高等数学 1 函数的单调性与函数的极值及最值
Chapter 4(3) 函数的单调性与函 数的极值及最值
教学要求：
1. 掌握用导数判断函数的单调性的方法;
2. 掌握用导数求函数极值的方法;
3. 掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.
一.函数单调性的判别法 二.函数极值的判别法 三.函数的最值
一.函数单调性的判别法
1. 定义： x1 , x2 I ,
f ( x) 在 (0, a)内单增. x
Example 6. 方程ln x ax (a 0)有几个实根 . Solution. 设f ( x ) ln x ax ( x 0), 1 1 f ( x ) a , 令f ( x ) 0, 得x . x a 1 . (1)当x 时, f ( x ) 0. f ( x )单调递增 a 且 lim f ( x ) lim (ln x ax ) ,
令f ( x ) 0, 得 x1 1, x2 2.
列表讨论如下:
(,1) f (x ) f ( x)
x
1
(1,2)
2
0
极大
0
极小
(2,)
极大值为 f ( 1) 28, 极小值为 f ( 2) 1.
Example 8. 求f ( x ) ( 2 x 5)3 x 2的极值.
(5) 对于连续函数，用导数为0的点和导数不存在的点来 划分定义区间，就可得出各部分区间上函数的单调性. (6) 利用判别法可以判定函数的增减性、求单调区间， 还可证明不等式、讨论根的存在性.
Example 1. 设 f ( x ) xe
x2
, 判定其单调性并求单调 区间.
x2
Solution. f ( x ) 的定义域为( , ).
二.函数极值的判别法
1. 函数极值的定义与图形:
y
o
x
注意: (1) 极值是局部性质. (2) 极大值不一定比极小值大，反之亦然.
2. 极值存在的必要条件 ------Fermat定理
定理1. 设函数f ( x )在x0可导, 若x0为极值点 则f ( x0 ) 0. , 注意: (1) 导数为0的点称为函数的驻点.( f ( x0 ) 0) (2) 可导函数的极值点一定是驻点. (3) 驻点只是可能的极值点.
10( x 1) . Solution. f ( x ) 的定义域为( , ). f ( x ) 3 3 x 令f ( x ) 0, 得 x 1. 且 x 0为不可导点 .
x x
1 1 f ln 1, a a 1 1 1 1 当a 时, ln 1 0, 当a 时, ln 1 0, e a e a 1 1 故当0 a 时有一实根, 当a 时没有实根 . e e 1 x (3)当a 时, ln x , 则x e. e e 1 1 综上所述,当0 a 时方程有两实根 当a 时没有实根 , , e e 1 当a 时有一实根 e. x e
G( x ) f ( x ) xf ( x ) f ( x ) xf ( x ) 0 (0 x a).
所以 G(x) 单调递增.
当 x 0时, G ( x ) G (0) f ( 0 ) 0.
即 xf ( x) f ( x) 0. F ( x) 0. 所以 F(x) 单调递增.
y
y
y 3 x 2 的单增区间为(0, ), 单减区间为( ,0).
o x
arctan x . Example 3. 当x 0时, 证明 ln( 1 x ) 1 x Proof. 当 x=0 时, 等号成立.
当 x 0时, 设 f ( x ) (1 x ) ln( 1 x ) arctan x , 1 f ( x ) ln( 1 x ) 1 1 x2 2 x ln( 1 x ) 0 ( x 0) 2 1 x 所以 f(x) 单调递增.
Proof. 由极值的定义来证明.
(1) 当x x0时, f ( x ) 0,
故 f(x) 单调递增. f ( x ) f ( x0 ).
当x x0时, f ( x ) 0,
故 f(x) 单调递减. f ( x ) f ( x0 ).
~ 即x U ( x0 , )时, 都有 f ( x ) f ( x0 ). f ( x0 ) 为极大值.
(2) 求出驻点和不可导点. (3) 由充分条件定理判定驻点和不可导点是否是极值点. (4) 求出极值点处的函数值即得全部极值.
Example 7. 求f ( x ) 2 x 3 3 x 2 12 x 21的极值.
