生产函数估计与预测方法介绍
生产函数的估计
生产函数估计与预测方法介绍一、生产函数的估计1．含义我们在《经济学》课程的学习中已经知道，产量是由生产要素的投入数量和组合关系决定的。
那么生产函数的估计实际就是客观反映生产量与各生产要素投入量之间的函数关系。
2．方法与步骤估计生产函数最常用的方法是利用实际收集到的一组数据进行回归分析，这种方法较为客观，通过它得到的信息比较完全和精确。
为了完成回归分析，我们必须首先构造一个生产函数并确定函数的具体形式；然后再在收集数据的基础上用回归分析方法求出函数的具体参数值；最后，我们还需要检验回归结果对数据的拟合程度，以及回归分析的前提条件是否成立，因为一个没有显著函数关系或回归分析前提条件不成立的回归分析结果是没有意义的。
（1）影响变量的选取就一个具体的回归分析而言，各个变量必须具有特定的含义。
在进行回归分析时，我们应该对于研究对象具有深入的了解，否则在函数构造这一步可能会漏掉一些很重要的解释变量。
在进行回归分析时应注意不要漏掉重要的解释变量，但这并不意味着解释变量越多越好，因为在模型中包括一些并不重要的解释变量反而会引起一些统计上的问题，一般来说，当解释变量超过5至6个时，就可能降低模型的自由度，甚至引起多重共线性问题，这些都会影响到模型的解释力。
对于一些属性因素，如年龄、季节、性别等，如不同的属性表现对被解释变量有明显不同的影响时，还需设计虚拟变量。
（2）生产函数形式的确定上面所构造的生产函数只涉及了变量的选取，但为了完成回归分析，我们必须确定生产函数的具体形式。
生产函数可采用多元线性的，但一般最常用的是柯布—道格拉斯生产函数2211b b X AX Y =（3）数据的收集当模型的具体形式已经确定下来之后，我们需要针对模型中的变量收集样本数据。
数据类型包括时序数据和截面数据。
回归分析中也会碰到数据不足的情况，这时我们就不得不做一些理论上简化，（4）建立回归方程及参数估计1）一元线性回归模型①总体回归模型如果两个变量在总体上存在线性回归关系，可以用下式表示 ε++=bx a Y —随机误差公式中a,b 是总体回归模型的参数，ε是X 变量以外其它所有影响因素对Y 值的总合影响，故称随机干扰项。
生产理论—生产函数分析P
8
0.83
6
0.67
2
0.25
0
0
-2
-0.33
总产量曲线 表明了在资本量不变而劳 动量变动时可以达到的最大产量。
边际产量与平均产量曲线
Q
平均产量最大
C
短期总产量曲线上的 特殊点
D 总产量最大
TPL
B
Q
边际产量最大
L
APL L
MPL 平均产量和边际产量曲线的求取
TP、AP与MP之间的关系 1.TP与MP： MP>0, L↑→TP↑ MP=0, TPmax MP<0, L↑→TP↓ MPmax，TP处拐点。
生产过程中所使用的这种投入要素的数量都是不 变的。比如厂商的工厂和专业化设备。
第二节 一种可变生产要素的生产函数
（短期生产函数Short run product function ）
Q = f (L,K)
一、一种可变要素的总产量、平均产量和边际 产量
1.一种可变要素的总产量(TP: total product) 是指企业在某一时期,在其它生产要素不变 时,投入一种可变要素所生产的全部产品。
例3：
某公司，每小时产量Q和工人的数量L与 每小时所用的机器的数量K之间的关系 为 Q 10 LK ，工人的工资是每小时8元， 机器的价格是每小时2元。如果该公司 每小时生产80单位产品，它应该使用多 少工人和机器呢?
例4：
某企业
0.5 0.9
Q=5L K
问：(1)资本和劳动的产出弹性各为多少? 如果企业增加资本(或劳动)的投入量 10%,产出将增加多少?
