指派问题的解法
第25讲 指派问题
• 本讲主要介绍指派问题（Assignment Proble模型处理某些实际问题 的例子。
引例：指派问题
• 问题：有4项工作A，B，C，D需要由甲，乙，丙，丁四 人完成，每人完成其中的一项工作。已知各人完成各项 工作的时间如下表所示。问应该如何给他们指派工作， 才能够使完成总时间最少？指派问题最优解
匈牙利法（第四步）
• 第四步：变换当前系数矩阵，增加独立0元素个数， 具体作法如下：
（1）在当前系数矩阵没有被直线覆盖部分找出最 小元素； （2）将所有未被直线覆盖的元素都分别减去这 个最小元素； （3）将覆盖直线十字交叉处的 元素加上这个 最小元素； （4）当前系数矩阵其余元素不变。
• 这样使得0元素发生移动得到新系数矩阵，返回第二步重新寻 找独立0元素并判断是否能够得到最优解。如此进行下去，直 到得到最优解为止。
• 第一步：简化系数矩阵，制造0元素； • 第二步：寻找n个独立0元素，判断是否得 到最优解； • 第三步：如果不存在n个独立0元素，则在 系数矩阵上面作出最少直线覆盖所有0元素； • 第四步：变换当前系数矩阵（不改变最优 解），增加独立0元素个数，返回第二步。 如此进行下去，直到得到最优解为止。
匈牙利法（第一步）
D 7 6 14 6 10
E 9 6 9 10 9
非标准的指派问题
• （1）最大化问题。
令 bij = M – Cij，将目标函数转化为求最小。 注：通常M 取为Cij中最大者。
• （2）某人不能够完成某项工作。
引入充分大正数 M，令 Cij = M 即可。
• （3）人员数大于工作数。
引入虚工作
• （4）人员数小于工作数。
• 以上为指派问题的一个可行解矩阵，即可行解： X12 =1， X23 =1， X31 =1， X44 =1，其余Xij =0 工作安排为甲完成B，乙完成C，丙完成A，丁完成D。 • 注意：非零元素1有4个，而且它们的相互位置是既不 同行也不同列。这样的位置我们称为是独立的。 • 可行解个数共有n!个。
三类指派问题
三类指派问题1. 简介三类指派问题是运筹学中的一类经典问题，它的目标是找到一种最优分配方案，将若干个任务分配给若干个执行者，使得总体成本或效益达到最小或最大。
这类问题通常可以用线性规划模型来描述和求解。
三类指派问题包括： - 任务分配问题：将若干个任务分配给若干个执行者，使得总体成本最小或效益最大。
- 作业调度问题：将若干个作业安排在若干台机器上进行处理，使得总体完成时间最短或机器利用率最高。
- 设备调度问题：将若干个任务安排在若干台设备上进行处理，使得总体完成时间最短或设备利用率最高。
2. 任务分配问题2.1 模型描述假设有n个任务和n个执行者，每个任务只能由一个执行者完成，并且每个执行者只能处理一个任务。
每个任务与每个执行者之间都有一个成本或效益值。
我们的目标是找到一种分配方案，使得总体成本最小或效益最大。
可以使用二维数组C表示各任务与各执行者之间的成本或效益值，其中C[i][j]表示第i个任务分配给第j个执行者的成本或效益值。
定义一个二进制变量X[i][j]，如果第i个任务分配给第j个执行者，则X[i][j]=1，否则X[i][j]=0。
任务分配问题可以用下面的线性规划模型来描述：minimize ∑(i=1 to n)∑(j=1 to n) C[i][j] * X[i][j]subject to∑(i=1 to n) X[i][j] = 1, for j = 1,2,...,n∑(j=1 to n) X[i][j] = 1, for i = 1,2,...,nX[i][j] ∈ {0, 1}, for i,j = 1,2,...,n2.2 求解方法常用的求解任务分配问题的方法有匈牙利算法和线性规划方法。
匈牙利算法是一种经典的图论算法，它通过构建增广路径来找到最优分配方案。
该算法的时间复杂度为O(n^3)，适用于小规模问题。
线性规划方法则通过将任务分配问题转化为线性规划模型，并利用线性规划求解器进行求解。
