特殊平行四边形培优提高练习
1.如图，等腰梯形 ABCD 中，AB // CD ,对角线 S 、
P 、Q 分别是 OD 、OA 、BC 的中点。
求证：△ PQS 是等边三角形；
2 <2>如图，四边形 ABCD 求证：AE = AF 。
2 <3>过正方形ABCD 的顶点
作菱形CAF e,求证：AE 及AF 三等分/ BAC
(2) AB = 8, CD = 6，求 S PQS 的值。
(3) S PQS : S AOD =4 : 5，求 CD ： AB 的值。
丿O / / K- / P C S 2 <1>如图， 求证：CE = CF o 四边形ABCD
为正方形，DE // AC , AE = AC , AE 与CD 相交于F . E AC 、BD 相交于点 O ,/ ACD = 60°，点 (1)
为正方形，DE // AC , 且CE = CA ，直线EC 交DA 延长线于
3.如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点(不与点B重合)，连结AD，作BE AD，垂足为E，连结CE，过点E作EF CE，交BD 于F •
(1)求证：BF FD ; (2) A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说理；
(3) A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG - DA，并说理。
4.如图所示，在△ ABC中，分别以AB AC BC为边在BC的同侧作等边△ ABD等边△ ACE 等边△ BCF
(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；
(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)
①当△ ABC满足___________________________ 条件时，四边形DAEF1矩形;
②当△ ABC满足__________________________ 条件时，四边形DAEF1菱形；
③当△ ABC满足_________________________ 条件时，以D A E、F为顶点的四边形
不存在.
5.如图, E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且
上取一点G,使AG = AD , EG与DF相交于点H。
求证：AH = AD。
6.若以直角三角形ABC的边AB为边，在三角形高，
延长FA使AG=BC求证：BG=CD
B F C
7.在四边形ABCD中，AB=CD P、Q分别是AD BC中点，M N分别是对角线AC BD的中点, 求证：PQ MN。
A
8.平行四边形ABCD中, EF平行于对角线AC且与AB BC分别交于E、F,求证：S ADE =S CDF
9.在梯形ABCD中, AB// CD, M 是BC 边的中点，且MNAD 于N,求证：S ABCD =MN- ADb
A。
特殊的平行四边形提优训练
八上数学提优训练11．( 江苏苏州)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 边上的中点．若∠ABE=∠EBC ，AB=2， 则平行四边形ABCD 的周长是 ．2.（ 湖南衡阳）如图，在□ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=24，则ΔCEF 的周长为（ ） A.8 B.9.5 C.10D.11.53.（ 山东滨州）如图,平行四边形ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上,AE ∥BD,EF ⊥BC,DF=2,则EF 的长为 .4.（ 福建晋江）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) .A. 669B. 670C.671D. 6725.（ 山东荷泽）如图，矩形纸片ABCD 中， AB ＝4，AD ＝3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，记与点A 重合点为A ＇，则△A ＇B G 的面积与该矩形的面积比为C ．81D ．61 A ． B ． 6.（ 青海西宁） 矩形ABCD 中，E 、F 、M 为AB 、BC 、CD 边上的点，且AB=6,BC=7,AE=3,DM=2,EF⊥FM,则EM 的长为（ ）A ．5B ．25C ．6D ．26八上数学提优训练2第4题图A B C DGA 121917．用边长为1的正方形覆盖33⨯的正方形网格,最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．68.（ 广东茂名）如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形'''D C AB ，边''C B 与DC 交于点O ，则四边形OD AB '的周长．．是 A ．22 B ．3 C ．2 D ．21+9.．（ 广西柳州）如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ，则∠AEB 的度数为 A ．10° B ．12.5° C ．15° D ．20°10．（ 广西柳州）如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则AM 的长是 A ．1.5 B ．2 C ．2.25 D ．2.511.（ 广西河池）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法： ①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=.其中说法正确的是 【 】A ．①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④12.（ 吉林）如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A’，D’处，则整个阴影部分图形的周长．．为（ ） A ．18cmB ．36cmC ．40cmD ．72cm八上数(第8题图)'DA BCDMNA 'B 'yx学提优训练313.（ 山东威海）从边长为a 的大正方形纸板中间挖去一个边长为b 的小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯形﹙如图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚．现有一平行四边形纸片ABCD ﹙如图③﹚，已知∠A ＝45°，AB ＝6，AD ＝4．若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为 ．14．（ 浙江嘉兴）如图，已知菱形ABCD 的一个内角︒=∠80BAD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在AB 上，且BO BE =，则EOA ∠= ▲ 度．15．（ 年上海）已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图所示） 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________. 16.（ 山东青岛）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．17.（ 四川宜宾）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE =∠BAP ；⑤PD = 2EC ．其中正确结论的序号是 ．图 ② 图 ①a A图 ③BC（第13题图）A BCE 'A （'B ） DEDCBA FFD基本图形:1.等腰三角形地边上的任意一点2.最短距离PA+PB3.中点四边形4.动点问题18．如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB、CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2,那么矩形ABCD的面积是（）A．21cm2B．16cm2C．24cm2D．9cm219.（嵊州市）已知：在四边形ABCD中，A D∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD 上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。
部编数学八年级下册考前必做30题之特殊的平行四边形小题培优提升(压轴篇八下册人教)2023复习含答案
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题6.4考前必做30题之特殊的平行四边形小题培优提升（压轴篇，八下人教）一、单选题1．（2022春·广东河源·八年级校考期末）已知菱形的周长等于40cm，两对角线的比为3:4，则对角线的长分别是（）A．12cm，16cm B．6cm，8cmC．3cm，4cm D．24cm，32cm【答案】A【分析】根据菱形的周长可以计算菱形的边长，因为菱形的对角线互相垂直，所以△ABO为直角三角形，设菱形的对角线长为2x、2y,则x:y＝3:4，且在Rt△ABO中，x2＋y2＝102，求得x、y即可解题．【详解】解：如下图所示，菱形的周长为40cm,则菱形的边长为10cm,菱形的对角线互相垂直，所以△ABO为直角三角形，设菱形的对角线长为2x、2y,则x:y＝3:4，在Rt△ABO中，x2＋y2＝102解得x＝6cm，y＝8cm,故对角线长为12cm，16cm．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，菱形各边长相等的性质，菱形对角线互相垂直平分的性质，本题中根据x、y的关系式求x、y的值是解题的关键．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，DB=8，AE⊥BC于点E，则AE=（）A．6B．8C．245D．485【答案】C3．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（ ）A．6B．5C．6013D．6012在矩形ABCD中，AB=5,BC4．（2023春·八年级单元测试）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=6，则四边形EFGH的面积是（）A．34B．36C．40D．1005．（2022秋·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，DM=1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（ ）A．3B．4C．5D．6则BM的长即为DN+∵四边形ABCD是正方形，∴AC是线段BD的垂直平分线，6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形C．如果AD=EF，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形7．（2023春·八年级单元测试）如图，E、F、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD上的点，连接DF，HE，且HE=DF，DG平分∠ADF交AB于点G．若∠BEH=52°，则∠AGD的度数为（）A．26°B．38°C．52°D．64°【答案】D【分析】过点H作HM⊥AB，由正方形的性质BC=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，AD∥BC，四边形BCHM为矩形，利用HL易证得△HEM≌△DFC，可得∠BEH=∠DFC=52°，进而可得∠ADF=∠DFC=52°，由角平分线可得的∠ADG度数，即可求得得∠AGD度数．【详解】解：过点H作HM⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，AD∥BC∵HM⊥AB，则四边形BCHM为矩形，∴MH=BC=DC，∵HE=DF，∴△HEM≌△DFC（HL），∴∠BEH=∠DFC=52°，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC=52°，又∵DG平分∠ADF，8．（2023春·八年级单元测试）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，甲、乙两人有如下结论：甲：若四边形ABCD是边长为1的正方形，则四边形PQMN必是正方形；乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是边长为1的正方形．下列判断正确的是（）A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确【答案】D【分析】根据AB=BC=CD=AD=1，求出AQ和AP的值，根据勾股定理求出PQ的值，即可判断甲是否正确，若平行四边形PQMN为正方形，根据边的关系可以求出AB=CD=AD=BC=1且四个角都是直角，即可判断乙是否正确．【详解】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴AB=BC=CD=AD=1，∠BAD=90°，∴AQ=4−1=3，AP=3+1=4，∠PAQ=90°，∴P Q2=A Q2+A P2=25，∴PQ=5，同理MN=5，∴四边形PQMN是菱形，在△QMD和△PQA中，MQ=QPMD=QA，DQ=AP∴△QMD≌△PQA(SSS)，∴∠MQD=∠APQ，∵∠AQP+∠QPA=90°，∴∠AQP+∠MQD=90°，∴∠MQP=90°，则四边形PQMN必是正方形；∴甲正确；若四边形PQMN为正方形，则PQ=PN=MN=MQ=5，且∠QMD+∠MQD=∠QAP=∠AQP+∠QPA=90°，在△QMD和△PQA中，∠QMD=∠AQPMQ=PQ，∠MQD=∠QPA∴△QMD≌△PQA(ASA)，∴QD=AP=4，同理QD=AP=MC=BN=4，又∵BP=MD=AQ=3，∴QD−AD=PA−AB，∴AB=AD=1，同理AB=CD=AD=BC=1，即四边形ABCD为菱形，∵∠DAB=180°−∠QAP=90°，则四边形ABCD必是边长为1的正方形，∴乙正确，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．9．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ=2，当BP=（）时，四边形APQE的周长最小．A．3B．4C．5D．【答案】B【分析】在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过F 点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，此时四边形APQE的周长最小，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，先求出∠CEQ=45°，得出CE=CQ=2，设BP=x，则CQ=BC−BP−PQ=8−x−2=6−x，列出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：如图，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过F点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，此时四边形APQE的周长最小，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=8，DC=AB=4，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=90°，∴DF=AD−AF=8−2=6，∵E为CD边的中点，∴CE=DE=2，∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∴GH=EH，∵∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，∵在△CQE中，∠QCE=90°，∴∠QEC=90°−45°=45°，∴∠EQC=∠CEQ，∴CE=CQ=2，设BP=x，则CQ=BC−BP−PQ=8−x−2=6−x，∴6−x=2，解得：x=4，即BP=4时，四边形APQE的周长最小，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使四边形APQE的周长最小时，点P的位置．10．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE=FG；②DE⊥FG；③∠BFG=∠ADE；④FG的最小值为2．其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①②③D．①②③④∵EF ⊥AB ，EG⊥BC ，∴∠EFB =∠EGB =90°．∵∠ABC =90°，∴四边形EFBG 为矩形．∴FG =BE ，OB =OF =OE =OG ．∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD ，∠BAC =∠DAC =45°．在△ABE 和△ADE 中，AE ＝AE ∠BAC ＝∠DAC AB ＝AD，∴△ABE≅△ADE ．∴BE =DE ．∴DE =FG ．∴①正确；②延长DE ，交FG 于M ，交FB 于点H ，∵△ABE≅△ADE ，∴∠ABE =∠ADE ．由①知：OB =OF ，∴∠OFB =∠ABE ．∴∠OFB =∠ADE ．∵∠BAD =90°，∴∠ADE +∠AHD =90°．∴∠OFB +∠AHD =90°．即：∠FMH =90°，11．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AB =6，BC =8，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE +EF 的值为（ ）A ．485B ．325C ．245D ．125【答案】C【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD 的面积为12，再根据S △AOD =S △AOE +S △DOE ，即可得到EO +EF 的值．12．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB=CD，下列结论：①四边形EFGH是菱形；②EG⊥FH；③若∠BAD+∠ADC=245°，则∠EFH=27.5°；④EG=1(BC−AD)；其中正确的个数是（）2A．1个B．2个C．3个D．4个∴EF =FG =GH =HE ，∴四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是菱形，故①正确；∴EG ⊥FH ，故②正确；∵∠BAD +∠ADC =245°，∴∠ABC +∠DCB =115°，∵AB∥FG ，CD∥EF ，∴∠CFG =∠ABC ，∠EFB =∠DCB ，∴∠CFG +∠EFB =115°，∴∠EFG =180°−(∠CFG +∠EFB )=65°，∴∠EFH =12∠EFG =32.5°，故③错误；当AD∥BC ，如图所示：E ，G 分别为BD ，AC 中点，∴连接CD ，延长EG 到CD 上一点N ，∴EN =12BC ，GN =12AD ，∴EG =12(BC−AD)，只有AD∥BC 时才可以成立，而本题AD 与BC 很显然不平行，故④错误．综上所述，①②共2个正确．