5.1 几个重要算法的计算复杂度讨论
计算思维导论05-问题求解的基本思维
5.1 计算机语言 5.2 程序设计基础 5.3 算法 5.4 算法设计 5.5 函数与递归 5.6 程序设计
目录
5.1 计算机语言
计算机语言是语法、语义与词汇的集合，它用来表达计 算机程序。 程序是指某种程序设计语言编制的、计算机能够执行的 指令序列，表达的是让计算机求解问题的步骤和方法。 计算机语言的发展过程经历了四个阶段： 机器语言 汇编语言 高级语言 构件化语言
2．算法设计
顺序结构
顺序结构
【例5.7】求解鸡兔同笼问题。已知笼子中鸡和兔的头数 总共为h，脚数总共为f，问鸡和兔各有多少只？
求解策略，包括贪心算法、分治法、动态规划、启发式 算法等
旅行商问题
贪心算法策略的的基本思想是，一定做出当前状况的最 好选择，以免将来后悔。求解TSP问题的贪心算法为：“ 从一个城市开始，每次选择下一个城市的时候，只考虑 当前状况下最好的选择”
根据贪心算法的策略，解为路径： A,B ,D ,C
其总距离为14。
哥尼斯堡七桥问题
七桥问题所构成的图中，没有一 个节点含有偶数条边，所以哥尼 斯堡七桥问题无解。
旅行商问题
【例5.5】旅行商问题（Traveling salesman problem，TSP） ：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解一条最 短路径，使得一个旅行商从某个城市出发访问每个城市 且只能在每个城市逗留一次，最后回到出发的城市。
4个城市的遍历解：
A
2
6
3
B
54
C
52
D
42
C D BD B C
2
24 4
5
5
D C DB C B
3 6 3 26 2
路径：ABCDA 距离：12 路径：ABDCA 距离：14 路径：ACBDA 距离：18 路径：ACDBA 距离：14 路径：ADBCA 距离：14 路径：ADCBA 距离：12
时间序列数据的周期性分析与预测算法研究
时间序列数据的周期性分析与预测算法研究摘要：随着现代社会数据的爆炸式增长，时间序列数据成为了许多领域中重要的研究对象。
对时间序列数据进行周期性分析和预测可以帮助人们发现其中蕴含的规律，从而做出更准确的决策。
本文将针对时间序列数据的周期性分析与预测算法展开研究，介绍一些常用的算法，并讨论其优缺点。
第一章：引言1.1 研究背景随着物联网、互联网和社交网络的不断发展，人们产生了大量的时间序列数据。
这些数据包含了时间与事件之间的关联性，因此可以用来进行周期性分析和预测。
1.2 研究意义周期性分析和预测可以帮助人们更好地理解时间序列数据的内在规律，并为决策提供依据。
例如，在金融领域，周期性分析可以帮助投资者预测股票价格的变化趋势，从而进行更合理的投资决策。
第二章：周期性分析算法2.1 自相关函数自相关函数是一种常用的周期性分析方法。
它通过计算时间序列数据自身与滞后版本之间的相关性来判断数据是否存在周期性。
自相关函数的计算可以使用统计方法，如Pearson相关系数或Spearman相关系数。
2.2 傅里叶变换傅里叶变换是一种将时间域数据转换到频域的方法。
通过对时间序列数据进行傅里叶变换，可以得到其频谱表示，进而判断是否存在周期性。
傅里叶变换可以使用快速傅里叶变换（FFT）算法进行高效计算。
2.3 小波变换小波变换是一种多尺度分析方法，适用于分析非平稳时间序列数据的周期性。
小波变换将时间序列数据分解成不同频率的成分，并判断每个成分是否具有周期性。
第三章：周期性预测算法3.1 时间序列模型时间序列模型是一种基于历史数据进行预测的方法。
常用的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）。
这些模型利用历史数据的趋势和周期性规律进行预测。
3.2 神经网络模型神经网络模型是一种通过训练神经网络来预测时间序列数据的方法。
常用的神经网络模型包括循环神经网络（RNN）和长短期记忆网络（LSTM）。
机器人运动学与动力学建模与分析
机器人运动学与动力学建模与分析摘要：机器人运动学与动力学建模与分析是机器人研究领域的重要内容。
本文将从机器人运动学和动力学的基本概念入手，介绍机器人的运动规划和控制方法，重点讨论了机器人建模和分析的方法。
