【最新】--圆与圆有关的位置关系1
《圆与圆的位置关系》
《圆与圆的位置关系》1. 外离、外切、相交、内切、内含（包括同心圆）这五种位置关系的定义：(1) 外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。
(2) 外切：两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切，这个惟一的公共点叫做切点。
(3) 相交：两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交。
(4) 内切：两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外，一个圆上的都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切，这个惟一的公共点叫做切点。
(5) 内含：两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含。
两圆同心是两圆内的一个特例。
2. 两圆位置关系的性质与判定：(1) 两圆外离<===> d>R+r(2) 两圆外切<===> d=R+r(3) 两圆相交<===> R-r<d<R+r (R≥r)(4) 两圆内切<===> d=R-r (R>r)(5) 两圆内含<===> d<R-r (R>r)3. 相切两圆的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
4. 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
随堂练习： 1、已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是2、已知相交两圆的半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长为6cm ，则这两个圆的圆心距是_____________．A BB ． 3 1 0 2 4 5 D ．3 1 0 245 A ． 3 1 0 2 4 5 C ．3、已知ABC △的三边分别是a b c ，，，两圆的半径12r ar b ==，， 圆心距d c =，则这两个圆的位置关系是 ．4、如图3，⊙ABC 三边与⊙O 分别切于D ，E ，F ，已知AB=7cm ，AC=5cm ，AD=2cm ，则BC=______．5、两圆的圆心坐标分别是（，0）和（0，1），它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切6、已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．内含C ．内切D ．外切7、 如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1m 的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是 ．8、一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线．若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，这两个圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切9、三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则此三个圆的半径分别为 ．10、两圆半径之比为3：2，当此两圆外切时，圆心距是10cm ，那么，当此两圆内切时，其圆心距为（ ）A ．大于2cm 且小于6cmB ．小于2cmC ．等于2cmD ．非以上取值范围11、已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为6和3，O 1、O 2的坐标分别是（5，0）和（0，6），则两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离12、R 、r 是两圆的半径（R ＞r ），d 是两圆的圆心距，若方程x 2－2Rx ＋r 2=d （2r －d ）有等根，则以R 、r 为半径的两圆的位置关系是（ ）A ．外切B ．内切C ．外离D ．相交【例4】已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ）A ．01d <<B ．5d >C ．01d <<或5d >D ．01d <≤或5d >【例5】已知⊙A 、⊙B 相切，圆心距为10cm ，其中⊙A 的半径为4cm ，求⊙B 的半径．3【例6】定圆O 的半径是4cm ，动圆P 的半径是1cm ．当两圆相切时，点P 与点O 的距离是多少？点P 可以在什么样的线上移动？【例7】如图，AB 既是⊙C 的切线也是⊙D 的切线，⊙C 与⊙D 相外切，⊙C 的半径r=1，⊙D 的半径R=3， 求四边形ABCD 的面积。
圆与圆的位置关系ppt
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数学应用 例1．判断下列两圆的位置关系： （1）(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16； （2）x2＋y2＋6x－7＝0与x2＋y2＋6y－27＝0．
2.2.3 圆与圆的
位置关系
探究一
圆与圆有哪几种位置关系？
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另一个
圆的外部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,每个
圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外切.
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一
A
B
设⊙A的半径为r1,⊙B的半径为r2,圆心距为d
1.⊙A和⊙B外离 d>r1+r2
A
B
设⊙A的半径为r1,⊙B的半径为r2,圆心距为d
d=r1+r2 2.⊙A和⊙B外切
A
B
设⊙A的半径为r1,⊙B的半径为r2,圆心距为d
3.⊙A和⊙B相交
︱r1-r2︱<d<r1+r2
Байду номын сангаас A
B
设⊙A的半径为r1,⊙B的半径为r2,圆心距为d
数学应用 例2 已知两圆半径分别为3和4，圆心的坐标 分别是（0，3）和（4，0），试判断这两圆 的位置关系.
y Y
3
5
0 4 x
x
独立作业
• p116
练习第2题。
4.⊙A和⊙B内切 d=︱r1-r2︱
A
B
圆与圆的位置关系 课件
梳理 (1)用几何法判断圆与圆的位置关系 已知两圆 C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22， 则圆心距d＝|C1C2|＝ x1－x22＋y1－y22 .
两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系 外离
内含
相交
内切
圆心距 与半径 的关系
d＞r1＋r2
(2)相交； 解 当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交， 此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.
(3)外离. 解 当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆外离， 此时a＞2或a＜－5.
