ∴⊥，1111AB B C B ⋂=，1A B ∴⊥平面11AB C ， 又AN ⊂平面11AB C ，1A B AN ∴⊥【点睛】本题考查线面平行，线线垂直的证明，属于中档题.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，并且点21,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率为k (k 为常数)的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，交x 轴于点(,0)P m ，Q 为直线2x =上的任意一点，记QA ，QB ，QP 的斜率分别为1k ，2k ，0k .若1202k k k +=，求m 的值.【答案】（1）2212x y +=.（2）1m =【解析】（1）点2⎛ ⎝⎭在此椭圆上，根据椭圆定义计算得到答案.（2）直线:()l y k x m =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()02,Q y ，联立方程得到222121222422,1212mk k m x x x x k k-+==++，代入式子整理得到()12122(2)40x x m x x m -+++=，解得答案.【详解】（1）因为椭圆C 的焦点为(1,0)F，点1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在此椭圆上.所以21a c ===，所以1,1c a b ====，所以椭圆方程为2212x y +=.（2）由已知直线:()l y k x m =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()02,Q y ，由22(),1,2y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22222124220k x mk x k m +-+-=. 所以222121222422,1212mk k m x x x x k k-+==++. 因为1020012012,,222y y y y y k k k x x m--===---且1202k k k +=， 所以10200122222y y y y y x x m--+=---，整理得()01221120222k km y m x x ⎛⎫--++=⎪---⎝⎭， 因为点()02,Q y 不在直线l 上，所以020k km y --≠， 所以122110222m x x ++=---，整理得()12122(2)40x x m x x m -+++=， 将2122412mk x x k +=+，221222212k m x x k -=+代入上式解得1m =，所以1m =. 【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中斜率的关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18．如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ 相切，记其圆心为O ，切点为G ．为参观方便，现新修建两条道路CA 、CB ，分别与圆O 相切于D 、E 两点，同时与PQ 分别交于A 、B 两点，其中C 、O 、G 三点共线且满足CA ＝CB ，记道路CA 、CB 长之和为L ．（1）①设∠ACO ＝θ，求出L 关于θ的函数关系式()L θ；②设AB ＝2x 米，求出L 关于x 的函数关系式()L x ．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．【答案】（1）① ()4040sin =2sin cos L AC θθθθ+=其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭②()322800=400x x L x x +- 其中()20,x ∈+∞（2）当51sin θ-时，()L θ取得最小值，新建道路何时造价也最少【解析】(1) ①根据直角三角形得20sin CO θ=，即得2020sin CG θ=+，再根据直角三角形得2020sin sin cos AC θθθ+=，最后根据()=2L AC θ 得结果. ②根据三角形相似得32400400x xCA x +=- ，即得结果，(2) 选择（1），利用导数求最值，即得结果. 【详解】解：（1）①在Rt CDO ∆中，ACO θ∠=，所以20sin CO θ=，所以2020sin CG θ=+ 在Rt AGC ∆中20202020sin sin cos cos sin cos CG AC θθθθθθ++===，所以 ()4040sin =2sin cos L AC θθθθ+=，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，②设AC y =，则在Rt AGC ∆中CG =Rt CDO ∆与Rt AGC ∆相似得，CO OD CA AG =,20x=，即2020x y =，即()20+x y =，即=()()2400+x y x x y -=，化简得32400400x x CA y x +==-，()322800=2400x xL x CA x +=- 其中()20,x ∈+∞ （2）选择（1）中的第一个函数关系式()()401+sin 4040sin =2=sin cos sin cos L AC θθθθθθθ+=研究.()()()()()()223222240cos sin cos 1sin cos sin 40sin +sin cos =sin cos sin cos L θθθθθθθθθθθθθθ⎡⎤-+--⎣⎦'=()()()()()()()32322222240sin +2sin 140sin sin sin 140sin 1sin sin 1==sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ-++-++-=令()=0L θ'，得sin θ.令0sin θ当0(0,)θθ∈时，()0L θ'<，所以()L θ递减； 当0(,)2πθθ∈时，()0L θ'>，所以()L θ递增，所以当sin θ时，()L θ取得最小值，新建道路何时造价也最少 【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用()0f x '>或()0f x '<求单调区间；第二步：解()0f x '=得两个根12,x x ；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．19．设()x f x ae a =-，2()g x ax x =-(a 为与自变量x 无关的正实数).（1）证明：函数()f x 与()g x 的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；（2）是否存在实数k ，使得()ln 1f x a k x ax x +-->对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，若存在，求出k 的取值范围，否则说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）存在ln 212k -⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，理由见解析. 【解析】（1）计算0(0)0,(0)0f ae a g =-==，再计算(0,0)O 处的切线得到答案.（2）假设存在，存在实数k 使得ln x k e x x x <--对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立，1()ln ,,2x h x e x x x x ⎡⎫=--∈+∞⎪⎢⎣⎭，求导得到单调区间，计算最值得到答案.【详解】（1）因为0(0)0,(0)0f ae a g =-==，所以2(),()x f x ae a g x ax x =-=-的图像存在一个公共的定点(0,0)O . 因为()x f x ae '=，()2g x a x '=-，所以(0)f a '=，(0)g a '=， 所以在定点(0,0)O 处有一条公切线，为直线y ax =. （2）假设存在实数k ，使得()ln 1f x a k x ax x +-->对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立， 即存在实数k 使得ln x k e x x x <--对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立. 令1()ln ,,2xh x e x x x x ⎡⎫=--∈+∞⎪⎢⎣⎭，则1()ln 2,,2xh x e x x ⎡⎫'=--∈+∞⎪⎢⎣⎭， 令1()ln 2,,2xm x e x x ⎡⎫=--∈+∞⎪⎢⎣⎭，则111(),,2x xxe m x e x x x -⎡⎫'=-=∈+∞⎪⎢⎣⎭， 因为0,0xx e >>，且,xy x y e ==在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以xy xe =在1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭上单调递增，因为112121210,11022e e e --=<⋅->，所以存在唯一实数01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得0010x x e -=，即()00m x '=，且00x x e -=， 所以()h x '在0x 处取得最小值()00000ln 2ln 2x x x h x e x e e -'=--=--1201322022x e x e =+->+-==>， 所以()ln xh x e x x x =--在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ln 21()22h x h -⎛⎫>=+⎪⎝⎭，因为ln x k e x x x <--对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立，所以ln 212k -≤+，故存在ln 212k -⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦使得()ln 1f x a k x ax x +-->对任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立. 【点睛】本题考查了公切线问题，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20．定义：对于一个项数为()*2,m m m N ∈…的数列{}na ，若存在*k N∈且k m <，使得数列{}n a 的前k 项和与剩下项的和相等(若仅为1项，则和为该项本身)，我们称该数列是“等和数列”.例如：因为321=+，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：（1）判断数列2，4-，6，8-是否是“等和数列”，请说明理由；（2）已知等差数列{}n a 共有r 项(3r …，且r 为奇数)，11a =，{}n a 的前n 项和n S 满足1(1)(1)(1)n n nS n S n n n r +=+++-„.判断{}n a 是不是“等和数列”，并证明你的结论.（3）{}n b 是公比为q 项数为()*,3m m N m ∈…的等比数列{}n b ，其中2q ≥.判断{}n b 是不是“等和数列”，并证明你的结论.【答案】（1）数列2，4-，6，8-是“等和数列”，理由见解析（2）{}n a 不是“等和数列”，证明见解析.（3）{}n b 不是“等和数列”，证明见解析. 【解析】（1）直接根据定义得到答案. （2）化简得到111n nS S n n+-=+，计算2n S n =，假设存在k 使得数列{}n a 的前k 项和与剩下项的和相等，222k r =，根据奇偶性得出矛盾.（3）设n B 为{}n b 的前n 项和，假设{}n b 是“等和数列”，化简得到21k mq q -=，计算21k m q q -<，得出矛盾.【详解】（1）∵2(4)6(8)+-=+-，∴数列2，4-，6，8-是“等和数列”. （2）由*1(1)(1),n n nS n S n n n N +=+++∈，两边除以(1)n n +，得111n nS S n n+=++， 即111n nS S n n +-=+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且111S =，11n S n n n =+-=， 所以2n S n =，假设存在k 使得数列{}n a 的前k 项和与剩下项的和相等，即k r k S S S =-，所以2k r S S =∴222k r =在中，因为r 为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边22k 一定是偶数， 所以不可能有解，从而假设错误，{}n a 不是“等和数列”. （3）设n B 为{}n b 的前n 项和，假设{}n b 是“等和数列”， 则存在*k N ∈且k m <，使得k m k B B B =-成立，即2k m B B =，于是()()1121111k m b q b q qq--=--成立，即21k mq q -=因为2q …，所以1212kk k q q q +-<„，又m k >，即1m k ≥+，所以1k mq q +„，所以21k m q q -<，与21k mq q -=产生矛盾.所以假设不成立，即{}n b 不是“等和数列”. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的对于数列公式方法的综合应用.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A .【答案】1102-⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，根据题意变换得到直线220x ay bx y +++-=，对比得到答案.【详解】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵2a a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩，故1102A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.22．如图, 在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面ABC ，90CAB ∠=︒，且1AC AD ==，2AB =，E 为BD 的中点．