通过对机器人运动规划和控制的研究，可以提高机器人的精准度和效率，为实现自主化、智能化的机器人应用提供理论基础。
1.引言随着科技的飞速发展，人工智能、机器学习等领域的成果不断涌现，智能化、自主化的机器人应用已逐渐深入到生产、生活、科研等各个领域。
机器人技术的研究与开发已成为当今世界科技竞争的焦点之一。
在这一背景下，对于机器人运动规划和控制方法的研究显得尤为重要。
本篇文章将围绕机器人运动学建模、姿态描述、动力学建模、运动规划方法和运动控制方法等方面进行深入探讨，以期为机器人领域的研究提供一定的理论参考。
2.机械臂运动学建模2.1旋转关节2.1.1旋转关节坐标系为了便于分析机器人运动，首先需要建立旋转关节的坐标系。
旋转关节坐标系主要包括基座坐标系、关节坐标系和末端执行器坐标系。
基座坐标系固定于机器人基座，用于描述机器人基座的相对位置和姿态；关节坐标系随关节转动而变化，用于描述关节的转动状态；末端执行器坐标系与末端执行器相连，用于描述末端执行器的位置和姿态。
2.1.2旋转关节角度表示旋转关节的角度表示采用旋转矩阵进行描述。
旋转矩阵包括三个旋转分量：绕x轴旋转的θx，绕y轴旋转的θy，以及绕z轴旋转的θz。
旋转矩阵可以表示为：R = [cos(θz) cos(θy) sin(θz) sin(θy),sin(θz) cos(θy) + cos(θz) sin(θy),cos(θz) sin(θy) + sin(θz) cos(θy)]2.1.3旋转关节正逆解正解：给定末端执行器的位姿，求解旋转关节的角度。
逆解：给定旋转关节的角度，求解末端执行器的位姿。
2.2 平移关节平移关节主要用于实现机器人在三维空间中的平移运动。
retinex算法步骤及公式_解释说明以及概述
retinex算法步骤及公式解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在数字图像处理领域，Retinex算法是一种用于图像增强和色彩恢复的经典算法。
该算法通过模拟人眼对光线的运动和适应性来提取出图像中的有用信息，在许多计算机视觉和图像处理任务中都有广泛应用。
1.2 文章结构本文将详细介绍Retinex算法的步骤及公式，并解释其原理和概念。
接下来，我们将展示实验结果并与其他相关算法进行比较分析。
然后，我们会深入研究Retinex算法的实现流程，并通过具体的应用案例进行分析。
最后，我们总结文章的主要内容，并探讨Retinex算法未来发展的方向。
1.3 目的本文旨在为读者提供对Retinex算法的全面了解。
通过详细讲解该算法的步骤和公式，读者可以掌握它在图像增强和色彩恢复方面的应用原理。
同时，我们希望通过对实验结果和与其他算法比较分析的讨论，评估Retinex算法在不同任务中的优劣势。
最后，我们希望通过具体应用案例研究，帮助读者更好地理解Retinex 算法的实际应用场景，并为未来研究方向提供一些启示。
这样一个引言可以使读者对文章的内容有一个整体的了解，并且明确了文章的结构和目的。
2. retinex算法步骤及公式:2.1 算法步骤解释:Retinex算法是一种用于图像增强和颜色恢复的经典算法。
它基于人类视觉系统的原理，通过模拟光线在物体表面的传播和反射过程来改善图像的质量。
以下是Retinex算法的主要步骤:步骤1：获取输入图像首先，需要从相机或其他来源获取原始图像作为输入。
步骤2：颜色空间转换将RGB颜色空间转换为某个非线性颜色空间，如CIE XYZ或CIE Lab。
这样做是因为这些颜色空间更符合人眼对亮度和颜色感知的方式。
步骤3：计算局部对比度对图像进行高斯滤波，以计算每个像素周围区域的局部对比度。
这可以通过计算像素与其相邻区域之间亮度值的标准差得到。
步骤4：估计全局亮度对整个图像进行低通滤波，以估计全局亮度分量。
复杂度计算熵
复杂度计算熵
复杂度和熵都是描述物理系统无序程度的概念，但它们的计算方式略有不同。
熵是热力学中的一个重要概念，表示系统的无序程度或者混乱程度。
熵的计算公式为S = -kln(p)，其中S代表熵，k 是玻尔兹曼常数，p是系统某个状态的概率。
熵越大，表示系统越无序，反之则越有序。