反思与感悟 (1)利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤 ①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径. ②计算两圆圆心的距离d. ③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围， 必要时可借助于图形，数形结合. (2)应用几何法判断两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的， 要理清圆心距与两圆半径的关系.
类型三 圆系方程及应用 例4 求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2 －4y－6＝0的交点的圆的方程.
反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y ＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可.
d＜|r1－r2|
|r1－r2|＜d＜ d＝|r1－r2| r1＋r2
外切 d＝r1＋r2
图示
(2)用代数法判断圆与圆的位置关系 已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 将方程联立xx22＋ ＋yy22＋ ＋DD12xx＋ ＋EE12yy＋ ＋FF12＝ ＝00， ，
圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系两个圆有几种位置关系？在平面上，两圆的位置有：外离，外切，相交，内切、内含共五种位置关系．在平面内，两圆相对运动，可以得到下面不同的位置关系，如下图所示．(1)两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆外部时，叫做这两个圆外离．(2)两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一公共点叫做切点．(3)两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交．两个公共点都叫做交点．(4)两个圆有唯一公共点，并且除去这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一公共点叫做切点(要分清两圆外切、内切定义的区别)．(5)两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含．(6)两个圆同心是两圆内含的一种特例．观察上图，可以发现，当两圆的半径一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距)大小有关．设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么有：(1)两圆外离d＞R+r；(2)两圆外切d=R+r；(3)两圆相交R-r＜d＜R+r(R≥r)；(4)两圆内切d=R-r(R＞r)；(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)．由以上讨论可以知道平面上两圆位置关系的确定有两种方法．第一种方法利用两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义确定．记忆每个定义要结合图形记忆，要根据每种位置关系的特点记忆，要按照两圆的公共点个数记忆．第二种方法根据两圆位置关系，圆心距、半径的数量关系的定理记忆．要把两圆的位置关系的图形和两圆位置关系的定理有机的结合起来，能够看到两圆位置关系的图形就想起相应的两圆位置关系的定理；看到两圆位置关系的定理就想到相应的两圆位置关系的图形练习：1．两圆半径是R和r(R＞r)，圆心距是d，且R2＋d2-r2=2dR，则两圆的位置关系为 ( )(A)相交 (B)内切 (C)外切 (D)内切或外切∵ R2＋d2-r2=2dR ∴ R2-2dR＋d2=r2即(R-d)2=r2，±(R-d)=r∴ d=R-r或d=R＋r，故选(D)．2．如图⊙O1与⊙O2相交于A、B，直线AO1交⊙O1于C，交⊙O2于D，CB的延长线交⊙O2于E，连结DE．若CD=10．DE=6，求O1O2的长．解：连结AB、AE．3．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，CD是过A点的割线交⊙O1于C，交⊙O2于D，BE是⊙O2的弦，延长EB交⊙O1于F．求证：DE∥CF4．如图，已知⊙O1与⊙O2交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PA、PB的延长线分别交⊙O2于C、D，⊙O1的直径PE的延长线交CD于F．求证：PF⊥CD证明：连接AB、BE ∵ PE是⊙O1的直径∴∠PBE=90°∵ ABDC是⊙O2的内接四边形∴∠PBA=∠C ∵∠APF=∠ABE ∠PBA+∠ABE=∠PBE=90°∴∠C+∠APF=90°即 PF⊥CD5．如图1，已知⊙O与⊙A相交于B、C两点，过A作一直线交BC于F，交⊙A于D，交⊙O 于E．求证：AD2=AE²AF证明：方法一，如图1所示，连接AB、AC、EC∵ AB=AC ∴∠E=∠BCA ∵∠FAC=∠CAE ∴△ACF∽△AECAC2=AE²AF ∵ AD=AC ∴ AD2=AE²AF方法二，如图2所示，延长EA交⊙A于M，则AF²EF=BF²CF又∵ BF²CF=DF²MF∴ AF²EF=DF²MF ∴ AF²(AE-AF)=(AD-AF)(AF＋AM)=(AD-AF)(AF＋AD)∴ AE²AF-AF2=AD2-AF2∴ AD2=AE²AF6．如图，已知⊙O与⊙A交于B、C两点，A在⊙O上，AD是⊙O直径，AD交BC于M，AE是⊙O的弦，AE交BC于N，若AO=18cm，AN=6cm，AM=4cm，求AE的长．解：连接DE∵ AD是⊙O的直径∴∠E=90°，AD=2OA 又∵OA为两圆的连心线，BC是两圆的公共弦∴ AD⊥BC于M 即∠AMN=90°又∵∠NAM=∠DAE ∴△ANM∽△ADE7．如图1，PAC、PBD是圆的两条割线，⊙O经过点P、A、B 求证：OP⊥CD证法一：过P作切线MN，连结AB 则∠APM=∠ABP∵∠ABP=∠C，∴∠APM=∠C，∴ MN∥CD．∵ OP⊥MN，∴ OP⊥CD证法二：如图2延长PO交AB，CD于F、E，连结AB∵ PF是⊙O的直径，∴∠PAF=90°，∴∠APF＋∠AFP=90°∵∠AFP=∠ABP，∠ABP=∠C∴∠AFP=∠C ∴∠APF+∠C=90°∴ PE⊥CD8．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B，CE切⊙O1于点C，交⊙O2于D、E．求证：∠CAD＋∠CBE=180°．证明：连结AB．说明：如果⊙O1的切线CE与⊙O2也相切于E(D、E重合)，则∠CAE+∠CBE=180°吗？两圆相切的基本规律两圆相切有它的特殊性．如果知道或掌握这些特殊的性质，对解决关于两圆相切一类的问题是有很大帮助的．1．两圆相切，过切点的任意一条直线与这两圆相交，则两圆中过交点的直径互相平行．例如，如图1，⊙O1和⊙O2相切于点P，过P点的直线交⊙O1于A，交⊙O2于C，则直径AB 平行于直径CD．2．两圆相切，过切点的任一条直线被两圆截得的线段(弦)的比等于两圆半径(或直径)的比．3．两圆相切，过切点的任意二条直线与这两圆分别有两个交点，那么这两个交点的连线互相平行．例如，如图3，有AB∥CD．4．