“一次函数表达式”的类型及解法
第10讲 一次函数
简记为“左加右减,上加下减”.
知识点四
常用方法
步骤
确定一次函数的表达式
待定系数法
(1)设函数表达式;(2)列方程(组);(3)解方程(组),确定待定系数;(4)写出函数表达式
常见类型 (1)已知两点坐标;(2)已知两对对应值;(3)利用平移规律;(4)利用实际问题中的数量关系
知识点五
一次函数与方程(组)、不等式的关系
待定系数法求函数表达式.
(2)表格型应用题:分析表格中数据,从表格中提取两组量,应用待定系数法求函数表达式.
(3)图象型应用题:从函数图象上找出两点,将其坐标代入求函数表达式;若函数为分段函数,则要注意
取同段函数图象上的两点,依此方法分别求各段函数的表达式,最后记得加上对应自变量的取值范围.
(4)方案选取问题:根据表达式分类讨论,比较几个方案在不同取值下的最优结果.
解:(1)当 x=100 时,y=- ×100+13=9,
∴B(100,9).
设线段 BC 的表达式为 y=kx+b(k≠0),
则
= ,
= + ,
解得
= + ,
=- ,
∴线段 BC 的表达式为
y= x- (100≤x≤140).
(2)如果从甲地到乙地全程为260 km,包括60 km限速为50 km/h的省道和200 km限速为120
A
B
C
D
)
[变式2] (2022眉山)一次函数y=(2m-1)x+2的值随x的增大而增大,则点P(-m,m)所在象限为(B
)
A.第一象限
一次函数知识点总结
一次函数知识点总结一、概述一次函数是数学中常见且重要的函数类型之一。
它的表达式形式为y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，x 是自变量，y 是因变量。
一次函数具有线性关系，其图象为直线。
本文将对一次函数的相关概念、性质以及应用进行总结。
二、定义和性质1. 定义：一次函数是指其表达式为 y = ax + b 的函数，其中 a 和 b 是常数，且a ≠ 0。
2. 斜率和截距：在一次函数的表达式中，a 表示直线的斜率，b 表示直线与纵轴的交点，即 y 轴上的截距。
3. 直线的方向：当 a > 0 时，直线呈现上升趋势；当 a < 0 时，直线呈现下降趋势。
4. 直线的平行和垂直：两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于 -1。
5. 零点和方程：一次函数的零点是指满足 y = 0 的 x 值，可以通过解一次方程 ax + b = 0 求得。
三、图像与性质1. 图像的特征：一次函数的图像为一条直线，在直角坐标系中呈现线性关系。
根据斜率和截距的不同取值，直线的方向、位置和倾斜程度会有所变化。
2. x 轴和 y 轴的交点：当 x = -b/a 时，直线与 x 轴的交点为横坐标为 -b/a 的点；当 y = 0 时，直线与 y 轴的交点为纵坐标为 b 的点。
3. 斜率的意义：斜率表示了直线上的两个点之间的变化率。
斜率越大，直线越陡峭；斜率为正值时，直线上升；斜率为负值时，直线下降。
4. 点斜式方程：一次函数的点斜式方程为 y - y1 = a(x - x1)，其中(x1, y1) 是直线上的任意一点坐标。
5. 一般式方程：一次函数的一般式方程为 ax - y + b = 0，在其中 a,b 均为整数，且 a, b 不同时为 0。
四、应用1. 实际问题建模和解答：一次函数可以用来模拟许多实际问题，如物体的运动轨迹、收入与支出的关系等。
通过确定函数表达式中的参数，可以对问题进行数学建模和求解。
确定一次函数解析式的五种方法
五种类型一次函数解析式的确定确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。
下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。
一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。
分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。
函数的解析式就确定出来了。
解：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，把x=2，y=-6代入解析式中，得：-6=3×2+b，解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12.二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求函数的表达式。
分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。
解：因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b，把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。
三、根据函数的图像，确定函数的解析式例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。
分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。
解：因为，函数的图像是直线，所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，设：一次函数的表达式为：y=kx+b，因为，图像经过点A（0，40），B（8，0），所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中，得：40=k×0+b，0=8k+b解得：k=-5，b=40，所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。
数学一次函数知识点总结