Solution. f ( x ) 的定义域为( , ).
f ( x ) 6 x 2 6 x 12 6( x 1)( x 2).
x
具有正斜率的切线
具有负斜率的切线
2. 判别法 定理1. 设 f (x) 在区间 I上可导. (1) 若对于一切x I , f ( x ) 0, 则 f ( x )在 I上单增;
(2) 若对于一切x I , f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 I上单减.
, Proof.x1 x2 I . 在 [ x1 , x2 ]上用Lagrange 中值定理得
f ( x )在 I上单减.
注意: (1) 该判别法为充分条件判别法.
(2) 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这 一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符 号来判别一个区间上的单调性． (3) 判别法中的区间可以是开区间、闭区间和无穷区间.
(4) y=f(x) 连续可导的条件不可少，有导数不存在的点 时，函数的单调性须重新考虑.
如图.
y
o
x
3. 极值存在的第一充分条件 定理2. 设函数f ( x )在 U ( x0 , )内可导, 且 f ( x0 ) 0.
(1) 当x x0时f ( x ) 0, 当x x0时f ( x ) 0, 则f ( x )在x0处取得极大值 ( x0 ). f (2) 当x x0时f ( x ) 0, 当x x0时f ( x ) 0, 则f ( x )在x0处取得极小值 ( x0 ). f ~ (3) 当x U ( x0 , )时f ( x ) 0或f ( x ) 0, 则f ( x0 )不是极值.
当 x1 x2时, 若 f ( x1 ) f ( x2 ), 则 f ( x )在 I上单增 ; 当 x1 x2时, 若 f ( x1 ) f ( x2 ), 则 f ( x )在 I上单减.
y
y f ( x)
y
y g( x )
f ( x ) 0
o x o
g( x ) 0
x ( x 1). Proof. 设 f ( x ) 1 x (1 x ) x 1 f ( x ) 0 2 2 (1 x ) (1 x ) 所以 f(x) 单调递增.
a b a b , f ( a b ) f ( a b ),
ab ab a b 即 1 a b 1 a b 1 a b 1 a b a b . 1 a 1 b
当 x x0时, f ( x ) 0. 从而 x0 是极小值点 .
同理可证得(2)成立.
注意: (1) 使二阶导数不为0的点一定是极值点.
( 2) 若f ( x0 ) 0或f ( x0 )不存在, 不能用第二充分条件判 , 只能用第一充分条件 定 .
5. 求极值的步骤
(1) 计算 f ( x ).
(2 x ) e (1 2 x ), 2 令 f ( x ) 0, 得 x . 列表讨论如下: 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( ,) x ( , ) 2 2 2 2 2 2 f (x ) 0 0 f ( x) 2 2 f ( x )的单增区间为 [ , ], 2 2 2 2 单减区间为( , ) 和 ( , ). 2 2
从而, 当x 0时, f ( x ) f ( 0),
且 f (0) 0.
f ( x ) (1 x ) ln( 1 x ) arctan x 0.
arctan x 即 ln( 1 x ) . 1 x
ab a b Example 4. 证明 . 1 a b 1 a 1 b
Example 5. 设 f ( x )在 0 x a上二次可微, 且f (0) 0, f ( x) 0, f ( x) 证明 在 (0, a)内单增. x xf ( x ) f ( x ) f ( x) , F ( x ) . Proof. 设 F ( x ) 2 x x 又设 G ( x ) xf ( x ) f ( x ).
(1) 若f ( x0 ) 0, 则 x0 为极小值点 . (2) 若f ( x0 ) 0, 则 x0 为极大值点 .
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) lim 0 Proof. (1) f ( x0 ) lim x x0 x x0 x x x x0 0 当 x x0时, f ( x ) 0,
同理可证得结论(2),(3)成立.
极值存在的第一充分条件的图形记忆法. y y
o y : 0
x
极大
o y : 0 极小
x
y
y
o
y :
x
o
y :
x
没有极值
4. 极值存在的第二充分条件 定理3. 设f ( x )在 U ( x0 , )内二阶可导 且f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0.则 ,
考虑y x 3在x 0的情况 : 如图. 由y 3 x 2 0, 得x 0是驻点, 但x 0不是y x 3的极值点.