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB =CD 判定四边形EFGH 是菱形是解答本题的关键．13．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH 的度数恰好为90°，PF =4，PH =3，则矩形ABCD 的边BC 的长为( )A．10B．11C．12D．1514．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考开学考试）如图，在长方形ABCD中，点E是CD 上一点，连接AE，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处．若AB=9，CE=4，则折痕AE的长度为（）A．B．C．D．15．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图：E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE =BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ +PR 的值是（ ）A B ．12C D ．2316．（2023秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF，其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】D【分析】根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠DAE，然后证明∠ABF+∠BAO=90°，再得到∠AOB=90°，从而得出AE⊥BF，判断②正确；假设AO=OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE>BC，即BE>AB，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF=S△ADE，然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确．【详解】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，∵CE=DF，∴AD−DF=CD−CE，即AF=DE，在△ABF和△DAE中，AB=AD∠BAF=∠D=90°，AF=DE∴△ABF≅△DAE(SAS)，∴AE=BF，故①正确；∵∠DAE+∠BAO=90°，∠ABF+∠BAO=90°，∴∠ABF=∠DAE，在△ABO中，∠AOB=180°−(∠ABF+∠BAO)=180°−90°=90°，∴AE⊥BF，故②正确；假设AO=OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE>BC，∴AB>BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≅△DAE，∴S△ABF=S△DAE，∴S△ABF−S△AOF=S△DAE−S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF，故④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出△ABF≅△DAE全等是解题的关键，也是本题的突破口．17．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，AC=a,BD=b．以AC为底向下作等腰直角三角形ACE，以BD为底向上作等腰三角形BDF，且FB=FD=5BD．连接AF,DE，当6BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与b需满足（）A ．a =43bB ．a =65bC ．a =53bD ．a =∵△ACE 是等腰直角三角形，且∴EM =12AC =a 2，∵△BDF 是等腰三角形，且18．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD中，P为CD上一点，线段AP的垂直平分线MN交BD于N，M为垂足，交正方形的两边于E、F，连接PN，则下列结论：①∠APN=45°；②PC=；③∠DNF=∠DAP；④MN=MF+NE，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④∵∠KGN=∠NHE=90°，∴△KGN≌△NHE(AAS)，∴NE=NK，∴MN=MF+NE，故④正确；故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，特别是需要通过作辅助线证明三角形全等．19．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH=GH，则CM的长为（ ）A．12B．34C．1D．54【答案】D【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，利用已知条件和正方形的性质得到△ABF为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到△MCF为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和平行线分线段成比例定理解答即可得出结论．【详解】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，如图，20．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n．下列结论正确的是（）．①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7．④四边形A n B n C n D n面积为a2−b2nA．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④【答案】A【分析】根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对选项作出分析判断：①②根据三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理、菱形和矩形的判定与性质作出判断；③根据三角形的中位线定理和四边形周长公式作出判断；④找到每得到的四边形与原四边形面积关系规律，即可求得四边形A n B n C n D n的面积．【详解】解：①连接A1C1，B1D1，∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC，∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；∵AC⊥BD，∴A1B1⊥A1D1，∴四边形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（三角形的中位线定理），∴四边形A2B2C2D2是菱形；∴四边形A3B3C3D3是矩形；【点睛】本题是一道规律题，考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线定理、菱形和矩形的判定与性质，解题的关键是理清题意，熟练并灵活运用所学知识点解题．二、填空题21．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，连接OE．下列结论：①△ODC是等边三角形；②CD=BE；③BC=2AB；④S△AOE=S△COE．其中正确的有______（填序号）．∴S△AOE=S△COE，故④正确；综上所述，正确的结论是①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．22．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=2,∠BAD=60°，则EF的最小值为_______．∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=30°，∴AC⊥BD，∠CAB=12∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°，23．（2023春·八年级单元测试）菱形ABCD的边长为2，∠DAB=30°，点P、Q分别是AC、AB上的动点，BP+PQ的最小值为______【答案】1【分析】连接AB，作DE⊥AB于E，利用SAS证明△ADP≌△ABP，得DP=BP，当点D、P、Q共线，BP+PQ 的最小值为DE的长，再求出DE的长即可．【详解】解：连接AB，作DE⊥AB于E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=2，∠DAP=∠BAP，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP（SAS）∴DP=BP，则：BP+PQ=DP+PQ，24．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校仙林分校校考开学考试）如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上任一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当CE的长为___________时，△CE B′恰好为直角三角形．连接AC，在Rt△ABC中，AB=3，∴AC=AB2+BC2=5∵∠B沿AE折叠，使点B落在点此时四边形ABEB′为正方形，∴BE=AB=3，∴CE=BC−BE=4−3=1，综上所述：CE=1或52故答案为：1或5．25．（2021春·浙江杭州·八年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上(不与点C，D重合)，AE 交对角线BD于点G，GF⊥AE交AE于点G．(1)若AB=10，BF=4，线段AF的长度为___________．(2)连接AF，EF，若AF=AE，正方形ABCD与△CEF的面积之比___________．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABF=90°,∵AB=10，BF=4，∵四边形ABCD是正方形，∵AG=GF，AG⊥GF，∴∠EAF=45°，∵AE=AF，AB=AD，26．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD边上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范为3≤BF≤4；③EF=2DE；④当点H与点A重合时，EF=________．【答案】①②④【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②点H与点A重合时，设BF=x,表示出AF=FC=8−x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出②正确；③假设EF=2DE，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH，判断出③错误；④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【详解】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确；则ME=(8−3)−3=2，27．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，且∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．若正方形边长是8，EC=2，则FC的长为____．28．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件__________．29．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）已知，如图，四边形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ADC=90°，AC，∠BAD+∠BDC=180°，则B C2的值为__．点M是AC的中点，连接BM，若BM=12∵∠ADC=90°，AD=6，∴AC=62+82=10，∵点M是AC的中点，∴MD=MC=5，30．（2022春·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期中）为庆祝建党90周年，美化社区环境，某小区要修建一块艺术草坪．如图，该草坪依次由部分互相重叠的一些全等的菱形组成，且所有菱形的较长的对角线在同一条直线上，前一个菱形对角线的交点是后一个菱形的一个顶点，如菱形ABCD、EFGH、CIJK…，要求每个菱形的两条对角线长分别为4m和6m．（1）若使这块草坪的总面积是39m2，则需要___个这样的菱形；（2）若有n个这样的菱形（n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积是___m2．【答案】 4 (9n+3)【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直平分，可分别作出四个满足条件的菱形，另外菱形重合的部分也是菱形，并且这些小菱形的对角线分别为2，3，结合菱形的面积=对角线×另一条对角线÷2，即可求出图形的面积和需要的菱形个数；（2）由（1）可知若有n个这样的菱形(n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积．【详解】解：（1）∵每个菱形的两条对角线长分别为4和6．∴小菱形的对角线分别为2，3，∵菱形的面积=对角线×另一条对角线÷2，∴占地面积为4×6÷2×n−3×2÷2×(n−1)=39，∴n=4，∴则需要4个这样的菱形；（2）当有一个这样的菱形，则草坪的面积为4×6÷2=12=9×1+3，当有2个这样的菱形，则草坪的面积为4×6×2÷2−2×3÷2=21=9×2+3，…依此类推若有n个这样的菱形(n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积是(9n+3)．故答案为：4；(9n+3)．【点睛】本题考查了菱形的性质和菱形的面积公式，掌握菱形的性质和菱形的面积公式是解题的关键．。
专题4-4平行四边形的判定定理专项提升训练(重难点培优)--2023-2024(0002)
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题4.4平行四边形的判定定理专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•滕州市期末）下列不能判断一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行且相等的四边形B．两组对边分别相等的四边形C．对角线互相平分的四边形D．一组对边相等，且另一组对边平行的四边形2．（2022春•庄河市期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB＝DC，AD＝BC B．∠DAB＝∠DCB，∠ABC＝∠ADCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥CD，AD＝BC3．（2021秋•让胡路区校级期末）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．1：2：3：4B．1：4：2：3C．1：2：2：1D．3：2：3：24．（2022春•平原县期末）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．两组对边分别相等D．一组对边平行且相等5．（2022春•北京期中）在四边形ABCD中，AB∥CD，要判定四边形ABCD为平行四边形，可添加条件（）A．AD＝BC B．∠CDB＝∠ABD C．AC平分∠DAB D．AO＝CO6．（2022春•滦南县期末）如图，已知在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BDC．AF＝CE D．∠BAE＝∠DCF7．（2022春•藁城区校级月考）四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，∠BAD＝∠BCD；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．一定能判定四边形ABCD是平行四边形的条件有（）A．1组B．2组C．3组D．4组8．（2022春•南海区校级月考）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AFB＝∠CED中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．（2022春•杭州期中）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，CF＝，EF＝3，则AB的长是（）A．B．1C．D．10．（2022春•海曙区校级期中）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（）A．四边形EHFGB．△AEG和△CHFC．四边形EBHO和四边形GOFDD．△AEO和四边形GOFD二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•河北区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是．12．（2022春•南海区校级期中）已知平面直角坐标系中的三个点：A（1，1）、B（3，1）、C（2，3），以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为．13．（2022秋•靖江市校级月考）如图所示，AB∥DC，CA平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，若S△ABE＝4，则S△ACD＝．14．（2022春•集贤县期末）若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝cm时，四边形ABCD是平行四边形．15．（2022春•海陵区校级期末）定义：作▱ABCD的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为▱ABCD的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围．16．（2022春•社旗县期末）在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C 运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋•荣县期中）已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：（1）AD＝BC；（2）AD与BC的位置关系为：．18．（2022春•南海区月考）如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积．19．（2022•云冈区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF和CE．（1）证明：四边形AECF是平行四边形；（2）已知BD＝6，DF＝2，BC＝5，求CE的长．20．（2022秋•碑林区校级期中）如图，已知在四边形BCDE中，CD∥BE，点F是DE的中点，连接CF交BE于点A，且点E是AB的中点，求证：四边形BCDE是平行四边形．21．（2022秋•南岗区校级月考）如图，已知点A，C在线段EF上，且AE＝CF．作AD∥BC，DE∥BF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）．22．（2022春•南阳期末）在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并完成下面的证明．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，连接BE，DF，BF，DE，且（填写序号）．（1）选择的条件的序号是；（2）求证：BE＝DF；（3）求证：四边形DEBF是平行四边形．23．（2022春•城固县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5cm，E，F为直线BD 上的两个动点（点E、F始终在▱ABCD的外面），连接AE、CE、CF、AF．（1）若DE＝OD，BF＝OB，①求证：四边形AFCE为平行四边形；②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求AE的长．（2）若DE＝OD，BF＝OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．（3）若DE＝OD，BF＝OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并证明．。