指派问题的最优解法
指派问题的最优解法指派问题是一个最优化问题，在给定若干个任务和执行者（或机器）的情况下，要求将每个任务指派给一个执行者，并使得总体的执行成本或者效益最优。
指派问题可以用匈牙利算法（Hungarian algorithm）或者KM算法（Kuhn-Munkres algorithm）来求解，这两个算法是目前被广泛采用的指派问题求解方法。
匈牙利算法是一个具有全局优势的贪心算法，它通过不断优化当前的局部选择，最终得到全局最优解。
其基本思想是通过给任务和执行者之间的边标注权重，然后选取最小权重的边进行指派，如果发现某个任务或者执行者已经被指派，就将其它相关的边进行更新，并继续寻找最小权重的边进行指派，直到所有的任务都得到指派。
KM算法是匈牙利算法的一种更加高效的变体。
它首先将指派问题转化为一个最大权匹配问题，然后通过不断调整边的权重，使得每次迭代都可以找到一个指派边的增广路径，并更新相应的匹配结果。
KM算法的核心思想是通过对匹配结果进行调整，减小局部优势并增加全局优势。
无论是匈牙利算法还是KM算法，在最坏情况下的时间复杂度都是O(n^3)，其中n表示任务和执行者的数量。
这两个算法的主要区别在于实现的复杂度和算法的效率，KM算法相对于匈牙利算法来说具有更好的性能。
除了匈牙利算法和KM算法之外，还有一些其他的指派问题求解方法，例如启发式搜索、遗传算法等。
这些方法一般适用于指派问题的规模比较大、复杂度比较高的情况下，但是相对于匈牙利算法和KM算法，它们的效率和准确性可能会有所降低。
总之，指派问题的最优解法可以通过匈牙利算法或者KM算法来求解，具体选择哪一种方法可以根据问题的规模和复杂度来决定。
指派问题的四个计算步骤
指派问题的四个计算步骤
指派问题是一种优化问题，旨在找到最佳的分配方式。
解决指派问题通常有四个计算步骤：
1. 创建代价矩阵：将问题抽象为一个二维矩阵，其中每个元素表示将某个任务分配给某个工人的成本或者效益。
代价矩阵的大小为n行m列，其中n表示任务的数量，m表示工人的数量。
2. 匹配行和列：通过在代价矩阵中查找每一行和列的最小元素，将其标记为零。
如果需要，通过减去每一行和列的最小元素，可以使矩阵中至少有n个零。
3. 寻找最佳分配方案：通过选择代价矩阵中的一个零，并将其标记为星号，然后将与该零所在行或列相交的所有其他零标记为井号。
如果井号的数量等于n，则找到了一个最佳分配方案。
如果不是，请执行第4步。
4. 修改代价矩阵：通过选择未被标记的最小元素，并从该元素中减去所有未被标记的行和列的最小值，可以修改代价矩阵。
然后，返回第2步继续迭代，直到找到一个最佳分配方案。
这些计算步骤被称为匈牙利算法或者KM算法。
通过依次执
行这些步骤，可以找到指派问题的最优解。
指派问题的求解方法
指派问题的求解方法嘿，咱今儿就来聊聊指派问题的求解方法。
你说这指派问题啊，就好像是给一群小伙伴分任务，得让每个人都能分到最合适的事儿，这可不容易嘞！咱先来说说啥是指派问题。
就好比有一堆工作，有几个人可以去做，每个人对不同工作的效率或者效果不一样。
那咱就得想办法，怎么把这些工作分配给这些人，才能让总的效果达到最好呀。
那咋求解呢？有一种方法叫匈牙利算法。
这就好比是一把神奇的钥匙，能打开指派问题的大门。
咱就把那些工作和人当成一个个小格子，通过一些计算和摆弄，找到最合适的搭配。
你想想啊，如果随便分，那可能就浪费了某些人的特长，或者让一些工作没被最合适的人去做，那不就亏大啦？用了这个匈牙利算法，就能一点点地把最合适的工作和人配对起来。
就像你去拼图，得找到每一块的正确位置，才能拼成一幅完整漂亮的图。
这匈牙利算法就是帮咱找到那些正确位置的好帮手呀！它能让那些工作和人都找到自己的“最佳搭档”。
还有啊，咱在生活中也经常会遇到类似的指派问题呢。
比如说，家里要打扫卫生，每个人擅长打扫的地方不一样，那怎么分配任务才能又快又好地打扫完呢？这不就是个小小的指派问题嘛。
