多重比较
多重比较
狭义的多重比较
狭义的多重比较，特指对多组的总体参数或多 组的分布比较后各组间的两两比较(post hoc comparison)。
方差分析后多组均数的比较 多个率比较后的两两比较 多组等级分布比较后的两两比较等
广义的多重比较
一般指多变量的情形，即对同一问题通过对多 个变量的逐一检验来回答，如多元回归中各自 变量的假设检验，简称多重检验(multiple testing)
Example
Suppose we have m = 3 t-tests. Assume target = 0.05. Unadjusted P-values are P1 = 0.001 P2 = 0.013 P3 = 0.074 For the jth test, calculate /(m-j+1), For test j = 1, /(m-j+1) = 0.05/(3 -1 + 1) = 0.05 / 3 = 0.0167 For test j=1, the observed P1 = 0.001 is less than 0.0167, so we reject the null hypothesis.
m
Control m with multiple test procedure
Outcomes of m tests
设同时对m个假设进行检验，其中m0个是正确的，R 表示检验结果为阳性的假设个数 。 H0 True False Total Not Rejected Rejected Total m0 m-m0 m
Holm step-down
Order the P values for the m hypotheses being tested from smallest to largest.
多重比较
• 计算的公式：
LSD t dfe sxi x j
s xi x j
2MS e n
安康学院
7
例1：方差分析表(肥料盆栽试验)
变异来源 处理间 t 处理内 e 总变异T SS 301.2 101.0 402.2 df 4 15 19 MS 75.30 6.73 F F0.05 F0.01 4.89
4
4.05 dfe = 16
5.19
41.88
53.66
标准误 = 10.34
安康学院
30
例2： q 法多重比较表
处理 A1饲料 A4饲料 平均数 311.8 279.8 – A3饲料 64.4** 32.4 – A2饲料 49.0* 17.0 – A4饲料 32.0*
A2饲料
A3饲料
262.8
247.4
q法：检验标准较严，特殊试验使用。
• LSR法：有SSR法、q法两种标准可供选择
安康学院
32
书面作业
• 教材：142页，第11题 • 完成 3 种多重比较 • 要求：写在作业本上，未完，还要继续分析。
安康学院
课间休息
2013年5月6日
安康学院
15.4
LSR0.05 = 31.02，37.74，41.88， LSR0.01 = 42.70，49.43，53.66，
（ LSD0.05 = 31.00） （ LSD0.01 = 42.70）
安康学院
31
3 种多重比较方法的对比
• LSD法：利用 t 检验原理 • 简单，误差大
• •
•
检验标准较松，初级试验使用 SSR法：检验标准适中，常规试验使用
多重比较在统计学中的应用探究
多重比较在统计学中的应用探究统计学是一门广泛应用于各个领域的学科，而多重比较则是其中一个重要的概念和方法。
多重比较主要用于比较多个群体或多个变量之间的差异，以发现其中的显著性差异。
本文将探究多重比较在统计学中的应用，并介绍其相关概念和方法。
一、多重比较的概念和意义多重比较是指在进行多个比较时，需要对所得到的显著性差异进行修正的统计方法。
在实际研究中，我们常常需要比较多个群体或多个变量之间的差异，而传统的单一比较方法可能会导致假阳性率的增加。
多重比较的目的就是通过一定的修正方法，控制整体显著性水平，减少假阳性的发生。
多重比较在统计学中的应用非常广泛。
例如，在医学研究中，我们可能需要比较多种药物的疗效；在社会科学研究中，我们可能需要比较不同群体的行为差异；在生物学研究中，我们可能需要比较多个基因的表达水平等等。
通过多重比较的方法，我们可以更加准确地判断差异的显著性，从而得出更可靠的结论。
二、多重比较的方法多重比较的方法有很多种，常用的包括Bonferroni校正、Tukey HSD法、Scheffe法等。
下面将分别介绍这些方法的原理和应用。
1. Bonferroni校正Bonferroni校正是最常用的多重比较方法之一。
其基本原理是将整体显著性水平按照比较次数进行修正。
假设我们进行了m次比较，显著性水平为α，则每次比较的显著性水平为α/m。
这样做的目的是为了控制整体显著性水平为α，从而降低假阳性的风险。
Bonferroni校正的优点是简单易行，但其缺点是可能会导致过于保守的结果。