（1）求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值； （2）求二面角A CE B --的余弦值．【答案】（1）45（2）5【解析】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，()1,2,0BC =-u u uv ，利用向量夹角公式即可得到结果；（2）求出平面ACE 与平面BCE 的法向量，代入公式即可得到结果. 【详解】因为DA ⊥平面ABC ，90CAB ∠=︒，所以可以以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.因为1AC AD ==，2AB =，所以()0,0,0A ，()1,0,0C ，()0,2,0B ，()0,0,1D ， 因为点E 为线段BD 的中点，所以10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，()1,2,0BC =-u u uv ，所以·4cos ,5554AE BC AE BC AE BC〈〉===-⨯u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v ， 所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为45. （2）设平面ACE 的法向量为()1,,n x y z =，因为()1,0,0AC =u u u v ，10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，所以1·0n AC u u u v =，1·0n AE =u u u v ，即0x =且102y z +=，取1y =，得0x =，2z =-，所以()10,1,2n =-是平面ACE 的一个法向量． 设平面BCE 的法向量为()2,,n x y z =，因为()1,2,0BC =-u u u v ，10,1,2BE u u u v ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2·0n BC =u u u v ，2·0n BE =u u u v，即20x y -=且102y z -+=，取1y =，得2x =，2z =， 所以()22,1,2n =是平面BCE 的一个法向量．所以121212cos ,5n n n n n n ⋅〈〉===-． 由图可知二面角为钝角，所以二面角A CE B --的余弦值为5-. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.23．在自然数列1,2,3,,n L 中，任取k 个元素位置保持不动，将其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为()n P k . （1）求3(1)P ； （2）求440()k P k =∑；（3）证明11()()n n nn k k kP k n Pk --===∑∑，并求出0()nn k kP k =∑的值.【答案】（1）3；（2）24；（3）证明见详解，!n ； 【解析】（1）直接列举求解；（2）4(4)1P =，4(3)0P =，2442(2)(0)616P C P ==⨯=，1443(1)(0)428P C P ==⨯=，4444444(0)(1)(2)(3)(4)9P A P P P P =----=，其实()440k P k =∑44A =；（3）由关系式()()0kn n n kP k C P-=，结合11kk nn kC nC--=，可证得()()11n n nn k k kP k n P k --===∑∑，进而通过构造()0nnk kP k =∑的递推关系式求通项或者直接有()()1111!nn n nn n k k kP k n P k nAn ----=====∑∑；【详解】（1）因为数列1,2,3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1,3,2或3,2,1或2,1,3， 所以()313P = （2）()()()()()()444444401234k P k P P P P P ==++++∑011112433424=C C C +C C +C +0+1=9+8+6+0+1=24；（3）把数列1,2,,n ⋅⋅⋅中任取其中k 个元素位置不动， 则有kn C 种； 其余n k -个元素重新排列，并且使其余n k -个元素都要改变位置， 则有()()0kn n n k P k C P -=，故()()00n nknnn k k k kP k kCP -===∑∑，又因为11k k n n kC nC --=，所以()()()()11111000.n nn n k knnn k n n k n k k k k kP k kCP n C Pn P k -------=======∑∑∑∑，令()0,nn nk a kP k ==∑则1,nn ana -=且1 1.a =于是23411231234n n n a a a a a a a a na --⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 左右同除以2341n a a a a -⋅⋅⋅，得234!n a n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯= 所以()0!nnk kP k n ==∑【点睛】本题考查排列和组合，涉及其运算性质，属综合困难题. 24．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2sin 1cos 2x y αα=⎧⎨=-⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标． 【答案】P 点的直角坐标为()0,0【解析】将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程求交点坐标。
2020年3月普通高考数学(江苏卷)全真模拟卷(4)(原卷版)
2020年3月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（4）数学第I 卷（必做题，共160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．设集合{}1,1,3A =-，{}22,4B a a =++，{}3A B ⋂=.则实数a =_______. 2．设,x y ∈R ，i 为虚数单位，且511213x y i i i+=+++，则x y +=______. 3．已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，则数据1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的标准差为 .4．在如图所示的程序框图中输入3，结果会输出________5．函数lg(4)()x f x -=________________6．已知函数||()x a f x e -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是________. 7．在ABC ∆中，tan()tan 2A B C +=，2AB =，3AC =，则BC =__________． 8．从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数，这样的四位数有 个．9．在等比数列{}n a 中，0,1n a q >>，且8478108281a a a a a a -+=，则69a a -=________.10．对于函数()2x f x =定义域中任意1x ，212()x x x ≠有如下结论：（1）1212()()()f x x f x f x +=+．（2）1212()()()f x x f x f x +=⋅．（3）1212()()0f x f x x x ->-． （4）1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． 其中正确结论的序号是__________．11．若1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x -+≥-对任意实数[1,1]m ∈-恒成立，则a 的取值范围是 ．12．在ABC ∆所在的平面内有一点P ，若2PA PC AB PB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v，那么PBC ∆的面积与ABC ∆的面积之比是________．13．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，过1BD 的截面的面积为S ，则S 的最小值为_______．14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是双曲线C 右支上的一点，射线PQ 平分12F PF ∠交x 轴于点Q ，过原点O 的直线平行于直线PQ 交1PF 于点T ，若1222F F =，则双曲线的离心率为__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在四边形ABCD 中，AC 平分角DAB ，60ABC ︒∠=，AC=7，AD=6，1532ADC S ∆=（1）求BC ；（2）求ABC S ∆.16．如图1，在矩形11BB C C 中，1122CC BC ==，1A A ，分别是11BC B C ，的中点，1D D ，分别是11AC A C ，的中点，将四边形11CC D D ，11AA B B 分别沿1DD ，1AA 折起，使平面11CC D D ⊥平面11AA D D ，平面11AA B B ⊥平面11AA D D ，如图2所示，E 是1AA 上一点，且112AE A E =.（1）求证：1111B C AA C C ⊥平面；（2）线段1CB 上是否存在点Q ，使得11//AQ B C E 平面？若存在，求出CQ 的长，若不存在，请说明理由.17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，过椭圆上顶点A 且斜率为()1k k ≥的直线l 交椭圆C 于另一点B ，求直线OB 斜率的取值范围.18．一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示(单位：)m ，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m ，车与箱共高4.5m ，此车是否能通过隧道？并说明理由．19．已知函数()()2ln ,1f x x ax g x ax =-=+，其中e 为自然对数的底数. （1）讨论函数()f x 在区间[]1,e 上的单调性；（2）已知()0,a e ∉，若对任意[]12,1,x x e ∈，有()()12f x g x >，求实数a 的取值范围.20．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-对一切*N n ∈都成立.(1)当1λ=时.①求数列{}n a 的通项公式；②若()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项的和n T ；(2)是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列.如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.第II 卷（附加题，共40分）理科附加题21．已知矩阵1012,0202A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． （1）求2B ；（2）求12A B -．22．在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.23．某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理,处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为()01p p <<.经化验检测,若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A 级水池,分别取样、检测. 多个污水样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标,则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标,则该组中各个样本必须再逐个．．．．．化验；若混合样本达标,则原水池的污水直接排放.现有以下四种方案,方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验,剩下的一个单独化验；方案四：混在一起化验.化验次数的期望值越小,则方案的越“优”.（Ⅰ） 若5p =,求2个A 级水样本混合化验结果不达标．．．的概率；（Ⅰ） 若5p =,现有4个A 级水样本需要化验,请问：方案一,二,四中哪个最“优”？（Ⅰ） 若“方案三”比“方案四”更“优”,求p 的取值范围.24．已知等差数列{a n }满足a 4=4，前8项和S 8=36．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足．① 证明：{b n }为等比数列；② 求集合．。
2020年高考模拟试卷江苏省高考数学全真模拟测试试卷(3月份) 含解析