初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习与常考题和培优题(含解析)
初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题一．选择题（共5小题）1．如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．一般三角形D．等腰三角形2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H 是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B．C． D．23．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.54．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．275．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．5二．填空题（共4小题）6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC 于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于．7．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=时，四边形ABEC是矩形．8．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是．三．解答题（共31小题）10．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，求∠BEF的度数．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．12．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．13．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．14．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．15．如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=度．16．已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？17．如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．18．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．20．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG 交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．21．已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．22．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？23．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．24．如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=，AF=．25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE ⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．26．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．27．如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：（1）求证：BE⊥AG；（2）求线段DH的长度的最小值．28．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？29．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD 中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：AP=CQ；（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．30．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值．31．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请直接写出所有BP的值．32．已知：如图，BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F．EF分别交边AB、AC于点M、N．求证：（1）四边形AFBE是矩形；（2）BC=2MN．33．如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出OE、OF之间的数量关系，不用明理由．34．如图，已知Rt△ABD≌Rt△FEC，且B、D、C、E在同一直线上，连接BF、AE．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形．（2）若∠ABD=60°，AB=2cm，DC=4cm，将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动，设△ABD运动的时间为t，在△ABD运动过程中，试解决以下问题：（1）当四边形ABEF是菱形时，求t的值；（2）是否存在四边形ABFE是矩形的情形？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．35．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．36．如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD 于G，连接BE交AG于点H（1）求证：AG⊥BE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．37．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E时AD边的中点，点M时AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．38．如图，已知正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，点P（0，m）是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0，直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形，求m的值．39．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）证明：四边形BDFG是菱形；（2）若AC=10，CF=6，求线段AG的长度．40．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）若EB=4，则△BAE的面积为．初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2012春•炎陵县校级期中）如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．一般三角形D．等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC，∠G=∠C=90°，GB=CD，根据SAS证△FGB ≌△BCD，推出∠FBG=∠BDC，BF=BD，求出∠DBC+∠FBG=90°，求出∠FBD的度数即可．【解答】解：∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD，∴FG=BE=AD=BC，GB=EF=AB=CD，∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°，∵在△FGB和△BCD中，∴△FGB≌△BCD，∴∠FBG=∠BDC，BF=BD，∵∠BDC+∠DBC=90°，∴∠DBC+∠FBG=90°，∴∠FBD=180°﹣90°=90°，即△FBD是等腰直角三角形，故选B．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，关键是证出△FGB≌△BCD，主要考查学生运用性质进行推理的能力．2．（2015春•江阴市期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B．C． D．2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，∴AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=4，FM=EF﹣AB=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF==2，∴CH=，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH=AF，有一定的难度．3．（2015春•泗洪县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得出CE2=CD2+DE2，代入求出即可．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，∴∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=CD2+DE2，即AE2=42+（8﹣AE）2，解得：AE=5，故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是得出关于AE的方程．4．（2015秋•无锡期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．27【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM=BC=×10=5，同理可得，ME=BC=×10=5，又∵EF=7，∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17．故选A．【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM 和ME的长．5．（2015春•乌兰察布校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD 上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．5【分析】连接OP，利用勾股定理列式求出BD，再根据矩形的对角线相等且互相=S△AOP+S△DOP列方程求解即可．平分求出OA、OD，然后根据S△AOD【解答】解：如图，连接OP，∵AB=6，AD=8，∴BD===10，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD=×10=5，∵S=S△AOP+S△DOP，△AOD∴××6×8=×5•P E+×5•PF，解得PE+PF=4.8．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．二．填空题（共4小题）6．（2016春•东平县期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于75°．【分析】由矩形ABCD，得到OA=OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，∴AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=45°﹣15°=30°，∠BAC=60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB=OB，∠ABO=60°，∴∠OBC=90°﹣60°=30°，∵AB=OB=BE，∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣30°）=75°．故答案为75°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE．7．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=2时，四边形ABEC是矩形．【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．【解答】解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE=∠D，由题意易得AB∥EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，∴FC=FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理．8．（2015春•南长区期中）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE 交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．【分析】首先根据菱形的判定方法，判断出四边形ABCF是菱形，再根据菱形的性质，即可判断出AC⊥BF；然后根据勾股定理，可得OB2+OC2=BC2，据此推得AC2+BF2=4CD2即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC=CD=DE=EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2=BC2，∵AC=2OC，BF=2OB，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又∵BC=CD，∴AC2+BF2=4CD2．故答案为：AC2+BF2=4CD2．【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（2）此题还考查了勾股定理的应用：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，要熟练掌握．9．（2015春•株洲校级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC 是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【分析】先由矩形的性质求出OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；（2）当PD=OD=5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；②作PF⊥OA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．【解答】解：∵A（﹣10，0），C（0，3），∴OA=10，OC=3，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=10，AB=OC=3，∵D是OA的中点，∴AD=OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时，根据勾股定理得：PC==4，∴点P的坐标为：（﹣4，3）；（2）当PD=OD=5时，分两种情况讨论：①如图1所示：作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==4，∴PC=OE=5﹣4=1，∴点P的坐标为：（﹣1，3）；②如图2所示：作PF⊥OA于F，则DF==4，∴PC=OF=5+4=9，∴点P的坐标为：（﹣9，3）；综上所述：点P的坐标为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）；故答案为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三．解答题（共31小题）10．（2012春•西城区校级期中）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC 于点F，求∠BEF的度数．【分析】设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．【解答】解：设∠BAE=x°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∵AE=AB，∴AB=AE=AD，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣∠BAE）=90°﹣x°，∠DAE=90°﹣x°，∠AED=∠ADE=（180°﹣∠DAE）=[180°﹣（90°﹣x°）]=45°+x°，∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED，=180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°），=45°，答：∠BEF的度数是45°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是有一定的难度．