教学要求：
1. 掌握用导数判断函数的单调性的方法;
2. 掌握用导数求函数极值的方法;
3. 掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.
一.函数单调性的判别法 二.函数极值的判别法 三.函数的最值
一.函数单调性的判别法
1. 定义： x1 , x2 I ,
f ( x) 在 (0, a)内单增. x
Example 6. 方程ln x ax (a 0)有几个实根 . Solution. 设f ( x ) ln x ax ( x 0), 1 1 f ( x ) a , 令f ( x ) 0, 得x . x a 1 . (1)当x 时, f ( x ) 0. f ( x )单调递增 a 且 lim f ( x ) lim (ln x ax ) ,
令f ( x ) 0, 得 x1 1, x2 2.
列表讨论如下:
(,1) f (x ) f ( x)
x
1
(1,2)
2
0
极大
0
极小
(2,)
极大值为 f ( 1) 28, 极小值为 f ( 2) 1.
Example 8. 求f ( x ) ( 2 x 5)3 x 2的极值.
(5) 对于连续函数，用导数为0的点和导数不存在的点来 划分定义区间，就可得出各部分区间上函数的单调性. (6) 利用判别法可以判定函数的增减性、求单调区间， 还可证明不等式、讨论根的存在性.
Example 1. 设 f ( x ) xe
x2
, 判定其单调性并求单调 区间.
x2
Solution. f ( x ) 的定义域为( , ).
二.函数极值的判别法
1. 函数极值的定义与图形:
y
o
x
注意: (1) 极值是局部性质. (2) 极大值不一定比极小值大，反之亦然.
2. 极值存在的必要条件 ------Fermat定理
定理1. 设函数f ( x )在x0可导, 若x0为极值点 则f ( x0 ) 0. , 注意: (1) 导数为0的点称为函数的驻点.( f ( x0 ) 0) (2) 可导函数的极值点一定是驻点. (3) 驻点只是可能的极值点.
10( x 1) . Solution. f ( x ) 的定义域为( , ). f ( x ) 3 3 x 令f ( x ) 0, 得 x 1. 且 x 0为不可导点 .
x x
1 1 f ln 1, a a 1 1 1 1 当a 时, ln 1 0, 当a 时, ln 1 0, e a e a 1 1 故当0 a 时有一实根, 当a 时没有实根 . e e 1 x (3)当a 时, ln x , 则x e. e e 1 1 综上所述,当0 a 时方程有两实根 当a 时没有实根 , , e e 1 当a 时有一实根 e. x e
G( x ) f ( x ) xf ( x ) f ( x ) xf ( x ) 0 (0 x a).
所以 G(x) 单调递增.
当 x 0时, G ( x ) G (0) f ( 0 ) 0.
即 xf ( x) f ( x) 0. F ( x) 0. 所以 F(x) 单调递增.
y
y
y 3 x 2 的单增区间为(0, ), 单减区间为( ,0).
o x
arctan x . Example 3. 当x 0时, 证明 ln( 1 x ) 1 x Proof. 当 x=0 时, 等号成立.
当 x 0时, 设 f ( x ) (1 x ) ln( 1 x ) arctan x , 1 f ( x ) ln( 1 x ) 1 1 x2 2 x ln( 1 x ) 0 ( x 0) 2 1 x 所以 f(x) 单调递增.
Proof. 由极值的定义来证明.
(1) 当x x0时, f ( x ) 0,
故 f(x) 单调递增. f ( x ) f ( x0 ).
当x x0时, f ( x ) 0,
故 f(x) 单调递减. f ( x ) f ( x0 ).
~ 即x U ( x0 , )时, 都有 f ( x ) f ( x0 ). f ( x0 ) 为极大值.
(2) 求出驻点和不可导点. (3) 由充分条件定理判定驻点和不可导点是否是极值点. (4) 求出极值点处的函数值即得全部极值.
Example 7. 求f ( x ) 2 x 3 3 x 2 12 x 21的极值.