2020年高考数学全真模拟试卷（3月份）一、填空题1．已知集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|1＜x＜2，x∈R}，则A∩B＝．2．设z﹣2i＝，则|z|＝．3．函数f（x）＝的定义域为．4．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n﹣1，则数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值为．5．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（2，0），且它的一条渐近线与直线l：x+y＝0垂直，则双曲线C的标准方程为．6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．7．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为．8．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．9．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝，则有＝．10．已知x∈（0，），tan x＝，则＝．11．已知点A（3，0），抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则＝．12．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为．13．已知函数，g（x）＝k（x+1），若方程f（x）﹣g（x）＝0有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．14．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC，CD上，＝λ，＝μ，若2λ+μ＝，则•的最小值．二、解答题：共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC面积的最大值．16．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．（1）求证：FM∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．17．如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动．据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响．如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由．18．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）左、右顶点为A，B，左、右焦点为F1，F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2．直线y＝kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），且|CM|＝|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．19．已知函数f（x）＝a（lnx+）﹣（x＞0）．（Ⅰ）若a＝0，求函数g（x）＝﹣xf（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）内有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，求证：x1+x2＜2lna．20．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）＝2011．（1）求f（）的值．（2）数列{a n} 满足：a n＝f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1），求数列{}的前n项和S n．（3）若T n＝++…+，证明：．参考答案一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|1＜x＜2，x∈R}，则A∩B＝{x|1＜x＜2，x∈R}．解：集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|1＜x＜2，x∈R}，A∩B＝x|1＜x＜2，x∈R}，2．设z﹣2i＝，则|z|＝1．解：∵z﹣2i＝＝，∴z＝2i﹣i＝i，则|z|＝1．故答案为：1．3．函数f（x）＝的定义域为．解：要使函数f（x）＝有意义则sin x﹣1≥0即sin x≥1而sin x≤1∴sin x＝1即x＝2kπ+，k∈Z∴函数f（x）＝的定义域为故答案为：4．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n﹣1，则数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值为﹣6．解：由S n＝2n﹣1，得a1＝S1＝1，当n≥2时，，a1＝1适合上式，∴．则b n＝a n2﹣7a n+6＝．∴当a n＝4时．故答案为：﹣6．5．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（2，0），且它的一条渐近线与直线l：x+y＝0垂直，则双曲线C的标准方程为x2﹣＝1．解：∵双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（2，0），∴c＝2，∵它的一条渐近线与直线l：x+y＝0垂直，∴•（﹣）＝﹣1，即b＝a，∵c2＝a2+b2，∴a＝1，b＝，∴双曲线C的标准方程为x2﹣＝1，故答案为：x2﹣＝1．6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．解：青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，则高一学生抽取：5×＝2，高二学生抽取：5×＝2，高三学生抽取：5×＝1，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n＝＝10，记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m＝＝2，∴事件A的概率为p＝＝＝．故答案为：．7．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为﹣6或2．解：f′（x）＝，由题可知切线的斜率k＝f'（1）＝1．又f（1）＝a，所以切点坐标为（1，a），所以函数的图象在x＝1处的切线方程为y＝x+a﹣1．又因为圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0的圆心坐标为（1，﹣2），半径为3，所以圆心到切线的距离．因为切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则，解得a＝﹣6或2．故答案为：﹣6或2．8．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为3．解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i＝1．第一次执行循环体后：a＝1，b＝8，不满足条件a＞b，故i＝2；第二次执行循环体后：a＝3，b＝6，不满足条件a＞b，故i＝3；第三次执行循环体后：a＝6，b＝3，满足条件a＞b，故输出的i值为：3，故答案为：39．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝，则有＝﹣2．解：如图，∵，∴．故答案为：﹣2．10．已知x∈（0，），tan x＝，则＝．解：∵x∈（0，），tan x＝＝，sin2x+cos2x＝1，∴sin x＝，cos x＝．则＝＝2sin x＝，故答案为：．11．已知点A（3，0），抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则＝．解：焦点为F（0，1），过点M作准线的垂线MH，则FM＝MH，如图：所以＝＝＝＝＝＝．故答案为：．12．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为12．解：设矩形ABB1A1的面积为S，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为d，则△AA1E的面积为，∵＝＝2，∴Sd＝12，V＝Sd＝12．故答案为：12．13．已知函数，g（x）＝k（x+1），若方程f（x）﹣g（x）＝0有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（﹣]．解：当x≤0时，f（x）＝xe x，所以f′（x）＝（x+1）e x，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，﹣1＜x＜0时f′（x）＞0，即函数f（x）在（﹣∞，﹣1）为减函数，在（﹣1，0）为增函数，方程f（x）﹣g（x）＝0有两个不同的实根等价于函数f（x）的图象与直线y＝kx+1有两个不同的交点，又函数f（x）与函数y＝kx+1的图象的位置关系如图所示，则实数k的取值范围是﹣，故答案为：（﹣，﹣]．14．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC，CD上，＝λ，＝μ，若2λ+μ＝，则•的最小值3．解：∵＝λ，＝μ，2λ+μ＝，∴•＝（+）•（+）＝（+λ）•（+μ）＝（+λ）•（+μ），＝（1+λμ）•+λ||2+μ||2＝（1+λμ）×2×2×（﹣）+4（λ+μ），＝﹣2﹣2λμ+4λ+4μ，＝﹣2﹣2λ（﹣2λ）+4λ+4（﹣2λ），＝4λ2﹣9λ+8＝4（λ﹣）2+，∵λ∈[0，1]，μ＝﹣2λ∈[0，1]，∴λ∈[，1]，当λ＝1取的最小值，最小值为3，∴•的最小值3，故答案为：3．二、解答题：共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC面积的最大值．解：（1）由及正弦定理可得，整理可得，sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A，即sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos A，因为sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝，（2）由余弦定理可得，＝，所以b2+c2＝1+bc≥2bc，当且仅当b＝c时取等号，所以bc≤1，即bc的最大值为1，此时三角形的面积取得最大值S＝＝．16．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．（1）求证：FM∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．（2）连BD，由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A＝A，AC，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥ACC1A1．17．如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动．据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响．如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由．解：如图所示，设台风移动M处的时间为th，则|PM|＝20t，依题意可得∠APM＝60°﹣30°＝30°，在三角形APM中，由余弦定理可得AM2＝PA2+PM2﹣2•PA•PM•cos30°＝3002+（20t）2﹣2×300×20t×，依题意该城市受台风侵袭等价于AM≤100，即AM2≤30000，∴90000+400t2﹣6000t≤30000，化简得：t2﹣15t+150≤0，解得5≤t≤10．所以该城市受台风侵袭的时间为10﹣5＝5（h）．18．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）左、右顶点为A，B，左、右焦点为F1，F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2．直线y＝kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），且|CM|＝|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．解：（Ⅰ）因为2a＝4，2c＝2，所以a＝2，c＝，所以b＝1，所以椭圆E的方程为；（Ⅱ）直线y＝kx+m（k＞0）与椭圆联立，可得（4k2+1）x2+x8mk+4m2﹣4＝0．设D（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，又M（﹣，0），N（0，m），由|CM|＝|DN|得x1+x2＝x M+x N，所以﹣＝﹣，所以k＝（k＞0）．所以x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣2．因为直线y＝kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），所以﹣≤﹣2m≤且m≠0，所以（）2＝[]2＝＝＝＝，所以＝＝﹣1﹣．又因为＝﹣1﹣在[﹣，0），（0，]上单调递增，所说义7﹣4＝≤≤＝7+4且≠1，即7﹣4≤≤7+4且≠1，所以∈[7﹣4，1）∪（1，7+4]．19．已知函数f（x）＝a（lnx+）﹣（x＞0）．（Ⅰ）若a＝0，求函数g（x）＝﹣xf（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）内有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，求证：x1+x2＜2lna．解：（Ⅰ）当a＝0时，，则，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，∴函数g（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；（Ⅱ），依题意，x1，x2是函数y＝e x﹣ax在（0，2）上的两个零点，由e x﹣ax＝0得，，由（Ⅰ）可知，问题等价于g（x）＝a在（0，2）上有两个零点，由（Ⅰ）知，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，且当x→0时，g（x）→+∞，，由图象可知，；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，x1，x2为在区间（0，2）上的两个根，且0＜x1＜1＜x2＜2，由可知，，则，∴x1+x2＝2lna+ln（x1x2），要证x1+x2＜2lna，即证ln（x1x2）＜0，即证0＜x1x2＜1，由对数平均不等式可知，将相减可得，x1﹣x2＝lnx1﹣lnx2，∴，∴，因此0＜x1x2＜1，∴x1+x2＜2lna．20．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）＝2011．（1）求f（）的值．（2）数列{a n} 满足：a n＝f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1），求数列{}的前n项和S n．（3）若T n＝++…+，证明：．解：（1）由于函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）＝2011，令得：，所以；（2）令，则.①又②两式相加得：，即有．∴＝（n+1）a n，当a＝1时，和S n．＝2+3+…+n+1＝n（n+3）；当a≠1时，和S n＝2a+3a2+..+（n+1）a n，③aS n＝2a2+3a3+..+（n+1）a n+1，④③﹣④可得，（1﹣a）S n＝2a+a2+..+a n﹣（n+1）a n+1＝a+﹣（n+1）a n+1，化简可得+﹣．则；（3）证明：∵，∴，即有T n＝++…+＜[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝•（1﹣）＜．。
