指数函数及对数函数性质总结
对数与指数函数的性质
对数与指数函数的性质随着数学的发展，对数与指数函数在数学中扮演着重要的角色。
它们具有独特的性质和特点，对解决实际问题和研究数学规律起到至关重要的作用。
本文将对对数与指数函数的性质进行探讨。
一、对数函数的性质1. 定义与表示对数函数是指数函数的逆运算。
对于正数a和大于0的实数x，a的y次幂等于x，表示为y = logₐx。
其中，a称为底数，x称为真数，y称为对数。
对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
2. 基本性质（1）对数函数的图像：对数函数的图像在底数大于1时是增函数，底数小于1时是减函数。
其图像呈现出一种特殊的曲线形状，通常都是从左下方逐渐上升或下降。
（2）对数函数的反函数：对数函数和指数函数是互为反函数的关系。
这意味着对数函数的定义域就是指数函数的值域，反之亦然。
（3）对数函数的性质：对数函数具有严格单调性、有界性和连续性等基本性质。
3. 常用公式与恒等式（1）对数函数的换底公式：logₐx = logᵦx ÷ logᵦa。
这个公式用于将对数的底数进行转换，方便计算。
（2）对数函数的性质公式：logₐ(xy) = logₐx + logₐy，logₐ(x/y) =logₐx - logₐy，logₐ(xⁿ) = nlogₐx。
这些公式为我们在计算和简化对数表达式时提供了便利。
（3）对数函数的恒等式：logₐa = 1，logₐ1 = 0，logₐaᵇ= b logₐa。
这些恒等式在对数计算中起到重要的作用。
二、指数函数的性质1. 定义与表示指数函数是以自然常数e为底的函数，形式为y = eˣ，其中e是一个无理数，约等于2.71828。
指数函数在数学和科学领域中用于描述指数增长和衰减的现象。
2. 基本性质（1）指数函数的图像：指数函数的图像在x轴的右侧是增函数，在x轴的左侧是减函数。
其图像表现出一种迅速增长或迅速衰减的特点。
（2）指数函数的反函数：指数函数和对数函数是互为反函数的关系。
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数指数函数和对数函数是数学中常见的函数类型，它们在各个领域都有重要的应用。
本文将介绍指数函数和对数函数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、指数函数指数函数是以某个正数为底数的幂函数，其自变量是指数。
一般形式表示为：y = a^x，其中a是底数，x是指数，y是函数值。
1. 定义与性质指数函数的底数一般为正数且不等于1，指数可以是任意实数。
当底数大于1时，指数函数呈现递增趋势；当底数在0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。
指数函数的特点包括：- 当指数为0时，指数函数的函数值恒为1，即a^0 = 1。
- 当指数为正数时，函数值递增；当指数为负数时，函数值递减。
- 当指数趋于正无穷大时，函数值趋于正无穷大；当指数趋于负无穷大时，函数值趋于0。
2. 应用示例指数函数的应用非常广泛，其中一些常见的应用领域包括：- 经济学中的复利计算：复利计算可以用指数函数模型来描述。
- 生物学中的种群增长：种群增长也可以用指数函数模型来描述。
- 物理学中的放射性衰变：放射性元素的衰变过程也符合指数函数的规律。
二、对数函数对数函数是指数函数的逆运算，用来求解以某个正数为底数的对数。
一般形式表示为：y = logₐx，其中a是底数，x是真数，y是对数值。
1. 定义与性质对数函数的底数一般为正数且不等于1，真数和对数值可以是任意正数。
对数函数的一些性质包括：- a^logₐx = x，即对数函数和指数函数互为逆运算。
- logₐa = 1，即对数函数以底数为底的底数对数等于1。
- logₐ1 = 0，即以任何正数为底的1的对数都等于0。
2. 应用示例对数函数在实际问题中也有广泛的应用，以下是一些例子：- 测量震级：地震的震级可以通过对数函数来计算。
- 计算pH值：化学中，pH值可以通过对数函数来计算。
- 评估信息量：信息论中，信息量可以用对数函数来度量。
结论指数函数和对数函数是数学中重要的函数类型，它们在各个领域都有广泛的应用。
指数函数幂函数对数函数知识点总结
指数函数幂函数对数函数知识点总结一.指数函数指数函数是一种特殊的函数形式，其中自变量位于指数的上方。
指数函数的一般形式为：$y=a^x$。
在指数函数中，底数$a$是一个正实数，且$a\ne q1$。
1.指数函数的性质指数函数的增长特性-：当底数$a$大于1时，指数函数呈现增长趋势，随着自变量$x$的增大，函数值$y$也随之增大。
当底数$a$在0和1之间时，指数函数则呈现递减趋势。
指数函数的定义域和值域-：指数函数的定义域为所有实数，即$(-\i nf ty,+\i nf ty)$。
根据底数$a$的不同，指数函数的值域也有所不同。
若底数$a>1$，则值域为$(0,+\in ft y)$；若底数$0<a<1$，则值域为$(-\in ft y,+\in fty)$。
指数函数的奇偶性-：当底数$a>0$且$a\n eq1$时，指数函数为奇数函数。
2.指数函数的图像指数函数的图像特点也与底数$a$的取值有关：-当底数$a>1$时，指数函数的图像呈现增长趋势，在原点左侧逐渐接近$y=0$轴，右侧逐渐趋近于正无穷。