Solution. f ( x ) 的定义域为( , ).
f ( x ) 6 x 2 6 x 12 6( x 1)( x 2).
x
具有正斜率的切线
具有负斜率的切线
2. 判别法 定理1. 设 f (x) 在区间 I上可导. (1) 若对于一切x I , f ( x ) 0, 则 f ( x )在 I上单增;
(2) 若对于一切x I , f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 I上单减.
, Proof.x1 x2 I . 在 [ x1 , x2 ]上用Lagrange 中值定理得
f ( x )在 I上单减.
注意: (1) 该判别法为充分条件判别法.
(2) 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这 一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符 号来判别一个区间上的单调性． (3) 判别法中的区间可以是开区间、闭区间和无穷区间.
(4) y=f(x) 连续可导的条件不可少，有导数不存在的点 时，函数的单调性须重新考虑.
如图.
y
o
x
3. 极值存在的第一充分条件 定理2. 设函数f ( x )在 U ( x0 , )内可导, 且 f ( x0 ) 0.
(1) 当x x0时f ( x ) 0, 当x x0时f ( x ) 0, 则f ( x )在x0处取得极大值 ( x0 ). f (2) 当x x0时f ( x ) 0, 当x x0时f ( x ) 0, 则f ( x )在x0处取得极小值 ( x0 ). f ~ (3) 当x U ( x0 , )时f ( x ) 0或f ( x ) 0, 则f ( x0 )不是极值.
当 x1 x2时, 若 f ( x1 ) f ( x2 ), 则 f ( x )在 I上单增 ; 当 x1 x2时, 若 f ( x1 ) f ( x2 ), 则 f ( x )在 I上单减.
y
y f ( x)
y
y g( x )
f ( x ) 0
o x o
g( x ) 0
x ( x 1). Proof. 设 f ( x ) 1 x (1 x ) x 1 f ( x ) 0 2 2 (1 x ) (1 x ) 所以 f(x) 单调递增.
a b a b , f ( a b ) f ( a b ),
ab ab a b 即 1 a b 1 a b 1 a b 1 a b a b . 1 a 1 b
当 x x0时, f ( x ) 0. 从而 x0 是极小值点 .
同理可证得(2)成立.
注意: (1) 使二阶导数不为0的点一定是极值点.
( 2) 若f ( x0 ) 0或f ( x0 )不存在, 不能用第二充分条件判 , 只能用第一充分条件 定 .
5. 求极值的步骤
(1) 计算 f ( x ).
(2 x ) e (1 2 x ), 2 令 f ( x ) 0, 得 x . 列表讨论如下: 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( ,) x ( , ) 2 2 2 2 2 2 f (x ) 0 0 f ( x) 2 2 f ( x )的单增区间为 [ , ], 2 2 2 2 单减区间为( , ) 和 ( , ). 2 2
从而, 当x 0时, f ( x ) f ( 0),
且 f (0) 0.
f ( x ) (1 x ) ln( 1 x ) arctan x 0.
arctan x 即 ln( 1 x ) . 1 x
ab a b Example 4. 证明 . 1 a b 1 a 1 b
Example 5. 设 f ( x )在 0 x a上二次可微, 且f (0) 0, f ( x) 0, f ( x) 证明 在 (0, a)内单增. x xf ( x ) f ( x ) f ( x) , F ( x ) . Proof. 设 F ( x ) 2 x x 又设 G ( x ) xf ( x ) f ( x ).
(1) 若f ( x0 ) 0, 则 x0 为极小值点 . (2) 若f ( x0 ) 0, 则 x0 为极大值点 .
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) lim 0 Proof. (1) f ( x0 ) lim x x0 x x0 x x x x0 0 当 x x0时, f ( x ) 0,
同理可证得结论(2),(3)成立.
极值存在的第一充分条件的图形记忆法. y y
o y : 0
x
极大
o y : 0 极小
x
y
y
o
y :
x
o
y :
x
没有极值
4. 极值存在的第二充分条件 定理3. 设f ( x )在 U ( x0 , )内二阶可导 且f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0.则 ,
考虑y x 3在x 0的情况 : 如图. 由y 3 x 2 0, 得x 0是驻点, 但x 0不是y x 3的极值点.