【精品高考数学】2020年3月普通高考(江苏卷)全真模拟卷(3)+答案
2020年3月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（3）数学第I 卷（必做题，共160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．全集U =R ，{|11}A x x =-≤≤，{|02}B x x =<<，则()U C A B ⋃=____________ 2．i 是虚数单位，复数67i12i+=+___________.3．函数1y x -=的定义域是___________. 4．阅读图中的程序框图，若输入10a =，则输出_________.5．为了解某市甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试成绩，采取分层抽样方法，从甲校的1260份试卷、乙校的720份试卷、丙校的900份试卷中进行抽样调研．如果从丙校的900份试卷中抽取了45份试卷，那么这次调研共抽查的试卷份数为___________ .6．现有5个女生和3个男生随机站成一排，则排头和排尾均为女生的概率是________（结果用分数表示）. 7．已知,x y 为非零实数，()ππ,42θ∈，且同时满足：①sin cos y x θθ=，② 22103x y xy =+，则cos θ的值等于______．8．若直线1y kx =+和圆22:1O x y +=相交于,A B 两点（其中O 为坐标原点），且60AOB ∠=o ，则实数k 的值为__________．9．已知一元二次函数22y x kx k =++-，它的图象与x 轴的两个交点为A 、B ，则线段AB 最短时，实数k 的取值为__________.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，420S =，则11nk kS ==∑___________． 11．已知O 是锐角ΔABC 的外接圆圆心, cos cos 60,2,sin sin B C A AB AC mAO C B︒∠=+=u u uv u u u v u u u v 则实数m 的值为_____.12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在双曲线C 上，若5PF a =，120PFO ∠=︒，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的离心率为 ．13．下面四个命题中，其中正确命题的序号为____________. ① 函数()tan f x x =是周期为π的偶函数； ② 若是第一象限的角，且，则；③是函数的一条对称轴方程；④ 在(,)22ππ-内方程tan sin x x =有3个解.14．已知点P 是曲线214x y =上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线x y e =上任意一点，则｜PH ｜＋｜PQ ｜的最小值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且,2PA AC PA AD ⊥==，四边形ABCD 满足,1//,BC AD AB AD AB BC ⊥==，F 为侧棱PC 上的任意一点.（1）求证：平面AFD ⊥平面PAB .（2）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由.16．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin C c B -=. （1）求B ；（2）若3a =，7b =，D 为AC 边上一点，且sin 3BDC?，求BD . 17．如图1，已知正方形铁片A B C D ''''边长为2a 米，四边中点分别为E ，F ，G ，H ，沿着虚线剪去大正方形的四个角，剩余为四个全等的等腰三角形和一个正方形ABCD （两个正方形中心重合且四边相互平行），沿正方形ABCD 的四边折起，使E ，F ，G ，H 四点重合，记为P 点，如图2，恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），PO ⊥底面ABCD ，O 为正四棱锥底面中心，设正方形ABCD 的边长为2x 米.（1）若正四棱锥的棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全面积S ； （2）请写出正四棱锥的体积V 关于x 的函数，并求V 的最大值.18．已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为2，设直线l 过椭圆C 的上顶点和右顶点，坐标原点O 到直线l .（1）求椭圆C 的方程.（2）过点(3,0)D 且斜率不为零的直线l '交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点Q ，使得直线AQ ，BQ 的斜率之积为非零的常数?若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 19．已知函数()sin f x x x =+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；（Ⅰ）若不等式()f x ax ≥对任意π[0,]2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．20．已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，向量(1)n x b =v ，，(1)n n y a S =-v，，y x //． （1）若2n b =，求数列{}n a 通项公式； （2）若2n nb =，20a =． ①证明：数列{}n a 为等差数列； ②设数列{}n c 满足32n n n a c a ++=，问是否存在正整数l ，(m l m <，且2l ≠，2)m ≠，使得l c 、2c 、m c 成等比数列，若存在，求出l 、m 的值；若不存在，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）理科附加题21．已知矩阵1211,,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦向量2y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若,A B αα=求实数,x y 的值. 22．曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为：(cos 2sin )6ρθθ-=. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最小值、并求取最小值时的P 点坐标.23．某市一批养殖专业户投资石金钱龟养殖业，行业协会为了了解市场行情，对石金钱龟幼苖销售价格进行调查。
江苏省苏州市2019-2020学年高考数学三模试卷含解析
江苏省苏州市2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()3sin 3x f x x π=+的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，可排除D ；求得()f x '及()f x ''，由导函数符号可判断()f x 在R 上单调递增，即可排除AC 选项. 【详解】函数()3sin 3x f x x π=+易知()f x 为奇函数，故排除D. 又()2cos x f x x π'=+，易知当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>；又当,2x π⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()2sin 1sin 0x f x x x π''=->-≥， 故()f x '在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()24f x f ππ⎛⎫''>= ⎪⎝⎭， 综上，[)0,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增. 又()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递增，故排除A ，C.故选：B 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题.2．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36 B ．72C ．36-D ．36±【答案】A 【解析】 【分析】根据4a 是2a 与6a 的等比中项，可求得4a ，再利用等差数列求和公式即可得到9S . 【详解】等比数列{}n a 满足21a =，616a =，所以44a ==±，又2420a a q =⋅>，所以44a =，由等差数列的性质可得9549936S b a ===. 故选：A 【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题. 3．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】x y <，不能得到1x y <， 1xy<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】 因为x ，y R ∈，当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21xy=>， 故x y <时，1xy<不成立，当1xy<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“1xy<”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ） A ．25 B ．32C ．35D ．40【答案】C 【解析】 【分析】设出等差数列{}n a 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得10a ． 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则313127339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,4a d =-=，∴45n a n =-，即有10410535a =⨯-=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前n 项和公式的应用，属于容易题． 5．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A ．33B ．23C ．33D 73【答案】D 【解析】【分析】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得sin sin120AB ACα=︒，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，则AC =CD =由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，即sin α=，从而()cos cos 90sinBCD αα∠=︒+=-=，在BCD ∆中，由余弦定理得：2134992333BD =++⨯=，则BD =. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60 B ．240 C ．－80 D ．180【答案】D 【解析】 【分析】求()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求62x ⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x 项，再求和即可得出答案. 【详解】由题意，62x ⎫⎪⎭中常数项为2426260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，62x ⎫⎪⎭中31x 项为4246321240C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为： 3x ⨯31240160180x -⨯=. 故选：D 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题. 7．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ）A ．3B ．5C D 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【详解】() 125i z i -=（i 是虚数单位）可得()125i z i -=解得z =本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.8．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种 B ．20种C ．22种D ．24种【答案】B 【解析】 【分析】分两类：一类是医院A 只分配1人，另一类是医院A 分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案. 【详解】根据医院A 的情况分两类：第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有2232C A 种不同 分配方案，当医院B 有2人，则共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时， 共有2232C A +122210C A =种不同分配方案；第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有33A 种不同分配方案，当乙不在A 医院， 在B 医院时，共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时， 共有33A +122210C A =种不同分配方案； 共有20种不同分配方案. 