-当底数$0<a<1$时，指数函数的图像呈现递减趋势，在原点左侧呈现正无穷，右侧逐渐接近$y=0$轴。
二.幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其中底数固定为正整数。
幂函数的一般形式为：$y=x^n$。
1.幂函数的性质幂函数的增长特性-：当指数$n$为正整数时，幂函数呈现增长趋势。
若$n$为奇数，则幂函数随自变量$x$的增大而增加；若$n$为偶数，则幂函数随着自变量$x$的增大或减小而增加。
幂函数的定义域和值域-：幂函数的定义域为所有实数，即$(-\i nf ty,+\i nf ty)$。
幂函数的值域则根据指数$n$的奇偶性而定。
若$n$为奇数，则值域为$(-\i nf ty,+\i nf t y)$；若$n$为偶数，则值域为$[0,+\in ft y)$。
指数函数与对数函数的基本性质
指数函数与对数函数的基本性质指数函数与对数函数是数学中常见且重要的函数类型。
它们都具有独特的性质和应用，对于我们理解数学的发展和实际问题的解决起着至关重要的作用。
本文将介绍指数函数和对数函数的基本性质，并探讨它们在数学和实际生活中的应用。
一、指数函数的基本性质1. 指数函数的定义指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底的幂函数。
它的一般形式为f(x) = a^x，其中a为实数且大于0且不等于1。
2. 指数函数的图像特点指数函数的图像一般呈现递增或递减的特点。
当a大于1时，图像递增；当0小于a小于1时，图像递减。
指数函数的图像都经过点(0,1)，这是因为a^0=1。
3. 指数函数的性质- 当x为正数时，指数函数的值为正数；- 当x为负数时，指数函数的值为正数或者小于1的正数；- 当x为0时，指数函数的值为1。
二、对数函数的基本性质1. 对数函数的定义对数函数是指以某个正实数为底的幂函数的反函数。
它的一般形式为f(x) = loga(x)，其中a为实数且大于0且不等于1。
2. 对数函数的图像特点对数函数的图像一般呈现递增的特点。
对于底数大于1的情况，函数的图像在x轴右侧递增；对于底数小于1的情况，函数的图像在x轴右侧递减。
对数函数的图像都经过点(1,0)，这是因为loga(a)=1。
3. 对数函数的性质- 对数函数的定义域是正实数集合；- 值域是实数集合；- 当x大于1时，对数函数的值为正数；- 当0小于x小于1时，对数函数的值为负数；- 当x等于1时，对数函数的值为0。
三、指数函数与对数函数的应用1. 经济学中的应用指数函数与对数函数在经济学中有广泛的应用，如利润的增长模型、货币的时间价值、资本负债的计算等。
2. 物理学中的应用指数函数与对数函数在物理学中也有重要的应用，如放射性衰变的模型、电路中的时间响应等。
3. 生命科学中的应用指数函数和对数函数在生命科学研究中也有所应用，如细胞增长、人口增长模型等。
指数和对数函数的基本性质
指数和对数函数的基本性质指数和对数函数是高中数学中非常重要的内容，它们在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍指数和对数函数的基本性质，包括定义、图像、性质及应用等方面的内容。
一、指数函数的基本性质指数函数的定义：指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底的指数函数，记作f(x) = e^x。
1. 定义域和值域：指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数。
2. 单调性：指数函数是增函数，即当x1 < x2时，e^x1 < e^x2。
3. 对称轴：指数函数的对称轴是y轴，即f(-x) = 1/f(x)。
4. 渐近线：指数函数的图像在y轴的右侧无渐近线，而在左侧有一条水平渐近线y=0。
5. 图像特点：指数函数的图像在y轴的右侧上升，但增长速度逐渐变慢，曲线接近x轴。
二、对数函数的基本性质对数函数的定义：对数函数是指以正实数a（底数）为底的对数函数，记作f(x)=log_a(x)。
1. 定义域和值域：对数函数的定义域为正实数，值域为全体实数。
2. 单调性：当底数a > 1时，对数函数为增函数；当0 < a < 1时，对数函数为减函数。
3. 对称轴：对数函数的对称轴是y=x，即f(x) = f^-1(x)。
4. 渐近线：对数函数的图像在x轴的左侧有一条垂直渐近线x=0。
5. 图像特点：对数函数的图像呈现右上方向的开口，当底数a > 1时，曲线逐渐上升；当0 < a < 1时，曲线逐渐下降。
三、指数和对数函数的基本关系1.对数函数与指数函数是互逆函数关系，即log_a(a^x) = x，a^log_a(x) = x。
2.指数函数和对数函数的图像在直线y=x上对称。
3.两者的求导关系：(a^x)' = a^x * ln(a)，(log_a(x))' = 1/(x * ln(a))。
四、指数和对数函数的应用1.在数学中，指数和对数函数用于解决各种指数和对数方程，求解复利、增长与衰变等问题。
指数函数与对数函数例题和知识点总结
指数函数与对数函数例题和知识点总结一、指数函数的定义与性质指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，底数$a$决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数单调递减。