两圆相切，过切点的任意三条直线与两圆各有三个交点，那么这两圆中三个点连成的两个三角形相似，且相似比等于这两圆直线(或半径)的比．5．两圆相切，过切点的任意n条直线与两圆有n个交点，那么两圆中顺次连结n个交点所成的n边形相似，且相似比等于直径(或半径)的比．6．两圆相切，过切点的任意一直线与两圆相交，那么两圆中过交点的圆的切线互相平行．例如，如图6，过A点的切线l1和过B点的切线l2平行．7．两圆外切于一点，一条外公切线与这两圆各有一个切点，那么这三个切点连成的三角形是直角三角形．例如，如图7，ΔAPB是直角三角形．8．两圆外切，如果两条直径(每圆各一条)平行，那么连结两点的直线(每圆一点，且这两点在连心线的异侧)必过切点，例如，如图8，如果直径AB和CD平行，则AC(或BD)必过切点P．9．已知，如图9，⊙O1和⊙O2外切于点P，直线AB和CD分别是它们的外公切线，切点分别为A、B、C、D．过P点的内公切线交AB于M交CD于N，那么就有(1)AB=CD=MN．(2)AM=BM=PM=PN=CN=DN．10．两圆外切，一条外公切线的长是两个圆的直径(或半径)的比例中项．例如，如图10，设⊙O1的直径为d1，⊙O2的直径为d2，则AB是d1和d2的比例中项．11．两圆外切，以外公切线为直径的圆必与连心线相切于切点．例如，如图11，⊙O3是以AB为直径的圆，则⊙O3与O1O2相切于P．12．两圆相切，经过切点任作一条直线被两圆所截得的线段之比等于对应两圆半径之比．相交两圆中的不变量和不变关系为节省篇幅，题设中的“已知⊙O1和⊙O2相交于P、Q两点”均予省略．当其中一圆经过另一圆的圆心时，认为是相交的特殊情况．一、不变关系1．如图1，过P，Q引两圆的割线，交⊙O1于A，C，交⊙O2于B，D．则AC∥BD．提示∠APQ=∠C=∠D．本题存在很多的变式图形，结论均成立．2．如图2，过⊙O1上任一点M作MP，MQ，并延长交⊙O2于A，B两点，则MO1⊥AB．提示过M点作⊙O1的切线MT．则MT⊥MO1．又∠TMB=∠MPQ=∠B．∴AB∥MT．3．如图3，过点P引两圆的直径PA，PB．则A，Q，B三点共线．提示∠PQA=∠PQB=90°．4．如图4，过P点任作一直线交两圆于A，B．过A，B各作所在圆的切线，设它们交于点C．则A，C，B，Q四点共圆．提示∠CAB=∠AQP，∠CBA=∠PQB．所以∠C＋∠AQB=180°．5．如图5，设⊙O1过⊙O2的圆心O2，作⊙O2的弦O1C交⊙O1于D点，则点D为ΔPQC的内心．提示∠QPC=∠QO1C=2∠QPD．所以DP平分∠QPC．同理DQ平分∠PQC．二、不变量6．如图6，半径相等的两圆⊙O1和⊙O2交于P，Q，且其中一圆过另一圆的圆心，过Q点的任一直线交两圆于A，B．则ΔPAB为正三角形．提示ΔPO1O2为正三角形，∠PAQ=∠PBQ=60°．7．如图7，过P任作一直线交两圆于A，B．连QA，QB．则QA∶QB为定值．提示分别作⊙O1和⊙O2的直径QA',QB',连A'B',则ΔQAB∽ΔQA'B'．所以QA∶QB=QA'∶QB'为两圆直径比．8．如图8，M为半径是R的⊙O1上任一点，以M为圆心r为半径作圆．如果⊙M的切线交⊙O1于A，B两点．则不论A，B位置如何，MB²MA为定值．提示作⊙O1直径MN．设AB切⊙M于T点．连AN，AM，MT，MB．则ΔAMN∽ΔTMB．所以AM²BM=MN²MT=2Rr为定值．9．如图9,任作两圆的割线(不过P，Q)，交⊙O1于B，C，交⊙O2于A，D．则∠APB＋∠CQD=180°．提示∠B=∠PQC，∠A=∠PQD．10．如图10，过P任作两直线交⊙O1于A，B．交⊙O2于C，D．则BA，CD交角不变．提示设直线BA，CD交于E．∠PBQ=∠PAQ=α，∠PDQ=∠PCQ=β．故α，β为定角．∠E=180°-(∠EAC＋∠ECA)=180°-(∠BQP＋∠DQP)=180°-∠BQD=∠PBQ＋∠PDQ=α＋β为定值．。
圆与圆的位置关系有答案 (1)
4．2.2 圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含． 温馨提示：两不相等的两圆有以上五种位置关系，它们的公切线情况如下 (1)两圆相外离，有四条公切线； (2)两圆相外切，有三条公切线； (3)两圆相交，有两条公切线； (4)两圆相内切，有一条公切线； (5)两圆相内含，没有公切线． 2．圆与圆的位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2(r 1≠r 2)，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切内含图示D 与r 1、R 2的关系d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 d ＝|r 1－r 2|0<d < |r 1－r 2| C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)， C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程⎩⎨⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0.方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含圆系方程：(1)P 、Q 两点，则过交点P 、Q 的圆的方程可设为(x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F )＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )这些圆的圆心均在公共弦PQ 的垂直平分线上且以PQ 为直径的圆最小．(2)过C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1＞0)，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2＞0)交点的圆的方程可设为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)．当λ＝－1时，所设方程为两已知相交圆的公共弦所在的直线方程．类型一 圆与圆位置关系的判断【例1】 已知圆C 1：x 2＋y 2－2ax －2y ＋a 2－15＝0，C 2：x 2＋y 2－4ax －2y ＋4a 2＝0(a ＞0)． 试求a 为何值时两圆C 1、C 2(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[思路探索] 求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a 的值． 解 对圆C 1、C 2的方程，经配方后可得： C 1：(x －a )2＋(y －1)2＝16， C 2：(x －2a )2＋(y －1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，r 1＝4；C 2(2a,1)，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切， 当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切； (2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交； (3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离；(4)当0＜|C 1C 2|＜3，即0＜a ＜3时，两圆内含．