11．（2012秋•高淳县期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=2，也即得出了正方形EHGF的边长．【解答】（1）证明：在△ABC中，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=同理FG=，GH=，HE=在梯形ABCD中，∵AB=DC，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形．设AC与EH交于点M在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，同理GH∥AC又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°．∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形．（2）解：连接EG，在梯形ABCD中，∵E、G分别是AB、DC的中点，∴EG=（AD+BC）=（1+3）=2，在Rt△HEG中，EG2=EH2+HG2，4=2EH2，EH2=2，则EH=．即四边形EFGH的边长为．【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．12．（2013秋•青岛期中）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．【分析】延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP=BM，即AP=AB．【解答】证明：延长CF、BA交于点M，∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，CE=DF，∴△BCE≌△CDF，∴∠CBE=∠DCF．∵∠DCF+∠BCP=90°，∴∠CBE+∠BCP=90°，∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．又∵FD=FA，∠CDF=∠MAF，∠CFD=∠MFA，∴△CDF≌△AMF，∴CD=AM．∵CD=AB，∴AB=AM．∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，∴AP=BM，即AP=AB．【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键．13．（2015春•禹州市期中）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．【分析】（1）连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=PC即可；（2）证△CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF，求出周长即可．【解答】解：证明：（1）连接PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠C=90°，在△ABP与△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．又∵∠C=90°，∴四边形PFCE是矩形，∴EF=PC，∴PA=EF．（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，∴PE=CF，PF=CE，又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，∴BE=PE，又BC=a，∴矩形PFCE的周长为2（PE+EC）=2（BE+EC）=2BC=2a．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出AP=PC是解此题的关键．14．（2015秋•福建校级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE 的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．15．（2016春•召陵区期中）如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=50度．【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF，然后利用“边角边”证明即可；（2）易证∠FBE=∠FEB，又因为∠FBE=∠FDC，所以可证明∠FEB=∠FDC，进而可证明∠DFE=90°；（3）根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF，根据等边对等角可得∠CBF=∠E，然后求出∠DFE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得解．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS）；∴BF=DF；（2）证明：∵BF=EF，∴∠FBE=∠FEB，又∵∠FBE=∠FDC，∴∠FEB=∠FDC，又∵∠DGF=∠EGC，∴∠DFG=∠ECG=90°，即∠DFE=90°；（3）证明：由（1）知，△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵EE=FB，∴∠CBF=∠E，∵∠DGF=∠EGC（对顶角相等），∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E，即∠DFE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DFE=∠ABC=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键．16．（2015秋•泗县期中）已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？【分析】①由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可；②由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可．【解答】①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF；②解：OE=OF还成立；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．17．（2016春•邳州市期中）如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．【分析】（1）由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，由SAS 证明△CDP≌△CBP，得出PB=PD，再由PE=PB，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB，由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC，即可得出∠PDC=∠PEB；（3）由四边形内角和定理得出∠DPE=100°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，在△DCP和△BCP中，，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PE=PD；（2）证明：∵PE=PB，∴∠PBC=∠PEB，∵△CDP≌△CBP，∴∠PDC=∠PBC，∴∠PDC=∠PEB；（3）解：如图所示：∠PDE=40°；理由如下：在四边形DPEC中，∵∠DPE=360°﹣（∠PDC+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（∠PEB+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（180°+80°）=100°，∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．（2016春•昆山市期中）如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF ≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；（2）设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，由已知条件得出DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a﹣b即可．【解答】（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，∴∠DAF=∠ABE，在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（AAS），∴AF=BE，DF=AE，∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；（2）解：设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，∵△ADF的周长为，AD=1，∴DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣=，∴a﹣b=，即EF=．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题（2）的关键．19．（2015春•繁昌县期中）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．【分析】（1）根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°，OA=OB，再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE，然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）根据等腰直角三角形△EOF，当OE最小时，再根据勾股定理得出EF的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°，∠EAO=∠FBO=45°，∴∠AOE+∠BOE=90°，∵OE⊥OF，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE与△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF；（2）由（1）可知，△EOF是等腰直角三角形，∠EOF是直角，当OE最小时，EF的值最小，∵OA=OB，OE⊥AB，∴点E是AB的中点，∴OE=AB，∵AB=4，∴OE=2，∴EF=，即EF的最小值是2．【点评】本题考查了正方形的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．20．（2016春•江宁区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF ≌△DAF，得出对应边相等即可；（2）由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．【解答】证明：如图所示：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF=DF；（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，∴BF=EF，∵BF=DF，∴EF=DF，∴∠FDE=∠FED，∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠FDE，∴∠ABF=∠FED，∵∠FED+∠FEA=180°，∴∠ABF+∠FEA=180°，∴∠BAE+∠BFE=180°，∴∠BFE=90°，∴BF⊥FE．。
专题2.6特殊的平行四边形大题专练(分层培优30题,八下人教)
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.6特殊的平行四边形大题专练（分层培优30题，八下人教）A卷基础过关卷（限时50分钟，每题10分，满分100分）1．（2023•肃州区校级开学）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形．（2）若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为2，求AC的长．2．（2022•南京模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）求证：∠BAC＝∠DAC．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．3．（2022春•沂南县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形ADFE是矩形；（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．4．（2022春•铜官区期末）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．5．（2022•邢台模拟）如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．6．（2022•浑南区二模）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC 于F．（1）求证：OE＝CB；（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．7．（2021春•柳南区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长．8．（2022秋•礼泉县期末）按如图所示的方法分别以AB和AC为边作正方形ABDE和正方形AGFC，连接CE、BG，求证：△ACE≌△AGB．9．（2022秋•毕节市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB．（1）试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论；（2）当∠ABC＝ °时，四边形ADCE为正方形．10．（2022秋•汉台区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N，连接BM、DN．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若四边形BNDM的周长为52，MN＝10，求BD的长．B卷能力提升卷（限时60分钟，每题10分，满分100分）11．（2022秋•南安市期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝24cm．动点E、F分别在边CD、BC上，点E 从点C出发沿CD边以1cm/s的速度向点D运动，同时点F从点C出发沿CB边以2cm/s的速度向点B 运动（当点F到达点B时，点E也随之停止运动），连结EF．问：在AB边上是否存在一点G，使得以B、F、G为顶点的三角形与△CEF全等？若存在，求出此时BG的长；若不存在，请说明理由．12．（2022秋•竞秀区期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E，F分别在OB，OD上，AC＝4，BD＝6．（1）当BE＝DF＝1时，判断四边形AECF的形状并证明；（2）当四边形AECF为菱形时，求平行四边形ABCD的周长．13．（2023•惠阳区校级开学）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8．①求菱形ABCD的面积．②求四边形ABED的周长．14．（2022秋•平昌县校级期末）如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长．15．（2022秋•南关区校级期末）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝6，则▱ABCD的面积为 ．16．（2022秋•渠县校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC＝40°，则当∠EBA＝ °时，四边形BFDE是正方形．17．（2022秋•郑州期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①直接写出：当AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形（不需要说明理由）；②当AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形，请说明理由．18．（2022秋•通川区期末）已知如图，M为正方形ABCD边AB上一点，P为边AB延长线上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE∥MN交AD于E，连接EM，CN，DN．（1）求证：DM＝MN；（2）求证：EM∥CN．19．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝6，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，则平行四边形ABCD的面积为 ．20．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接DF、CF．（1）求证：四边形ABDF为平行四边形；（2）求证：四边形ADCF为矩形．C卷培优压轴卷（限时70分钟，每题10分，满分100分）21．（2022秋•皇姑区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝2时，直接写出EA的长．22．（2022秋•礼泉县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接CE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）连接AE，若DB＝6，AC＝8，求AE的长．23．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝θ（0°＜θ＜90°）．连接DE，过B作BF⊥DE于F，连接AF，CF．（1）若θ＝60°，求∠BED的度数；（2）当θ变化时，∠BED的大小会发生变化吗？请说明理由；（3）试用等式表示线段DE与CF之间的数量关系，并证明．24．（2023•深圳模拟）如图，已知△ABC中，D是BC边上一点，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，连接AD．（1）下列条件：①D是BC边的中点；②AD是△ABC的角平分线；③点E与点F关于直线AD对称．请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件，并写出证明过程；（2）若四边形AEDF是菱形，且AE＝2，CF＝1，求BE的长．25．（2022秋•安丘市校级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，G是CD边上一点，连接BG交AC于E，过点A作AM⊥BG，垂足M，AM交BD于点F．（1）求证：OE＝OF．（2）若H是BG的中点，BG平分∠DBC，求证：DG＝2OE．26．（2022春•南谯区校级月考）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．27．（2022春•沂水县期中）（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．28．（2022秋•迎江区校级期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F 分别在边BC、CD上，且EF＝BE+DF，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小明探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是 ．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，且EF＝BE+DF，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系为 ．29．（2022秋•宜春期末）【问题解决】在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：如图1，点E是正方形ABCD内一点，BE＝2，EC＝4，DE＝6．你能求出∠BEC的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BEC绕点C逆时针旋转90°，得到△DE'C，连接EE'，求出∠BEC的度数；思路二：将△DEC绕点C顺时针旋转90°，得到△BE'C，连接EE'，求出∠BEC的度数．（1）请参考小明的思路，写出两种思路的完整解答过程．【类比探究】（2）如图2，若点E是正方形ABCD外一点，EB＝8，EC＝2，DE＝6，求∠BEC的度数．30．（2022秋•邗江区校级期末）综合与实践．（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 ．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系．。