复杂度则是描述系统的结构和行为的复杂程度，它是系统的信息熵和信息增益的加权和。
复杂度的计算公式为C = H + E，其中C代表复杂度，H代表信息熵，E代表信息增益。
信息熵是系统的混乱程度，信息增益是系统的可预测性。
复杂度越大，表示系统越复杂。
在计算复杂度时，通常会考虑系统的信息熵和信息增益。
信息熵是系统的混乱程度，信息增益是系统的可预测性。
复杂度越大，表示系统越复杂。
在计算复杂度时，需要先确定系统的初始状态和最终状态，然后计算系统从初始状态到最终状态的信息增益，最后将信息熵和信息增益相加即可得到系统的复杂度。
需要注意的是，复杂度和熵都是描述物理系统无序程度的概念，但它们的计算方式略有不同。
复杂度更侧重于系统的结构和行为的复杂程度，而熵更侧重于系统的无序程度。
因子旋转_四次方最大旋转算法_概述说明以及解释
因子旋转四次方最大旋转算法概述说明以及解释1. 引言1.1 概述:在计算机科学领域，因子旋转算法是一种重要的算法，用于解决一类特定的问题。
其中，四次方最大旋转算法通过对因子进行旋转操作来实现对大型数据集的处理和优化。
本文将对因子旋转和四次方最大旋转算法进行详细的介绍和说明。
1.2 文章结构:本文分为五个主要部分：引言、因子旋转算法简介、因子旋转算法详细说明、实例应用和结果分析以及结论与展望。
在引言部分，我们将简要介绍背景和目的，并概括文章内容。
接下来，我们将深入探讨因子旋转算法，并详细解释其中的四次方最大旋转算法。
然后，我们将探讨该算法的实际应用场景，并通过案例分析和对比评价来验证其性能。
最后，在结论与展望中，我们将总结主要观点和发现结果，并提出未来相关研究的展望和建议。
1.3 目的:本文的目的是全面阐述因子旋转这一重要的计算机科学领域中的核心概念和技术方法。
具体而言，我们希望通过梳理和解释四次方最大旋转算法，将读者引入该算法的基本原理和实现细节。
此外，我们还将探讨该算法在实际问题中的应用，并评估其效果以及优缺点。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解因子旋转和四次方最大旋转算法，并为后续研究和应用提供参考。
以上是“1. 引言”部分的内容。
请根据需要进行修正或补充，并根据情况使用合适的结构和格式来组织文章的内容。
2. 因子旋转算法简介2.1 因子旋转算法概述因子旋转算法是一种用于优化计算的数学方法，通过将复杂的表达式分解成简单的乘积形式，从而减少计算量和复杂度。
该算法的核心思想是将因子按照一定规则进行旋转和组合，从而得到更简洁的形式。
2.2 四次方最大旋转算法简介四次方最大旋转算法是因子旋转算法中的一种特殊应用，它主要用于处理涉及到四次方幂运算的问题。
该算法通过将复杂数学表达式中存在的四次方项进行适当的变换，使之能够以更加高效和简洁的方式进行计算。
在四次方最大旋转算法中，首先需要确定待求解问题中存在哪些四次方项，并对其进行标记。
(完整word版)数据挖掘课后答案
第一章1．6(1)数据特征化是目标类数据的一般特性或特征的汇总。
例如，在某商店花费1000元以上的顾客特征的汇总描述是：年龄在40—50岁、有工作和很好的信誉等级。
（2）数据区分是将目标类数据对象的一般特性与一个或多个对比类对象的一般特性进行比较。
例如,高平均分数的学生的一般特点,可与低平均分数的学生的一般特点进行比较.由此产生的可能是一个相当普遍的描述，如平均分高达75％的学生是大四的计算机科学专业的学生，而平均分低于65%的学生则不是.（3)关联和相关分析是指在给定的频繁项集中寻找相关联的规则.例如，一个数据挖掘系统可能会发现这样的规则：专业（X，“计算机科学”)=〉拥有(X，”个人电脑“）[support= 12％，confidence = 98%]，其中X是一个变量，代表一个学生，该规则表明，98％的置信度或可信性表示,如果一个学生是属于计算机科学专业的，则拥有个人电脑的可能性是98%。
12％的支持度意味着所研究的所有事务的12％显示属于计算机科学专业的学生都会拥有个人电脑。
（4)分类和预测的不同之处在于前者是构建了一个模型(或函数），描述和区分数据类或概念，而后者则建立了一个模型来预测一些丢失或不可用的数据，而且往往是数值，数据集的预测。