或者说在公司里，有几个项目要分给不同的团队，哪个团队最适合哪个项目，这也得好好琢磨琢磨，才能让项目都顺利完成，取得好成果呀。
总之呢，指派问题的求解方法可重要啦，就像我们走路需要一双好鞋一样。
掌握了这些方法，咱就能在面对各种指派问题的时候，不慌不忙，轻松应对，找到那个最优解。
你说是不是很厉害呀？所以啊，可别小瞧了这指派问题的求解方法哦，说不定啥时候就能派上大用场呢！。
指派 问题
指派问题（Assignment Problem ）1. 标准指派问题的提法及模型指派问题的标准形式是：有n 个人和n 件事，已知第i 个人做第j 件事的费用为cij （i ，j=1，2，…，n ），要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n 件事的总费用最小。
设n2个0-1变量1,i j 0,i j ij x ⎧=⎨⎩若指派第个人做第件事若不指派第个人做第件事(i,j=1,2,…, n) 数学模型为:1111min 1.101,,1,2,,n nij iji j nij i n ij j ijZ c x x s t x x or i j n =====⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪==⎪⎩∑∑∑∑ 其中矩阵C 称为是效率矩阵或系数矩阵。
其解的形式可用0-1矩阵的形式来描述，即 (xij)n ⨯n 。
标准的指派问题是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的0-1规划问题和特殊的运输问题。
1955年W. W. Kuhn 利用匈牙利数学家D. Konig 关于矩阵中独立零元素的定理, 提出了解指派问题的一种算法, 习惯上称之为匈牙利解法。
2. 匈牙利解法匈牙利解法的关键是指派问题最优解的以下性质：若从指派问题的系数矩阵C=（cij ）的某行（或某列）各元素分别减去一个常数k ，得到一个新的矩阵C ’=（c ’ij)，则以C 和C ’为系数矩阵的两个指派问题有相同的最优解。
（这种变化不影响约束方程组，而只是使目标函数值减少了常数k ，所以，最优解并不改变。
）对于指派问题，由于系数矩阵均非负，故若能在在系数矩阵中找到n 个位于不同行和不同列的零元素（独立的0元素），则对应的指派方案总费用为零，从而一定是最优的。
匈牙利法的步骤如下：步1：变换系数矩阵。
对系数矩阵中的每行元素分别减去该行的最小元素；再对系数矩阵中的每列元素分别减去该列中的最小元素。
若某行或某列已有0元素，就不必再减了（不能出现负元素）。
步2：在变换后的系数矩阵中确定独立0元素（试指派）。
第五节 指派问题
第二步：进行试指派，以寻求最优解 经过第一步后,矩阵的每行每列都有了0 元素， 但我们希望找出n个位于不同行不同列的0 元素， 如果能找到，我们就以把这些元素写成1， 令其余的元素写成0 ，即得问题的最优解．
0 13 7 6 0 6 LL 0 5 3 0 1 0 0 9 2 0
13
14 16 11
10 9 7
15 13 9
目标函数：
min S 2 x11 15 x12 13 x13 14 x14
10 x21 4 x22 14 x23 15 x24
9 x31 14 x32 16 x33 13 x34
7 x41 8 x42 11 x43 9 x44
0 7 15 13 2 0 10 4 14 15 min 1 6 14 16 13 8 0 9 0 7
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
（2）出现死循环时灵活处理
例5.7 求解指派问题，系数矩阵为
n
目标函数的系数可以写成矩阵的形式，称 为系数矩阵或收益矩阵.
如例1的收益矩阵为
2 15 13 4 10 4 14 15 C 9 14 16 13 8 11 9 7
满足约束条件的可行解也可以写成矩阵形 式，称为解矩阵.