指数函数的定义域为$R$，值域为$（0, ＋＼infty)＄。
例如，函数$y ＝ 2^x$是一个底数为$2$（大于$1$）的指数函数，它在$R$上单调递增。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的反函数，一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，对数的底数$a$同样决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
对数函数的定义域为$（0, ＋＼infty)＄，值域为$R$。
例如，函数$y ＝＼log_2 x$是一个底数为$2$（大于$1$）的对数函数，它在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。
三、指数函数与对数函数的图象指数函数$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐下降。
对数函数$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐下降。
四、指数运算与对数运算的性质指数运算性质：1、＄a^m ＼times a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$（＄a ≠ 0$）对数运算性质：1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$五、例题分析例 1：比较大小比较$2^｛03}＄和$03^2$的大小。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结一、指数函数1、指数函数的定义一般地，函数\（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ≠ 1\））叫做指数函数，其中\（x\）是自变量，函数的定义域是\（R\）。
需要注意的是，底数\（a\）的取值范围，当\（a ＝ 1\）时，函数就变成了\（y ＝ 1^x ＝ 1\），是一个常函数，不符合指数函数的定义；当\（a ＜ 0\）时，对于某些\（x\）的值，＼（a^x\）无意义，比如\（（－2)＾｛＼frac{1}｛2}｝＼）就没有实数解。
2、指数函数的图象当\（a ＞ 1\）时，指数函数\（y ＝ a^x\）的图象是上升的，经过点\（（0, 1)＼），在\（R\）上单调递增；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，指数函数\（y ＝ a^x\）的图象是下降的，经过点\（（0, 1)＼），在\（R\）上单调递减。
我们可以通过几个特殊的点，比如\（（0, 1)＼）、＼（（1, a)＼）、＼（（－1, ＼frac{1}｛a}）＼）等来大致描绘指数函数的图象。
3、指数函数的性质（1）定义域：＼（R\）（2）值域：＼（（0, ＋∞）＼）（3）恒过定点\（（0, 1)＼）（4）单调性：当\（a ＞ 1\）时，在\（R\）上单调递增；当\（0 ＜a ＜ 1\）时，在\（R\）上单调递减（5）函数值的变化情况当\（a ＞ 1\）时，若\（x ＞ 0\），则\（a^x ＞ 1\）；若\（x ＝ 0\），则\（a^x ＝ 1\）；若\（x ＜ 0\），则\（0 ＜ a^x ＜ 1\）。
当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，若\（x ＞ 0\），则\（0 ＜ a^x ＜ 1\）；若\（x ＝ 0\），则\（a^x ＝ 1\）；若\（x ＜ 0\），则\（a^x ＞ 1\）。
4、指数运算的性质（1）＼（a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）（2）＼（＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＼）（＼（a ≠ 0\））（3）＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）（4）＼（（ab)＾n ＝ a^n b^n\）这些运算性质在化简指数表达式和进行指数运算时经常用到。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数：1.基本概念：指数函数是形如y=a^x（a>0，且a≠1）的函数，其中a称为底数，x 称为指数，a^x称为底数a的x次幂。
2.基本性质：（1）a^0=1，任何数的0次幂等于1；（2）a^x*a^y=a^(x+y)，相同底数的指数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）a^x÷a^y=a^(x-y)，相同底数的指数幂相除，底数不变，指数相减；（4）(a^x)^y=a^(x*y)，指数幂的乘积再乘方，指数相乘；（5）a^(-x)=1/(a^x)，任何数的负指数满足倒数规律。
3.常见指数函数：（1）指数函数y=2^x：以2为底的指数函数，可以用来描述2的x 次幂关系，是一种常见的指数型增长函数，图像逐渐向上凸起。
