第一章§3多重比较方法
多重比较
狭义的多重比较
狭义的多重比较，特指对多组的总体参数或多 组的分布比较后各组间的两两比较(post hoc comparison)。
方差分析后多组均数的比较 多个率比较后的两两比较 多组等级分布比较后的两两比较等
广义的多重比较
一般指多变量的情形，即对同一问题通过对多 个变量的逐一检验来回答，如多元回归中各自 变量的假设检验，简称多重检验(multiple testing)
Example
Suppose we have m = 3 t-tests. Assume target = 0.05. Unadjusted P-values are P1 = 0.001 P2 = 0.013 P3 = 0.074 For the jth test, calculate /(m-j+1), For test j = 1, /(m-j+1) = 0.05/(3 -1 + 1) = 0.05 / 3 = 0.0167 For test j=1, the observed P1 = 0.001 is less than 0.0167, so we reject the null hypothesis.
m
Control m with multiple test procedure
Outcomes of m tests
设同时对m个假设进行检验，其中m0个是正确的，R 表示检验结果为阳性的假设个数 。 H0 True False Total Not Rejected Rejected Total m0 m-m0 m
Holm step-down
Order the P values for the m hypotheses being tested from smallest to largest.
多重比较法
三种多重方法的比较
统计假设检验中犯两类错误的可能情况
决定
实际情况
H0为真
H0不真
拒绝H0
第一类错误
正确
接受H0
正确
第二类错误
谢谢
在excel里 进行多重 比较分析
第二部分
概念介绍： • 是方差分析法的一部分，用于多组数据平均数的两两比较分析。 • 表示方法：
三角形法、字母标记法
多重比较法
最小显著差数法LSD Least significant difference
最小显著极差法LSR Least significant ranges
秩次距
处理内 自由度 （24）
（3）将多重比较表中的各个平均数差数与相应的最小显著极差LSR（0.05） 比较，得出统计结论
如果两个平均的差值大于等于相应的LSR—在该差值的右上角标一个“*”-- 表示两个平均数差异显著 如果两个平均的差值小于相应的LSR--在该差值的右上角标上ns或者不标记号--表示两个平均数差异不显著
一般而言： • 组间变异是我们想要的结果，即实验条件产生了作用才会令
各组之间的数值存在差异。它越大越好！ • 组内变异不是我们研究的目的，但是需要分解他，借助它分
析实验是否成功。组内变异即实验误差，它越小越好！ • 那么：组间差异多大，组内差异多小才好？
对于K组数据，把数据相加可以得到：
令
SS表示平方和； SST表示总平方和，指实验产生的总变异； SSB表示组间平方和，指不同实验处理造成 的变异； SSW表示组内平方和，指实验误差（个体 差异）造成的误差
表示方法：
• 三角形法 • 字母标记法（常用）
新复极差法（SSR 法、Duncan法）
多重比较方法的选择及其表示方法
多重比较方法的选择及其表示方法1. 多重比较方法的选择一个试验资料，采用哪种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的无效假设和接受一个不正确的无效假设的相对重要性而定。
如果否定正确的（即犯α错误）是事关重大或后果严重的，应用q 测验；这就是宁愿使犯β错误的风险较大而不使犯α错误有较大风险。
如果接受不正确的（即β错误）是事关重大或后果严重的，则易采用PLSD 测验或SSR 测验，这是宁愿冒较大的α错误的风险，而不愿冒较大的β错误的风险。
在一般的农业试验研究中，较为广泛应用的是PLSD 测验法和SSR 测验法。
2. 多重比较结果的表示方法(1) 列三角形表示法将全部平均数从大到小顺序排列，然后算出各平均数间的差数（这些差数呈三角形形式）。
凡达α =0.05 水平显著的差数在其右上角标一个“ * ”号；凡达α =0.01 水平显著的差数在其右上角标两个“ ** ”号；未达α =0.05 水平显著的差数则不予标记。
见表9-5 结果表示。
（2 ）标记字母法先将全部平均数从大到小顺序排列，然后在最大的平均数上标上字母a ，并将该平均数依次和其以下各平均数相比，凡差异不显著的都标字母a ，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母b 。