如例1的解矩阵有
( x )ij 0 0 0 1 0 1 0 0 或 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 或 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0
指派问题详解
第一章绪论1、指派问题的背景及意义指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n 件事，各人做不同的一件事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作的效率（如熟练程度等），怎样安排会使总效率达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值.虽然指派问题可以用0-1规划问题来解，设X(I,J)是0-1变量, 用X(I,J)=1表示第I个人做第J件事, X(I,J)=0表示第I个人不做第J件事. 设非负矩阵C（I，J）表示第I个人做第J件事的费用，则问题可以写成LINGO程序SETS:PERSON/1..N/;WORK/1..N/;WEIGHT(PERSON, WORK): C, X ;ENDSETSDATA:W=…ENDDATAMIN=@ SUM(WEIGHT: C*X);@FOR(PERSON(I): @SUM(WORK(J):X(I,J))=1);@FOR(WORK(J): @SUM(PERSONM(I):X(I,J))=1);@FOR(WEIGHT: @BIN(X));其中2*N个约束条件是线性相关的, 可以去掉任意一个而得到线性无关条件.但是由于有N^2个0-1变量, 当N很大时，用完全枚举法解题几乎是不可能的. 而已有的0-1规划都是用隐枚举法做的，计算量较大. 对于指派问题这种特殊的0-1规划，有一个有效的方法——匈牙利算法，是1955年W. W. Kuhn利用匈牙利数学家D.König的二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小的定理提出的一种算法，这种算法是多项式算法，计算量为O(N3).匈牙利算法的基本原理是基于以下两个定理.定理1设C=(C ij)n×n是指派问题的效益矩阵，若将C中的任一行（或任一列）减去该行（或该列）中的最小元素，得到新的效率矩阵C’，则C’对应的新的指派问题与原指派问题有相同的最优解.证明：设X’是最优解, 即@SUM(WEIGHT: C*X’)<= @SUM(WEIGHT: C*X), 则当C中任一行或任一列减去该行或该列的最小数m时,得到的阵C’还是非负矩阵, 且@SUM(WEIGHT: C’*X’)<=@SUM(WEIGHT: C*X)-m=@SUM(WEIGHT: C’*X)定理2效率矩阵C中独立的0元素的最多个数等于覆盖所有0元素的最少直线数. 当独立零元素的个数等于矩阵的阶数时就得到最优解.3、理论基础定义:图G的一个匹配M是图G中不相交的边的集合. 属于匹配M中的边的所有端点称为被该匹配M饱和, 其他的顶点称为M-未饱和的. 如果一个匹配M 饱和了图G的所有顶点，则称该匹配M是一个完全匹配. 可见顶点数是奇数的图没有完全匹配. 一个匹配M称为是极大匹配, 如果它不能再扩张成更大的一个匹配. 一个匹配称为是最大匹配, 如果不存在比它更大的匹配.定义:对于一个匹配M, 图G的一个M-交替路是图G中的边交替地在M中及不在M中的边组成. 从M-未饱和点出发到M-为饱和点结束的M-交替路称为一条M-增广路. 把M-增广路中不是M中的边改成新的匹配M’中的边, 把M-增广路中M中的边不作为M’中的边, 在M-增广路以外的M中的边仍作为M’中的边, 则M’的大小比M大1. 故名M-增广路. 因此最大匹配M不存在M-增广路.定义:若图G和图H有相同的顶点集V, 我们称G和H的对称差,记为G∆H,是一个以V为顶点集的图, 但其边集是G和H的边集的对称差: E(G∆H)=E(G) ∆E(H)=E(G)⋂E(H)-(E(G)⋃E(H))=(E(G)-E(H)) ⋂ (E(H)-E(G))定理: (Berge, 1957) 图G的一个匹配M是最大匹配,当且仅当G中没有M-增广路.证明: 我们只要证明, G中没有M-增广路时, M是最大匹配. 用反证法, 若有一个比M大的匹配M’. 