二、对数函数：1.基本概念：对数函数是指y=loga(x)，其中a>0，且a≠1，a称为底数，x称为真数，y称为以a为底x的对数。
2.基本性质：（1）loga(1)=0，底数为任何正数时，1的对数都是0；（2）loga(a)=1，底数为任何正数时，底数的对数都是1；（3）loga (x*y) = loga(x) + loga(y)，对数相乘，真数取乘积，对数相加；（4）loga (x/y) = loga(x) - loga(y)，对数相除，真数取商，对数相减；（5）loga(x^k) = k * loga(x)，对数乘方，真数取底数的k次方，对数乘以指数。
3.常见对数函数：（1）常用对数函数：y=log10(x)，其中底数为10，对数函数可以简写为y=log(x)。
常用对数函数是以10为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足10^y=x的y值。
（2）自然对数函数：y=ln(x)，其中底数为e。
自然对数函数是以e 为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足e^y=x的y值。
三、指数函数与对数函数的关系：四、指数函数与对数函数的应用：1.科学中的指数增长：指数函数常常用于描述原子衰变、细胞分裂和放射性物质的衰变等过程。
对数函数与指数函数的性质
对数函数与指数函数的性质对数函数与指数函数是高中数学中重要的两类函数，它们在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍对数函数与指数函数的性质，包括定义、图像、性质与应用等方面的内容。
一、对数函数的性质1. 定义：对数函数是指以某个正数为底的幂运算的逆运算。
设a为正数且不等于1，x为任意正数，则对数函数y=logax表示以a为底，结果为x的对数。
其中，a称为底数，x称为真数，y称为对数。
2. 图像：对数函数的图像特点与指数函数相反。
当底数a大于1时，对数函数y=logax的图像在通过点(1, 0)且单调递增；当底数a在0和1之间时，对数函数的图像在通过点(1, 0)且单调递减。
3. 性质：（1）反函数关系：对数函数与指数函数是互为反函数的关系，即y=logax和y=ax的图像关于直线y=x对称。
（2）性质1：对数函数y=logax的定义域为正实数集(0, +∞)，值域为实数集。
（3）性质2：对数函数的性质包括对数函数的单调性、奇偶性、零点、渐近线等，具体取决于底数a的大小。
二、指数函数的性质1. 定义：指数函数是以正数a为底的幂运算。
设a为正数且不等于1，x为任意实数，则指数函数y=ax表示以a为底，幂为x的指数函数。
其中，a称为底数，x称为指数，y表示结果。
2. 图像：指数函数的图像特点与对数函数相反。
当底数a大于1时，指数函数y=ax的图像在通过点(0, 1)且单调递增；当底数a在0和1之间时，指数函数y=ax的图像在通过点(0, 1)且单调递减。
3. 性质：（1）性质1：指数函数y=ax的定义域为实数集，值域为正实数集(0, +∞)。
（2）性质2：指数函数的性质包括指数函数的单调性、奇偶性、零点、渐近线等，具体取决于底数a的大小。
三、对数函数与指数函数的应用1. 对数函数的应用：（1）在计算中，对数函数可用于化简复杂的计算，尤其在大数据处理和指数增长问题中有很多应用。
（2）在物理学中，对数函数常用于描述信号强度、音量等指数增长的问题，例如声学分贝的计算。
初中数学指数函数与对数函数的性质知识点总结
初中数学指数函数与对数函数的性质知识点总结一、指数函数的性质：1. 定义：指数函数是以指数为自变量，底数固定的函数。
形如f(x) = a^x，其中a是正实数，且a≠1。
2. 指数函数的图像特点：a) 当0<a<1时，函数图像在y轴上方逐渐逼近x轴正半轴；b) 当a>1时，函数图像在y轴下方逐渐逼近x轴正半轴；c) a=1时，指数函数为常数函数，图像为y = 1。
3. 指数函数的性质：a) 当x∈R时，指数函数f(x) > 0，即指数函数的值始终大于0；b) 指数函数的增减性：当x1 < x2时，若a > 1，则a^x1 < a^x2；若0 < a < 1，则a^x1 > a^x2。
4. 指数函数的特殊性质：a) a^0 = 1，任何数的0次方等于1；b) a^m * a^n = a^(m+n)，指数的乘法法则；c) (a^m)^n = a^(m*n)，幂的乘方法则；d) a^(-n) = 1/(a^n)，负指数的倒数性质。
二、对数函数的性质：1. 定义：对数函数是以对数为自变量的函数。
形如f(x) = loga(x)，其中a是正实数且不等于1，x为大于0的实数。
2. 对数函数的图像特点：a) 在a>1时，函数的图像在y轴右侧逐渐逼近x轴正半轴；b) 在0<a<1时，函数的图像在y轴左侧逐渐逼近x轴正半轴；c) a=1时，对数函数为常数函数，图像为y = 0。
3. 对数函数的性质：a) 当x∈(0,+∞)时，对数函数f(x) > 0，即对数函数的值始终大于0；b) 对数函数的增减性：当x1 < x2时，若a > 1，则loga(x1) <loga(x2)；若0 < a < 1，则loga(x1) > loga(x2)。