人教版 八年级数学下册 18.2 特殊的平行四边形 培优训练(含答案)
人教版八年级数学18.2 特殊的平行四边形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（）A．对角线相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对边相等2. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（）A．15︒或30︒B．30︒或45︒C．45︒或60︒D．30︒或60︒3. （2020·菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（）A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分4. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是()A. AB＝ADB. AC⊥BDC. AC＝BDD. ∠BAC＝∠DAC5. （2020台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②6. （2020·襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．当AB＝CD时，四边形ABCD 是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形7. 如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．8. （2020·黑龙江龙东）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，OH ＝4，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．72B ．24C ．48D ．969. （2020·滨州）下列命题是假命题的是（ ）A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直的矩形是正方形C ．对角线相等的菱形是正方形D ．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形10. （2020·达州）如图，∠BOD =45°，BO=DO ，点A 在OB 上，四边形ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点E ，连接OE 交AD 于点F .下列4个判断：①OE 平分∠BOD ；②OF=BD ；③DF=AF ；④若点G 是线段OF 的中点，则△AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题（本大题共6道小题）11. 正方形有 条对称轴．12. 如图，矩形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒，求BOE ∠=EODC BA13. 如图，已知E 、F分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别DCA B F EO与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠=．NMFEDCBA14. 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______.ABCDEF15. 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE ∆的面积为GFEDCB A16. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG . 其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)三、解答题（本大题共5道小题）17. 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE=DF ，连结AE ，AF.求证：AE=AF.18.如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8AB =，10BC =，求EC 的长．BDCAEF19. 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE ∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA20. 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA21. 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA人教版 八年级数学 18.2 特殊的平行四边形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】A2. 【答案】D3. 【答案】C【解析】利用三角形的中位线定理，可得中点四边形有如下结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形；对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形．由此可知，该题选项C 符合题意．4. 【答案】C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．5. 【答案】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B ，C ，D 错误，故选：A ．【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．6. 【答案】B【解析】由平行四边形的对角线互相平分，知A选项正确；由有一个角是直角的平行四边形是矩形，知C选项正确；由对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，知D选项正确；由一组邻边相等的平行四边形是菱形，知B选项错误（因为B选项中是一组对边相等了），故选B．7. 【答案】添加的条件是BE=DF(答案不唯一)．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABD=∠BDC，又∵BE=DF(添加)，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AE=CF．8. 【答案】C【解析】本题考查了菱形的性质，对角线互相垂直平分以及直角三角形的斜边上中线的性质，解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积．故选：C．9. 【答案】D【解析】本题考查了正方形的判定，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形是真命题，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，因此本题选D．10. 【答案】A【解析】由矩形的性质可知：BE=DE=BD，∠OAD=∠BAD=90°，在△ODE和△OBE中，BO=DO，BE=DE，OE=OE，所以△ODE≌△OBE，∠OED=∠OEB=90°，∠OBD=∠ODB=67.5°，∠BOE=∠DOE=22.5°，故①正确；在R t△AOD中，∠BOD=45°，∴OA=AD，在R t△ABD中，∠BAD=90°，∠OBD=67.5°，所以∠BDA=22.5°，在△BDA和△FOA中，∠BDA=∠FOA，OA=AD，∠OAD=∠BAD=90°，所以△BDA≌△FOA，所以OF=BD，故②正确；如答图，过点F作FQ⊥OD于点Q，由角平分线的性质得AF=FQ，由题可知∠ADO=45°，所以△FDQ是等腰直角三角形即DF=AF，故③正确；如答图，AG=OG=OF，所以OG=DE，由题意可得△OAG≌△DAE，所以∠OAG=∠DAE，AG=AE，又由∠OAG＋∠GAF=90°可得∠GAE=90°，所以△GAE是等腰直角三角形，故④正确．二、填空题（本大题共6道小题） 11. 【答案】412. 【答案】75︒.【解析】∵四边形ABCD 是矩形 ∴90DAB ABC OA OB ∠=∠=︒=，∵AE 平分BAD ∠，所以1452BEA BAD ∠=∠=︒ ∴BA BE = ∵1560CAE BAC ∠=︒∠=︒， 所以ABO ∆为等边三角形 ∴60OB AB BE ABO ==∠=︒，，所以30OBE ∠=︒ ∴()1180752BOE OBE ∠=︒-∠=︒13. 【答案】100︒【解析】如图，连结AC ．NMFEDCBA14. 【答案】连接CE ，作过B 、E 点的AC 垂线，垂足分别为H ,G ,则四边形BEGH是矩形，1122GE BH AC AE ===， 所以30GAE ∠=︒,所以15EAB ∠=︒．AB CDEFG H15.【解析】过E 作EH CD ⊥交CD 延长线于H ，CDE ADG DEH DAG EH AG S S ∆∆∆∆==≌，，GQD C ABF E O16. 【答案】①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴EDFD ＝43≠AB AG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S △FGH ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.三、解答题（本大题共5道小题）17. 【答案】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD ，∠B=∠D ，∵BE=DF ，∴△ABE ≌△ADF ，∴AE=CF ．18. 【答案】由题意可知，AD AF =，DE EF =． ∵8AB =，10BC =，AB BF ⊥∴6BF === ∴4CF =∵CE CF ⊥，DE EF = ∴222DE CE CF =+∴222(8)43CE CE CE -=+⇒=19. 【答案】⑴ ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．又∵ACE ∆是等边三角形，∴EO AC ⊥，即DB AC ⊥． ∴平行四边形ABCD 是菱形．⑵ ∵ACE ∆是等边三角形，∴60AEC ∠=︒．∵EO AC ⊥，∴1302AEO AEC ∠=∠=︒．∵2AED EAD ∠=∠，∴15EAD ∠=︒．∴45ADO EAD AED ∠=∠+∠=︒． 四边形ABCD 是菱形，∴290ADC ADO ∠=∠=︒ ∴四边形ABCD 是正方形．20. 【答案】首先证明：GDH GHD ∠=∠．因为DE BC DE BC =∥，，所以四边形BCED 为平行四边形， 14∠=∠，又BD FD =，所以1123452∠=∠=∠=⨯︒，134452∠=∠=⨯︒，BC GC CD ==．因此，DCG ∆为等腰三角形，故()11351804522CDG ︒∠=︒-︒=． 又451359039022GHD ︒︒∠=︒-∠=︒-=，所以CDG GHD ∠=∠．从而GD GH =．21. 【答案】12【解析】过C 作CG AD ⊥于G ，连接EG 、FG ．∵AE BC ⊥，FM AE ⊥，∴FM ∥EC 又∵EM AF ⊥，CD AF ⊥，∴EM ∥CF ∴四边形EMFC 为平行四边形，∴MF EC = 又∵AE BC ⊥，CG AD ⊥且BC ∥AD ∴90EAG AGC GCE AEC ∠=∠=∠=∠=︒ ∴四边形AGCE 为矩形∴EC AG =，EG AC =，∴MF AG = 又∵MF ∥AG∴四边形AGFM 为平行四边形，∴GF AM = ∵AM EF ⊥，∴GF EF ⊥，即90GFE ∠=︒∴GF =12AM ==GMF E DC BA。
完整版八年级下册数学特殊平行四边形培优试题
八年级〔下〕特殊平行四边形培优一．选择题〔共13小题〕1．〔2021?达州〕如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，那么∠P=〔〕A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α2．〔2021?河南模拟〕如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，那么S△CEF：S△DGF等于〔〕A．2：1B．3：1C．4：1D．5：13．〔2005?湖州〕如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于 AB，AC于点E，F．假设=6，那么△ABC的边长为〔〕A．B．C．D．14．〔2002?无锡〕：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，那么线段MN的取值范围是〔〕第1页〔共27页〕A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤5．〔2021?鄂州〕在平面直角坐系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、ABCD⋯按如所示的方式放置，其中点B在y上，点C、E、E、C、E、E、C⋯33311122343在x上，正方形A1B1C1D1的1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3⋯正方形A2021B2021C2021D2021的是〔〕A．〔〕2021B．〔〕2021C．〔〕2021D．〔〕20216．〔2021?渝中区校模〕如，矩形ABCD中，BC=2AB，角相交于O，C点作CE⊥BD交BD于E点，H BC中点，接AH交BD于G点，交EC的延于F点，以下5个：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有〔〕个．A．2 B．3 C．4 D．57．〔2021?重模〕如，正方形 ABCD中，点E是角BD上一点，点 F是BC上一点，点G是CD上一点，BE=2ED，CF=2BF，接AE并延交CD于G，接AF、EF、FG．出以下五个：①DG=GC；②∠FGC=∠AGF；③S△ABF=S△FCG；④AF=EF；⑤∠AFB=∠AEB．其中正确的个数是〔〕A．5个B．4个C．3个D．2个第2页〔共27页〕8．〔2021?鹿城区校级二模〕如图，在正方形ABCD中，四边形IJFH是正方形，面积为S1，四边形BEFG是矩形，面积为S2，以下说法正确的选项是〔〕A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．2S1=3S29．〔2021?承德县一模〕如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，那么PE+PF等于〔〕A．B．C．D．10．〔2021?瑞安市校级一模〕如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，那么图中阴影局部的面积为〔〕A．15 B．20 C．35 D．4011．〔2021春?内江期末〕如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出以下五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正确结论的个数是〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个12．〔2021?盘锦〕如图，矩形ABCD中AB=4cm，BC=3cm，点P是AB上除A，B外任一点，对角线AC，BD相交于点O，DP，CP分别交AC，BD于点E，F且△ADE和BCF的面积之和 4cm2，那么四边形P EOF的面积为〔〕第3页〔共27页〕A．1cm2B．2C．2cm2D．213．〔1997?内江〕如图，四边形ABCD和MNPQ都是边长为 a的正方形，点A是MNPQ的中心〔即两条对角线MP和NQ的交点〕，点E是AB与MN的交点，点F是NP与AD的交点，那么四边形AENF的面积是〔〕A．B．C．D．二．填空题〔共17小题〕14．〔2021?广州〕如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3 ，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点〔含端点，但点M不与点B重合〕，点E，F分别为DM，MN的中点，那么EF长度的最大值为．15．〔2021?无锡〕：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，那么AC的长等于．16．〔2021?安徽〕如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，那么以下结论中一定成立的是．〔把所有正确结论的序号都填在横线上〕①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．第4页〔共27页〕17．〔2021?乌鲁木齐〕如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，那么DF的长为．18．〔2021?南岗区校级一模〕如图，AD、BE为△ABC的中线交于点O，∠AOE=60°，OD= ，OE= ，那么AB= ．19．