由于每次比较的显著性水平较低，可能会错过一些真实的差异。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
2. Tukey HSD法Tukey HSD法是一种较为灵活的多重比较方法。
它通过计算多个群体之间的平均差异，以确定是否存在显著性差异。
该方法的优点是可以同时比较多个群体，从而减少比较次数，降低假阳性的风险。
Tukey HSD法的基本思想是计算每两个群体之间的平均差异值，然后与一个临界值进行比较。
多重比较常用的方法是
多重比较常用的方法是
以下是多重比较常用的方法：
1. 实验方法：通过设计并进行实验，比较不同组或条件下的结果。
这种方法可以控制变量并确定因果关系。
2. 统计方法：使用统计学分析工具，比较不同组或条件下的数据。
常用的统计方法包括t 检验、方差分析（ANOVA）等。
3. 调查方法：通过问卷调查或面对面访谈等方式收集数据，并比较不同组或条件下的回答。
这种方法可以了解人们的意见、想法和态度。
4. 文献综述：通过查阅已有的文献，比较不同研究的结果和观点。
这种方法可以提供对某个领域内不同研究成果的概览。
5. 模拟方法：使用数学模型或计算机模拟，比较不同条件下的模拟结果。
这种方法可以研究现实中难以操作的情况，或者根据模型预测未来可能的变化。
6. 反事实推理：通过假设不同情况下的结果，比较不同假设下的效果。
这种方法可以推测在不同条件下可能发生的事情。
7. 对照实验：将研究对象分为实验组和对照组，比较两组的差异。
这种方法可
以消除个体差异对研究结果的影响。
8. 直接观察：通过观察不同条件或环境下的现象，比较其差异。
这种方法适用于研究自然界中的现象，如动物行为、天气变化等。
这些方法在不同领域和研究目的下都有广泛应用，可以根据具体情况选择合适的方法进行多重比较。
多重比较
１．２ 多重比较用方差分析方法对单因子试验模型中的假设（１．１．４）作检验只能回答因子不同水平的效应之间有没有显著差别的问题。
如果答案是“有显著差别”，则试验者自然希望进一步了解这种差别的具体模式。
例如，在例１．１．１中，由方差分析得出五种药物的疗效有显著差别的结论。
进而我们还想知道哪种药物的疗效最好（治愈天数少），或者药物之间两两比较时，哪个疗效好一些，等等。
对于这一类的问题，方差分析的结论不能回答。
我们需要不同的假设检验方法。
首先，来分解假设（１．１．４）。
当假设（１．１．４）被拒绝时就意味着至少存在一对j i µµ≠，或者j i µµ−0≠。
我们称形如j i µµ−的参数线性组合为一个“比较”（ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ）。
在单因子试验模型中，若因子A 有I 个水平，则共有2/)1(2−=I I C I 个比较。
接受假设（１．１．４）就意味着所有的比较都为０；而拒绝假设（１．１．４）则意味着至少存在着一个比较不为０。
我们要找到适当的检验方法使得当假设（１．１．４）被拒绝时，还可以进一步判断哪些比较不为０，或者说，哪些对因子水平的效应之间有显著差别（ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ）。
这样的检验方法统称为“多重比较”（ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ）。
首先考虑最简单的情况：2=I 。
这时只有唯一的一个比较：21µµ−。
假设（１．１．４）就等价于假设21µµ−＝０。
当在方差分析中用Ｆ检验得到拒绝假设（１．１．４）时，就等价地意味着认为021≠−µµ。
也可以用另外的方法来检验假设21µµ−＝０。
在2=I 时，单因子方差分析问题就相当于两个正态总体的均值差的假设检验问题。
在初等统计中，这个问题通常用两正态样本的“ｔ检验”方法来解决。
定义两正态样本的“ｔ统计量”如下：MSSE n n y y n n T )()(212121+−=•• （１．２．１）则当假设21µµ−＝０成立时，T 服从自由度为2−N 的ｔ分布)2(−N t 。
lsd多重比较法的定义
lsd多重比较法的定义
LSD多重比较法（LSD-Mean Multiple Comparison Test）是一种用于统计学中多个组间比较的方法。
它被广泛应用于实验设计和数据分析中，用于确定不同组之间是否存在显著差异。
LSD多重比较法的基本思想是将每个组的均值与其他组的均值进行两两比较，然后根据比较结果进行显著性判断。
具体步骤如下：
1. 计算每个组的均值。
2. 对于每个组，计算其均值与其他组均值之间的差异。
3. 根据差异的大小和标准误差，计算每个差异的显著性水平。
4. 对于每个组，将其与其他组的显著性水平进行比较，确定是否存在显著差异。
5. 如果存在显著差异，可以使用其他方法（如置信区间）来进一步描述差异的大小。
LSD多重比较法的优点是简单易用，计算方便。