4. 对数函数的特殊性质：a) loga(a) = 1，任何数以自身为底的对数等于1；b) loga(1) = 0，任何底数为正数的对数以1为真数的对数等于0；c) loga(M*N) = loga(M) + loga(N)，对数的乘法法则；d) loga(M/N) = loga(M) - loga(N)，对数的除法法则；e) loga(M^n) = n * loga(M)，对数的乘方法则；f) loga(c) = 1/logc(a)，对数的换底公式。
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指数函数一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .只有满足(0,1xy a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y =2-3,y =2等等,(01)xy a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.图象特征 函数性质a ＞1 0＜a ＜1 a ＞10＜a ＜1 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 0a =1 自左向右， 图象逐渐上升 自左向右，图象逐渐下降 增函数 减函数在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 x ＞0，x a ＞1 x ＞0，x a ＜1在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1x ＜0，x a ＜1 x ＜0，x a ＞1利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例题：例1：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值.1、函数1()()2x f x =的定义域和值域分别是多少?2、当[1,1],()32x x f x ∈-=-时函数的值域是多少? 例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8- ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 解法：（1）由函数的单调性考虑因为指数函数 1.7x y =在R 上是增函数，且2.5＜3，所以，2.531.7 1.7<（3） 由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小 .思考：1、已知0.70.90.80.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c .2. 比较1132a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）. 1、求下列函数的定义域和值域 （1）121xy =- （2）222)31(-=x y （3）xy 121⎪⎭⎫ ⎝⎛= （4）2221++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y（5）1121+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y （6）xxy 212+=2、下列函数中，值域为()+∞,0的函数是（ ）xy A 23.= 12.-=x y B 12.+=x y C xy D -⎪⎭⎫⎝⎛=221.3、已知[]3,2x ∈-，求11()142x x f x =-+的最小值与最大值。
4、如果函数)10(122≠>-+=a a a a y x x 且在[]1,1-上的最大值为14，求实数a 的值。
5、设01a <<，解关于x 的不等式22232223x x xx a a -++->。
对数的概念一般地，若(0,1)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =a 叫做对数的底数，N 叫做真数.举例：如：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数.1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数.2、对数式与指数式的互化 在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制a ＞0，且a ≠1（2）log x a a N N x =⇔= 指数式⇔对数式幂底数←a →对数底数 指 数←x →对数 幂 ←N →真数 例题：例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）54=645 （2）61264-= （3）1() 5.733m =（4）12log 164=- （5）10log 0.012=- （6）log 10 2.303e =两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N . 以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.求下列各式中x 的值（1）642log 3x =- （2）log 86x = （3）lg100x = （4）2ln e x -=分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x .解：（1）2223()323331(64)(4)4416x --⋅--=====（2）111166366628,()(8)(2)22x x =====所以（3）21010010,2x x ===于是（4）222ln ,ln ,e x x e e -=-==-x 由得即e所以2x =-对数的定义及对数恒等式log b a N b a N =⇔= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0）， 指数的运算性质. ;m n m n m n m n a a a a a a +-⋅=÷=();mn m n mnnma a a a ==如：,,m n m n m n a a a M a N a +⋅===设。