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函数的单调性与极值 最值
例8
判断函数 y = x − ln x 的单调性
解
函数的定义域为 (0,+∞ ) x −1 1 Q y′ = 1 − = x x 当 0 < x < 1 时数在 ( 0,1) 内单调减少。 单调减少。
内单调增加。 在 (1, +∞ ) 内单调增加。
x >1
时， y′ > 0,
y
f ( x1 )
( 2)
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的 ;
f ( x2 )
y = f ( x)
o
x1
x2
x
I
一、函数的单调性
y
2.判别方法 判别方法
y A y = f (x) B
y = f (x)
A
B
o
a
f ′( x ) ≥ 0
b
x
o a
f ′( x ) ≤ 0
b x
在区间(a,b)上单调上升 若 y = f (x)在区间 上单调上升 在区间(a,b)上单调下降 若 y = f (x)在区间 上单调下降
y
间断
∴ 单增区间为 (−∞, −2) , ( 2, +∞ ) 单减区间为 (−2, 0) , (0, 2)
x < ln(1 + x ) < x . 复习 证明当 x > 0 时, 1+ x 课本P124 课本 证法一设 f ( t ) = ln(1 + t ) t ∈ [0, x ]
足拉格朗日中值定理的条件. 则 f ( x ) 在 [0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件. 故
∴ 在(−∞ ,1]上单调增加； −∞ 上单调增加；
f ′( x ) < 0, ∴ 在[1,2]上单调减少； 上单调减少；
大学高等数学上册：4-1单调性与极值
y
(非严格意义的) 注意
闭区间[a, b]上上述结论不一定成立． o a
bx
y
y
oa
bx o a
bx
1．闭区间上连续函数的最值
闭区间[a, b]上连续函数f (x) 的最大最小值 M，m 的求法． (1) 求出f (x) 在(a, b) 内的所有临界点：x1, x2 , , xn. (2) 求出函数值 f ( x 1), f ( x 2), , f ( x n) 及 f (a)，f (b)． (3) 比较以上这些函数值的大小即可得：
令 f ( x) 0 得驻点x = －1, 0, 1. f ( x) 6( x2 1)(5 x2 1)
x ( ,1) 1 (1,0) 0 (0, 1) 1
(1, )
f ( x) －
0
－
0
+
0
+
f ( x)
0
+
0
f (x)
非极值
极小值 f (0) = 0
非极值
三、最值
最值是整体概念而极值是局部概念. 结论：若f (x) 在 (a, b) 内有最值点 x0，则 x0 必是极值点.
例如
y x3
y x
x = 0 是驻点但非极值点 x = 0 是极小值点但 y (0) 不存在
结论：极值点必是临界点
极值点的必要条件
问题：如何判别临界点是否为极值点？
3．极值点的充分条件
y x2
y x3
y 3 x2
(1)一阶充分条件：
设 x0 是f ( x )的临界点， f ( x )在某N ( x0 )内连续，在
f ( x )的驻点．
(4) 函数的单调性是一个区间上的性质，不能用一点
(非严格意义的) 注意
闭区间[a, b]上上述结论不一定成立． o a
bx
y
y
oa
bx o a
bx
1．闭区间上连续函数的最值
闭区间[a, b]上连续函数f (x) 的最大最小值 M，m 的求法． (1) 求出f (x) 在(a, b) 内的所有临界点：x1, x2 , , xn. (2) 求出函数值 f ( x 1), f ( x 2), , f ( x n) 及 f (a)，f (b)． (3) 比较以上这些函数值的大小即可得：
令 f ( x) 0 得驻点x = －1, 0, 1. f ( x) 6( x2 1)(5 x2 1)
x ( ,1) 1 (1,0) 0 (0, 1) 1
(1, )
f ( x) －
0
－
0
+
0
+
f ( x)
0
+
0
f (x)
非极值
极小值 f (0) = 0
非极值
三、最值
最值是整体概念而极值是局部概念. 结论：若f (x) 在 (a, b) 内有最值点 x0，则 x0 必是极值点.