〔2021?枣庄〕如下图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，假设AB=5，BC=8，那么EF的长为．20．〔2021?凉山州〕菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如下图，顶点B〔2，0〕，∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E〔0，﹣1〕，当EP+BP最短时，点P的坐标为．21．〔2021?天水〕正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，那么点A3的坐标为．第5页〔共27页〕22．〔2021?潮南区一模〕如所示，如果以正方形ABCD的角AC作第二个正方形ACEF，再以AE作第三个正方形AEGM，⋯正方形ABCD的面S1=1，按上述方法所作的正方形的面依次S2，S3，⋯Sn〔n正整数〕，那么第8个正方形面S8=．23．〔2021?南区二模〕如，正方形 ABCD的角AC、BD相交于点O，∠CAB的平分交BD于点E，交BC于点F．假设OE=1，CF= ．24．〔2021?德州〕如，在正方形ABCD中，2的等三角形AEF的点E、F 分在BC和CD上，以下：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是〔把你正确的都填上〕．25．〔2021?广安区校模〕如，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，接BD，CG．有以下，其中正确的有〔填正确的序号〕．①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2．第6页〔共27页〕26．〔2021?金城江区一模〕如，点P是矩形ABCD的AD的一个点，矩形的两条AB、BC的分3和4，那么点P到矩形的两条角AC和BD的距离之和是．27．〔2021?山区校三模〕如，矩形ABCD中，点E，F，G，H分在AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．假设AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四形AEPH的面 5cm2，四形PFCG的面cm2．28．〔2021?成都模〕将n个都1cm的正方形按如所示的方法放，点A、A⋯A12分是各正方形的中心，n个的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面的和cm2．29．〔2021?州模〕如，在平面直角坐系中，正方形ABCD点A的坐〔0，2〕，B点在x上，角AC，BD交于点M，OM= ，点C的坐．第7页〔共27页〕参考答案与试题解析一．选择题〔共13小题〕1．〔2021?达州〕如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，那么∠P=〔〕A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣〔∠A+∠D〕=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=〔∠ABC+∠BCD〕= 〔360°﹣α〕=180°﹣α，那么∠P=180°﹣〔∠PBC+∠PCB〕=180°﹣〔180°﹣α〕= α．应选：C．2．〔2021?河南模拟〕如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB 于点G，那么S△CEF：S△DGF等于〔〕A．2：1B．3：1C．4：1D．5：1【解答】解：如图，取CG的中点H，连接EH，∵E是AC的中点，∴EH是△ACG的中位线，∴EH∥AD，∴∠GDF=∠HEF，F是DE的中点，∴DF=EF，在△DFG和△EFH中，，∴△DFG≌△EFH〔ASA〕，∴FG=FH，S△EFH=S△DGF，又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，∴S△EFC=3S△EFH，∴S△EFC=3S△DGF，因此，S△CEF：S△DGF=3：1．应选B．第8页〔共27页〕3．〔2005?湖州〕如，在等△ABC中，M、N分是AB，AC的中点，D MN上任意一点，BD，CD的延分交于AB，AC于点E，F．假设=6，△ABC的〔〕A．B．C．D．1【解答】解：点A作直PQ∥BC，延BD交PQ于点P；延CD，交PQ于点Q．∵PQ∥BC，∴△PQD∽△BCD，∵点D 在△ABC的中位上，∴△PQD与△BCD的高相等，∴△PQD≌△BCD，∴PQ=BC，AE=ACCE，AF=ABBF，在△BCE与△PAE中，∠PAE=∠ACB，∠APE=∠CBE，∴△BCE∽△PAE，= ⋯①同理：△CBF∽△QAF，= ⋯②①+②，得：+ = ．∴+ =3，又∵=6，AC=AB，∴△ABC的= ．故C．4．〔2002?无〕：四形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分是AD，BC的中点，段MN的取范是〔〕第9页〔共27页〕A．1＜MN ＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤【解答】解：接BD，M作MG∥AB，接NG．∵M是AD的中点，AB=2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位，BG=GD，MG=AB=×2=1；∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，∴NG是△BCD的中位，NG=CD=×3=，在△MNG中，由三角形三关系可知NGMG＜MN＜MG+NG，即1＜MN＜+ 1，∴＜MN＜，当MN=MG+NG，即MN=，四形ABCD是梯形，故段MN的取范是＜MN≤．故D．5．〔2021?鄂州〕在平面直角坐系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、ABCD⋯按如所示的方式放置，其中点B在y上，点C、E、E、C、E、E、C⋯33311122343在x上，正方形A1B1C1D1的1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3⋯正方形A2021B2021C2021D2021的是〔〕A．〔〕2021B．〔〕2021C．〔〕2021D．〔〕2021【解答】方法一：第10页〔共27页〕解：如所示：∵正方形A1B1C1D1的1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3⋯∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D11122=〔〕1，E =CDsin30°=，BC同理可得：B3C3==〔〕2，故正方形AnBnCnDn的是：〔〕n﹣1．正方形A2021202120212021的是：〔2021．故：D．B D〕方法二：∵正方形A1B1C1D1的1，∠B1C1O=60°，∴D1E1=B2E2=，C∥BC∥BC⋯∴∠EBC=60°，∴BC=，同理：∵B1 1223322222B3C3=×=⋯∴a1=1，q=，∴正方形B2021D2021的=1×．A202120216．〔2021?渝中区校模〕如，矩形ABCD中，BC=2AB，角相交于O，C点作CE⊥BD交BD于E点，HBC中点，接AH交BD于G点，交EC的延于F点，以下5个：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有〔〕个．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①在△BCE中，∵CE⊥BD，HBC中点，∴BC=2EH，又BC=2AB，∴EH=AB，正确；②由①可知，BH=HE∴∠EBH=∠BEH，又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°，∴∠ABG=∠HEC，正确；③由AB=BH，∠ABH=90°，得∠BAG=45°，同理：∠DHC=45°，∴∠EHC＞∠DHC=45°，∴△ABG≌△HEC，；④作AM⊥BD，AM=CE，△AMD≌△CEB，∵AD∥BC，∴△ADG∽△HGB，∴=2，即△ABG的面等于△BGH的面的2倍，根据不能推出△ AMG的面等于△ABG的面的一半，第11页〔共27页〕即S△GAD≠S四边形GHCE，∴④错误⑤∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，又∠ECH=∠CDE=∠BAO，∠BAO=∠BAH+∠HAC，∴F=∠HAC，∴CF=BD，正确．正确的有三个．应选B．7．〔2021?重庆模拟〕如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点 F是边BC上一点，点G是边CD上一点，BE=2ED，CF=2BF，连接AE并延长交CD于G，连接AF、EF、FG．给出以下五个结论：①DG=GC；②∠FGC=∠AGF；③S△ABF=S△FCG；④AF=EF；⑤∠AFB=∠AEB．其中正确结论的个数是〔〕A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：①∵BE=2DE∴=∴∵AB=CD∴DG=CD∴DG=CG故本选项正确②设BF=1，那么CF=2，AB=AD=3，DG=CG=过点E作AB的平行线，交AD于M，交BC于N，可得四边形MNCD是矩形，△AME∽△ADG，且相似比为AD=3，∴AM=2，DM=1，NC=1，那么BN=BC﹣NC=2，FN=BN﹣BF=1，∵MD∥BN，∴△MDE∽NBE，且相似比，∴ME=1，EN=2，在Rt△EFN中，EF= = ，在Rt△AME中，AE= = ，在Rt△ABF中，AF= ，∴AE2+EF2=AF2，∴∠AEF=90°，∵AG= =∴EG=，第12页〔共27页〕∴tan∠AGF==2，又tan∠FGC=，∴∠FGC≠∠AGF，故本选项错误③∵×=∴S△ABF=SFCG故本选项正确④连接EC，过E点作EH⊥BC，垂足为H，由②可知AF=，∵BE=2ED，∴BH=2HC，EH=CD=2，又∵CF=2BF，∴H为FC的中点，FH=1，∴在Rt△HEF中：∵EF===AF=∴AF=EF故本选项正确．⑤过A点作AO⊥BD，垂足为O，∵，∴Rt△ABF∽Rt△AOE，∴∠AFB=∠AEB．故本选项正确．应选B．8．〔2021?鹿城区校级二模〕如图，在正方形ABCD中，四边形IJFH是正方形，面积为S，1四边形BEFG是矩形，面积为S2，以下说法正确的选项是〔〕A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．2S1=3S2 【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°，∵四边形 IJFH是正方形，四边形BEFG是矩形，第13页〔共27页〕∴∠AJI=∠CFH=AEF=∠CGF=90°，∴△AIJ、△AEF、△CFH、△CFG都是等腰直角三角形，设JF=x，那么S1=x2，根据等腰直角三角形的性质， EF= AF= ×2x=x，FG= FC= x，所以S2=EF?FG= x? x=x2，所以S1=S2．应选B．9．〔2021?承德县一模〕如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，那么PE+PF等于〔〕A．B．C．D．【解答】解：设AP=x，PB=3﹣x．∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC；∴△AEP∽△ABC，故= ①；同理可得△BFP∽△DAB，故= ②．①+②得= ，∴PE+PF=．应选B．10．〔2021?瑞安市校级一模〕如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，那么图中阴影局部的面积为〔〕A．15 B．20 C．35 D．40【解答】解：连接EF，∵S△ABF=S△EBF∴S△EFG=S△ABG=15；同理：S△EFH=S△DCH=20∴S阴影=S△EFG+S△DCH=15+20=35．应选C．11．〔2021春?内江期末〕如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出以下五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正确结论的个数是〔〕第14页〔共27页〕A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．∵四边形ABCD是正方形．∴∠ABP=∠CBD又∵NP⊥AB，PE⊥BC，∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF，NP=EP，∴AN=PF在△ANP与△FPE中，∵，∴△ANP≌△FPE〔SAS〕，∴AP=EF，∠PFE=∠BAP〔故①④正确〕；△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM∴∠PMF=∠ANP=90°∴AP⊥EF，〔故②正确〕；P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形和PD=2EC不一定成立，〔故③⑤错误〕；故正确的选项是：①②④．应选：B．12．〔2021?盘锦〕如图，矩形ABCD中AB=4cm，BC=3cm，点P是AB上除A，B外任一点，对角线AC，BD相交于点O，DP，CP分别交AC，BD于点E，F且△ADE和BCF的面积之和4cm2，那么四边形PEOF的面积为〔〕A．1cm2B．2C．2cm2D．2【解答】解：矩形ABCD，∴△APD的面积+△BPC的面积=矩形ABCD的面积﹣△CPD的面积=4×3﹣×4×3=6cm2〕，∴△AEP的面积+△BFP的面积=〔△APD的面积+△BPC的面积〕﹣△ADE和BCF的面积之和=6﹣4=2〔cm2〕，矩形ABCD，∴△AOB的面积= ×4×〔3×〕=3〔cm2〕，第15页〔共27页〕2∴四边形PEOF的面积=△AOB的面积﹣〔△AEP的面积+△BFP的面积〕=3﹣2=1〔cm〕．13．〔1997?内江〕如图，四边形ABCD和MNPQ都是边长为 a的正方形，点A是MNPQ的中心〔即两条对角线MP和NQ的交点〕，点E是AB与MN的交点，点F是NP与AD的交点，那么四边形AENF的面积是〔〕A．B．C．D．【解答】解：连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，那么AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，∴∠PAF=∠NAE，∴△PAF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的，正方形的面积为 a2，∴四边形AENF的面积为；应选A二．填空题〔共17小题〕14．〔2021?广州〕如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3 ，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点〔含端点，但点M不与点B重合〕，点E，F分别为DM，MN的中点，那么EF长度的最大值为 3 ．【解答】解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB== 6，第16页〔共27页〕∴EF的最大值为3．故答案为3．15．〔2021?无锡〕：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，那么AC的长等于．【解答】解：过D点作DF∥BE，∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，∵AD=BE=6，那么DF=3，AF==3，∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，∴△ABG≌△DBG，∴G为AD中点，∴E为AF中点，∴AC=AF= ×3= ．故答案为：．16．〔2021?安徽〕如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E 在线段AB上，连接EF、CF，那么以下结论中一定成立的是①②④．〔把所有正确结论的序号都填在横线上〕①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．【解答】解：①∵F是AD的中点，AF=FD，∵在?ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，第17页〔共27页〕F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF〔ASA〕，∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，那么∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠A EF，故此选项正确．故答案为：①②④．17．〔2021?乌鲁木齐〕如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，那么DF的长为．【解答】解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，∵AF垂直CG，∴∠AFG=∠AFC，在△AFG和△AFC中，∵，∴△AFG≌△AFC〔ASA〕，∴AC=AG，GF=CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF= BG= 〔AB﹣AG〕= 〔AB﹣AC〕= ．故答案为：．第18页〔共27页〕18．〔2021?南岗区校级一模〕如图，AD、BE为△ABC的中线交于点O，∠AOE=60°，OD= ，OE= ，那么AB= 7 ．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AD于F，连接DE，∵∠AOE=60°，∴∠OEF=90°﹣60°=30°，∵OE=，∴OF=OE= ×= ，在Rt△OEF中，EF= = = ，∵OD=，∴DF=OD+OF=+ = ，在Rt△DEF中，DE= = = ，∵AD、BE为△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE=2×=7．故答案为：7．19．〔2021?枣庄〕如下图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，假设AB=5，BC=8，那么EF的长为．第19页〔共27页〕【解答】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，∴DF=，∵DE为△ABC的中位线，∴DE= BC=4，∴EF=DE﹣，故答案为：．20．〔2021?凉山州〕菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如下图，顶点B〔2，0〕，∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E〔0，﹣1〕，当EP+BP最短时，点P的坐标为〔〕．【解答】解：连接ED，如图，∵点B关于OC的对称点是点∵四边形OBCD是菱形，顶点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，B〔2，0〕，∠DOB=60°，∴点D的坐标为〔1，〕，∴点C的坐标为〔3，〕，∴可得直线OC的解析式为：y= x，∵点E的坐标为〔0，﹣1〕，∴可得直线ED的解析式为：y=〔1+〕x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为〔〕，故答案为：〔〕．