资本数量 K 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
第二节 生产函数
总产量、平均产量、 总产量、平均产量、边际产量
Q 最高点
TP
0 4 6 9 MP L
AP
三条产量曲线关系的特点： 三条产量曲线关系的特点：
1.三条产量曲线都是先升后降. 1.三条产量曲线都是先升后降. 三条产量曲线都是先升后降 2.边际产量曲线与平均产量曲线相交于平均 2.边际产量曲线与平均产量曲线相交于平均 产量曲线的最高点. 产量曲线的最高点. 3.边际产量=0,总产量最大 边际产量<0, 边际产量=0,总产量最大; <0,总产 3.边际产量=0,总产量最大;边际产量<0,总产 量绝对减少 4.TP、AP曲线之所以先升后降都是由MP曲线 曲线之所以先升后降都是由MP 4.TP、AP曲线之所以先升后降都是由MP曲线 决定。 决定。
（三）可变投入量的合理区间
Q 最高点 TP
一
0
二
三
L 4 6 9 AP MP
长期生产函数—两种生产要素 第三节 长期生产函数 两种生产要素 的最适组合
一.等产量线 二.等成本线 三.生产要素最适组合
一.等产量线
1.等产量线: 1.等产量线: 能生产相等产量的两 等产量线 种生产要素的不同数量的组合. 种生产要素的不同数量的组合.
L2
L
2.等产量线的特征:
K
Q3 Q1 o Q2 L
边际技术替代率 MRTS (marginal rate of technical substution)
边际技术替代率是维持相同的产量水平时, 边际技术替代率是维持相同的产量水平时, 增加一单位生产要素与另一生产要素所 减少的数量的比率. 减少的数量的比率. MRTSLK= -ΔK/ΔL = MPL/MPK • ΔTPL = -ΔTPK • ΔL • MPL = -ΔK• MPK • -ΔK/ΔL = MPL/MPK
经济学中的生产函数
经济学中的生产函数经济学中的生产函数是用来描述生产过程中投入和产出之间的关系的数学模型。
它是宏观经济理论中一个重要的概念，通过衡量投入要素和产出之间的关系，帮助我们理解和分析经济增长、资源配置以及生产效率等问题。
本文将介绍生产函数的基本概念、不同形式的生产函数以及其在经济学中的应用。
生产函数的基本概念生产函数是通过将输入要素与产出数量相联系来描述生产过程的函数关系。
它通常表示为Q = f(K, L, ...)，其中Q表示产出数量，K表示资本投入，L表示劳动投入，...表示其他可能的生产要素。
生产函数假设其他影响因素保持不变的情况下，投入要素与产出之间存在一定的关系。
不同形式的生产函数常见的生产函数形式包括线性生产函数、柯布-道格拉斯生产函数和双曲线生产函数等。
线性生产函数的形式为Q = aK + bL，其中a和b为常数。
线性生产函数假设资本和劳动投入对产出的贡献呈线性关系，即资本和劳动的增加对产出的影响是恒定的。
柯布-道格拉斯生产函数的形式为Q = K^αL^β，其中α和β为正数。
柯布-道格拉斯生产函数假设资本和劳动投入对产出存在递增的边际贡献，即资本和劳动的增加对产出的影响是递增的。
双曲线生产函数的形式为Q = AK / (B + CK)，其中A、B和C为正数。
双曲线生产函数假设资本和劳动投入对产出的贡献呈递减的边际贡献，即资本和劳动的增加对产出的影响是递减的。
生产函数在经济学中的应用生产函数在经济学中有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 增长理论：生产函数是经济增长理论中的重要工具，通过描述投入要素和产出之间的关系，帮助我们理解经济增长的来源与驱动力。
基于生产函数的分析，我们可以探讨如何提高生产要素的质量和效率，促进经济增长。
2. 资源配置：生产函数可以帮助我们优化资源配置，实现资源的高效利用。
通过权衡不同要素的投入和产出，我们可以确定最优的生产要素组合，以实现最大的产出效益。
柯布-道格拉斯生产函数
柯布-道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
柯布-道格拉斯生产函数-简介保罗·道格拉斯柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。
他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。
在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。
这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。
