数学分析试题与答案
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数学分析试题与答案 It was last revised on January 2, 2021
2014 ---2015学年度第二学期
《数学分析2》A 试卷
学院 班级 学号(后两位) 姓名
一. 判断题(每小题3分,共21分)(正确者后面括号内打对勾,否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续,则()x f 在[]b a ,上的不定积分()⎰dx x f 可表为()C
dt t f x
a +⎰( ).
2.若()()x g x f ,为连续函数,则()()()[]()[]⎰⎰⎰⋅=dx x g dx x f dx x g x f ( ).
3. 若()⎰+∞a
dx x f 绝对收敛,()⎰
+∞
a
dx x g 条件收敛,则()()⎰+∞-a
dx x g x f ][必然条件收
敛( ).
4. 若()⎰
+∞1
dx x f 收敛,则必有级数()∑∞
=1
n n f 收敛( )
5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛( ).
6. 若数项级数∑∞
=1n n a 条件收敛,则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大
( ).
7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同( ). 二. 单项选择题(每小题3分,共15分)
1.若()x f 在[]b a ,上可积,则下限函数()⎰a
x dx x f 在[]b a ,上( )
A.不连续
B. 连续
C.可.不能确定
2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等,则( )
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积;
B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()⎰⎰≠b
a
b
a
dx x g dx x f ;
C. ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()⎰⎰=b
a
b a
dx x g dx x f ;
D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.
3.级数()∑∞
=--+1
21
11n n n n
A.发散
B.绝对收敛
C.条件收敛
D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数,则下列说法正确的是( ) A.若0lim =∞
→n n u ,则级数∑
n
u 一定收敛;
B. 若1lim
1
<=+∞→ρn
n n u u ,则级数∑n u 一定收敛;
C. 若1,1<>∃+n n u u
N n N ,时有当,则级数∑n u 一定收敛;
D. 若1,1>>∃+n n u u
N n N ,时有当,则级数∑n u 一定发散;
5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的; B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的;
C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数;
D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的; 三.计算与求值(每小题5分,共10分)
1. ()()()n
n n n n n n
+++∞→ 211lim
2. ()⎰dx x
x 2cos sin ln 四. 判断敛散性(每小题5分,共15分)
1.dx x
x x ⎰
∞
+++-0
2
113
2.∑
∞
=1
!
n n n n 3. ()n
n
n n
n
21211
+-∑
∞
= 五. 判别在数集D 上的一致收敛性(每小题5分,共10分) 1.()()+∞∞-===
,,2,1,sin D n n
nx
x f n 2. (][)∞+⋃-∞-=∑,22,2
D x
n n
六.已知一圆柱体的的半径为R ,经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030 角向斜上方切割,求从圆柱体上切下的这块立体的体积。(本题满10分)
七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中(即底边在上),且上底边距水表面距离为10米,已知三角形底边长为20米,高为10米,求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分10分)
八. 证明:函数()∑=3
cos n
nx
x f 在()∞+∞-,上连续,且有连续的导函数.(本题满分9分)
2014 ---2015学年度第二学期
《数学分析2》B 卷 • 答案
学院 班级 学号(后两位) 姓名
一、判断题(每小题3分,共21分,正确者括号内打对勾,否则打叉) 1. 2. 3. 4.
5. 6. 7.
二.单项选择题(每小题3分,共15分) 1. B ; ; ; ;
三.求值与计算题(每小题5分,共10分)
1.dx e
x x x x
n
n ⎰
+∞→3
10
22
3
sin lim
解:由于⎰⎰
≤+≤3
10
310
223sin 0dx x dx e x x x n x
n
-------------------------3分
而 031
11lim
lim 1
31
=+=+∞→∞→⎰n n n n n dx x ---------------------------------4分
故由数列极限的迫敛性得: 0sin lim 3
10
22
3
=+⎰
∞→dx e
x x x x
n
n -------------------------------------5分
2. 设()
x x x f sin sin 2=
,求()dx x f x
x ⎰-1 解:令 t x 2sin = 得 ()dx x f x
x ⎰
-1=()()
t d t f t
t 222
2sin sin sin 1sin ⎰
-----------------2分
=tdt t t
t
t t cos sin 2sin cos sin ⎰