21．〔2021?天水〕正方形OABC、AABC、AABC，按如图放置，其中点A 、A、12223312在x轴的正半轴上，点B、B、B在直线y=﹣x+2上，那么点A的坐标为〔，0〕．123第20页〔共27页〕【解答】解：正方形OA1B1C1的t，B1〔t，t〕，所以t=t+2，解得t=1，得到B1〔1，1〕；正方形A1222的2，得到2A B C a，B〔1+a，a〕，a=〔1+a〕+2，解得a=B 〔〕；正方形A2A3B3C3的b，B3〔+b，b〕，b=〔+b〕+2，解得b=，得到B3〔，〕，所以A3〔，0〕．故答案〔，0〕．22．〔2021?潮南区一模〕如所示，如果以正方形ABCD的角AC作第二个正方形ACEF，再以AE作第三个正方形AEGM，⋯正方形ABCD的面S1=1，按上述方法所作的正方形的面依次S2，S3，⋯Sn〔n正整数〕，那么第8个正方形面S8=128．【解答】解：根据意可得：第 n个正方形的是第〔n 1〕个的倍；故面是第〔n1〕个的2倍，第一个面1；那么第8个正方形面S8=27=128．故答案128．23．〔2021?南区二模〕如，正方形ABCD的角AC、BD相交于点O，∠CAB的平分交BD于点E，交BC于点F．假设OE=1，CF=2．【解答】解：作EG⊥AB于G，根据角平分的性可得，EG=OE=1，又BD平分∠ABC，∠ABE=45°第21页〔共27页〕∴△EBG是等腰直角三角形，可得BE=，那么OB=1+，可得BC=2+又∠AFB=90°﹣∠FAB，∠FEB=∠OEA=90°﹣∠FAC，∴∠AFB=∠FEB∴BF=BE=那么CF=BC﹣BF=2+ ﹣=2．24．〔2021?德州〕如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，以下结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④〔把你认为正确的都填上〕．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF〔HL〕，∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即a2+〔a﹣〕2=4，解得a=，那么a2=2+，S正方形ABCD=2+，④说法正确，故答案为：①②④．第22页〔共27页〕25．〔2021?广安区校模〕如，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，接BD，CG．有以下，其中正确的有①②〔填正确的序号〕．①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2．【解答】解：①由菱形的性可得△ABD、BDC是等三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG〔30°角所直角等于斜一半〕BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；③首先可得BG≠FD，因BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③；A BD =AB?DE=AB?〔BE〕=AB?AB=AB2，即④不正确．④S上可得①②正确，共2个．故答案①②．26．〔2021?金城江区一模〕如，点P是矩形ABCD的AD的一个点，矩形的两条AB、BC的分3和4，那么点P到矩形的两条角AC和BD的距离之和是．【解答】解：P点作PE⊥AC，PF⊥BD，∵四形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴△PEA∽△CDA，∴，∵AC=BD==5，∴⋯①，同理：△PFD∽△BAD，∴，∴⋯②，∴①+②得：，∴PE+PF=，即点P到矩形的两条角AC和BD的距离之和是：．第23页〔共27页〕故答案：．27．〔2021?山区校三模〕如，矩形 ABCD中，点E，F，G，H分在AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．假设AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四形AEPH的面5cm2，四形PFCG 的面8cm2．【解答】解：接AP，CP，△AHP在AH上的高x，△AEP在AE上的高y．△CFP在CF上的高 4 x，△CGP在CG上的高 6 y．AH=CF=2cm，AE=CG=3cm，∴S四边形AEPH=S△AHP+S△AEP．=AH×x×+AE×y×=2x×+3y×=5cm22x+3y=10S四边形PFCG=S△CGP+S△CFP=CF×〔4 x〕×+CG×〔6 y〕×=2〔4 x〕×+3〔6 y〕×=〔26 2x 3y〕×=〔26 10〕×=8cm2．故答案8．28．〔2021?成都模〕将n个都1cm的正方形按如所示的方法放，点A1、A2⋯An分是各正方形的中心，n个的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面的和cm2．第24页〔共27页〕【解答】解：由题意可得阴影局部面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面积和为×4，n个这样的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面积和为×〔n﹣1〕= cm2．故答案为：．29．〔2021?郑州模拟〕如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为〔0，2〕，B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM= ，那么点C的坐标为〔6，4〕．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连结EM，∴∠MFO=∠CEO=∠AOB=90°，AO∥MF∥CE，∵四边形ABCD是正方形，AB=BC，∠ABC=90°，AM=CM，∴∠OAB=∠EBC，OF=EF，MF是梯形AOEC的中位线，∴MF=〔AO+EC〕，∵MF⊥OE，∴MO=ME．∵在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC〔AAS〕，∴OB=CE，AO=BE．∴MF=〔BE+OB〕，又∵OF=FE，∴△MOE是直角三角形，第25页〔共27页〕∵MO=ME，∴△MOE是等腰直角三角形，∴OE= =6，∴A〔0，2〕，OA=2，BE=2，OB=CE=4．C〔6，4〕．故答案为：〔6，4〕．30．〔2021?荣成市模拟〕如图，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别是BC、CD边上点，假设CE= CB，CF= CD，那么图中阴影局部的面积是．【解答】解：延长GE到M，使GE=EM，连接CG、CM、BM，过C作CN⊥DE于N，∵E为BC中点，BE=EC=，在△BEG和△CEM中第26页〔共27页〕∴△BEG≌△CEM〔SAS〕，∴S△BEG=S△CEM，∵E、F分别为BC、CD中点，∴DG：EG=2：1，∴GM=DG=2EG，∴S△MGC=S△DGC，∴S△DMC=2S△DGC=2×S△DEC，∵S△DEC= ×1×= ，∴S△DMC= ，∴阴影局部的面积S=S正方形ABCD﹣S△DMC=1×1﹣= ，故答案为：．第27页〔共27页〕。
平行四边形的性质专项提升训练(重难点培优)-八年级数学下册尖子生培优必刷题(原卷版)【北师大版】
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】专题6.1平行四边形的性质专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•南海区校级月考）下面性质中，平行四边形不一定具备的是（）A．邻角互补B．邻边相等C．对边平行D．对角线互相平分2．（2022春•隆安县期中）在▱ABCD中，∠B＝60°，那么下列各式中成立的是（）A．∠A+∠C＝180°B．∠D＝60°C．∠A＝100°D．∠B+∠D＝180°3．（2022春•曹妃甸区期末）平行四边形相邻两角中，其中一个角的度数y与另一个角的度数x之间的关系是（）A．y＝x B．y＝90﹣x C．y＝180﹣x D．y＝180+x4．（2022春•淇滨区校级期末）如图，已知▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，AC＝8，BD ＝4，那么BC的长度为（）A．6B．5C．4D．35．（2022春•辉县市期末）在▱ABCD中，AC，BD交于点O，△OAB的周长等于5.5cm，BD＝4cm，AB+CD ＝5cm，则AC的长为（）A．3cm B．2.5cm C．2cm D．1.5cm6．（2022春•宁都县期末）将平行四边形ABCD放在平面直角坐标系中，顶点A，B，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（5，2），则顶点D的坐标是（）A．（4，3）B．（1，3）C．（1，2）D．（4，2）7．（2021秋•平阳县校级月考）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（）A．22B．18C．22或20D．18或228．（2021秋•宁阳县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为（）A．B．4C．D．89．（2022秋•永嘉县校级月考）在平行四边形ABCD中，五块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，如图所示，则下列选项中的关系正确的是（）A．S1+S2+S3＝S4+S5B．S2+S3＝S1+S4+S5C．S3+S4＝S1+S2+S5D．S2+S4＝S1+S3+S510．（2022春•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，点C（4，0），B（6，2），直线y＝2x+1以每秒3个单位的速度向下平移，经过多少秒该直线可将▱OABC的面积平分（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•姑苏区校级月考）平行四边形ABCD中，∠B：∠C＝3：2，则∠C＝°．12．（2022秋•任城区校级月考）▱ABCD中，∠A＝45°，BC＝，则AB与CD之间的距离是；若AB＝3，四边形ABCD的面积是，△ABD的面积是．13．（2022•襄汾县一模）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为．14．（2022春•遂溪县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝10，BD＝6，BC＝4，则平行四边形ABCD的面积为．15．（2022秋•九龙坡区校级月考）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，若▱ABCD的面积为16，且AH：HD＝1：3．则图中阴影部分的面积为．16．（2022•景德镇模拟）在▱ABCD中，AB＝4，∠ABC，∠BCD的平分线BE，CF分别与直线AD交于点E，F，当点A，D，E，F相邻两点间的距离相等时，BC的长为．三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•自贡期末）如图，在▱ABCD中，AF∥CE；求证：BE＝DF．18．（2022春•新化县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，BD＝14，CD＝5.2，求△AOB的周长．19．（2022春•望城区期末）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝24，∠ABC＝70°，△ABO的周长是20．（1）求∠ADC的度数；（2）求AB的长．20．（2022春•社旗县月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，EF与对角线BD交于点O．有以下三个条件：①AE＝CF；②EO＝OF；③O为BD中点．从中选取一个作为题设，余下的两个作为结论，组成一个正确的命题，并加以证明．21．（2021春•玉林期中）如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且EF⊥AE．求证：AE平分∠DAF．李华同学读题后有一个想法，延长FE，AD交于点M，要证AE平分∠DAF，只需证△AMF是等腰三角形即可．请你参考李华的想法，完成此题的证明．22．（2021春•拱墅区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，AP，BP分别平分∠DAB和∠CBA，交于DC 边上点P，AD＝5．（1）求线段AB的长．（2）若BP＝6；求△ABP的周长．23．（2021秋•东平县期末）如图①，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：BE＝DF；（2）若图中的条件都不变，将EF转动到图②的位置，那么上述结论是否成立？说明理由．24．（2022春•成华区校级期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G是CD上的一点，连接DF、EG、AG．（1）若CF＝4，AE＝6，求BE的长；（2）若∠CEG＝∠AGE，那么：①判断线段AG和EG的数量关系，并说明理由；②求证：∠1＝∠2．。
特殊平行四边形培优训练含答案
特殊平行四边形培优训练一．选择题：1．已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的邻角度数分别为 （ ）A. 45°, 135°B. 60°, 120°C. 90°, 90°D. 30°, 150°2．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC 的度数是( )A. 18°B. 36°C. 45°D. 72°3.如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转后得到矩形A ′BC ′D ′．若边A ′B 交线段CD 于H ，且BH=DH ，则DH 的值是（ ） A. 47 B.328 C. 425 D.264.下列命题中，真命题是（ ）A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B. 有一条对角线平分对角的四边形是菱形C. 菱形是对角线互相垂直平分的四边形D. 菱形的对角线相等 5.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC.若AC=4，则四边形OCED 的周长为（ ）A.4B.6C.8D.106.如图，正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为（ ）7．如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B ′处，若AE ＝2，DE ＝6，∠EFB ′＝60°，则矩形ABCD 的面积是( )A ．12B ．24C ．312D ．3168.如图，正方形ABCD 的边长为10， AG =CH =8，BG =DH =6，连接GH . 则线段GH 的长为（ ）145D. 10－9.如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB ＝∠CFD ＝90°，AE ＝CF ＝5， BE ＝DF ＝12，则EF 的长是（ ）A ．7B ．8 C．．10.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点1B 在y 轴上，顶点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C ……x 在轴上，已知正方形1111A B C D 的边长为1，∠11B C O ＝60°，11B C ∥22B C ∥33B C ……则正方形2018201820182018A B C D 的边长是（ ） A. 201721⎪⎭⎫⎝⎛ B. 201821⎪⎭⎫⎝⎛ C. 201733⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. 201833⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 二．填空题： 11.如图，矩形ABCD 中，对角线AC=8cm ，0120=∠BOC ，则AD 的长为________ cm ．12.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为□ABCD 的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则□ABCD 的最小内角的大小为______________13.如图，将两条宽度都为3的纸片重叠在一起，使∠ABC=600，则四边形ABCD 的面积为__________14.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AC 上的一点，BD ＝DC ，P 是BC 上的任意一点，PE ⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．则线段PE，PF，AB之间的数量关系为______________________15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE，将△ADE 绕点E旋转180°，得到△CFE，连接AF.若BC＝8，AC＝6，则四边形ABCF的周长为______ 16.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去.则第n个正方形的边长为________三．解答题：17.如图，在△ABC中，∠CAB=900，DE，DF是△ABC的中位线，连结EF，AD.求证：EF=AD.18．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.(1)求证：四边形ABCF是矩形；(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.19．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH.(1)求证：四边形EBFC是菱形；(2)如果∠BAC=∠ECF，求证：AC⊥CF.20.如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，AC是对角线，过点B作BG∥AC交DA 的延长线于点G．（1）求证：CE∥AF；（2）若∠G=90°，求证：四边形CEAF是菱形．21.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5，在BC上取一点E，使BE=4，剪下△ABE，将它BC方向平移至△DCF的位置，拼成四边形AEFD．①求证：四边形AEFD是菱形；②求四边形AEFD的两条对角线的长．22.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD 的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形；（2）求证：四边形EFMN是矩形；（3）连接DM，若DM⊥AC于点M，ON=3，求矩形ABCD的面积．23．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE=1；①求点F到AD的距离；②求BF的长；3，请直接写出此时AE的长．（3）若BF=10特殊平行四边形培优训练答案一．选择题：1.答案：B解析：∵菱形的一条对角线与边长相等,∴这条对角线与一组邻边所构成的三角形为正三角形，∴则菱形的邻角度数分别为060和0120，故选择B2.答案：C解析：∵090=∠BAD ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，∴05.67=∠DAE ，∵BD AE ⊥，∴05.22=∠ADB ，∵OA=OD ，∴05.22=∠=∠OAD ODA ，∴000455.225.67=-=∠EAC ，故选择C3.答案：C解析：设x CH =，∴x BH DH -==8，在BCH Rt ∆中，()22268+=-x x ， 解得：47=x ，∴425478=-=DH ， 故选择C4.答案：C解析：∵ 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，故A 选项错误；∵有一条对角线平分对角的四边形是筝形，故B 选项错误；∵菱形是对角线互相垂直平分的四边形 ，故C 选项正确；∵菱形的对角线不相等，故D 选项错误。