故选：B 【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=u u u v u u u v ，若以AB为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】C 【解析】 【分析】由0FA FB +=u u u r u u u r 得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可【详解】因为0FA FB +=u u u r u u u r，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==.故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 10．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C【解析】 【分析】把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可． 【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，，∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．11．已知双曲线C ：2214x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．2-C ．1-D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由|AF 2|＝3|BF 2|，可得223AF F B u u u u v u u u u v=.设直线l 的方程x ＝m ＞0，设()11,A x y ，()22,B x y ，即y 1＝﹣3y 2①，联立直线l 与曲线C,得y 1+y 2＝y 1y 2＝214m -③，求出m 的值即可求出直线的斜率. 【详解】双曲线C ：2214x y -=，F 1，F 2为左、右焦点，则F 20），设直线l 的方程x ＝，m ＞0，∵双曲线的渐近线方程为x ＝±2y ，∴m≠±2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且y 1＞0，由|AF 2|＝3|BF 2|，∴223AF F B u u u u v u u u u v =，∴y 1＝﹣3y 2①由22{440x my x y =--=，得()22410m y -++=∴△＝（）2﹣4（m 2﹣4）＞0，即m 2+4＞0恒成立，∴y 1+y 2＝24m --②，y 1y 2＝214m -③，联立①②得220y -=>，联立①③得2221304y m -=<-，2y ∴=2221123y m =-即：22211234m m ⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭，0m >，解得：12m =，直线l 的斜率为2， 故选D ． 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题． 12．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,a b ,再由中间值1可得三者的大小关系. 【详解】()2log 31,2a =∈，()422log 6log 1,log 3b ==，()0.150,1c -=∈，因此a b c >>，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(3月份)教学教材
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(3月份)2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题（共14题，共70分）1．已知i为虚数单位，复数，则|z|＝．2．已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|a﹣1≤x≤3}，若A∩B中有且只有一个元素，则实数a的值为2．3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是0.08．4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则a＝3．5．甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是．6．如图是一个算法的流程图，则输出的x的值为6．7．“直线l1：ax+y+1＝0与直线l2：4x+ay+3＝0平行”是“a＝2”的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝9，＝﹣4，则a n＝﹣2n+11．9．已知点M是曲线y＝2lnx+x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为y＝x﹣3．10．已知3cos2α＝4sin（﹣α），α∈（，π），则sin2α＝﹣11．如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧、（E在线段AD上）．由两圆弧、及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为．12．在△ABC中，（﹣λ）⊥（λ＞1），若角A的最大值为，则实数λ的值是3．13．若函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2]（1＜m＜n），则a的取值范围是（1，）14．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O．若OB＝OC，则△ABC面积的最大值是8二、解答题（共6题，共计90分）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos A﹣a sin B＝0．（1）求A；（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．（1）证明：AP∥平面EBD；（2）证明：BE⊥PC．17．某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M 的距离为1（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角（∠EPF）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：的离心率为，且经过点（1，），A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AEF与△BDF的面积比为1：7，求直线l的方程．19．已知函数f（x）＝x3﹣mx2+m2x（m∈R）的导函数f'（x）．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣f'（x）存在极值，求m的取值范围；（2）设函数h（x）＝f'（e x）+f'（lnx）（其中e为自然对数的底数），对任意m∈R，若关于x的不等式h（x）≥m2+k2在（0，+∞）上恒成立，求正整数k的取值集合．20．已知数列{a n}，{b n}，数列{c n}满足c n＝n∈N*．（1）若a n＝n，b n＝2n，求数列{c n}的前2n项和T2n；（2）若数列{a n}为等差数列，且对任意n∈N*，c n+1＞c n恒成立．①当数列{b n}为等差数列，求证：数列{a n}，{b n}的公差相等；②数列{b n}能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n}；若不能，请说明理由．三、附加题21.已知矩阵A＝，B＝，且二阶矩阵M满足AM＝B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标．23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝t（t为常数），且的最小值为，求实数t 的值．24．某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依此类推）．抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元．（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率．25．已知抛物线C：x2＝4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，交AB于点M，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G．记四边形AEBG的面积为S．（1）求点G的轨迹方程；（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由．。
2020年高考模拟江苏省常熟市(3月份)高考数学模拟试卷 含解析
2020年高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤1，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤0}，则A∩B＝．2．某校高一、高二、高三学生数之比为2：3：4，现用分层抽样方法抽取n位同学参加志愿服务，其中高三年级抽取了12位同学，则n＝．3．有4件产品，其中1件是次品，其余为正品，从中选取两件检测，两件产品均为正品的概率是．4．若执行如图的程序框图，则输出的k值是．5．复数（其中i是虚数单位）的虚部是．6．已知α∈（0，），且2sin（α﹣）＝3cos（α+），则α＝．7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为8．双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的两个交点（原点除外）连线恰好经过抛物线的焦点，则双曲线的离心率为．9．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝2，则四棱锥的侧面积是．10．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n a n+1＝2（S n+1）（n∈N*），则a2019+a2020＝．11．已知函数f（x）＝，若，则x＝．12．若对于给定的正实数k，函数f（x）＝的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是．13．已知平面四边形ABCD中，AB＝1，CD＝2，DA＝3，•＝10，则BC＝．14．设函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）的两个极值点分别为x1，x2，若≤﹣2恒成立，则实数a的取值范围是．二、解答题15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，点D，E，F分别为AB1，CC1，BC中点．（1）求证：DF∥平面ACC1A1；（2）求证：EF⊥平面B1AF．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若△ABC的面积为，求a，b；（2）若sin2B＝6sin A cos B，求△ABC的面积．17．江南某湿地公园内有一个以O为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线l1，l2，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A﹣B﹣C（如图，A在B右侧）．其中，BC与圆O相切于点Q，OA⊥l1，OA＝30米．设∠CBP＝θ，θ满足．（1）试将木栈道A﹣B﹣C的总长表示成关于θ的函数L（θ），并指出其定义域；（2）求木栈道A﹣B﹣C总长的最短长度．18．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上一点（1，）与椭圆右焦点的连线垂直于x 轴，过椭圆C上一点P的直线l：y＝kx+m与椭圆E：+＝1交于A、B两点（A，B均不在坐标轴上），设O为坐标原点，过O的射线OP与椭圆E交于点Q．（1）若|OQ|＝λ|OP|，求实数λ的值；（2）当P为（1，）时，若四边形OAQB的面积为12，试求直线l的方程．19．（16分）构造数组，规则如下：第一组是两个1，即（1，1），第二组是（1，2a，1），第三组是（1，a（1+2a），2a，a（2a+1），1），…，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和的a倍得到下一组，其中a∈（0，1）．设第n组中有a n个数，且这a n个数的和为S n（n∈N*）．（1）直接写出a n+1与a n的关系式，并求a n和S n；（2）已知a＝，，T n是数列{b n}的前n项和，H n是数列{T n}的前n项和．若对任意n∈N*，H2n﹣1∈{x|＜x＜}，求所有满足条件的正整数k的值．20．（16分）已知函数f（x）＝﹣x3+ax，g（x）＝e x．（1）设F（x）＝，①当a＝﹣1时，求曲线y＝F（x）在点（1，F（1））处的切线方程；②当a＞0时，求证：对任意x∈（0，+∞）恒成立．（2）讨论G（x）＝f（x）•g（x）的极值点个数．参考答案一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卷相应位置上．1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤1，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤0}，则A∩B＝{﹣1，0}．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤1，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x≤0}，∴A∩B＝{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．2．某校高一、高二、高三学生数之比为2：3：4，现用分层抽样方法抽取n位同学参加志愿服务，其中高三年级抽取了12位同学，则n＝27．【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求出n的值．