于是,m n MN a += 由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =⇔==⇔=log m n a MN a m n MN +=⇔+=log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘 如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： （1）log log log a a a MN M N =+（2）log log log aa a MM N N=- （3）log log ()n a a M n M n R =∈证明：（3）0,log ,N nna n N M M a ≠==时令则 log ,b na b n M M a ==则N b nna a ∴=N b ∴=即log log log a a a MM N N=- 当n =0时，显然成立. log log n a a M n M ∴=例题：1. 判断下列式子是否正确，a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ，则有（1）log log log ()a a a x y x y ⋅=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=-（3）log log log aa a xx y y=÷ （4）log log log a a a xy x y =- 例2：用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.（1）log a xyz （2）23log 8a x y （3）75log (42)z ⨯ （4）5lg 100（1）log log log log log log a a a a a a xyxy z x y z z =-=+- （2）222333log log log log log log a a a a a a x yx y z x y z z=-=+-=112log log log 23a a a x y z +-（3）7575222log (42)log 4log 214519⨯=+=+=（4）2552lg 100lg105==你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？ a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且e ≠1，b ＞0log log log c a c bb a=设log ,log ,,M N c c M a N b a c b c ====则且11,()N NMMMac a a b ====N所以c 即：log log ,log c a c b N N b M M a ==又因为 所以：log log log c a c bb a= 小结：以上这个式子换底公式，换的底C 只要满足C ＞0且C ≠1就行了，除此之外，对C 再也没有什么特定的要求.表1 指数函数()0,1xy a a a =>≠对数数函数()log 0,1a y x a a =>≠定义域 x R ∈()0,x ∈+∞值域()0,y ∈+∞y R ∈图象性质过定点(0,1)过定点(1,0)减函数增函数减函数增函数(,0)(1,(0,)(0,1)x y x y ∈-∞∈+∞∈+∞∈时，时，(,0)(0,1)(0,)(1,)x y x y ∈-∞∈∈+∞∈+∞时，时，(0,1)(0,)(1,)(,0)x y xy ∈∈+∞∈+∞∈-∞时，时， (0,1)(,0)(1,)(0,)x y x y ∈∈-∞∈+∞∈+∞时，时，a b <a b >a b <a b >1、化简［32)5(-］43的结果为 （ ）A ．5B ．5C ．－5D ．－52、将322-化为分数指数幂的形式为（ ）A ．212- B ．312- C ．212-- D ．652-3、化简4216132332)b (a b b a ab ⋅⋅(a, b 为正数)的结果是（ ）A ．a bB ．abC ．baD ．a 2b4、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭5、13256)71(027.0143231+-+-----=__________．6、321132132)(----÷ab b a bab a =__________．7、48373)27102(1.0)972(032221+-++--π=__________。