《第1章特殊平行四边形》专题培优提升训练2021-2022学年北师大版九年级数学上册
2021年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》专题培优提升训练（附答案）1．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；（2）判断△AEG的形状，并说明理由；（3）当GF＝1时，求CE的长．2．如图，O是正方形ABCD对角线AC，BD的交点，AF平分∠BAC，交BD于点M，DE ⊥AF于点H，分别交AB，AC于点E，G．（1）证明△AED≌△BF A；（2）△ADM是等腰三角形吗？请说明理由；（3）若OG的长为1，求BE的长度．3．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．（1）求证：CE＝FE；（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．4．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1．（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；（2）求△BMN面积的最小值．5．如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．6．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，H是AF的中点．（1）求证：CH＝AF；（2）若BC＝1，CE＝3，求CH的长．7．四边形ABCD是正方形，点M在边BC上（不与端点B、C重合），点N在对角线AC上，且MN⊥AC，连接AM，点G是AM的中点，连接DN、NG．（1）若AB＝10，BM＝2，求NG的长；（2）求证：DN＝NG．8．如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，求证EB＝GD；（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的长．9．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．10．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），O是对角线AC的中点，过点O的直线EF⊥AC交AD边于E，交BC边于F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．11．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．12．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．14．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF ∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．（3）若ED＝6，AE＝10，则菱形AECF的面积是多少？15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．16．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．17．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BD上一点，延长AE到点N，使AE ＝EN，连接CN、CE．（1）求证：△CAN为直角三角形．（2）若AN＝4，正方形的边长为6，求BE的长．18．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．20．探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．21．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，作BF⊥CE于点F，交OC于点G．（1）求证：BG＝CE；（2）若AB＝4，BF是∠DBC的角平分线，求OG的长．参考答案1．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AB＝AD，∵∠CDE＝20°，∴∠ADE＝70°，∵DE＝AB，∴DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°．（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，∴DG是AE的垂直平分线，∴AG＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DE＝DC＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，∴∠DEA+∠DEC＝135°，∴∠GEA＝45°，∴∠GAE＝∠GEA＝45°，∴∠AGE＝90°，∴△AEG为等腰直角三角形．（3）如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝，∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，∴GF＝AF＝EF＝1，∴AG＝GE＝，∵AC2＝AG2+GC2，∴10＝2+（EC+）2，∴EC＝（负根已经舍弃）．2．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∵DE⊥AF，∴∠DAH+∠ADE＝90°，∵∠DAH+∠BAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，在△AED和△BF A中，，∴△AED≌△BF A（ASA）．（2）△ADM是等腰三角形，理由如下：∵∠BAC＝45°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝22.5°，∴∠DAM＝∠DAC+∠CAF＝67.5°，∴∠DMA＝180°﹣∠DAM﹣∠ADM＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠DAM＝∠DMA，∴△ADM是等腰三角形．（3）∵∠ADE＝∠BAF＝22.5°，∴∠CDG＝∠ADC﹣∠ADE＝67.5°，∴∠DGC＝180°﹣∠GCD﹣∠CDG＝67.5°，∴CG＝CB，∵AE∥CD，∴∠AEG＝∠CDG＝67.5°，∴AE＝AG，如图，作FK⊥AC于点K，设AG＝AE＝x，∵AO＝AG+OG＝x+1，∴AB＝BC＝AO＝（x+1），AC＝2AO＝2（x+1），∵△AED≌△BF A，∴BF＝AE＝x，∵AF平分∠BAC，∴FK＝BF＝x，∵S△ABF＝AB•BF，S△ACF＝AC•FK，∴＝＝，又∵＝，∴＝＝，即＝，解得x＝，∴BE＝AB﹣AE＝（x+1）﹣x＝2．解法二：BF＝x之后，可以直接AB＝（x+1），BC＝x+x，由AB＝BC，可以直接解出x．3．解：（1）连结DE，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，在△ABE和△DF A中，，△ABE≌△DF A（AAS），∴AB＝CD＝DF，在Rt△DFE和Rt△DCE中，，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）．∴CE＝FE．（2）∵△DEF≌△DEC，∴FE＝CE＝1，DC＝DF＝5，设AD＝x，则AF＝AE﹣EF＝AD﹣1＝x﹣1，在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF2+DF2＝AD2，∴（x﹣1）2+52＝x2，∴x＝13，即AD＝13，∴S矩形ABCD＝AD•DC＝65．4．（1）证明：如图所示，连接BD，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴∠ADB＝∠NDB＝60°，故△ADB是等边三角形，∴AB＝BD，又AM+CN＝1，DN+CN＝1，∴AM＝DN，在△AMB和△DNB中，，∴△AMB≌△DNB（SAS），∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD，又∠MBA+∠DBM＝60°，∴∠NBD+∠DBM＝60°，即∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）解：过点B作BE⊥MN于点E．设BM＝BN＝MN＝x，则，故，∴当BM⊥AD时，x最小，此时，，．∴△BMN面积的最小值为．5．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF＝FC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，根据勾股定理，得AE＝＝＝5，∵四边形AECF是菱形，∴EC＝AE＝5，∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，∵DG⊥AE，∴∠DGA＝∠B＝90°，∴DG＝．6．（1）证明：如图，延长AD交EF于M，连接AC，CF，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H为AF的中点，∴；（2）解：方法一：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，在Rt△AMF中，由勾股定理得：＝，∴．方法二：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，∴AC＝，CF＝3，∴AF＝＝，∴．7．解：（1）∵∠B＝90°，AB＝10，BM＝2∴AM＝∵MN⊥AC，点G是AM的中点∴GN＝（2）证明：过点D作DE⊥AC于点E∵四边形ABCD是正方形∴DE＝∵AC为正方形对角线∴∠ACB＝45°∵MN⊥AC∴MN＝NC设MN＝NC＝a，AN＝b∴由勾股定理AM＝∵MN⊥AC，点G是AM的中点∴GN＝∵AC＝a+b∴DE＝EC＝∴EN＝EC﹣NC＝DN＝∴DN＝NG8．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△AGD和△AEB中，，∴△AGD≌△AEB（SAS），∴EB＝GD；（2）解：作AH⊥DG于H，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝3．∴由勾股定理得：EG＝＝6，AH＝GH＝EG＝3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴DH＝＝4，∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．9．解：（1）结论：PB＝PQ，理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ；（2）结论：PB＝PQ．理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ．10．（1）证明：∵O是对角线AC的中点，∴AO＝CO，∵矩形ABCD的边AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，∵EF⊥AC，∴∠AOE＝∠COF＝90°，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：∵AE＝10cm，四边形AFCE是菱形，∴AF＝AE＝10cm，设AB＝x，∵△ABF的面积为24cm2，∴BF＝，在Rt△ABF中，根据勾股定理，AB2+BF2＝AF2，即x2+（）2＝102，x4﹣100x2+2304＝0，解得，x1＝6，x2＝8，∴BF＝＝8cm，BF＝＝6cm，所以，△ABF的周长＝6+8+10＝24cm．11．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．12．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形，∴HF＝AF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF，∴BF+DF＝AF．13．解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝2，∴DM＝BD＝．方法二：过M作MH⊥DF于H，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形，∴∠CEF＝45°，∴∠AEB＝∠CEF＝45°，∴BE＝AB＝8，∴CE＝CF＝14﹣8＝6，∵MH∥CE，EM＝FM，∴CH＝FH＝CF＝3，∴MH＝CE＝3，∴DH＝11，∴DM＝＝．14．（1）证明：∵PQ为线段AC的垂直平分线，，∴AE＝CE，AD＝CD，∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD（AAS）；（2）证明：∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝F A，∴EC＝EA＝FC＝F A，∴四边形AECF为菱形；（3）解：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∵ED＝6，AE＝10，∴EF＝2ED＝12，AD＝＝8．∴AC＝2AD＝16，∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝×16×12＝96．15．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．16．解：（1）∵MN∥BC，∴∠3＝∠2，又∵CF平分∠GCO，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴FO＝CO，同理：EO＝CO，∴EO＝FO．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，由（1）可知，FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，∵MN∥BC，∴∠AOE＝∠ACB∵∠ACB＝90°，∴∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．17．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE；∵AE＝CE，AE＝EN，∴∠EAC＝∠ECA，CE＝EN，∴∠ECN＝∠N，∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N＝180°，∴∠ACE+∠ECN＝90°，即∠ACN＝90°，∴△CAN为直角三角形；（2）∵正方形的边长为6，∴AC＝BD＝6，∵∠ACN＝90°，AN＝4，∴CN＝＝2，∵OA＝OC，AE＝EN，∴OE＝CN＝，∵OB＝BD＝3，∴BE＝OB+OE＝4．18．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD．在△AFE和△DCE中，∴△AEF≌△DEC（AAS）．∴AF＝DC，∵BD＝DC，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形；（2）∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC．∴∠ADB＝90°．∵四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形．19．（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴四边形BECD是菱形；（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．20．解：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立．理由如下：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，则△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，∠ABF′＝∠D，又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAF′，∴∠EAF＝∠EAF′，又∵∠ABC+∠D＝180°，∴∠ABF′+∠ABE＝180°，∴F′、B、E三点共线，在△AEF与△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又∵EF′＝BE+BF′，∴EF＝BE+DF；（3）发生变化．EF、BE、DF之间的关系是EF＝BE﹣DF．理由如下：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F′处，得到△ABF′，∴△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，又∵∠EAF＝∠BAD，且∠BAF′＝∠DAF，∴∠F′AE＝∠BAD﹣（∠BAF′+∠EAD）＝∠BAD﹣（∠DAF+∠EAD）＝∠BAD﹣∠F AE＝∠F AE，即∠F′AE＝∠F AE，在△F′AE与△F AE中，，∴△F′AE≌△F AE（SAS），∴EF＝EF′，又∵BE＝BF′+EF′，∴EF′＝BE﹣BF′，即EF＝BE﹣DF．21．（1）证明：∵正方形ABCD中，AC、BD相交于O，∴BO＝CO，BO⊥CO，∵BF⊥EC，∴∠5＝∠6＝∠7＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∴△BOG≌△CEO，（AAS）∴BG＝CE．（2）解：∵BF是∠DBC的角平分线，∴∠1＝∠8，∵BF＝BF，∠9＝∠6＝90°，∴△BEF≌△BCF（ASA），∴BE＝BC＝4，∵四边形BCD是正方形∴∠AOB＝90°，AO＝BO设AO为x，由勾股定理，得2x2＝42解得x＝2∵△BOG≌△COE∴OG＝OE∵OE＝BE﹣BO＝4﹣2，∴OG＝4﹣2．。