数学一次函数知识点总结数学一次函数学问点总结函数是初中数学的重难点，同学们都把握了吗?对一次函数学问点有怀疑的同学可以收藏，随时复习稳固哦!一、定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx (k为常数，k0)二、一次函数的性质1.y的转变值与对应的x的转变值成正比例，比值为k 即：y=kx+b (k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的'图像一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ① 和y2=kx2+b ②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最终得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用1.当时间t确定，距离s是速度v的一次函数。
一次函数题型及解题方法
一次函数题型及解题方法考点一、一次函数的图象与性质【方法总结】一次函数的k值决定直线的方向，如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b＞0，则与y轴的正半轴相交；如果b＜0，则与y轴交于负半轴；当b＝0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点.考点二、确定一次函数的解析式【方法总结】用待定系数法求一次函数的步骤：①设出函数关系式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数的值，写出函数关系式．考点三、一次函数与一次方程（组）【方法总结】两个函数图象的交点坐标，既满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．考点四、一次函数与一元一次不等式补充：方法二，kx+3＞0也就是函数y>0，结合图像x轴上方的部分，此时x＜2【方法总结】先把已知点的坐标代入求出解析式，然后在解不等式求出解集。
或者利用函数图像分析来解答，函数大于0也就是对应图像中在x轴以上的部分函数，再找出对应的x的取值范围即可。
考点五、一次函数与图形面积问题【方法总结】两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高考点六、一次函数的平移一次函数图象的性质一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b 个单位；b＜0，下移|b|个单位．一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y＝kx＋b与kx＋b＝02．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．。
一次函数解析式23招经典解法
一次函数表达式的方法解法（23招）求一次函数的表达式基本解法1、待定系数法（1）图象过原点：函数为正比例函数，可设表达式为y=kx ，再找图象上除原点外的一个点的坐标代入表达式，即可求出k.（2）图象不过原点：函数为一般的一次函数，可设表达式为y=kx+b ，再找图象上的两个点的坐标代入表达式，即可求出k ，b 。
例：已知一次函数y=kx+b （k ，b 为常数且0≠k ）的图象经过点A （0，－2）和点B （1，0），则k=______，b=______.答案：k=2，b=-2例：已知正比例函数)0(≠=k kx y 的图象经过点（1，－2），则这个正比例函数的表达式为______.答案：y=-2x常见解法：1、定义式例：已知函数3)3(82+-=-mx m y 是一次函数，求其解析式。
解析：该函数是一次函数， ∴182=-m解得m=±3,又m≠3∴m=-3故解析式为y=-6x+32、点斜式要点：如何求k ？（1）公式：1212x x y y k --=，（2）图象（比值）：|k |=BCAB (两直角边的比） （3）增量：V （速度）、P （电功率）（4）平移变换：k 值相等（5）垂直变换：121-=k k（6）对称变换：|k|、|b|不变（7）相似比：(略)（8）正切值：tanα（斜率）（9）旋转变换：（略）例：已知一次函数y=kx-3的图象过点（2，-1），求这个函数解析式。
解析：方法一：（代入法）将点（2,-1）代入y=kx-3得，-1=2k-3，解得k=1.故解析式为y=x-3方法二：（一点式）解析：一次函数y=kx-3的图象过点（2，-1），∴可令y=k(x-2)-1=kx-2k-1，∴-2k-1=-3,解得k=1，∴这个函数解析式为y=x-3.3、两点式例：一次函数经过（-2，0)、(0，4),求此函数的解析式。
解析：方法一：（构建方程组）令解析式为y=kx+b,过（-2,0)、(0,4)，则⎩⎨⎧=+-=b b k 420 解得k=2，b=4 故解析式为y=2x+4. 方法二：由点斜式，得)2(0041212---=--=x x y y k =2 再一点式，得y=2(x+2)+0=2x+4方法三：由斜截式，得y=2x+4方法四：由数形结合，得y=2x+4(k=直角边的比）方法五：（纯一点式）y=k(x+2)=k(x+0)+4⇒k=24、一点式：例：过（2,5）的一次函数解析式为_____。
求一次函数表达式的几种类型
求一次函数表达式的几种类型作者：赵艳玲来源：《成才之路》2010年第13期一次函数及其图像是初中数学的重要内容,更是中考的重点考查内容,其中,求一次函数表达式就是一种常见的题型,现以部分中考题为例,介绍几种求一次函数表达式的常见题型。
一、定义型例1.已知函数 y=(k+2)xk-3 是正比例函数,求它的表达式。
解析:由正比例函数的定义知k2-3=1且k+2≠0,所以,解得k=2,所以正比例函数的表达式为y=2x。
二、点斜型例2.已知一次函数y=kx+8的图像过点(2,10),求一次函数表达式。
解析:∵一次函数y=kx+8的图像过点(2,10),∴10=2k+8,解得k=1。
∴一次函数表达式为y=x+8。
三、两点型例3.(2009年天津市)已知一次函数的图像过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图像与y轴交点的坐标为______。
解析:设此函数的解析式为y=kx+b,因为图像过点(3,5)与(-4,-9)所以3k+b=5-4k+b=-9解得k=2,b=-1;所以y=2x-1。
当x=0时,y=-1。
所以与y轴的交点坐标为(0,-1)。
四、平移型例4.(2009年桂林市)如图1,是一个正比例函数的图像,把该图像向左平移一个单位长度,得到的函数图像的解析式为__。
解析:根据图像先求出正比例函数的表达式y=-2x,再根据平移规律“左移加,右移减;上移加,下移减”知,向左平移1个单位,即解析式为y=-2(x+1)。