解：由题意可得n•＝12，∴n＝27，故答案为：27．3．有4件产品，其中1件是次品，其余为正品，从中选取两件检测，两件产品均为正品的概率是．【分析】基本事件总数n＝＝6，两件产品均为正品包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出两件产品均为正品的概率．解：有4件产品，其中1件是次品，其余为正品，从中选取两件检测，基本事件总数n＝＝6，两件产品均为正品包含的基本事件个数m＝＝3，∴两件产品均为正品的概率p＝＝．故答案为：．4．若执行如图的程序框图，则输出的k值是4．【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出k的值．解：模拟执行如图的程序框图，如下；n＝3，k＝0，n不是偶数，n＝10，k＝1，n≠8；n是偶数，n＝5，k＝2，n≠8；n不是偶数，n＝16，k＝3，n≠8；n是偶数，n＝8，k＝4，n＝8；退出循环，输出k＝4．故答案为：4．5．复数（其中i是虚数单位）的虚部是﹣1．【分析】先对已知复数进行化简，然后结合虚部定义即可求解．解：∵＝＝﹣（i﹣i2）＝﹣1﹣i虚部为﹣1．故答案为：﹣16．已知α∈（0，），且2sin（α﹣）＝3cos（α+），则α＝．【分析】根据三角函数的诱导公式，进行转化求解即可．解：∵α+﹣（α﹣）＝，∴α+＝（α﹣）+，则2sin（α﹣）＝3cos（α+）＝3cos（+α﹣）＝﹣3sin（α﹣），即5sin（α﹣）＝0，即α﹣＝kπ，则α＝+kπ，k∈Z，∵α∈（0，），∴当k＝0时，α＝，故答案为：．7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为3【分析】设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，利用等比数列前n 项和公式能求出结果．解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7＝＝381，解得a1＝3．故答案为：3．8．双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的两个交点（原点除外）连线恰好经过抛物线的焦点，则双曲线的离心率为．【分析】由抛物线及双曲线的对称性可得渐近线与抛物线的交点关于x轴对称，再由题意可得交点所在的直线为x＝代入抛物线的方程求出交点坐标，进而求出渐近线的斜率，再由双曲线的渐近线方程与双曲线的方程的关系可得a，b的关系，由a，b，c的关系求出双曲线的离心率．解：由抛物线及双曲线的对称性可得，渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的两个交点关于x轴对称，由题意可得交点所在的直线为x＝，代入抛物线的方程可得|y|＝p，即渐近线的斜率为＝2，所以可得＝2，所以离心率e＝＝＝，故答案为：．9．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝2，则四棱锥的侧面积是4+4．【分析】利用直角三角形面积计算公式即可得出．解：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AD，PB⊥BC，PD⊥CD．∴四棱锥的侧面积S＝×2+×2×2×2＝4+4．故答案为：4+4．10．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n a n+1＝2（S n+1）（n∈N*），则a2019+a2020＝4041．【分析】依题意，可求得数列{a n﹣a n﹣1}是以3﹣2＝1为首项，1为公比的等比数列，继而可得数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，从而可求得答案．解：∵a1＝2，a n a n+1＝2（S n+1）（n∈N*）①，∴2a2＝2（a1+1）＝6，∴a2＝3．由①得：a n﹣1a n＝2（S n﹣1+1）（n≥2，n∈N*）②，①﹣②得：a1＝2，a n（a n+1﹣a n﹣1）＝2[（S n+1）﹣（S n﹣1+1）]＝2a n（n≥2，n∈N*），又a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣1＝2（n≥2，n∈N*）③，∴a n+2﹣a n＝2（n∈N*）④，④﹣③得：∴a n+2﹣a n+1＝a n﹣a n﹣1（n≥2，n∈N*），又a n≠a n﹣1（n≥2，n∈N*），∴数列{a n﹣a n﹣1}是以3﹣2＝1为首项，1为公比的等比数列，∴a n﹣a n﹣1＝1（n≥2，n∈N*），∴数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴a n＝2+（n﹣1）×1＝n+1．∴a2019+a2020＝2020+2021＝4041，故答案为：4041．11．已知函数f（x）＝，若，则x＝3．【分析】根据题意，先分析函数f（x）的值域，对于，先结合函数的值域分析f（x）的值，进而分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，当x≤1时，y＝2x，有0＜y≤2，当x＞1时，y＝x，有y＜0，若，必有f（x）≤1，则有2 f（x）＝，解可得f（x）＝﹣1，则有x＝﹣1，解可得x＝3；故答案为：312．若对于给定的正实数k，函数f（x）＝的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是（0，）．【分析】根据题意得：以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于3，即f（x）的图象上离原点最近的点到原点的距离小于3，设出C坐标，利用两点间的距离公式表示出C到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．解：根据题意得：2﹣1＝1＜|OC|＜1+2＝3，设C（x，），∵|OC|＝≥，∴＜3，即0＜k＜，则k的范围为（0，）．故答案为：（0，）．13．已知平面四边形ABCD中，AB＝1，CD＝2，DA＝3，•＝10，则BC＝4．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，用、、和表示和，计算即可．解：平面四边形ABCD中，AB＝1，CD＝2，DA＝3，•＝10，则＝（+）•（+）＝•+•+•+•＝﹣•+（•+•）+•＝﹣•+•+•＝﹣•+（+）•+•（+）＝﹣•++•+•+＝﹣•++•（+）+•+＝﹣•++•+（•+•）+＝﹣2•+++（﹣）•＝﹣2•++﹣，即12＝﹣2×10+32+﹣22，解得＝16，即||＝4；所以BC＝4．故答案为：4．14．设函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）的两个极值点分别为x1，x2，若≤﹣2恒成立，则实数a的取值范围是a≥e+．【分析】由函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）有两个极值点分别为x1，x2，可知f（x）不单调，利用导数求得a的范围，运用韦达定理可得a＝x1+x2＝x2+＞2，作差f（x1）﹣f（x2），再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数F（x）＝﹣x+•lnx（x＞1），通过求导，判断单调性可得x2≥e，即可得到a的范围．解：∵函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）有两个极值点分别为x1，x2，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣﹣1+＝﹣，令g（x）＝x2﹣ax+1，其判别式△＝a2﹣4．当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．当a＜﹣2时，△＞0，g（x）＝0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．当a＞2时，△＞0，设g（x）＝0的两个根x1，x2都大于零，令x1＝，x2＝，x1x2＝1，当0＜x＜x1时，f′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，当x＞x2时，f′（x）＜0，故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，∴a的取值范围是（2，+∞）．则a＝x1+x2＝x2+＞2，∵f（x1）﹣f（x2）＝﹣x1+alnx1﹣（﹣x2+alnx2）＝+（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），∴＝﹣﹣1+a•＝﹣2+a•．若≤﹣2恒成立，则﹣2+a•≤﹣2，∴≤，不妨设x1＜x2，则x1﹣x2≤（lnx1﹣lnx2）．又x1＝，∴﹣x2≤（﹣2lnx2），∴﹣x2+lnx2≤0（x2＞1）①恒成立．记F（x）＝﹣x+•lnx（x＞1），F′（x）＝﹣﹣1+•，记x1′＝[﹣]，x2′＝[+]，F（x）在（1，x2′）上单调递增，在（x2′，+∞）上单调递减，且易知0＜x1′＜1＜x2′＜e．又F（1）＝0，F（e）＝0，∴当x∈（1，e）时，F（x）＞0；当x∈[e，+∞）时，F（x）≤0．故由①式可得，x2≥e，代入方程g（x2）＝x22﹣ax2+1＝0，得a＝x2+≥e+（a＝x2+在x2∈[e，+∞）上递增）．又a＞2，∴a的取值范围是a≥e+．故答案为：a≥e+．二、解答题：共6小题，共90分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，点D，E，F分别为AB1，CC1，BC中点．（1）求证：DF∥平面ACC1A1；（2）求证：EF⊥平面B1AF．【分析】（1）连结A1B，A1C，推导出D是A1B中点，从而DF∥A1C，由此能证明DF ∥平面ACC1A1．（2）推导出AB＝AC，AF⊥BC，BB1⊥AF，从而AF⊥平面BCC1B1，进而AF⊥EF，推导出BB1⊥BC，从而四边形BCC1B1是矩形，推导出△B1BF∽△FCE，从而EF⊥B1F，由此能证明EF⊥平面B1AF．【解答】证明：（1）连结A1B，A1C，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是平行四边形，∵平行四边形对角线互相平分，D是AD1中点，∴D是A1B中点，又F是BC中点，∴DF∥A1C，∵DF⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，∴DF∥平面ACC1A1．（2）△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∵F是BC中点，∴AF⊥BC，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，∴BB1⊥AF，∵BC∩BB1＝B，∴AF⊥平面BCC1B1，∵EF⊂平面BCC1B1，∴AF⊥EF，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BB1⊥BC，侧面BCC1B1是平行四边形，∴四边形BCC1B1是矩形，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，∴BC＝，∵F是BC中点，E是CC1中点，∴△B1BF∽△FCE，∴∠BFB1＝∠CEF，∠BB1F＝∠CFE，∵∠BB1F+∠BFB1＝∠CEF+∠CFE＝90°，∴∠BFB1+∠CFE＝90°，∴EF⊥B1F，∵AF∩B1F＝F，∴EF⊥平面B1AF．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若△ABC的面积为，求a，b；（2）若sin2B＝6sin A cos B，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求ab＝1，利用余弦定理可得a+b＝2，联立方程即可得解a，b的值．（2）由已知可求得cos B＝0，或sin B＝3sin A，分类讨论，当cos B＝0时，可得B＝，求得a，利用三角形的面积公式即可求解；当sin B＝3sin A时，由正弦定理可得b＝3a，进而根据余弦定理，三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵S△ABC＝ab sin C＝＝，∴ab＝1，∵由c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝（a+b）2﹣3ab＝1，∴a+b＝2，∴解得a＝b＝1．（2）∵sin2B＝6sin A cos B，即2sin B cos B＝6sin A cos B，∴2cos B（sin B﹣3sin A）＝0，可得cos B＝0，或sin B＝3sin A，当cos B＝0时，由于B∈（0，π），可得B＝，又．可得a＝，S△ABC＝ac sin B＝＝；当sin B＝3sin A时，由正弦定理可得b＝3a，又c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝7a2＝1，可得a＝，b＝，S△ABC＝ab sin C＝＝．∴三角形的面积为或．17．江南某湿地公园内有一个以O为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线l1，l2，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A﹣B﹣C（如图，A在B右侧）．其中，BC与圆O相切于点Q，OA⊥l1，OA＝30米．设∠CBP＝θ，θ满足．（1）试将木栈道A﹣B﹣C的总长表示成关于θ的函数L（θ），并指出其定义域；（2）求木栈道A﹣B﹣C总长的最短长度．【分析】（1）试将木栈道A﹣B﹣C的总长表示成关于θ的函数L（θ），由AB＞0且BC＞0求三角不等式得函数定义域；（2）利用导数求木栈道A﹣B﹣C总长的最短长度．解：（1）过Q分别向AO和l1作垂线，垂足为H，M，由题意可得，∠QOH＝θ，∴QH＝20sinθ，OH＝20cosθ，则AH＝MQ＝30﹣20cosθ．在直角三角形BMQ中，BM＝．∴AB＝AM﹣BM＝QH﹣BM＝20sinθ﹣．又BC＝，∴L＝BC+AB＝（0＜θ＜）．∵AB＞0且BC＞0，∴，令，则θ∈（）．∴定义域为（）；（2）由L（θ）＝，得，θ∈（）．令L′（θ）＝0，得cos，∵＜，∴当cos时，．故木栈道A﹣B﹣C总长的最短长度为米．18．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上一点（1，）与椭圆右焦点的连线垂直于x 轴，过椭圆C上一点P的直线l：y＝kx+m与椭圆E：+＝1交于A、B两点（A，B均不在坐标轴上），设O为坐标原点，过O的射线OP与椭圆E交于点Q．