[规律方法] 判断两圆的位置关系一般有两种方法：一是代数法，一是几何法，但因代数法运算繁琐，且容易出错，因此一般采用几何法．【活学活用1】 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＝0. (1)m ＝1时，圆C 1与圆C 2有什么位置关系？ (2)是否存在m 使得圆C 1与圆C 2内含？解 (1)∵m ＝1，∴两圆的方程分别可化为： C 1：(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， C 2：(x ＋1)2＋y 2＝1.两圆的圆心距d ＝(1＋1)2＋(－2)2＝2 2. 又∵r 1＋r 2＝3＋1＝4，r 1－r 2＝3－1＝2， ∴r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2， 所以圆C 1与圆C 2相交．(2)假设存在m 使得圆C 1与圆C 2内含， 则d ＝ (m ＋1)2＋(－2)2＜3－1， 即(m ＋1)2＜0，显然不等式无解． 故不存在m 使得圆C 1与圆C 2内含．类型二 两相交圆的公共弦问题【例2】 求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[思路探索] 将两圆方程相减，先得到公共弦所在直线的方程，再将两圆相交问题转化为直线与圆的相交问题求得公共弦长．也可以利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形这一性质求解．解 联立两圆的方程得方程组 ⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.两式相减得x －2y ＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程． 法一 设两圆相交于点A ，B 则A ，B 两点满足方程组 ⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二 由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5.设公共弦长2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.[规律方法] 求两圆的公共弦所在的直线方程时，若采用相减法，必须注意两圆方程中二次项的系数是否相同，只有二次项的系数相同时，才能利用相减法来处理．若二次项的系数不相同，需先将两圆的二次项的系数调整为相同．【活学活用2】 (1)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.(2)圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________．解析 (1)两圆方程相减得公共弦所在直线为y ＝1a(a ＞0)．由如图可知弦长|AB |＝23，又OB 为圆x 2＋y 2＝4的半径， ∴|OB |＝2，则|OC |＝1，即公共弦为y ＝1，即1a＝1，故a ＝1.(2)由题意圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 为x ＋y －1＝0.圆C 3的圆心为(1,1)，其到l 的距离d ＝12.由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234， ∴弦长为2×232＝23. 答案 (1)1 (2)23类型三 两圆的公切问题【例3】 已知圆O 1：x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋9＝0与圆O 2：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0.求圆O 1和圆O 2的公切线方程．[思路探索] 先判定两圆位置关系以确定公切线的条数，再设出公切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径求得公切线的方程，并注意考虑公切线斜率不存在的情况．解 圆O 1的圆心坐标为O 1(－1，－3)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标O 2(3，－1)，半径r 2＝3，则|O 1O 2|＞r 1＋r 2，∴两圆相离，有四条公切线，设公切线的方程为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧|－3＋k －b |1＋k 2＝1，①|3k ＋1＋b |1＋k 2＝3，②解得⎩⎨⎧k ＝0，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝－52，当斜率不存在时，x ＝0也和两圆相切，∴所求切线的方程为y ＋4＝0或4x －3y ＝0或x ＝0或3x ＋4y ＋10＝0.[规律方法] (1)此类问题首先根据两圆的位置关系确定公切线有几条，然后设出公切线方程再利用几何性质求出公切线方程． (2)当求出的公切线数目不够时，注意考虑斜率不存在的特殊情况，并找回特殊的公切线．【活学活用3】 (1)圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有________条． (2)已知动圆M 与y 轴相切且与定圆A ：(x －3)2＋y 2＝9外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是________． 解析 (1)∵C 1(－2,2)，r 1＝1，C 2(2,5)，r 2＝4 ∴|C 1C 2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r 1＋r 2＝5 ∴圆C 1、C 2外切，公共线有3条． (2)设点M (x ，y )，动圆的半径为r ， 由题意，得|MA |＝r ＋3且r ＝|x |，∴ (x －3)2＋y 2＝|x |＋3.当x ＞0时，两边平方化简得y 2＝12x (x ＞0)； 当x ＜0时，两边平方化简得y ＝0(x ＜0)． 答案 (1)3 (2)y 2＝12x (x ＞0)或y ＝0(x ＜0) 类型四 圆系方程的应用【例4】 求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的交点的圆的方程． [思路探索] 既可以先通过解方程组得到两圆的交点坐标再求解，也可以通过经过两圆交点的圆系方程求解． 解 法一 解方程组 ⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，得交点坐标分别为(0,2)，(－4,0)． 设所求圆心坐标为(a ，－a )，则有a 2＋(－a －2)2＝(a ＋4)2＋a 2＝r ， 解得a ＝－3，r ＝10，因此所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.法二 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋(2λ－2)x ＋(2λ＋10)y －8λ－24＝0，因为这个圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， 所以(2λ－2)＋(2λ＋10)＝0，解得λ＝－2. 所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.