例如
y x3
y x
x = 0 是驻点但非极值点 x = 0 是极小值点但 y (0) 不存在
结论：极值点必是临界点
极值点的必要条件
问题：如何判别临界点是否为极值点？
3．极值点的充分条件
y x2
y x3
y 3 x2
(1)一阶充分条件：
设 x0 是f ( x )的临界点， f ( x )在某N ( x0 )内连续，在
f ( x )的驻点．
(4) 函数的单调性是一个区间上的性质，不能用一点
函数的单调性极值与最值课件
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1
) 2
f
(
x2
)
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
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推论
如果在区间(a,b)内恒有f ''(x) 0(或f ''(x) 0). 且使得f ''(x) 0的点只是一些离散的点，则函 数曲线y f (x)在区间(a,b)内上凹（或下凹）
综上,f (x)在(0,1)内只有一个零点，即方 程f (x)=0,亦即xex 2在(0,1)内仅有一个实根.
例6 设f (x)在[a, b]上连续，且在(a, b)内f ''(x) 0,
证明 f (x) f (a) 在(a, b)内单调增加. xa
证明 设F (x) f (x) f (a) , x (a,b) xa
而F ' (x)
f ' (x)(x a) f ' ( )(x a)
(x a)2
f ' (x) f ' ( ) 0,
xa F (x) f (x) f (a) 在(a,b)内单调递增.
函数单调性和求极值点、最值(知识点及相关练习)
函数单调性和求极值点、最值(知识点及相关练习)本文档将介绍函数的单调性以及如何求函数的极值点和最值。
这些概念是在研究高等数学中非常重要的一部分。
函数的单调性函数的单调性描述了函数图像在定义域内的变化趋势。
一个函数可以是递增的（单调递增），也可以是递减的（单调递减），或者在某个区间内既递增又递减。
判断函数的单调性需要观察函数的导数。
如果函数的导数恒大于零（导函数递增），则函数单调递增；如果导数恒小于零（导函数递减），则函数单调递减。
如果导数在某个区间内既大于零又小于零，则函数在该区间内既递增又递减。
下面是一些相关联系。
练题：1. 设函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的单调区间。
- 解答：- 首先求导数：$f'(x)=3x^2-6x$- 然后求解 $f'(x)=0$ 的解，即 $3x^2-6x=0$ ，解得 $x=0, 2$- 将 $x=0$ 和 $x=2$ 代入 $f'(x)$ 的导数符号表，得到如下结果：| $x$ | $(-\infty,0)$ | $(0,2)$ | $(2,+\infty)$ |- 由上表可以看出，函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上递减，在区间 $(0,2)$ 上递增，而在区间 $(2,+\infty)$ 上递增，所以函数的单调区间分别为 $(-\infty, 0)$ 和 $(2,+\infty)$。
求函数的极值点和最值函数的极值点是函数某一段上的极大值或极小值点。
函数的最大值和最小值是函数在整个定义域上的最大值和最小值。
为了求函数的极值点和最值，我们需要找到函数的临界点和边界点。
- 临界点：函数定义域内导数为零或不存在的点。
- 边界点：函数定义域的端点。
对于一个函数，如果它有极值点，那么极值点一定在函数的临界点和边界点处。
下面是一些相关练。
练题：1. 设函数 $g(x)=x^3-6x^2+9x+2$，求 $g(x)$ 的极值点和最值。
高等数学：函数的单调性及其极值
函数的单调性及其极值单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。
本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。
一、函数的单调性1、函数单调性的判定为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133--)(a 、)(b 。
图133--)(a 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向上升，除点))(,(ξξf 处的切线平行于x 轴外，)(a )(b 图133--曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为锐角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为正；而图133--)(b 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为钝角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为负。
由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。
反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。
