极坐标系定义及互化

2、负极径的实例 在极坐标系中画出点
M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4
O [2]在OP的反向延长
线上取一点M，使
M
OM= 3
P = /4
X
3、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射 线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成 是旋转 ，因此，所谓“负 极径”实质是管方向的。这 与数学中通常的习惯一致， 用“负”表示“反向 ”。
1
点Q的极坐标为 (4, 2 ) ，其直角坐
标如何表示？
3
Q
Q(2,2 3)
O
X
极坐标与直角坐标的互化公式：
设点M的直角坐标是 (x, y)
y
极坐标是 (ρ,θ)
θ
O
x
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
极角的确定：由正切值找角，由象限位置定角
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐 标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
不做特殊说明时,≥0,∈R
当M在极点时，极坐标=0，可以取任意值。
例：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
BA
O
X
4 F
3
G 5
3
在同一极坐标系中,有如下极坐标：
探讨：
4,
6
,
4,
6
2
,
4,
6
4
,
4,
6
2
1：这些极坐标之间有何异同？
极径相同，极角不同。
2：这些极角有何关系？
极角的始边相同，终边也相同， 即:它们是终边相同的角。
3：这些极坐标所表示的点有什么关系? 它们表示同一个点。
一般地: 若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ) (k∈Z)都可以作为它的 极坐标.
如果规定： 0, [0,2 )
那么:平面内的点和极坐标就可以 一一对应了.
五、极坐标与直角坐标的区别:
直角坐标
x, y
表示形式 x、y R
从这向南 500米。
请问：去特教 学校怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？ 从这向南走500米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置
这种用方向和距离表示平面上一点的
位置的思想，就是极坐标的基本思想。
一、极坐标系的概念：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正
方向（通常取逆时针 O
方向）。
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标的表示方法:
对于极坐标平面上任意一点M:
表示线段OM的长度，叫做点M的极径;
表示以OX为始边，射线OM为终边的角, M
叫做点M的极角;
有序数对(,)就叫做点M的极坐标。
O 特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 X 极点O的距离；表示从OX到OM的角度， 即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
与平面内点 x、y R
的对应关系 一一对应
极坐标
,
f 0, R
0, [0,2 )
一一对应
六、1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值； 在某些必要情况下，极径也可以取 负值。
对于点M（OP，使XOP=
O
X
[2]在OP的反向延长 M
线上取一点M，使OM=
6
A
用余弦定理求
AB的长即可。 o
x
小结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
P M
O
X
P
O
X
M
延 ((规1)定 点展:A练关于习0极,:轴在极对[坐0称,标2的系点)中)的则,点极A坐的极标坐是标__是3_,_13_16,_6
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是__3_,_7_6
(3)点A关于过极点且与极轴垂直的直线对称
的点的极坐标是_____
3,
5
6
平面内一点M的直角坐标是(1, 3)，
其极坐标如何表示?
点Q的极坐标为 (4, 2 ) ，其直角坐
标如何表示？
3
在直角坐标系中, 以原点 y M (1, 3)
作为极点,x轴的正半轴作 θ
为极轴, 并且两种坐标系 O
x
中取相同的长度单位。
点M的直角坐标为 (1, 3)
M (2, )
设点M的极坐标为(ρ,θ)
3
12 （ 3）2 2 tan 3 3