（1）若|OQ|＝λ|OP|，求实数λ的值；（2）当P为（1，）时，若四边形OAQB的面积为12，试求直线l的方程．【分析】（1）由题意可知c＝1且，从而求出椭圆C的方程，再把点P，Q再把代入椭圆方程，即可求出λ的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线过点（1，）知k+m＝①，分别联立直线l与椭圆E和椭圆C的方程，利用韦达定理得到所以S△AQB＝2S△AOB＝|m||x1﹣x2|＝|m|＝12，化简得4k2+3＝m2②，由①②即可解得k和m的值，从而求出直线l的方程．解：（1）椭圆C的右焦点坐标为（1，0），且，又a2﹣b2＝1，a＞b＞0，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的方程为：，设P（x0，y0），则Q（λx0，λy0），由得：，又λ＞0，故λ＝2；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线过点（1，）知k+m＝①，由得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，有，且，，由得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，因为，所以4k2+3≥m2，所以S△AQB＝2S△AOB＝|m||x1﹣x2|＝|m|＝12，化简得[2（4k2+3）﹣m2]2＝（4k2+3）2，得4k2+3＝m2②，由①②解得：k＝﹣，m＝2，所以直线l的方程为：y＝﹣x+2．19．（16分）构造数组，规则如下：第一组是两个1，即（1，1），第二组是（1，2a，1），第三组是（1，a（1+2a），2a，a（2a+1），1），…，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和的a倍得到下一组，其中a∈（0，1）．设第n组中有a n个数，且这a n个数的和为S n（n∈N*）．（1）直接写出a n+1与a n的关系式，并求a n和S n；（2）已知a＝，，T n是数列{b n}的前n项和，H n是数列{T n}的前n项和．若对任意n∈N*，H2n﹣1∈{x|＜x＜}，求所有满足条件的正整数k的值．【分析】（1）a1＝2，a n+1＝2a n﹣1，化为：a n+1﹣1＝2（a n﹣1），数列{a n﹣1}为等比数列，可得：a n，S1＝2，S n+1＝S n+2a（S n﹣1），可得：S n+1﹣1＝（2a+1）（S n﹣1），S1﹣1＝1．利用通项公式可得S n．（2）b n＝，可得T n＝．可得H2n﹣1＝T1+T2+……+T2n﹣3+T2n﹣1＝﹣．可得﹣＜H2n﹣1≤﹣．根据对任意n∈N*，H2n﹣1∈{x|＜x＜}，即可得出．解：（1）a1＝2，a n+1＝2a n﹣1，化为：a n+1﹣1＝2（a n﹣1），∴数列{a n﹣1}为等比数列，可得a n﹣1＝2n﹣1，可得：a n＝1+2n﹣1，S1＝2，S n+1＝S n+2a（S n﹣1），可得：S n+1﹣1＝（2a+1）（S n﹣1），S1﹣1＝1．∴S n﹣1＝（2a+1）n﹣1，解得：S n＝1+（2a+1）n﹣1．（2）b n＝，∴T n＝．∴H2n﹣1＝T1+T2+……+T2n﹣3+T2n﹣1＝﹣﹣﹣……﹣＝﹣＝﹣．∴﹣＜H2n﹣1≤﹣．∵对任意n∈N*，H2n﹣1∈{x|＜x＜}，∴≤﹣，＞﹣，解得0＜k≤．∴正整数k＝1，2，3．20．（16分）已知函数f（x）＝﹣x3+ax，g（x）＝e x．（1）设F（x）＝，①当a＝﹣1时，求曲线y＝F（x）在点（1，F（1））处的切线方程；②当a＞0时，求证：对任意x∈（0，+∞）恒成立．（2）讨论G（x）＝f（x）•g（x）的极值点个数．【分析】（1）①将a＝1代入，求出切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程；②只需证a＞0时，h（x）＝2e x+e（a﹣x2）＞0对任意x＞0都成立，利用导数求其最值即可得证；（2）G（x）只有一个极值点或三个极值点，令，当G（x）只有一个极值点时，φ（x）的图象必穿过x轴且只穿过一次，即φ（x）为单调减函数或者φ（x）极值同号，分类讨论即可得解，同理可求当G（x）有三个极值点时的情况．解：（1），，①当a＝﹣1时，，∴切线方程为；②证明：即证对任意x＞0，，只需证a＞0时，h（x）＝2e x+e（a﹣x2）＞0对任意x＞0都成立，h′（x）＝2e x﹣2ex，h''（x）＝2e x﹣2e，令h''（x）＝0得x＝1，且x∈（0，1）时，h''（x）＜0，h′（x）单减，x∈（1，+∞）时，h''（x）＞0，h′（x）单增，∴h′（x）＞h′（1）＝0，∴h（x）在（0，+∞）上单增，∴h（x）＞h（0）＝2+ae＞0，∴当a＞0时，对任意x∈（0，+∞）恒成立．（2），∴G（x）只有一个极值点或三个极值点，令，当G（x）只有一个极值点时，φ（x）的图象必穿过x轴且只穿过一次，即φ（x）为单调减函数或者φ（x）极值同号，（i）φ（x）为单调减函数时，φ′（x）＝﹣x2﹣2x+a≤0在R上恒成立，则△＝4+4a ≤0，解得a≤﹣1；（ii）φ（x）极值同号时，设x1，x2为极值点，则φ（x1）φ（x2）≥0，φ′（x）＝﹣x2﹣2x+a＝0有解，则a＞﹣1，且，＝，同理φ（x2）＝（（a+1）x2+a），∴，化简得，∴（a+1）2（﹣a）+a（a+1）（﹣2）+a2≥0，解得﹣1＜a≤0，∴当a≤0时，G（x）只有一个极值点；当G（x）有三个极值点时，φ（x1）φ（x2）＜0，同理可得a＞0，综上，当a≤0时，f（x）有且仅有一个极值点；当a＞0时，f（x）有三个极值点．。
2020年江苏省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)(有解析)
2020年江苏省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={−1,2，3，6}，B ={x | −2<x <3}，则A ∩B = ．2. 已知z =4−3i ，则|z|=______．3. 求函数的定义域 ____________．4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =3n −1，则a n =________．5. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与直线l ：√3x −y =1平行，且双曲线C 的一个焦点到渐近线的距离为2√3，则双曲线C 的标准方程为______ ．6. 某部门有30名男生20名女生，现按性别采用分层抽样的方法从该部门选出5人，再从这5人中随机选取2人出差，则选取的2人恰好1男1女的概率为________．7. 曲线f (x )=2x −1x 在点(1,f (1))处的切线与圆x 2+y 2=R 2相切，则R =______．8. 根据如图程序框图，当输入x 为8时，输出的y 等于______9. 在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AC =4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 10. 已知tanx =2，则cosx+2sinx cosx−sinx 的值为______ ．11. 设抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线与x 轴相交于点K ，点A 在抛物线C 上且|AK |=√2|AF |，则△AFK 的周长为_____．12. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是棱AB 、D 1C 1的中点．则三棱锥A 1−FB 1E的体积为 ．13. 已知函数若方程f(x)−ax =1有三个实根，则实数a 的取值范围是______ ． 14. 在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD =60°，E 是边BC 上的一点，且3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______ ．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a −c =2bcos C ．(1)求sin(A+C 2+B)的值；(2)若b =√3，求c −a 的取值范围．16. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ABC =90°，AB =BC =BB 1=1，D 是A 1C 的中点．(Ⅰ)求BD 的长；(Ⅱ)求证：平面ABB 1⊥平面BDC ．17.“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D).当返回舱距地面1万米的P 点时(假定以后垂直下落，并在A 点着陆)，C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°．D 救援中心测得着陆点A位于其正东方向．(Ⅰ)求两救援中心间的距离；(Ⅱ)D救援中心与着陆点A间的距离．18.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F，过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，已知椭圆C的短轴长为2√3，离心率e=12．(1)求椭圆C的方程；(2)若线段PQ 的中垂线与x 轴交于点N ，求|PQ ||NF 1|的值．19. 已知函数f(x)=xe x −ae 2x (a ∈R)恰有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2).(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：f(x 2)>−12．20. 设A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2))是函数f (x )=12+log 2(x 1−x )的图象上的任意两点．(1)当x 1+x 2=1时，求f (x 1)+f (x 2)的值；(2)设S n =f (1n+1)+f (2n+1)+f (3n+1)+⋯⋯f (n−1n+1)+f (n n+1)，其中n ∈N ∗，求S n ； (3)对应(2)中S n ，已知a n =(1S n +1)2，其中n ∈N ∗，设T n 为数列{a n }的前n 项和，求证49≤T n <53．【答案与解析】1.答案：{−1,2}解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．由交集的定义计算即可．解：∵集合A ={−1,2，3，6}，B ={x | −2<x <3}，∴A ∩B ={−1,2}．故答案为{−1,2}．2.答案：5解析：解：|z|=√42+(−3)2=5．故答案为：5．利用复数模的计算公式即可得出．本题考查了复数模的计算公式，属于基础题．3.答案：{x |π3+2kπ≤x <5π6+2kπ,k ∈Z}解析： 本题考查三角函数的定义域的求法，为中档题．结合正弦函数，余弦函数的图象列出三角不等式，再求交集即可得定义域．解：要使函数有意义，只要{1−2cosx ≥02sinx −1>0即如图所示．cosx ⩽12的解集为{x |π3+2kπ≤x ≤5π3+2kπ,k ∈Z}， 的解集为{x |π6+2kπ<x <5π6+2kπ,k ∈Z}， 它们的交集为{x |π3+2kπ≤x <5π6+2kπ,k ∈Z}， 即函数的定义域为{x |π3+2kπ≤x <5π6+2kπ,k ∈Z}．4.答案：2×3n−1解析：由n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，由此能求出{a n }的通项公式．解：∵Sn =3n −1，∴a 1=S 1=3−1=2，n ≥2时，a n =S n −S n−1=3n −1−3n−1+1=2×3n−1，当n =1时，a 1=2也符合上式，∴a n =2×3n−1，故答案为2×3n−1．5.答案：x 24−y 212=1解析：本题主要考查双曲线方程的求解，根据条件建立方程关系求a，b的值是解决本题的关键．根据双曲线渐近线和直线平行的关系，得到方程求出a，b的关系，结合焦点到渐近线的距离公式，即可求出a，b的值．解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，∵双曲线的一条渐近线与直线l：√3x−y=1平行∴双曲线渐近线的斜率k=√3，即ba=√3，即b=√3a，双曲线C的一个焦点(c,0)到渐近线bx−ay=0的距离为2√3，即d=√a2+b2=bcc=b=2√3，∴a=2，即双曲线的标准方程为x24−y212=1，故答案为：x24−y212=16.答案：35解析：本题考查分层抽样，考查古典概型概率计算公式的运用，属于基础题．先求出抽取的男女生人数，再利用古典概型概率计算公式求解即可．解：由分层抽样方法知，该部门抽取男生3人，设为A，B，C，女生2人，设为a，b，则选出2人的所有情况为：{A,B}，{A,C}，{A,a}，{A,b}，{B,C}，{B,a}，{B,b}，{C,a}，{C,b}，{a,b}共10种，其中恰好1男1女的选法有{A,a}，{A,b}，{B,a}，{B,b}{C,a}，{C,b}共6中，所以恰好1男1女的概率为610=35．故答案为35．7.答案：√105解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．解：f(x)=2x −1x 的导数为f′(x)=2+1x 2，可得切线的斜率为k =3，切点为(1,1)，即有在x =1处的切线方程为y −1=3(x −1)，即为3x −y −2=0，由切线与圆x 2+y 2=R 2相切，可得d =√10=R ， 解得：R =√105． 故答案为√105． 8.答案：2解析：解：第一次循环，输入x =8，x =8−3=5≥0，第二次循环，x =5−3=2≥0，第三次循环，x =2−3=−1<0，此时y =2，输出y =2，故答案为：2．根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．9.答案：16解析：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的性质，属于基础题．由题意可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，再根据AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，运算求得结果． 解：∵直角三角形ABC 中，∠C =90°，AC =4，则有AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =16+0=16，故答案为16．