设函数)(x f 在区间I 内可导，在I 内任取两点1x 和2x （21x x <），在区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，得)()()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ） （1）由于在（1）式中012>-x x ，因此，若在I 内导数)(x f '的符号保持为正，即0)(>'x f ，那么也有0)(>'ξf ，于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f <表明函数)(x f 在区间I 上单调增加。
同理，若在I 内导数)(x f '的符号保持为负，即0)(<'x f ，那么也有0)(<'ξf ，于是0)()()()(1212<-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f > 表明函数)(x f 在区间I 上单调减少。
函数单调性和最大值最小值
考点二 求函数的单调区间 1．求函数的单调区间 (1)利用已知函数的单调性． (2) 定义法：先求定义域，再利用单调性定 义． (3)图象法：如果 f(x)是以图象给出的，或 者 f(x)的图象易作出，可直接由图象的直观性 写出它的单调区间． (4) 导数法：利用导函数取值的正负确定原 函数的单调区间．
②由 x2－3x＋2≥0 得 x≥2 或 x≤1 设 u(x)＝x2－3x＋2，则 y＝1－ u x∈(－∞，1]时，u(x)为减函数 x∈[2，＋∞)时，u(x)为增函数 而 u≥0 时，y＝1－ u为减函数 ∴y＝1－ x2－3x＋2的单调增区间为(－∞，1]，单调减区 间为[2，＋∞)． ③y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1) 令 y′>0 得 x>1 或 x<－1，
5．(2010 年江苏省苏北四市期末联考模拟试题)函数 y＝ x2＋2x－3的单调减区间是________．
解析：∵y＝ x2＋2x－3，∴x2＋2x－3≥0，∴x∈(－∞， －3]∪[1，＋∞)， ∴y＝ x2＋2x－3的单调减区间为(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
考点一 函数单调性的判断与证明
由 y′<0 得－1<x<1，
∴y＝x3－3x 的增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，减区间 为(－1,1)．
1 变式迁移 2 (2010 年天津模拟)求函数 y＝log (－x2－2x 2 ＋3)的单调区间．
解析：由－x2－2x＋3>0，得－3<x<1， 1 所以函数 y＝log (－x2－2x＋3)的定义域是{x|－3<x<1}． 2 又函数 μ＝－x2－2x＋3 在区间(－3，－1)上单调递增，在 区间(－1,1)上单调递减，由复合函数单调性的判定方法知函数 1 y＝log (－x2－2x＋3)的单调递减区间是(－3，－1)，单调递增 2 区间是(－1,1)．
第四节函数单调性极值及最大最小值
例3 讨 论y 3 x 2的 单 调 性
解 定义域 ,,
y
y 3 x2
y
2
1
x3
2
,
3
33 x
x 0时y不；
o
x
x 0时，y 0； f x在(,0]上单调减少,
x 0时，y 0. f ( x)在[0,)上单调增加.
3
结论：若函数在其定义域上连续，除有限个点导数不存在的点外， 导数存在且连续，则用 f '( x) 0的根及 f '( x)不存在的点划分 f ( x) 的定义域区间，f ( x)在这些部分区间上的单调性不变。
即x 1时 ，2 x 3 1 . x
7
试证方程 sin x x 只有一个实根 提示： 设 f ( x) sinx x , x 0 是一个根
f '(x) cos x 1 0 f (x)在（ ， ）上单调增加
8
二、 函数的极值及其求法
极值定义 y
y f (x)
a x1 o x2
x4
10
y
y f (xx6 b x
定理1（必要条件）设f x在x0点可导，f x0 为极值，则f x0 0.
驻点：使导数为零的点（即方程 f '( x) 0的实根）。 可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。 问题：怎样才能从驻点中找出极值点？
11
解 1 f 'x 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3)
2x1 1, x2 3时，y 0
法1
3x在 1的左侧附近时，f x 0 x在 1的右侧附近时，f x 0
f
1
1 0为 极 大 值 。
x在3的 左 侧 x在3的 右 侧
高数 函数的单调性与极值
(x) (x)
2xarcx tlan 1n (x2)2arctxan
式中 在 0 与 x 之间，由于 arctan与 x 同号，
则无论 x为什么值，总有 fБайду номын сангаас(x)0
则不等式 2xarcxt aln 1 (x2) 成立
9
例5 证明 f (x) (1 1)x 在 (0, ) 内单调增加。
x 证明 此函数为幂指函数，两边取对数
定理2告诉我们，可导函数的极值点必定是驻点， 但驻点未必是极值点。寻求函数的极值点首先要找 y f (x) 的驻点以及不可导的点，再判断其是否为
极值点。
14
定理 3 (极值第一判别法)
设函f数 (x)在x0的某邻域,内 且在连 空心续 邻域 内有导数, 当x由小到大x通 0时,过
(1) (2)
f f
高等数学
第十八讲
主讲教师: 王升瑞
1
第九节
第二章
函数的单调性与极值
一、函数的单调性 二、函数的极值及其求法
2
一、 函数的单调性
定理 1. 设函数 f (x) 在开区间 I 内可导, 若 f(x)0
(f(x)0),则 f (x) 在 I 内单调递增 (递减) .
