风险决策问题作业

风险决策问题作业文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
习题：某农民拟在两种作物中选择一种。

若旱年1θ占60%，正常年景2θ占40%；种植耐旱作物1a 以及种植不耐旱作物2a 的后果矩阵为（单位：万元）：
)1(156.1)(02.0y e y u --=（单位：万元），问该农民应该采取什么行动画出该决策问题的决策树。

2．设气象预报的准确性是，即
8.0)(8.0)(2211==θθx p x p 。

其中：1x 表示预报干旱；2x 表示预报正常年景。

⑴ 画决策树； ⑵ 求后验概率；
⑶ 进行正规型贝叶斯分析，求贝叶斯规则； ⑷ 讨论两种扩展型贝叶斯分析；
⑸ 分析气象预报费用与是否进行气象预报的关系。

求解：
1. 设该农民的效用函数为)1(156.1)(0
2.0y e y u --=（单位：万元），问该农民应该
采取什么行动画出该决策问题的决策树。

解：已知农民的效用函数为)1(156.1)(02.0y e y u --=，
令：l(y)= 1-u(y),则损失函数
y
y y e
e e y l 02.002.002.0156.1156.0 156.1156.11)1(156.11)(---+-=+-=--=
其效用函数和损失函数图形如下所示。

在无观察时，l R =，)(),(),(1
1l n
i l i a l a r θπθπ∑==，已知6.0)(1=θπ，4.0)(1=θπ，
则：)(),()(),(),(2121111θπθθπθπ⋅+⋅=a l a l a r
= ×+×= = ×+0×=
风险r 小者优,所以1a =δ为贝叶斯规则, 即贝叶斯行动。

即应选择耐旱作物。

2．设气象预报的准确性是，即
8.0)(8.0)(2211==θθx p x p 。

其中：1x 表示预报干旱；2x 表示预报正常年景。

解：（1）画决策树 （2）求后验概率 已知8.0)(8
.0)(2211==θθx p x p ，则在状态1θ和2θ下出现1x 和2x 的条件概率
2,1,2,1),(==j k x p j k θ如下：
根据：∑=
i
i i k
k x
p x m )()()(θπθ，
得：)()|()()|()(2211111θπθθπθx p x p x m +== ，)(2x m = ； 其后验概率分别为：
⑶ 进行正规型贝叶斯分析，求贝叶斯规则；
根据：∑∑=j
k
j j k k i j i x p x l r )()())(,(),(θπθδθδπ
策略1δ：)(111x a δ=，)(212x a δ=。

=××+××+××+××
=
策略2δ：)(221x a δ=，)(122x a δ=。

= ××+××+××+×× =
策略3δ：)(131x a δ=，)(132x a δ=，
=××+××+××+×× =
策略4δ：)(241x a δ=，)(242x a δ=，
=××+××+××+×× =
因为：),(),(),(),(2431δπδπδπδπr r r r <<<， 所以：2431δδδδ ，1δ是贝叶斯行动。

⑷讨论两种扩展型贝叶斯分析 扩展型之一：
或
∑Θ
∈i j j
x p x l θ
θπθδθ)()())(,(
给定1x (预报干旱) ：
采用1a ： )()(),()()(),(2211211111θπθθθπθθx p a l x p a l r +='
= ××+××=
采用2a ：)()(),()()(),(2212211121θπθθθπθθx p a l x p a l r +=' = 1××+0××=
根据“风险小者优”得：给定1x 应选1a 。

给定2x (预报天气正常) ：
采用1a ，)()(),()()(),(2221211211θπθθθπθθx p a l x p a l r +='
=××+××=
采用2a ，)()(),()()(),(2222211221θπθθθπθθx p a l x p a l r +='
=1××+0××=
根据“风险小者优”得：给定2x 应选2a 。

由此得Bayes 策略 πδ为：)()(2211x a x a ππδδ==。

扩展型之二：
⎰=''θ
θθπθd x a l r )(),( 或 ∑Θ
∈i x a l j j θθπθ)(),(
给定1x (预报干旱)：
采用1a ：)(),()(),(12
121111x a l x a l r θπθθπθ⋅+⋅=''
= ×+×=
采用2a ：)(),()(),(12
221121x a l x a l r θπθθπθ⋅+⋅=''
= ×+0×= ，
根据“风险小者优”得：给定1x 时应选行动1a 。

给定2x (预报天气正常)：
采用1a ，)(),()(),(22
122111x a l x a l r θπθθπθ⋅+⋅=''
=×+×= ；
采用2a ：)(),()(),(22
122111x a l x a l r θπθθπθ⋅+⋅=''
=×+0×= 。

得：给定2x 时应选择行动2a 。

由此得Bayes 策略πδ为：)()
(2211x a x a ππ
δδ==。

⑸分析气象预报费用与是否进行气象预报的关系
根据：)],(m i n [)],([m i n a l E a l E EVPI A
a A
a θθπ
π∈∈-=
且：
448
.00.6} {0.448,min )}
,([),,([min{)],([min 21===∈a l E a l E a l E A
a θθθπππ
)),(min (a l E A
a θπ∈=)(),()(),(222111θπθθπθa l a l +
= ×+0×= 有：EVPI=（万元）
故：当气象预报费用小于等于（万元），即760元时，可以采用天气预报。

又根据：))]
(,([min )],([min EVSI x l E E a l E X
A
a δθθθπδπ∆
∈∈-=
且
448
.00.6} {0.448,min )}
,([),,([min{)],([min 21===∈a l E a l E a l E A
a θθθπππ
=
则：EVSI= 故该天气预报信息值得花钱。

根据效用函数)1(156.1)(02.0y e y u --=，其效用值为： 3811.0)1(156.1)1(156.1)(2002.002.0111111
=-⨯=-=⨯-e e y u y ；
已知：6.0)(1=θπ，4.0)(1=θπ，再用L=-u 表示损失，则该农民的在各状态下采用各个行动的损失值及主观概率如下：
根据贝叶斯原则，因为)()(21a E a E <，所以有21a a ，农民该选择种植耐旱作物。

其决策树为：
Y 12 =60 L 12=
Y 21 =0， L 21=0
Y 11 =20 ，L 11=。