同时，他们还排除了对土地的投资。
这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。
因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。
而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。
但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。
因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。
比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。
经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。
令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式：P=1.01L3/4C1/4柯布（C.W.Cobb）这一结果虽然与现代计算机统计软件的计算结果不同，但两者无本质上的差别。
西方经济学6生产函数
O
L
图4-4 等产量曲线
K
H R Q3 Q2 Q1
在生产的经济区域内， ● 在生产的经济区域内，等产 量曲线的斜率为负， 量曲线的斜率为负，其形状 凸向原点。 凸向原点。 边际技术替代率(The 边际技术替代率
Marginal Rate of Technical Substitution，简记为 ，简记为MRTS)
MRTS LK K的减少量 ∆K = =− L的增加量 ∆L
MRTS LK
L
∆K MP L =− = ∆L MP K
O
图4-4 等产量曲线
K
H R Q3 Q2 Q1
● 等产量曲线与坐标原点的距 离表示产量水平的高低， 离表示产量水平的高低，距 原点越远的等产量曲线代表 的产量水平越高；反之， 的产量水平越高；反之，则 越低。 越低。 ● 同一平面上的任意两条等产 量线不能相交， 量线不能相交，否则与定义 矛盾。 矛盾。
图4-8 规模报酬的三种情况
谢谢！
3
平均产量 （AP） 0 3
1 2 1 3 3
3 2
3 5
2
总产量曲线、 总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线关系图
Q Ⅰ B TP A D E O L1 L2 L3 MP AP L Ⅱ C Ⅲ
总产量曲线、 图4-1 总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线
几点说明： 几点说明：
资本不变，随着劳动量增加，总产量曲线、 资本不变，随着劳动量增加，总产量曲线、平均产 量曲线和边际产量曲线都是先上升后下降 先上升后下降。 量曲线和边际产量曲线都是先上升后下降。 边际产量曲线与平均产量曲线相交于平均产量曲线 边际产量曲线与平均产量曲线相交于平均产量曲线 的最高点。 的最高点。 边际产量为正数时，（ 边际产量为正数时，（MP＞0），总产量增加； ＞ ），总产量增加； ，（ ），总产量增加 边际产量为零时，（ 边际产量为零时，（MP=0），总产量最大； ），总产量最大； ，（ ），总产量最大 边际产量为负数时，（ 边际产量为负数时，（MP＜0），总产量减少。 ＜ ），总产量减少。 ，（ ），总产量减少
4.1 生产函数
4.1 生产函数⏹生产函数的概念⏹常见的生产函数1.生产函数的概念;生产函数是指在一定时期内，在一定技术条件下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。
产量= f（各投入生产要素）(劳动资本土地企业家才能)Q = f（L, K, N, E）企业家才能:企业家的组织能力、管理能力、创新能力土地:自然界一切能用于生产的物资（土地、森林、湖泊、海洋）2、几种类型的生产函数1）固定投入比例生产函数（又称里昂惕夫生产函数）：表示在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的。
其生产函数的通常形式为：Q=Minimum (L/u, K/v)其中，常数u和v分别为固定的劳动和资本的生产技术系数2）可变比例生产函数：是指生产某种产品所需要的各种生产要素的配合比例是可以改变的。
它表明各种生产要素之间可以相互替代。