[规律方法] 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程问题利用圆系方程可避开求交点的复杂计算，因而常被采用． 【活学活用4】 (1)求过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程． (2)若圆C 过点(0,2)及直线x －2y ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点，求圆C 的方程．解 (1)设过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＋λ(x 2＋y 2－6x )＝0， 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－(4＋6λ)x ＋2y ＋1＝0.把(2，－2)代入得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，解得λ＝－34.∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝0.(2)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －4y －4＋λ(x －2y )＝0.又圆C 过点(0,2)，代入上述方程得－8－4λ＝0，即λ＝－2.故圆C 的方程为x 2＋y 2－4＝0.易错辨析 因忽略内切情形而致错【示例】 求半径为4，与圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．[错解] 由题意，设所求圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝16，因为圆C 与直线y ＝0相切，且半径为4，故b ＝±4，所以圆心坐标为C (a,4)或C (a ，－4)．又已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，设圆心坐标为A (2,1)，半径为3.若两圆相切，则|CA |＝4＋3＝7.(1)当取C (a,4)时，(a －2)2＋(4－1)2＝72，故a ＝2±210，此时圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16.(2)当取C (a ，－4)时，(a －2)2＋(－4－1)2＝72，故a ＝2±26，此时圆的方程为(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.综上，所求圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16或(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.[错因分析] 上述解答由于思维定势，想当然认为两圆外切只考虑|CA |＝4＋3＝7，遗漏掉了|CA |＝4－3＝1的情况，本例另一种常见错误是忽略圆心在x 轴下方的情况从而导致所求方程个数丢失一半．[正解] 由题意，设所求圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝16，因为圆C 与直线y ＝0相切，且半径为4，故b ＝±4，所以圆心坐标为C (a,4)或C (a ，－4)．又已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，设圆心坐标为A (2,1)，半径为3.若两圆相切，则|CA |＝4＋3＝7或|CA |＝4－3＝1.(1)当取C (a,4)时，(a －2)2＋(4－1)2＝72或(a －2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故a ＝2±210，此时圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16.(2)当取C (a ，－4)时，(a －2)2＋(－4－1)2＝72或(a －2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a ＝2±26，此时圆的方程为(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.综上，所求圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16或(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.[防范措施] (1)涉及到两圆相切的情况，要考虑分清是内切还是外切，切莫将外切等同于相切，以免出现知识性错误． (2)可通过作图思考有哪些情况，以避免遗漏某些情形.课堂达标1．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )．A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝ 42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．答案 B2．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( )． A ．(1,0)和(0,1) B ．(1,0)和(0，－1) C ．(－1,0)和(0，－1) D ．(－1,0)和(0,1)解析 由⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0.答案 C3．圆x 2＋y 2＝1与圆(x －1)2＋y 2＝1的公共弦所在的直线方程为________．解析 设两圆相交于A 、B 两点，则A 、B 两点满足⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，(x －1)2＋y 2＝1.两式相减得－2x ＋1＝0，即x ＝12.答案 x ＝124．圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4相切，则m 的值为________．解析 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9的圆心为(－2，m )，半径长为3，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m ，－1)，半径长为 2.当C 1、C 2外切时有(－2－m )2＋(m ＋1)2＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0，解得m ＝2或m ＝－5；当C 1、C 2内切时有(－2－m )2＋(m ＋1)2＝3－2，即m 2＋3m ＋2＝0解得m ＝－1或m ＝－2. 答案 －5，－2，－1,25．求以点(－3,4)为圆心且与圆x 2＋y 2＝4相外切的圆的标准方程． 解 设所求圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝r 2(r ＞0)， 由两圆相外切可知 (－3)2＋42＝2＋r ，解得r ＝3. 故所求圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝9.§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 解析 法一 (直接法)集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22＜1＝r ，所以直线与圆相交，故选C. 