令G的一个子图F, E(F)=M∆M’, 因M和M’都是匹配, F的顶点的最大度数至多是2, 从而F由不相交的路和环组成, 它们的边交替地来自M和M’, 于是F中的环的长度是偶数. 由于M’比M大, F中存在一个连通分支,其中M’中的边数大于M中的边数. 这个分支只能是起始和终止的边都在M’中. 而这就是一条G中的M-增广路. 与假设矛盾. 证毕.定理(Hall, 1935)设G是一个二部图, X和Y是其二分集, 则存在匹配M 饱和X当且仅当对于X中的任意子集S, Y 中与S中的点相邻的点组成的集合N(S)中元素的个数大于等于集合S中元素的个数.证明：必要性是显然的. 对于充分性, 假设 |N(S)|≥|S|, ∀S⊂X, 考虑G的一个最大匹配M, 我们用反证法，若M没有饱和X, 我们来找一个集合S不满足假设即可. 设u∈X是一个M-未饱和顶点, 令S⊂X和T⊂Y分别是从u出发的M-交替路上相应的点.我们来证明M中的一些边是T到S-u上的一个匹配. 因为不存在M-增广路，T中的每个点是M-饱和的. 这意味着T中的点通过M中的边到达S中的一个顶点. 另外, S-u中的每个顶点是从T中的一个顶点通过M中的一条边到达的. 因此M 中的这些边建立了T与S-u的一个双射, 即|T|=|S-u|. 这就证明了M中的这些边是T到S-u上的一个匹配，从而意味着T⊂N(S), 实际上, 我们可证明T=N(S). 这是因为连接S和Y-T中的点y的边是不属于M的, 因为不然的话, 就有一条到达y的M-增广路, 与y∉T矛盾. 故|N(S)|=|T|=|S-u|=|S|-1<|S|, 与假设矛盾.当X与Y的集合的大小相同时的Hall定理称为婚姻问题,是由Frobenius(1917)证明的.推论: k-正则的二部图（X的每一点和Y的每一点相关联的二部图）(k>0)存在完全匹配.证明: 设二分集是X,Y. 分别计算端点在X和端点在Y的边的个数, 得k|X|=k|Y|, 即|X|=|Y|.因此只要证明Hall的条件成立即可. 使X饱和的匹配就是完全匹配. 考虑∀S⊂X, 设连接S与N(S)有m条边, 由G的正则性, m=k|S|. 因这m条边是与N(S)相关联的, m≤k|N(S)|, 即k|S|≤ k|N(S)|, 即|N(S)|≥|S|. 这就是Hall的条件.用求M-增广路的方法来得到最大匹配是很费时的. 我们来给出一个对偶最优化问题.定义:图G的一个顶点覆盖是集合S⊂V(G), 使得G的每条边至少有一个端点在S中. 我们称S中的一个顶点覆盖一些边, 若这个顶点是这些边的公共端点.因为匹配的任意两条边不能被同一个顶点覆盖, 所以顶点覆盖的大小不小于匹配的大小: |S|≥|M|. 所以当|S|=|M| 时就同时得到了最大的匹配和最小的顶点覆盖.定理(König [1931],Egerváry[1931])二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小.证明: 设M是G的任一个匹配, 对应的二分集是X,Y. 设U是一个最小的顶点覆盖, 则|U|≥|M|, 我们只要由顶点覆盖U来构造一个大小等于|U|的匹配即完成证明. 令R=U⋃X, T=U⋃Y, 令H, H’分别是由顶点集R⋂(Y-T)及T⋂(X-R)诱导的G的子图. 我们应用Hall的定理来证明H有一个R到Y-T中的完全匹配，H’有一个从T到X-R中的完全匹配. 再因这两个子图是不相交的, 这两个匹配合起来就是G中的一个大小为|U|的匹配.因为R⋂T是G的一个覆盖, Y-T与X-R之间没有边相联接. 假设S⊂R, 考虑在H中S的邻接顶点集N(S), N(S) ⊂Y-T. 如果|N(S)|<|S|, 因为N(S)覆盖了不被T覆盖的与S相关联所有边, 我们可以把N(S) 代替S作为U中的顶点覆盖而得到一个更小的顶点覆盖. U的最小性意味着H中Hall条件成立. 对H'作类似的讨论得到余下的匹配. 证毕.最大匹配的增广路算法输入: 一个二分集为X，Y的二部图G，一个G中的匹配M， X中的M-未饱和顶点的集合U.思路: 从U出发探求M-交替路，令S⊂X，T⊂Y为这些路到达过的顶点集. 标记S中不能再扩张的顶点. 对于每个x∈(S⋂T)-U, 记录在M-增广路上位于x前的点.初始化: S=U,T=∅.叠代: 若S中没有未标记过的顶点, 结束并报告T⋂(X-S)是最小顶点覆盖而M是最大匹配.