五、图像型例5.(2009成都市)某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图像确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为:A.20 kgB.25 kgC.28 kgD.30 kg解析:由图像可知,本题所涉及的函数关系是一次函数,∴设一次函数解析式为y=kx+b,由图像可知,直线过点(30,300),(50,900),代入可得30k+b=30050k+b=900解得k=30,b=-600;所以y=30x-600,当y=0时,代入得x=20答案:A六、应用型例6.(2009年宁德市)张老师带领x名学生到某动物园参观,已知成人票每张10元,学生票每张5元,设门票的总费用为y元,则y=_______。
二次函数和一次函数的应用解法
二次函数和一次函数的应用解法二次函数和一次函数在数学中有着广泛的应用，可以解决许多实际问题。
本文将分别介绍二次函数和一次函数的基本概念，并通过示例说明它们的应用解法。
一、二次函数的应用解法二次函数是一个一元二次方程，其表达式形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数在现实世界中的应用广泛，例如物体运动的抛物线轨迹、距离和时间的关系等。
1. 求解二次函数的顶点二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，可以用来确定函数的最值、对称轴等信息。
要求解二次函数的顶点坐标，可以使用以下公式：x = -b / (2a)y = f(x) = ax^2 + bx + c例子：考虑函数f(x) = 2x^2 + 4x + 1，我们可以通过求解顶点坐标来分析该函数的性质。
首先，根据公式计算出x = -4 / (2*2) = -1，将该值代入函数得到y =2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -1。
因此，函数f(x)的顶点坐标为(-1, -1)。
2. 求解二次函数的零点二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，也就是函数取0的值的解。
可以使用因式分解或配方法来求解二次函数的零点。
例子：考虑函数f(x) = x^2 - 5x + 6，我们可以通过求解零点来找到函数的根。
首先，将函数进行因式分解得到f(x) = (x-2)(x-3)。
由此可知函数的零点为x=2和x=3。
二、一次函数的应用解法一次函数是一个一次方程，其表达式形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
一次函数在现实世界中的应用非常普遍，例如直线运动的速度、收入与支出的关系等。
1. 求解一次函数的斜率一次函数的斜率描述了函数在平面上的倾斜程度。
可以使用以下公式来求解一次函数的斜率：斜率k = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)其中，(x1, f(x1))和(x2, f(x2))为函数上两个不同点的坐标。
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“一次函数表达式”的类型及解法
求一次函数的解析式是中考必考的内容之一，它涉及知识较广，题目类型丰富多彩，本文对几种常见、应熟练掌握的几种典型题型进行剖析，希望能引起大家的注意．
一、根据定义
例１．已知函数y=(2m-1)x+1-3m ，m 为何值时，
（1）这个函数为正比例函数？（2）这个函数是一次函数？
析解：解题过程中要注意，一次项系数2m-1不等于0．
解：（1）由正比例函数的定义，有1-3m=0且2m-1≠0，得21,31≠=
m m ， ∴3
1=m 时，y=(2m-1)x+1-3m 为正比例函数． （2）由一次函数的定义知，当21≠m 且3
1≠m 时，y=(2m-1)x+1-3m 为一次函数． 评注：学好概念是学好数学的前提，利用数学概念是数学解题的基本方法，熟知一次函数定义中自变量x 的系数、次数要求是解本题的关键．
二、根据性质
例2．某一次函数的图象过点（-1，2），且函数y 的值随自变量x 的增大而减小，请写出符合上述条件的函数关系式．
析解：因为y 随x 的增大而减小，所以k ＜0，不妨设y=-x+b ，把x=-1，y=2代入得b=1，所以函数关系式为y=x+1．
评注：这是一道开放性的试题，由一次函数y=kx+b 的性质：k 可以取任何负数（这里k=-1），因此，此题答案不唯一，答对即可．
三、根据几何知识
例3．
的正方形ABCD 的一边BC ，有一点P 从B 点向C 点运动，设PB=x ，梯形APCD 的面积为y ，求y 与自变量x 之间的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围．
析解：根据题意，得：21222
y x =-=-+ 当x=0时，y=2；当
时，y=1
，故22y x =-
+ 评注：本题就是利用几何知识，即利用正方形和三角形的面积公式进行解题的．
四、根据物理知识
例4．一根弹簧原长12厘米，它所挂物体的重量不能超过15千克，并且每挂1千克重物，伸长12
厘米，写出挂重物后的弹簧的长度y （厘米）与所挂物体重量x （千克）之间的函数表达式． 析解：由物理知识弹簧的伸长与拉力成正比例关系知：y-12=
12x ， y=12
x+12（0＜x ≤15＝． （0＜x
）．
五、根据实际问题
例5．某校组织学生到距学校6千米的光明科技馆参观，学生王红因事没能乘上学校的
（1）写出出租车行驶的里程数x 与费用y 之间的函数关系式；
（2）王红同学身上仅有14元钱，乘出租车到科技馆的车费够不够？请说明理由．
解：（1）由表格可知：当x ≤3时，y =8，当x ＞3时， 1.8(3)8 1.8 2.6y x x =-+=+，
故y 与x 之间的函数关系式为：8(3)1.8 2.6(3)x y x x ≤⎧=⎨+>⎩
； （2）把x=6，代入（1）得： 1.8 2.613.4y =⨯=＜14，所以，王红乘出租车到科技馆的车费够用．
评注：该题为实际应用题目，十分贴近学生的生活实际，有利于激发学生的学习兴趣，说明了数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象，体现了有价值数学的思想．。