然而，它也有一定的局限性，比如不适用于大样本量或不符合正态分布的数据。
此外，由于进行多次比较，可能增加了第一类错误（拒绝了真实零假设）的风险，因此需要谨慎解释结果。
多重比较 统计学
多重比较统计学多重比较统计学是一种在统计学领域应用广泛的方法，它可以帮助研究人员对多个群体或变量进行比较和分析。
通过比较不同群体或变量之间的差异和相似性，我们可以更好地理解数据，并得出更准确的结论。
本文将介绍多重比较统计学的基本概念、方法和应用。
我们来了解一下多重比较统计学的基本概念。
多重比较统计学是指在进行多个群体或变量比较时，采用一系列统计方法来控制错误率，并对差异进行推断。
在传统的单个比较中，我们通常使用t检验或方差分析等方法来比较两个群体或变量之间的差异。
然而，在多重比较中，由于同时进行多个比较，存在着累积的错误率问题。
为了解决这个问题，我们需要采取一些措施来控制错误率，例如Bonferroni校正、False Discovery Rate等。
接下来，我们将介绍一些常用的多重比较方法。
首先是Bonferroni 校正，它是一种最简单和最常用的多重比较校正方法。
Bonferroni 校正将显著性水平除以比较的总数，从而得到每个比较的显著性水平。
这样可以有效地控制整体错误率，但也可能导致较高的Type Ⅰ错误率。
另一个常用的方法是False Discovery Rate（FDR），它通过控制被错误拒绝的假设的比例来控制错误率。
FDR方法可以更好地平衡Type Ⅰ错误和Type Ⅱ错误，适用于大规模的多重比较。
在实际应用中，多重比较统计学具有广泛的应用领域。
例如，在医学研究中，我们可以使用多重比较方法来比较不同治疗方法的疗效；在生物学研究中，我们可以使用多重比较方法来比较不同基因的表达水平；在市场研究中，我们可以使用多重比较方法来比较不同产品的销售情况。
通过使用多重比较统计学，我们可以更好地理解数据，并得出准确的结论，为决策提供科学依据。
尽管多重比较统计学在实际应用中具有重要意义，但我们在使用时也需要注意一些问题。
首先，我们需要选择合适的多重比较方法，根据实际情况来控制错误率。
其次，我们需要注意样本的选择和数据的质量，以确保比较的结果具有可靠性和代表性。
多重比较的基本步骤
多重比较（Multiple Comparisons）是统计学中的一种方法，用于在进行方差分析（ANOVA）或其他假设检验后，对多个均值之间的差异进行细致的比较，以确定哪些组之间的差异是显著的。
以下是多重比较的基本步骤：1.进行初步分析：o首先进行一个总体的统计分析，如单因素或双因素方差分析（One-way ANOVA或Two-way ANOVA），以确定是否存在至少两个组别之间均值的显著差异。
2.选择多重比较方法：o根据研究目的和样本大小，选择合适的多重比较方法。
常见的多重比较方法包括：▪LSD（Least Significant Difference）法▪Tukey’s HSD（Honestly Significant Difference）法▪Bonferroni校正▪Dunnett’s test（主要用于与对照组比较）▪Sidak校正▪Šidák校正▪Benjamini-Hochberg校正（用于控制假阳性率）3.计算比较：o应用选定的方法，对所有可能的组间比较进行计算，得出每一对比较的p值和置信区间。
4.调整显著性水平：o为了控制I型错误（假阳性）的发生概率，通常会对原始的显著性水平（如α=0.05）进行调整。
例如，如果进行了k个比较，可能需要将每个比较的显著性水平设定为α/k（如使用Bonferroni校正）。
5.解释结果：o根据调整后的显著性水平，解释每对比较的结果，指出哪些组之间的差异在统计上是显著的。
6.报告结果：o报告每一对比较的统计量、p值和结论，必要时可以绘制图表直观展示显著差异。
7.评估假设检验结果：o评估所有比较结果的整体一致性，以及是否符合研究的假设和目标。
请注意，多重比较可能导致假阳性率增加，因此选择合适的校正方法很重要。
同时，分析结果不仅要基于统计显著性，还要结合实际研究背景和意义进行解读。
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四、多重比较F值显著或极显著，否定了无效假设H O，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。
因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。
统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiplecomparisons )。
多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD 法)和最小显著极差法(LSR 法)，现分别介绍如下。