I 称为单调递增(递减) 区间。
证: 无妨设 f(x) 0 ,x I,任取 x 1 ,x 2 I(x 1 x 2 )
例4 求证 2xarcxt aln 1 (x2) 证法一：设 f(x)2xarcx tlan 1n (x2) f (0)0
f(x)2arcx t1 a 2x x n 21 2x x22arcxtan
当 x0 时 f(x)0 f(x)
f(x)f(0)0
当 x0 时 f(x)0 f(x)
ppt-0302--函数单调性与极值、最值
y
b a
2 2
x y
(X
x).
令Y=0，得切线在x轴上的截距 X
a
2
.
x
令X=0，得切线在y轴上的截距 Y b2 . y
可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为
S 1 XY a2b2 .
2
2xy
yb a
a2
x2 ,
S
a2b2 2xb a2 b2
a
(0 x a).
但是S最小当且仅当其分母 2bx a2 x2最大. a
令f (x) 0， 得到f (x)的驻点x1 1，x2 4.
f (1) 11，f (1) 41，f (2) 2,
6
6
3
可知f (x)在[1,2]上的最大值点为x 1，
最大值为f (1) 11. 6
最小值点为x 1，最小值为f (1) 41. 6
2
例6 设f (x) 1 2 (x 2)3，求f (x)在[0,3]上的最大值与 3
令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. y 12x2 16x 12.
y |x1 12 16 12 16 0
y |x0 12 0 y |x3 48 0
可知x1 1为函数的极小值点,
相应的极小值为y
| x 1
7. 3
x2 0为函数的极大值点，
相应极小大值为y |x0 0.
又因a，b为正常数，x a2 x2 0,
所以S最小当且仅当u x2 (a2 2x2 )最大.由于
u 2a2x 4x3 2x(a2 2x2 ),
令u 0，解出在(0,a)内的唯一驻点x0
2 a. 2
此时y0
2 b. 2
S a2b2 ab.
单调性和极值
主 要 内 容 教 学 要 求
一、函数的最大值与最小值 二、曲线的凹凸性和拐点 一、会求简单应用题的最大(小)值 二、会用导数判断曲线的凹凸性
三、会求曲线的拐点
若函数 f ( x ) 在[a , b] 上连续，除个别点外处处可导，
并且至多有有限个导数 为零的点，则 f ( x )在 [a , b] 上的最大值与最小值存在 .
（2）如果在( a , b )内 f '( x ) 0, 那么函数 y f ( x )在 [a , b] 上单调减少．
注意：
（1）如果将定理中的闭区间换成开区间或半开区间， 结论仍然成立． （2）如果在 (a, b) 内 f ' ( x) 0(或 0) ，但等号只 在有 限个点处成立，那么函数 f ( x )在 [a , b] 上仍然是单调
三、小结 注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
1．曲线的凹凸定义和判定法
知道了函数的单调性，对函数的变化情况有了初步的了解． 但仅限于此还不够，例如函数曲线
但它们上升的方式 y x 2 与 y x 在 (0,) 内都是上升的，
却有明显的区别
3 2 f ( x ) x 6 x 15x 1 的定义域为一切实数， 解 函数
f '( x) 3x2 12x 15 3( x 1)( x 5)
，令 f ' ( x) 0
，得 x1 1, x2 5
为表达简洁明了，列表表示
由上可知，函数的单调增区间为 (,1] 和[5, )
．
的必要条件；
（2）极值点也不一定是驻点，极值点可能是驻点也可能是 不可导点．例如，y x 在 x 0 处不可导, 但 x 0 是极小值点．