4.2 短期生产函数•短期生产函数•总产量、平均产量和边际产量•边际收益递减规律•生产三阶段1、短期生产函数1）短期与长期：短期：生产者来不及调整全部生产要素的数量，至少有一种生产要素的数量是固定不变的时间周期。
长期：生产者可以调整全部生产要素的数量的时间周期。
2）短期生产函数：一种可变生产要素的生产函数的形式。
公式：Q=f(L，K )2、总产量、平均产量、边际产量（1）总产量总产量(TP )是指一定量的某种生产要素所生产出来的全部产量。
TP L是指一定量的劳动投入所生产出来的全部产量。
（2）平均产量（AP）平均产量(AP)是指平均每单位某种生产要素所生产出来的产量。
AP L是指平均每单位劳动所生产出来的产量。
(3)边际产量（MP）边际产量(MP)是指某种生产要素素每增加一单位所增加的产量。
MP L是指每增加一单位劳动所增加的产量。
1）TP L与MP L之间的关系。
①当MP L>0时，相应的TP L曲线是上升的；②当MP L<0时，相应的TP L曲线的斜率为负。
(生产管理知识)生产函数估计与预测方法介绍
生产函数估计与预测方法介绍一、生产函数的估计1．含义我们在《经济学》课程的学习中已经知道，产量是由生产要素的投入数量和组合关系决定的。
那么生产函数的估计实际就是客观反映生产量与各生产要素投入量之间的函数关系。
2．方法与步骤估计生产函数最常用的方法是利用实际收集到的一组数据进行回归分析，这种方法较为客观，通过它得到的信息比较完全和精确。
为了完成回归分析，我们必须首先构造一个生产函数并确定函数的具体形式；然后再在收集数据的基础上用回归分析方法求出函数的具体参数值；最后，我们还需要检验回归结果对数据的拟合程度，以及回归分析的前提条件是否成立，因为一个没有显著函数关系或回归分析前提条件不成立的回归分析结果是没有意义的。
（1）影响变量的选取就一个具体的回归分析而言，各个变量必须具有特定的含义。
在进行回归分析时，我们应该对于研究对象具有深入的了解，否则在函数构造这一步可能会漏掉一些很重要的解释变量。
在进行回归分析时应注意不要漏掉重要的解释变量，但这并不意味着解释变量越多越好，因为在模型中包括一些并不重要的解释变量反而会引起一些统计上的问题，一般来说，当解释变量超过5至6个时，就可能降低模型的自由度，甚至引起多重共线性问题，这些都会影响到模型的解释力。
对于一些属性因素，如年龄、季节、性别等，如不同的属性表现对被解释变量有明显不同的影响时，还需设计虚拟变量。
（2）生产函数形式的确定上面所构造的生产函数只涉及了变量的选取，但为了完成回归分析，我们必须确定生产函数的具体形式。
生产函数可采用多元线性的，但一般最常用的是柯布—道格拉斯生产函数2211b b X AX Y =（3）数据的收集当模型的具体形式已经确定下来之后，我们需要针对模型中的变量收集样本数据。
数据类型包括时序数据和截面数据。
回归分析中也会碰到数据不足的情况，这时我们就不得不做一些理论上简化，（4）建立回归方程及参数估计1）一元线性回归模型①总体回归模型如果两个变量在总体上存在线性回归关系，可以用下式表示 ε++=bx a Y —随机误差公式中a,b 是总体回归模型的参数，ε是X 变量以外其它所有影响因素对Y 值的总合影响，故称随机干扰项。
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生产函数估计与预测方法介绍一、生产函数的估计1．含义我们在《经济学》课程的学习中已经知道，产量是由生产要素的投入数量和组合关系决定的。
那么生产函数的估计实际就是客观反映生产量与各生产要素投入量之间的函数关系。
2．方法与步骤估计生产函数最常用的方法是利用实际收集到的一组数据进行回归分析，这种方法较为客观，通过它得到的信息比较完全和精确。
为了完成回归分析，我们必须首先构造一个生产函数并确定函数的具体形式；然后再在收集数据的基础上用回归分析方法求出函数的具体参数值；最后，我们还需要检验回归结果对数据的拟合程度，以及回归分析的前提条件是否成立，因为一个没有显著函数关系或回归分析前提条件不成立的回归分析结果是没有意义的。
（1）影响变量的选取就一个具体的回归分析而言，各个变量必须具有特定的含义。
在进行回归分析时，我们应该对于研究对象具有深入的了解，否则在函数构造这一步可能会漏掉一些很重要的解释变量。
在进行回归分析时应注意不要漏掉重要的解释变量，但这并不意味着解释变量越多越好，因为在模型中包括一些并不重要的解释变量反而会引起一些统计上的问题，一般来说，当解释变量超过5至6个时，就可能降低模型的自由度，甚至引起多重共线性问题，这些都会影响到模型的解释力。
对于一些属性因素，如年龄、季节、性别等，如不同的属性表现对被解释变量有明显不同的影响时，还需设计虚拟变量。