（一）最小显著差数法 (LSD 法，least significant difference ) 此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..j i x x-与其比较。
若..j i x x -＞LSD a 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。
最小显著差数由(6-17)式计算。
..)(j i e x x df a a S t LSD -=(6-17)式中：)(e df t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由(6-18)式算得。
n MS S e x xj i /2..=- (6-18)其中e MS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t和)(01.0e df t ，代入(6-17)式得：....)(01.001.0)(05.005.0j i e j i e x x df x x df S t LSD S t LSD--==(6-19)利用LSD 法进行多重比较时，可按如下步骤进行：(1)列出平均数的多重比较表，比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列；(2)计算最小显著差数05.0LSD和LSD；.001(3)将平均数多重比较表中两两平均数的差数与05.0LSD比较，作LSD、01.0出统计推断。
对于【例6.1】，各处理的多重比较如表6-4所示。
表6-4 四种饲料平均增重的多重比较表(LSD 法)处理平均数.i x .i x -24.74 .i x -26.28 .i x -27.96 A 131.18 6.44** 4.90** 3.22* A 427.96 3.22* 1.68 ns A 226.28 1.54ns A 3 24.74 注：表中A 4与 A 3的差数3.22用q检验法与新复极差法时，在α=0.05的水平上不显著。
因为，462.15/34.52/2..=⨯==-n MS S e x x j i ;查t 值表得：t 0.05(dfe) =t 0.05(16) =2.120,t 0.01(dfe)=t 0.01(16)=2.921所以，显著水平为0.05与0.01的最小显著差数为271.4462.1921.2099.3462.1120.2....)(01.001.0)(05.005.0=⨯===⨯==--j i e j i e x x df x x df S t LSD S t LSD将表6-4中的6个差数与05.0LSD ，01.0LSD 比较：小于05.0LSD 者不显著,在差数的右上方标记“ns ”，或不标记符号；介于05.0LSD 与01.0LSD 之间者显著，在差数的右上方标记“*”；大于01.0LSD 者极显著，在差数的右上方标记“**”。
检验结果除差数1.68、1.54不显著、3.22显著外，其余两个差数6.44、4.90极显著。
表明A 1饲料对鱼的增重效果极显著高于A 2和A 3，显著高于A 4；A 4饲料对鱼的增重效果极显著高于A 3饲料；A 4 与A 2、A 2与A 3的增重效果差异不显著，以A 1饲料对鱼的增重效果最佳。
关于LSD法的应用有以下几点说明：1、LSD 法实质上就是t检验法。
它是将t 检验中由所求得的t 之绝对值)/)((....j i x x j i S x x t --=与临界a t 值的比较转为将各对均数差值的绝对值..j i x x -与最小显著差数..j i x x a S t -的比较而作出统计推断的。
但是，由于LSD 法是利用F检验中的误差自由度e df 查临界a t 值，利用误差均方eMS 计算均数差异标准误..j i x x S -，因而LSD法又不同于每次利用两组数据进行多个平均数两两比较的t 检验法。
它解决了本章开头指出的t 检验法检验过程烦琐，无统一的试验误差且估计误差的精确性和检验的灵敏性低这两个问题。
但LSD 法并未解决推断的可靠性降低、犯I 型错误的概率变大的问题。
2、有人提出，与检验任何两个均数间的差异相比较，LSD法适用于各处理组与对照组比较而处理组间不进行比较的比较形式。
实际上关于这种形式的比较更适用的方法有顿纳特(Dunnett)法(关于此法，读者可参阅其它有关统计书籍)。
t检验，故3、因为LSD法实质上是有人指出其最适宜的比较形式是：在进行试验设计时就确定各处理只是固定的两个两个相比，每个处理平均数在比较中只比较一次。
例如，在一个试验中共有4个处理，设计时已确定只是处理1与处理2、处理3与处理4(或1与3、2与4；或1与4、2与3)比较，而其它的处理间不进行比较。
因为这种比较形式实际上不涉及多个均数的极差问题，所以不会增大犯I型错误的概率。