法二 (数形结合法)画图可得，故选C. 答案 C【点评】 本题法二采用数形结合法求解与法一比较显得更容易、更直观.2．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2D ．3解析 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1. 分别令x ＝0，y ＝0得A (1x 0，0)，B (0，1y 0)，∴|AB |＝1x 02＋1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2. 答案 C3．若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围( )． A ．－2－5＜a ＜－2＋ 5 B ．－2－5≤a ≤－2＋ 5 C ．－5≤a ≤ 5D ．－5＜a ＜ 5 解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a ＋2|5≤1， 解得－2－5≤a ≤－2＋ 5. 答案 B4．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )． A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2解析 设与两坐标轴都相切的圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，将点(4,1)代入得a 2－10a ＋17＝0，解得a＝5±22，设C 1(5－22，5－22)，则C 2(5＋22，5＋22)，则|C 1C 2|＝32＋32＝8. 答案 C5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )． A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C.[]－3，3D.⎣⎡⎦⎤－23，0 解析 如图，若|MN |＝23，则由圆与直线的位置关系 可知圆心到直线的距离满足d 2＝22－(3)2＝1.∵ 直线方程为y ＝kx ＋3，∴d ＝|k ·2－3＋3|1＋k2＝1，解得 k ＝±33.若|MN |≥23，则－33≤k ≤33. 答案 B6．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a ，b 满足的关系是( ) A ．a 2＋2a ＋2b －3＝0B ．a 2＋b 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0D ．a 2－2a －2b ＋5＝0解析 即两圆的公共弦必过(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0. 答案 C 7.直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是（ ） A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案 B 二、填空题8．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析 由题可知，设圆心的坐标为(a,0)，a >0，则圆C 的半径为|a －1|，圆心到直线l 的距离为|a －1|2，根据勾股定理可得，(|a －1|2)2＋(2)2＝|a －1|2，解得a ＝3或a ＝－1(舍去)，所以圆C 的圆心坐标为(3,0)，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为x ＋y －3＝0. 答案 x ＋y －3＝09．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________． 解析 将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，∴|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，∴k ＝1或k ＝177.答案 1或17710．已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，|OA →＋OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是________．解析 方法1：将直线方程代入圆的方程得2x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝4m 2－8(m 2－2)>0得m 2<4，即－2<m <2.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－22，|OA →＋OB →|≥|AB →|即|OA →＋OB →|≥|OB →－OA →|，平方得OA →·OB→≥0，即x 1x 2＋y 1y 2≥0，即x 1x 2＋(m ＋x 1)(m ＋x 2)≥0，即2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2≥0，即2×m 2－22＋m (－m )＋m 2≥0，即m 2≥2，即m ≥2或m ≤－ 2.综合知－2<m ≤－2或2≤m <2.方法2：根据向量加减法的几何意义|OA →＋OB →|≥|AB →|等价于向量OA →，OB →的夹角为锐角或者直角，由于点A ，B是直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可，也即m 满足1≤|m |2<2，即－2<m ≤－2或者2≤m <2. 答案 (－2，－2]∪[2，2)11．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________． 解析 (数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0 可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3. 在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3，∴所求劣弧长为2π. 答案 2 π【点评】 数形结合法是把题中的“数”与“形”有效结合，相辅相助，解题方便、直观，在圆的有关问题中较为常见.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13.答案 (－13,13) 三、解答题13．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.14．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解析 假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB . 设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0① 由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)．③ 把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.。
与圆有关的几种位置关系
圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含。
设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
则有以下五种关系：
1、d>R+r两圆外离；两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。
2、d=R+r两圆外切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。
3、d=R-r两圆内切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。
4、d＜R-r两圆内含；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。
5、d＜R+r两园相交；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。
扩展资料
圆的性质：
1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
2、有关圆周角和圆心角的性质和定理。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
初中数学知识点精讲精析 圆和圆的位置关系
3·6圆和圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．(2)相交2.两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．3.在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A ＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d＝R+r当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d ＝R-r．设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么(1)两圆外离d＞R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-r＜d＜R=r(R≥r)(4)两圆内切d=R-r(R＞r)(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)同心圆d=04.定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．1.两个同样大小的肥皂泡黏(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．【解析】∵OP ＝OO′＝PO′，∴△PO′O是一个等边三角形．∴∠OPO′=60°．又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=∠NPO′=90°．∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°．2．如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？【解析】(1)设⊙O与⊙P外切于点A．∴ PA=OP-OA=8-5，∴ PA=3cm．(2)设⊙O与⊙p内切于点B．∴ PB=OP+OB=8+5，∴ PB=13cm．（3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．3．求证：四边形ABCD是等腰梯形．分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．【解析】证明：连结O1O2，∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，∴ AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．∴ AB∥CD．在⊙O2中，∵AB∥CD，又∵ AB≠CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．【解析】证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，又∵ PA⊥MN，∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，∴ AC=AD．∴ AM=AN．。
平面几何的圆与圆的位置关系
平面几何的圆与圆的位置关系在平面几何中，圆与圆之间的位置关系是一个重要的研究课题。
通过对圆的直接观察和分析，我们可以得出各种不同的圆与圆之间的位置关系，并应用于实际生活中的问题。
本文将介绍几种常见的圆与圆的位置关系，并探讨它们的性质和应用。
一、相离关系相离是最简单的圆与圆的位置关系，它表示两个圆之间没有交集，彼此之间没有任何联系。
在平面上任意取两个半径不相等的圆，它们之间总是相离的。
这种位置关系在实际中有很多应用，比如电视塔的防碰撞设施设计，道路交通规划等。
二、外切关系外切是指两个圆相切于它们的外公切线。
在平面上取两个半径相等的圆，它们之间的位置关系就是外切。
外切关系有很多有趣的性质，比如外切圆的半径相等、切线垂直于半径以及外切圆与两个圆的中心连线共线等等。
这些性质在工程中的应用十分广泛，比如汽车轮胎与地面的接触、齿轮的传动等。
三、相切关系相切是指两个圆相切于它们的内公切线。
在平面上取两个半径不相等的圆，它们之间的位置关系就是相切。
相切关系也有其独特的性质，比如相切圆的切点与两个圆的圆心连线共线、相切圆的切线平行等等。
这些性质在物体之间的接触、接口设计等领域具有重要意义。
四、内含关系内含是指一个圆完全位于另一个圆内部。
在平面上取两个半径不相等的圆，大圆完全包围住小圆，它们之间的位置关系就是内含。
内含关系也有其自身的性质，比如内含圆的半径比大圆小、内含圆的圆心位于大圆的圆心等。
这些性质在实际中的应用非常广泛，比如密封件的设计、装配配件的设计等。
五、相交关系相交是指两个圆在平面上有公共的交点。
在平面上取两个半径不相等的圆，它们之间的位置关系就是相交。
相交关系有多种情况，比如两个圆有两个交点、一个交点以及无交点等等。
这些性质在几何问题的求解中起到重要作用，比如圆的相交面积计算、几何运动的轨迹分析等。
通过对平面几何中圆与圆的位置关系的研究，我们可以了解到它们的性质与应用。
这些位置关系在实际中有着广泛的应用，比如建筑设计、机械制造、电子工程等等。
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一、垂径定理
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
21022314/25/2678999887765拭目以欢迎待04263班4的56同7学81们2！注意听课，
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４、垂径定理：_______________。
５、半圆或直径所对的圆周角都是_____。
６、９０°的圆周角所对的弦是_____。
７、在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____， 都等于该弧所对的_____的一半，相等的圆周角所对 的____相等。
切线的判定定理
• 定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.