（2）生产函数形式的确定上面所构造的生产函数只涉及了变量的选取，但为了完成回归分析，我们必须确定生产函数的具体形式。
生产函数可采用多元线性的，但一般最常用的是柯布—道格拉斯生产函数2211b b X AX Y =（3）数据的收集当模型的具体形式已经确定下来之后，我们需要针对模型中的变量收集样本数据。
数据类型包括时序数据和截面数据。
回归分析中也会碰到数据不足的情况，这时我们就不得不做一些理论上简化，（4）建立回归方程及参数估计1）一元线性回归模型①总体回归模型如果两个变量在总体上存在线性回归关系，可以用下式表示 ε++=bx a Y —随机误差公式中a,b 是总体回归模型的参数，ε是X 变量以外其它所有影响因素对Y 值的总合影响，故称随机干扰项。
如果在一定时期内一些因素的单独影响都比较零散、微弱，就可以不把它们单独列为自变量，而合并为一个随机因素。
在一个模式中是否存在随机误差，体现了确定型依存关系和统计型依存关系的区别。
随机误差体现了在X 取既定值时Y 的变异。
②假定前提a. ε是随机变量对应于某个X 既定值，ε的符号和绝对值的大小是随机的，它既独立于X 的取值，也独立于前一项ε值。
b.ε服从正态分布影响Y 的其它因素的作用趋于互相抵消，E （ε）=0，Y 的期望值落在总体回归线上，在给定X 值后，Y 值围绕Y 的期望值呈正态分布。
c.对于任何X 值，ε有恒定的方差2,x y σ（同方差性）。
无论X 取什么值，Y 值围绕总体回归线的变异程度相同。
③总体回归直线方程与样本回归直线方程如果从总体回归函数，εβα++=x Y 中排除ε，就得到表示Y 值随X 取值而定的正态分布期望值与X 值关系的方程—总体回归直线方程bx a x y +=,μ上式表明，在X 的值给定的条件下，Y 的期望值是X 的严密的线性函数。
x y ,μ称为Y 的条件平均数，对于一个双变量协变总体，当自变量X 取特定值时，因变量取值服从如下 正态分布),(~2,,x y x y N Y σμ根据样本数据拟合的直线，称为样本回归直线。
tt x b a y ˆˆˆ+=，t=1,2，…… 式中Y 是样本回归线上与X 相对应的Y 值，可视为x y ,μ的估计，称为Y 的估计值或拟合值，aˆ为截距，b ˆ为斜率，表示当X 变化1个单位时Y 的变化量，它们是总体回归系数a,b 的估计值。
实际观测到的变量Y 值，并不完全等于yˆ，如果用e 表示两者之差，它与总体误差项ε相对应t t t yY e ˆ-= e 称为残差 由上述可知，样本回归直线是对总体回归直线的近似反映。
回归分析的主要任务就是采用适当的方法，充分利用样本所提供的信息，使得样本回归直线尽可能地接近真实的总体回归直线。
④回归模型参数的估计a.回归系统的估计根据样本资料确定样本回归方程时，一般总希望Y 的估计值从整体来看尽可能接近实际观测值。
即残差t e 的总量越小越好，为了避免t e 简单的代数和会相互抵消，也便于数学上的处理，通常采用残差平方和2t e ∑作为衡量偏差的尺度。
最小二乘法就是根据这一思路，通过使残差平和和为最小来估计回归系数的一种方法。
222)ˆˆ()ˆ(tt t t t x b a Y y Y e Q --∑=-∑=∑= 很明显，残差平方和Q 的大小将依赖于aˆ和b ˆ的取值。
根据微积分求极小值的原理，Q 对aˆ和b ˆ的偏导必须为零。
⎪⎩⎪⎨⎧∑=∑+∑∑=∑+t t t t t t Y X X b X aY X b a n 2ˆˆˆˆ 2)())((x x x x x x b i i i -∑--∑=⇒ 或 22)(ˆt t t t t t x x n Y X Y X n b ∑-∑∑∑-∑= X b Y a -= nX b Y a t t ∑-∑=ˆ aˆ,b ˆ的具体数值即回归系数的估计值随选取的样本不同而不同，所以它是随机变量。
b.总体方差的估计除了a ，b 之外 ，一元线性回归模型还包括了另一个未知参数，总体方差2,x y σ，它可以反映理论模型误差的大小。
在数学上，2,x y σ的无偏估计是2,x y S 。
2)(222,--∑=-∑=∧n y Y n e S x y n 为样本容量，x y S ,称为估计标准误差。
它可用于描述用样本数据拟合回归直线时，在X 取特定值时Y 观察值对于相应的拟合值的离散程序。
c.最小二乘估计量的性质最小二乘法是估计方法中的一种，最小二乘估计量是总体回归系数的无偏估计量，数学上还可进一步证明，在所有的无偏估计量中回归系数的最小二乘估计量的方差最小；同时随着样本容量的增大，其方差会不断缩小，所以它又是最优和一致估计量。