不然, 选取S中未标记的点x, 考虑每个y∈N(x)且xy∉M, 若y是M-未饱和的, 则得到一个更大的匹配，它是把xy加入原来的匹配M得到的,将x从S中去除. 不然, y是由M中的一条边wy相连接的, w∈X, 把y加入T(也有可能y本来就在T中), 把w加入S. w未标记, 记录w前的点是y. 对所有关联到x的边进行这样的探索后, 标记x. 再次叠代.定理: 增广路算法可以得到一个相同大小的匹配和顶点覆盖.证明: 考虑这个算法终止的情况, 即标记了S中所有的点. 我们要证明R=T⋂(X-S)是大小为|M|的一个顶点覆盖.从U出发的M-交替路只能通过M中的边进入X中的顶点, 所以S-U中的每个顶点通过M与T中的顶点匹配, 并且没有M中的边连接S和Y-T. 一旦一条M-交替路到达x∈S, 可以继续沿着任何未饱和的边进入T, 由于算法是对于x的所有邻域顶点进行探索才终止的,所以从S 到Y-T 没有未饱和边. 从而S 到Y-T 没有边, 证明了R 是一个顶点覆盖.因为算法是找不到M-增广路时终止, T 的每一个顶点是饱和的. 这意味着每个顶点y ∈T 是通过M 匹配与S 中的一个顶点. 由于U ⊂S, X-S 的每个顶点是饱和的, 故M 中与X-S 相关联的边不和T 中的点相连接. 即它们与是饱和T 的边不同的, 这样我们可见M 至少有|T|+|X-S|条边. 因不存在一个比顶点覆盖更大的匹配， 所以有|M|=|T|+|X-S|=|R|.设二部图G 的二分集X 和Y 都是n 个元素的点集, 在其边j i y x 上带有非负的权ij w , 对于G 的一个匹配M, M 上各边的权和记作w(M).定义: 一个n ×n 矩阵A 的一个横截(transversal)是A 中的n 个位置, 使得在每行每列中有且只有一个位置（有的文献中把横截化为独立零元素的位置来表示）.定义: 指派问题就是给定一个图G=n n K ,(完全二部图, 即每个X 中的顶点和Y 中的每个顶点有边相连接的二部图)的边的权矩阵A, 求A 的一个横截, 使得这个横截上位置的权和最大. 这是最大带权匹配问题的矩阵形式.定义: 对于图G=n n K ,，设其二分集是X ，Y ，给定G 的边j i y x 的n ×n 权矩阵W={ij w }.考虑G 的子图v u G ,, 设其二分集是U ⊂X ，V ⊂Y, 边集是E(v u G ,)， 对于子图v u G ,的带权覆盖u,v 是一组非负实数{i u },{j v },使得ij j i w v u ≥+,)(,v u j i G E y x ∈∀, v u G ,的带权覆盖的费用是∑∑+j i v u 记为C(u,v), 最小带权覆盖问题就是求一个具有最小费用C(u,v)的带权覆盖u,v.引理: 若M ⊂E(v u G ,)是一个带权二部子图v u G ,的最大匹配, 且u, v 是v u G ,的带权覆盖, 则C(u,v)≥w(M). 而且, C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀. 这时M 是v u G ,最大带权匹配, u,v 是v u G ,的最小带权覆盖， 定义这时的v u G ,为G 的相等子图（equality subgraph ）.证明: 因为匹配M 中的边是不相交的, 由带权覆盖的定义就得C(u,v)≥w(M). 而且C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀成立. 因一般地有C(u,v)≥w(M).所以当C(u,v)=w(M)时. 意味着没有一个匹配的权比C(u,v)大, 也没有一个覆盖的费用比w(M)小.Kuhn 得到一个指派问题的算法，命名为匈牙利算法, 为的是将荣耀归于匈牙利数学家König 和Egerv áry.指派问题的匈牙利算法(Kuhn[1955], Munkres[1957]):输入G=n n K ,的边的权矩阵A, 及G 的二分集X,Y.初始化: 任取一个可行的带权覆盖，例如)(max ij ji w u =，0=j v ，建立G 的相等子图v u G ,, 其二分集是X, Y ’⊂Y, 求v u G ,的一个最大匹配M. 这个匹配的权和w(M)=C(u,v), M 的带权覆盖是具有最小费用的.叠代: 如M 是G 的一个完全匹配, 停止叠代, 输出最大带权匹配M. 不然, 令U 是X 中的M-未饱和顶点. 