综上所述，对于多个处理平均数所有可能的两两比较，LSD法的优点在于方法比较简便，克服一般t检验法所具有的某些缺点，但是由于没有考虑相互比较的处理平均数依数值大小排列上的秩次，故仍有推断可靠性低、犯I型错误概率增大的问题。
为克服此弊病，统计学家提出了最小显著极差法。
（二）最小显著极差法(LSR 法 ,Least significant ranges) LSR 法的特点是把平均数的差数看成是平均数的极差，根据极差范围内所包含的处理数(称为秩次距)k的不同而采用不同的检验尺度，以克服LSD法的不足。
这些在显著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的检验尺度叫做最小显著极差LSR。
例如有10个x 要相互比较，先将10个x依其数值大小顺次排列，两极端平均数的差数(极差)的显著性，由其差数是否大于秩次距k=10时的最小显著极差决定(≥为显著，＜为不显著＝；而后是秩次距k=9的平均数的极差的显著性，则由极差是否大于k=9时的最小显著极差决定；……直到任何两个相邻平均数的差数的显著性由这些差数是否大于秩次距k =2时的最小显著极差决定为止。
因此，有k个平均数相互比较，就有k-1种秩次距(k，k-1，k-2，…，2)，因而需求得k-1个最小显著极差(kLSR , )，分别作为判断具有相应秩次距的平均数的极差是否显著的标准。
因为LSR 法是一种极差检验法，所以当一个平均数大集合的极差不显著时，其中所包含的各个较小集合极差也应一概作不显著处理。
LSR法克服了LSD 法的不足，但检验的工作量有所增加。
常用的LSR法有q 检验法和新复极差法两种。
1、q检验法(q test) 此法是以统计量q的概率分布为基础的。
q值由下式求得：x S q /ω=(6-20)式中，ω为极差，nMSSex/=为标准误，q分布依赖于误差自由度df e 及秩次距k 。
利用q检验法进行多重比较时，为了简便起见，不是将由(6-20)式算出的q值与临界q值),(k df a e q 比较，而是将极差与xk df a S q e ),(比较，从而作出统计推断。
xk df a S q e ),(即为α水平上的最小显著极差。
xk df a aS q LSRe ),(=(6-21)当显著水平α=0.05和0.01时，从附表5(q值表)中根据自由度e df 及秩次距k查出),(05.0k df e q 和),(01.0k df e q 代入(6-21)式得xk df kx k df k S q LSRS q LSR e e ),(01.0,01.0),(05.0,05.0==(6-22)实际利用q检验法进行多重比较时，可按如下步骤进行：(1)列出平均数多重比较表； (2)由自由度edf 、秩次距k 查临界q 值，计算最小显著极差LSR0.05,k ，LSR 0.01,k ；(3)将平均数多重比较表中的各极差与相应的最小显著极差L S R 0.05,k,LSR0.01,k比较，作出统计推断。
对于【例6.1】，各处理平均数多重比较表同表6-4。
在表6-4中，极差1.54、1.68、3.22的秩次距为2；极差3.22、4.90的秩次距为3；极差6.44的秩次距为4。
因为，eMS =5.34，故标准误xS 为033.15/34.5/===n MS S ex根据edf =16，k=2,3，4由附表5查出=α0.05、0.01水平下临界q 值，乘以标准误xS 求得各最小显著极差，所得结果列于表6-5。
表6-5 q值及LSR值df e 秩次距k q0.05q0.01LSR0.05LSR0.0116 2 3.00 4.13 3.099 4.2663 3.65 4.79 3.770 4.9484 4.05 5.19 4.184 5.361将表6-4中的极差1.54、1.68、3.22与表6-5中的最小显著极差3.099、4.266比较；将极差3.22、4.90与3.770、4.948比较；将极差6.44与4.184、5.361比较。
检验结果，除A4与A3的差数3.22由LSD法比较时的差异显著变为差异不显著外，其余检验结果同LSD法。
2、新复极差法(new multiple rangemethod ) 此法是由邓肯(Duncan )于1955年提出，故又称Duncan 法，此法还称SSR 法(shortest significant ranges )。
新复极差法与q检验法的检验步骤相同，唯一不同的是计算最小显著极差时需查SSR表(附表6)而不是查q值表。
最小显著极差计算公式为x k df a ka S SSR LSRe ),(,=(6-23)其中),(k dfeSSR α是根据显著水平α、误差自由度e df 、秩次距k ，由SSR表查得的临界SSR值，nMSSex/=。
α=0.05和α=0.01水平下的最小显著极差为：xk df kx k df k S SSR LSRS SSR LSR e e ),(01.0,01.0),(05.0,05.0==(6-24)对于【例6.1】，各处理均数多重比较表同表6-4。