它们的相似之处是它们都是为预测工具：分类是用于预测的数据和预测对象的类标签，预测通常用于预测缺失值的数值数据。
例如：某银行需要根据顾客的基本特征将顾客的信誉度区分为优良中差几个类别，此时用到的则是分类;当研究某只股票的价格走势时，会根据股票的历史价格来预测股票的未来价格，此时用到的则是预测。
（5）聚类分析数据对象是根据最大化类内部的相似性、最小化类之间的相似性的原则进行聚类和分组。
聚类还便于分类法组织形式,将观测组织成类分层结构，把类似的事件组织在一起。
例如：世界上有很多种鸟，我们可以根据鸟之间的相似性，聚集成n类，其中n可以认为规定. (6）数据演变分析描述行为随时间变化的对象的规律或趋势，并对其建模。
最小二乘法和theil-sen趋势估计方法_概述说明以及解释
最小二乘法和theil-sen趋势估计方法概述说明以及解释1. 引言1.1 概述引言部分将总体介绍本篇文章的研究主题和方法。
本文将探讨最小二乘法和Theil-Sen趋势估计方法，这两种方法旨在通过拟合数据来寻找变量间的关系，并用于预测和估计未来的趋势。
最小二乘法是一种常见且广泛应用的回归分析方法，而Theil-Sen趋势估计方法是一种鲁棒性更强的非参数统计方法。
1.2 文章结构引言部分还需要简要描述整篇文章的结构以供读者参考。
本文包含以下几个主要部分：引言、最小二乘法、Theil-Sen趋势估计方法、对比与对比分析、结论与展望。
每个部分将详细说明相关概念、原理及其在实际应用中的特点。
1.3 目的引言部分还需明确指出本文的目的。
本文旨在比较和对比最小二乘法和Theil-Sen趋势估计方法，评估它们在不同场景下的优缺点，并为读者提供选择适当方法进行数据拟合和趋势预测的依据。
此外，我们也会展望未来这两种方法的改进和应用领域扩展的可能性。
以上为“1. 引言”部分的详细清晰撰写内容。
2. 最小二乘法:2.1 原理介绍:最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于寻找一个函数（通常是线性函数）来逼近已知数据点的集合。
其基本原理是通过最小化实际观测值与模型预测值之间的残差平方和，寻找到使得残差最小化的系数，并将其作为估计值。
利用最小二乘法可以得到拟合直线、曲线或者更复杂的函数来描述数据点之间的关系。
2.2 应用场景:最小二乘法广泛应用于各种领域和行业，包括经济学、社会科学、物理学等。
例如，在经济学中，最小二乘法可以用于研究变量之间的关系以及预测未来趋势。
在工程领域，它可以用于建立模型并进行参数估计。
2.3 优缺点分析:最小二乘法具有以下优点：- 算法简单易行：只需要对数据进行简单处理即可求解出最佳拟合曲线。
- 表示能力强：可以适应不同类型函数的拟合。
- 结果一致性较好：针对相同数据集，得到的结果通常是一致的。
然而，最小二乘法也存在一些缺点：- 对异常值敏感：在数据集中存在离群值时，会对拟合曲线产生较大影响。
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第五章 组合优化问题的有效算法
5.1 几个重要算法的计算复杂度讨论
一、线性规划问题的单纯形算法不是多项式时间算法 Klee 和Minty 1972给出了第一这样的例子。
首先要有一个有界多面体，它有指数个顶点。
例如，一个立方体：
3,2,1,10=≤≤j x j
有23＝8个顶点。
d －维立方体：
d j x j ,,2,1,10L =≤≤
有d 2个顶点。
每一个顶点对应于},,,{21d x x x L 的一个子集，使得该子集中的元素等于1，其余为0。
对于2
1
0<
<ε，构造立方体： d
j x x x x j j j ,,3,2,1,1,
1111L =−≤≤≤≤−−εεε
这个有界多面体是d －维立方体的一个摄动，当0→ε时，它趋于d －维立方体。
为了把上述有界多面体化为标准形式，引进d 个松弛变量：
d s s s ,,,21L
和d 个剩余变量：
d r r r ,,,21L
因此，有d m 2=个方程，d n 3=个变量，最大化d x ，就构造出如下的线性规划问题：
对于2
1
0<<ε，在d 维空间中构造d 2个约束方程，d 3个变量的线性规划问题：
1x
0x
7
x
d