令S ⊂X, T ⊂Y 是从U 中顶点出发的M-交替路到达的顶点的集合.令},:min{T Y y S x w v u j i ij j i -∈∈-+=ε.对于所有的S x i ∈, 将i u 减少ε, 对于所有的T y j ∈,将j v 增加ε,形成新的带权覆盖u ’,v ’及对应的新的相等子图v u G '',.如果这个新的相等子图含有M-增广路, 求它的最大匹配M ’, 不然不改变M 再进行叠代.定理: 匈牙利算法能找到一个最大权匹配和一个最小费用覆盖.证明: 算法由一个覆盖开始，算法的每个叠代产生一个覆盖，仅在相等子图有一个完全的匹配为止。
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指派问题的解法总结
问题引入：在工作的时候，常常需要对一些人进行工作安排，由于某些条件的限制，
每个人只能进行一种工作，怎么安排才能使得总工作时间最小。
我们把这一类问题称
为指派问题。
在这里，我只对人和工作刚好一对一的指派问题的解法进行总结，而对
于不是一对一的，则可以通过文献1中的一些方法进行变换。
目前问题解法的总结。
1：最广泛应用的解法：匈牙利算法。
算法简介：库恩（fW．W．Kuhn)于1955年提出了指派问题的解法．他引用了匈牙利数学家康尼格一个关于矩阵中0元素的定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等
于覆盖所有0元素的最少直线数。
这个解法称为匈牙利解法。
匈牙利算法虽是运用最广泛的算法，但其操作过程却过于复杂。
在划0的时候也不方
便记忆，对于初学者来说掌握不便。
于是国内很多学者对指派问题给出了几个较简单，方便易记的算法。
2：指派问题新解法——目标值子矩阵法。
算法描述：任取变量矩阵X某一行中的最小元素，为该行元素目标值的最优解(但
不一定是系统目标函数的最优解)，应该是系统目标函数满意解中的一个元素，记作
a11 划去a11 所在的行和列，取剩下的子矩阵中某一行的最小元素，记作a22。
依次
类推，直到最后一个元素a nn．这些元素相加得系统目标函数的一个满意解，此为一
次运算．第二次运算取变量矩阵X中含a 以外的任一行，做与上面相同运算，又可以
得到系统的第二个满意解．相同地，对于n行做n次运算，共得到系统的n个满意解，系统的最优解即应该是这 n个满意解当中的最小值．若第i的最小元素在前面以被取
用过，则在进行第i的运算时，不选取该元素，取该行中未被选用过的元素中最小的一个进行运算。
算法分析：相对于匈牙利算法，此算法简单，方便操作。
但不能给出所有最优解，得出的最优解唯一，若要给出全部最优解，则算法的次数将大大增加。
当矩阵维数较大的时候，可以对矩阵进行划分，以更快计算。
算法举例：对于变量矩阵x；
3：递归思想在指派问题中的运用
算法描述：对目标函数的解，等于min{a1+A1，a2+A2,a3+A3，…..a n+An}；其中a i为第一行中的第i个元素，A i为除去第i个元素所在行和列的子矩阵。
而求min （a1+A1）就相当于对A1求min，这就又回到了指派问题的求解，只是降了一阶；依次递归，直到只剩下2*2的矩阵，这时候就可以取对角线最小的值，依次往回带。
就可以得到最优解。
算法分析：算法思路简单明了，但由于算法步骤繁琐，并不适合于手动计算，算法时间复杂度高，但较适合于电脑编程。
能给出所有的最优解。
4：指派问题的树算法
算法描述：首先给出一种可行的解，得出其目标函数值，然后在对所有的可行解进行画树，若未画完的分支比第一次给出的目标函数值大，则已经不必再画下去，依次画树，直到所有的可能都画玩，此时记录的目标函数值即为最优解，所有最优解都以画在树里。
算法分析同递归分析一样，思路简单，但操作都相对复杂繁琐，并不适合手动解算。
较适合编程运算。
算法举例
总结
以上的4中指派问题的计算都是对于人数和工作相等的，对于不平衡的算法，也可以化做平衡的来计算，也有一些专门计算不平衡的计算方法，在此不一一例举。
以上算法中，前2种较时候进行手动计算，算法简单，易掌握。
后2种算法，较适合编程计算。
参考文献
1：《运筹学》，本科班，清华大学出版社。
2：赵洪刚，杨竹君，孟庆华，高金贵。
指派问题新解法-目标子矩阵法
3：周志辉，刘建生。
递归思想在指派问题中的运用
4：薛翠平，张薇。
指派问题的树算法。