10.答案：−5解析：解：∵tanx=2，则cosx+2sinxcosx−sinx =1+2tanx1−tanx=1+41−2=−5，故答案为：−5．由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．11.答案：8+4√2解析：本题主要考查的是抛物线的几何性质，属于中档题．设A(x0,y0)，则B(−2,y0)，根据|AK|=√2|AF|及|AF|=|AB|=x0−(−2)=x0+2，进而可求得A 点坐标，进而求得△AFK的周长．解：∵抛物线C：y2=8x的焦点为F(2,0)，准线为x=−2，∴K(−2,0)设A(x0,y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(−2,y0)，∵|AK|=√2|AF|，又AF=AB=x0−(−2)=x0+2，∴由BK2=AK2−AB2，得y02=(x0+2)2，即8x0=(x0+2)2，解得A(2,±4)，∴△AFK的周长为AF+AK+KF=AB+AK+KF=4+√42+42+4=8+4√2．故答案为8+4√2．12.答案：43解析：本题主要考查了利用等积法转化求三棱锥的体积的问题，熟练掌握相关方法是解决此类问题的关键．解：由题意可知，F到面AB1E的距离等于F到面ABB1A1到的距离，即D1到面ABB1A1到的距离， V A1−FB1E =V F−AB1E=13×12×2×2×2=43．故答案为43．13.答案：(1,+∞)解析：本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．方程f(x)−ax=1有三个实根可化为函数f(x)与直线y=ax+1有三个不同的交点，作图象，由数形结合求解．解：∵方程f(x)−ax=1有三个实根，∴函数f(x)与直线y=ax+1有三个不同的交点．作函数f(x)与直线y=ax+1的图象如下，且f′(0)=1，要使函数f(x)与直线y =ax +1有三个不同的交点， 结合图象可知a >f′(0)=1． 故实数a 的取值范围是(1,+∞)．14.答案：2解析：解：如图所示建立直角坐标系：则A(−√32,0)，D(0,12)，C(√32,0)，B(0,−12)．∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0)． ∵3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(0,−12)+13(√32,0) =(√36,−13)． ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23√3,−13)．∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√33×√3+0=2．故答案为：2．如图所示建立直角坐标系．可得A(−√32,0)，D(0,12)，C(√32,0)，B(0,−12)，利用向量的坐标运算和数量积运算即可得出．本题考查了向量的坐标运算和数量积运算，属于基础题．15.答案：解：(1)由余弦定理可得：2a −c =2bcosC =a 2+b 2−c 22ab×2b ，整理可得，a 2+c 2−b 2=ac ，cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，又，故，，所以；(2)由(1)得sinB =√32，所以a sinA =c sinC =bsinB =2，从而a =2sin A ，c =2sin C ． 所以c −a =2sinC −2sinA =2sin(2π3−A)−2sinA =√3cosA −sinA =2sin(π3−A)．因为A +C =2π3，所以0<A <2π3，从而−π3<π3−A <π3， 所以−√3<2sin(π3−A)<√3， 故c −a 的取值范围为(−√3,√3)．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．(1)由已知结合余弦定理进行化简求解cos B ，进而可求B ，代入即可求解；(2)由已知结合正弦定理可表示c −a ，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．16.答案：(Ⅰ)解：取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥平面ABC ，在Rt △BDO 中，BO =√22，DO =12，∴BD =√12+14=√32；(Ⅱ)证明：∵∠ABC =90°， ∴BC ⊥AB ，∵BB 1⊥BC ，BB 1∩AB =B ， ∴BC ⊥平面ABB 1， ∵BC ⊂平面BDC ， ∴平面ABB 1⊥平面BDC ．解析：(Ⅰ)取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥平面ABC ，利用勾股定理，即可求BD 的长； (Ⅱ)证明BC ⊥平面ABB 1，即可证明平面ABB 1⊥平面BDC ．本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面垂直的性质，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)由题意知PA ⊥AC ，PA ⊥AB ，则△PAC ，△PAB 均为直角三角形在Rt △PAC 中，PA =1，∠PCA =60°，解得 AC=√33在Rt △PAB 中，PA =1，∠PBA =30°，解得 AB=√3 又∠CAB =90°， BC=√AC 2+BC 2=√303万米；(Ⅱ)sin∠ACD=sin∠ACB=3√10， cos∠ACD=−1√10， 又∠CAD =30°，所以 sin∠ADC=sin(30°+∠ACD)=3√3−12√10在△ADC 中，由正弦定理，AC sin∠ADC =ADsin∠ACD AD =AC⋅sin∠ACD sin∠ADC=9+√313万米．解析：本题主要考查了解三角形的实际应用．解此类题的要点是建立适当的三角函数模型，利用三角函数的基本公式和定理进行求解．(Ⅰ)根据题意可知△PAC ，△PAB 均为直角三角形，进而分别在两个三角形中利用其中的一角和一边求得AC 和AB ，最后利用勾股定理求得BC ．(Ⅱ)先利用同角三角函数的基本关系求得cos∠ACD ，进而利用sin∠ADC =sin(30°+∠ACD)借助两角和公式求得sin∠ADC ，最后利用正弦定理求得AD ．18.答案：解：(1)由题意可得：{a 2=b 2+c 22b =2√3c a=12，解得{a =2b =√3，所以所求椭圆C 的方程为x 24+y 23=1； (2)(i)当k =0时，|PQ |=2a =4,|NF 1|=c =1，∴|PQ ||NF 1|=2a c=4；(ii)当k ≠0时，由题意可得：F 1(−1,0)．设直线PF 1的方程为y =k(x +1)，设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)， 由{y =k(x +1)x 24+y 23=1整理得：(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0显然Δ>0，且x 1+x 2=−8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2−123+4k 2，∴|PQ|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2√(−8k23+4k2)2−4⋅4k2−123+4k2=12+12k23+4k2所以y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k=−8k33+4k2+2k=6k3+4k2所以线段PQ的中点M(−4k23+4k2,3k3+4k2)，则线段PQ的中垂线方程为y−3k3+4k2=−1k(x+4k23+4k2)，令y=0，可得x=−k23+4k2，即N(−k23+4k2,0)，又F1(−1,0)，所以|NF1|=−k23+4k2+1=3k2+33+4k2，所以|PQ||NF1|=12+12k23+4k23k2+33+4k2=4，即|PQ||NF1|=4．解析：【试题解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及弦长公式的应用，属于较难题．(1)根据椭圆C的短轴长为2√3，离心率e=12求出a，b，c，即可求解；(2)(i)当k=0时，可得|PQ||NF1|=2ac=4；(ii)当k≠0时，由题意可得：F1(−1,0)，设直线PF1的方程为y=k(x+1)，联立方程根据韦达定理以及弦长公式即可求解．19.答案：解：(1)f′(x)=e x(x+1−2ae x)，要使f(x)恰有2个极值点，则方程x+1−2ae x=0有2个不相等的实数根，令g(x)=x+1−2ae x，g′(x)=1−2ae x；(i)a≤0时，g′(x)>0，g(x)在R递增，不合题意，舍，(ii)a>0时，令g′(x)=0，解得：x=ln12a，当x<ln12a 时，g′(x)>0，g(x)在(−∞,ln12a)递增，且x→−∞时，g(x)<0，x>ln12a 时，g′(x)<0，g(x)在(ln12a,+∞)递减，且x→+∞时，g(x)<0，∴g(x)max =g(ln12a) =ln 12a+1−2a ·e ln 12a =ln12a>0，∴12a >1，即0<a <12； (2)证明，由(1)知：x 1<ln 12a <x 2，且x 1，x 2满足x +1−2ae x =0， ∴x 2+1−2ae x 2=0，即2ae x 2=x 2+1， ∴f(x 2)=12e x 2(x 2−1)，其中x 2>ln 12a ， ∴f′(x 2)=12e x 2·x 2，∵0<a <12，∴x 2>ln 12a >0， ∴f′(x 2)>0，则f(x 2)在(ln 12a ,+∞)递增，∴当x 2>ln 12a 时，f(x 2)>f(ln 12a )=14a (ln 12a −1)=−ln2a+14a，令g(a)=−ln2a+14a ，则g ′(a)=ln2a 4a 2，∵0<a <12，∴ln2a <0，∴g ′(a)<0， ∴g(a)在(0,12)递减，∴当0<a <12时，g(a)>g(12)=−12， 故f(x 2)>g(a)>−12， ∴f(x 2)>−12．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最大值，根据函数恰有两个极值点得到关于a 的不等式，求出a 的具体范围即可；(2)求出f(x 2)=12e x 2(x 2−1)，其中x 2>ln 12a ，根据函数的单调性得到f(x 2)>f(ln 12a )=−ln2a+14a，令g(a)=−ln2a+14a，根据函数的单调性证明即可．20.答案：解：(1)A，B时f(x)图像上两点，x1+x2=1则f(x1)+f(x2)=12+log2x11−x1+12+log2x21−x2化简得：f(x1)+f(x2)=1+log2x1x21−(x1+x2)+x1x2=1+log21=1故f(x1)+f(x2)=1．(2)∵11+n+n1+n=21+n+n−11+n=⋯=1∴f(1n+1)+f(nn+1)=f(2n+1)+f(n−1n+1)=⋯=1S n=f(1n+1)+f(2n+1)+⋯f(nn+1);S n=f(nn+1)+f(n−1n+1)⋯f(1n+1)则两式相加有：2S n=n．故S n=n2．(3)a n=(1S n+1)2=(2n+2)2;T n=432+442+452+⋯4(n+2)2;a n每一项都大于0，则：T n≥a1=49；又有：T n=432+442+452+⋯4(n+2)2<432−1+442−1+452−1+⋯4(n+2)2−14 32−1+442−1+452−1+⋯4(n+2)2−1=2(12−14+13−15+14−16+⋯1n−1n+2+1n+1−1n+3)即432−1+442−1+452−1+⋯4(n+2)2−1=2(56−1n+2−1n+3)<53故T n<53．综上所述：49≤T n<53．解析：本题考查函数值的求法，数列求和和不等式的证明，有一定难度．(1)运用对数函数的运算代入计算即可，同时注意利用条件x1+x2=1．(2)利用(1)的结论，需要倒序求和：将S n倒序后再加上S n即可．(3)难点在于不等式的缩放与裂项相消，将4(n+2)放大为4(n+2)−1，便于求和运算，然后利用：4(n+2)−1=2(1(n+2)−1−1(n+2)+1)进行裂项相消．。
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案
江苏省2020届高三第三次调研测试1. 已知集合” ={一1,0,2,3}, A = {0,3},则C Z M= A ・2. 已知复数z =(i 是虚数单位)是纯虚数•则实数a 的值为 ▲・1 + 31---------3. 右图是一个算法流程图・若输岀y 的值为4,则输入*的值为 ▲・4. 已知一组数据6, 6, 9, x, y 的平均数是8,且= 90,则该组数据的方差 为▲.5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球.从 中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲・6.已知函数f(x) = \x2；2Xt“左①则不等式f(x) >f(-x)的解集为 ▲一疋 一 2x,x<0,»7. 已知{①}是等比数列，前畀项和为S”.若@-冬=4, 5=16,则S,的值为 ▲& 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线4-4 = 1(“>0">0)的右准线与两条渐近线分别交于A,B / lr 两点.若△川阳的而积为晋，则该双曲线的离心率为 ▲.9. 已知直角梯形個S 中，AB// CD, ABA.BC,月灰3 cm, BOX cm, CX2 cm.将此直角梯形绕曲边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 A cm\10. 在平而直角坐标系x6>y 中，若曲线y = sin2x 与y = |tan.r12. 如图，有一壁画，最髙点A 处离地而6 m,最低点3处离地而m.若从离地髙2 m 的C 处观赏它，则离墙▲ m 时,视角8最大.13. C 知函数 f(x) = x 2 -2x + 3a , ^(x) = —|-r ・若对任意 e [0,3] t 总存在x 2 e [2,3],使得 |/(xj| Wg(xJ)•X 1成立，则实数d 的值为▲・值为 ▲ ・11.如图，正六边形 中，若 7L D = AAC^^AE (2, “ e R ),则人+ “的值 为▲・ (第11题)(第12題)在倚，兀)上交点的横坐标为a ,贝ijsin2a 的(第3题)14 •在平而四边形個S 中，ZBAD = 90。