j s r x d
j s x x r x x s x r x x j j j j j j j j j d ,,2,1,
0,,,,3,2101min 111111L L =≥==++=−−=+=−−−−εεε (LP)
定理5.1 对于每个1>d ，存在线性规划问题，它有d 2个约束方程，d 3个变量，并且它的系数的绝对值为不超过4的整数。
当用单纯形算法解这个线性规划问题时，其迭代步数可以为12−d 步。
对单纯形算法的进一步讨论：
1．单纯形算法的变形可以改变选入或退出规则（转轴规则）以避免经过每一个
顶点。
但是，对于不同的变形的算法，可以找到不同的反例。
这使得我们相信单纯形算法及其变形都不是多项式算法。
2．这种怀的例子在真实问题中很少发生。
过去几十年的观察表明，对于中等规
模的实际问题，单纯形算法需要m 4至m 6的迭代步数来完成两阶段的计算。
据推测，当n 相对于m 来说较大时，迭代次数预计为m α，其中
⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
+<m n e 2log 2α
类似的结果已经用人工产生的概率分布的蒙特卡洛实验给予了证实。
因此，单纯形算法可以期望的计算量为 O(n m 2)。
二、组合优化问题原始－对偶算法的计算复杂度
1. 最短路问题的原始－对偶算法——Dijkstra 标号算法实现 多项式算法，计算复杂度为)(2n O 。
2. 最短路问题的Floyd-Washall 算法
不是原始－对偶算法，是多项式算法，计算复杂度为)(3n O 。
3. 最大流问题的原始－对偶算法——Ford-Fulkerson 标号算法实现
流网络),,,,(b A V t s N =的Ford-Fulkerson 标号算法可能永远不停止。
设所有弧的容量为整数，那么必有限步终止：
(1) 每次迭代所需要的计算复杂度为|)(|A O ：需要对节点进行检查和标号，),,,,(b A V t s N =的每一条弧),(v u 最多检查两次，一次检查v ，另一次检查u ，因此一次标号所需要的算术运算步数为|)(|A O ；另一方面，标号返回需)(p O 步完成，其中p 是发现增广路的长度（弧的条数）。
由于增广路上的节点不会重复出现，所以||V p ≤，所以每次迭代所需要的计算量为|)(||)||(|A O A V O =+。
(2) 算法的迭代步数)(S O ，其中S 为流的增广次数：由于所有弧的容量为整数以及算法每次迭代所得到的流也是整数，所以每次迭代流的值至少增加1。
所以，若最大流的值为v ，则v S ≤。
不能用问题的解值去估计算法的计算复杂度，而必须用例子的输入来表示。
因此，我们用
∑∈A
y x y x b ),(),(来代替v ，这是因为∑∈≤A
y x y x b v ),(),(。
(3)
整个算法的计算复杂度为⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛∑∈||),(),(A y x b O A y x 。
因此Ford-Fulkerson 标号算法不是多项式算法，是拟（伪）多项式算法。
因为算法的迭代步数S 可能会达到最大流的值v ，而最大流的值v 可以是例子输入的指数倍。
例如：
s
v
最大流值为2000。
从0流开始，应用标号算法：
第1次迭代，得到增广路),,,(t v u s ，流增加1，流值变为1； 第2次迭代，得到增广路),,,(t u v s ，流增加1，流值变为2； 第3次迭代，得到增广路),,,(t v u s ，流增加1，流值变为3； 第4次迭代，得到增广路),,,(t u v s ，流增加1，流值变为4；
∶ ∶
第2000次迭代，得到增广路),,,(t u v s ，流增加1，流值变为2000；
算法经过2000次迭代后终止。
若将1000改为M ，则Ford-Fulkerson 标号算法的迭代步数为M 2。
所以，在最坏情况下，Ford-Fulkerson 标号算法所需要的迭代步数是指数的。
4. 考虑Hitchcock 问题的αβ算法的计算复杂度。
三、其它一些常见组合优化问题的有效算法 z 最小生成树问题算法 z 匹配问题的算法 z …...。