2）多元线性回归模型现实中，某一现象的变动常受多种现象变动的影响，右这种场合，仅仅考虑单个变量是不够的，这就产生了测定多因素之间相关关系的问题。
研究在线性相关条件下，两个或两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，它是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型相类似，只是在计算上比较繁琐。
①总体回归函数与总体回归直线t kt k t t t x x x εβββα+++++=Y Λ2211kt k t x y x x ββαμ+++=Λ11.α表示截距，j β表示在其它自变量保持不变的情况下，自变量j x 变动一个单位所引起的因变量Y 平均变动的数额，成为偏回归系数。
②前提假定与一元线性前提假定相同，另外再加上，回归模型所包含的自变量之间不能具有较强的线性关系。
③样本回归方程kt k t t x x Y ∧++=ββαΛ11ˆˆˆ (t=1,2,……n) ④模型的估计以三元线性回归方程为例，即t t t x x Y 2211ββα++=a.回归系数的估计（最小二乘法）2221122)ˆˆ()ˆ(tt t t t t x x Y Y Y e MinQ ββ--∑=-∑=∑= ⎪⎩⎪⎨⎧∑+∑+∑=∑∑+∑+∑=∑∑+∑+=∑22211222122111122112ˆˆˆˆˆˆˆˆˆx x x x Y X x x x x Y X x x n Y ββαββαββα b.总方差的估计kn e S t y -∑=2212.n ：样本容量，k :方程中回归系数的个数22,n y S 称为回归估计的标准误差，越小表明样本回归方程的代表性越强3ˆˆˆ22112,-∑-∑-∑-∑=n Y x Y x Y Y S x y ββα 3）非线性回归模型如果因变量和自变量之间是非线性关系，我们就必须采用非线性回归模型，但对非线性回归模型的估计必须首先将其转化为线性函数，然后再利用先行回归方法估计各参数。
非线性回归模型主要有以下几种：①幂函数2211b b x ax Y = 两边取对数，得：2211ln ln ln ln x b x b a Y ++=令：Y Y ln =' a A ln = 11ln x x =', 22ln x x =' 221x b x b A Y '+'+=' 这种形式就是前面的三元线性回归方程。
利用前文所述方法估计模型参数。
特点：方程中的参数可以直接反映因变量Y 对于某一个自变量的弹性。
Y x ax b Y X x ax b YX X Y Z b b b b x y /)(/)(2121112111211111=⋅⋅=⋅∂∂=-=1b 即，b 1是在其它因素不变的条件下，x 1变动1%所引起Y 变动的百分比。
②指数型：2121x x b ab Y = 两边取对数，得：2211ln ln ln ln b x b x a Y ++=令Y Y ln =' a A ln = 11ln b B = 22ln b B =，则2211x B x B A Y ++='③多项式函数32dx cx bx a Y +++=令：x x =1 22x x = 33x x =321dx cx bx a Y +++=非线性回归方程转化为线性回归方程后，可利用前文所述方法，估计各参数，最后利用反函数转化为最初形式。
（5）回归模型的检验1）经济学检验经济学检验主要是检验参数估计值的符号和取值区间所显示的自变是与应变量的变化关系是否与理论和人们的实践经验相一致。
2）统计学检验利用统计学中的抽样理论来检验样本回归方程的可靠性。
a.拟合程度的评价所谓拟合程度，是指样本观测值聚在样本回归线周围的紧密程度，判断回归模型拟合程序优劣最常用的数量指标是可决系数，该指标是建立在对总离差平方和进行分解的基础上。
tt t t t t e Y Y Y Y Y Y Y Y +-=-+-=-)ˆ()ˆ()ˆ()( 总离差=可解释离差+未解释离差两边取平方，得)ˆ)(ˆ(2)ˆ()(22tt t t t Y Y Y Y e Y Y Y Y --∑+∑+-∑=-∑ 22)ˆ()ˆ(tt Y Y Y Y -∑+-∑= SSE SSR SST +=离差平方和=回归平方和+残差平方和显而易见，如果各个样本观察点与样本回归直线靠得越紧，SSR 在SST 中所占比重超越大，因此可定义这一比例为可决系数。
222)()ˆ(11Y Y Y Y SST SSE SST SSR r t t t -∑-∑-=-== 102≤≤r 可决系数越大，方程拟合度越高，在多元线形回归方程中，为了更准确地衡量回归方程的拟合程度，常使用经调整的多元可决系数。