如图
∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA,
∴ CD是⊙O的切线.
●O
C
A
D
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（１）定义
（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r
（３）切线的判定定理：经过半径的外端, 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
如① ②
③
① ③
②
② ③
①
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积极思考呵！
1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的 弦BC与小圆相切，则BC=_____ cm；
2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆
中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点， A
P
B
设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；
3、圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可 以是（ ）
A、1∶2∶3∶4
B、1∶3∶2∶4
C、4∶2∶3∶1
D、4∶2∶1∶3
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练：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r， Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值 范围是＿r＿<O＿P<＿R＿.
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2、垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
A
┗●
M
●O
B
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
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C
A M└
B
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦；
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积极思考呵！
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分 别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 （）
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM= _____ cm.
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一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ × ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点．
（√ ）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
半径 6.5cm ，内切圆半径 2cm ；
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比 2:1 ．
三、选择题：
下列命题正确的是（ C ）
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
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二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两 条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
D
A
O
B
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考呵！
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5、两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽度
为__1___ cm；
6、如图1,已知⊙O，AB为直径，AB⊥CD，垂足为E，由图
你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出
来
；
7、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆
B
●O
┏
A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
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三、圆周角定理及推论
D
C
C
B
E
●O A
●O
BA
●O
B
A
C
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧 所对的圆心角的一半.
O
3、下列四个命题中正确的是（ ）．
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的 半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的距离等于半径 的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此 直径的直线是该圆的切线．
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
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柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽AB=60
cm，则污水的最大深度为 10
cm；
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A
C
E
D
O
m
n
B
图1
O
A
B
图2
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四、点和圆的位置关系
.o .p r
.p .o
Op＜r Op=r Op＞r
点p在⊙o内 点p在⊙o上 点p在⊙o外
.o .p
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推论:直径所对的圆周角是 直角 .
90°的圆周角所对的弦是 直径 .
判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×)
(2)相等的圆周角所对的弧相等. (×)
(3) 等弧所对的圆周角相等.
(√)
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1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，
实质
性质
三角形的外心 三角形三边垂直平分线的交点
到三角形各顶点 的距离相等
三角形的内心
三角形三内角角平分线的交点
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到三角形各边的 距离相等
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三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
锐角三角形的外心位于三角形内,
●O
B
C
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
O
P
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五.直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
1、直线和圆相交
d < r;
2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
d = r; d > r.
r ●O
d
┐ 相离
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不在同一直线上的三个点确定一个圆
（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角 形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）
反证法的三个步骤： 1、提出假设 2、由题设出发，引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内 对角
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切线长定理及其推论:
从圆外一点向圆所引的两条切线长
相等;并且这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角.
∵PA,PB切⊙O于A,B
P
1 2
A ●O
∴PA=PB ∠1=∠2
B
直角三角形的内切圆 半径与三边关系.
r abc. A 2
D
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－－圆、与圆有关的位置关系（1）
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圆的相关概念
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2
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一、知识点：
１、圆的基本元素: 圆心、半径。
２、圆的对称性: 圆的旋转对称性、圆是中心对称图形、圆 是轴对称图形。 3、圆周角、圆心角、弦、弦心距的关系: 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦、 所对弦心距的也相等。 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦、两条 弦心距中有一组量相等,那么它 们所对应的其余各组量都分 别相等。 4、过三点的圆:
ADABACBC 2
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