再以该标有b 的平均数为标准，与上方各个比它大的平均数比，凡不显著的也一律标以字母b ；再以标有b 的最大平均数为标准，与以下各未标记的平均数比，凡不显著的继续标以字母b ，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母c ……如此重复下去，直至最小的一个平均数有了标记字母为止。
这样各平均数间，凡有一个标记相同字母的即为差异不显著，凡具不同标记字母的即为差异显著。
多重比较
• 计算的公式：
LSD t dfe sxi x j
s xi x j
2MS e n
安康学院
7
例1：方差分析表(肥料盆栽试验)
变异来源 处理间 t 处理内 e 总变异T SS 301.2 101.0 402.2 df 4 15 19 MS 75.30 6.73 F F0.05 F0.01 4.89
4
4.05 dfe = 16
5.19
41.88
53.66
标准误 = 10.34
安康学院
30
例2： q 法多重比较表
处理 A1饲料 A4饲料 平均数 311.8 279.8 – A3饲料 64.4** 32.4 – A2饲料 49.0* 17.0 – A4饲料 32.0*
A2饲料
A3饲料
262.8
247.4
q法：检验标准较严，特殊试验使用。
• LSR法：有SSR法、q法两种标准可供选择
安康学院
32
书面作业
• 教材：142页，第11题 • 完成 3 种多重比较 • 要求：写在作业本上，未完，还要继续分析。
安康学院
课间休息
2013年5月6日
安康学院
15.4
LSR0.05 = 31.02，37.74，41.88， LSR0.01 = 42.70，49.43，53.66，
（ LSD0.05 = 31.00） （ LSD0.01 = 42.70）
安康学院
31
3 种多重比较方法的对比
• LSD法：利用 t 检验原理 • 简单，误差大
• •
•
检验标准较松，初级试验使用 SSR法：检验标准适中，常规试验使用
多重比较方法
检验统计量 xB − xC = |62 - 52| = 10
结论
装配方法B和装配方法C的工作效率 存在明显差异
12
R实现（LCD方法）
pairwise.t.test(X,A,p.adjust.method="none")
Pairwise comparisons using t tests
说明: p是p值构成的向量, method是修正方法, 包括：
调整方法
R软件中的参数
Bonferroni
“bonferroni”
Holm(1979)
“holm”
Hochberg(1988)
“hochberg”
Hommel(1988)
“hommel”
Benjamini & Hochberg (1995)
P-值
组间 520.000
2
260.000 9.176
.004
组内 340.000 12
28.333
总数 860.000 14
8
ACTIA公司案例中的多重比较
在 = 0.05的显著性水平下，自由度
为 nT - k =15–3=12的t值： t.025 = 2.179
LSD = t /2
MSE(
1 ni
with pooled SD
data: X and A
1
2
2 0.2577 -
3 0.0117 0.0013
P value adjustment method: none
13
命令解释
R软件中p值调整使用函数p.adjust( )，格式为： p.adjust( )的调用格式
多重比较方法及其在实证分析中的应用
多重比较方法及其在实证分析中的应用第一章绪论随着科技的发展，大数据时代的到来，数据分析越来越成为人们重视并热衷的领域。
本文旨在介绍多重比较方法及其在实证分析中的应用，通过对比多重比较和单个比较的优劣，阐述多重比较方法的必要性和实用性。
第二章多重比较方法的基本概念2.1 多重比较方法的概念在统计学中，多重比较方法是指用于比较三个或多个（但少于总体中的所有个体）总体在一个或多个方面上的方法。
多重比较方法可以更全面地了解总体之间的差异，防止在进行多重检验时产生的多重错误。
2.2 多重比较方法的分类多重比较方法可以分为两类：一级比较和二级比较。
一级比较方法适用于确定多个总体是否存在差异，例如T检验、单因素方差分析和多因素方差分析等方法。
二级比较方法适用于确定哪些总体之间存在差异，例如考虑Bonferroni校正、Tukey方法、Scheffé方法和Dunnett方法等方法。
第三章多重比较方法的应用3.1 多重比较在医学研究中的应用例如在药物研究中，多个药物需要比较其效果是否有显着差异，采用多重比较方法可以避免假阳性的结果，同时减少研究时间和成本。
3.2 多重比较在经济学研究中的应用例如在城市房价研究中，需要对各个地区的房价进行比较，采用多重比较方法可以防止在多个区域中错判高价位，同时减少样本选择的问题。
3.3 多重比较在生态学研究中的应用例如在生态系统复杂度的研究中，多个因素需要进行比较，采用多重比较方法可以降低产生假阳性的概率，更好地理解生态系统中各元素之间的关系。
第四章多重比较方法的优劣比较在进行多重比较时，我们需要比较其与单个比较的优劣之处。
多重比较方法可以全面地了解总体之间的差异，避免在进行多重检验时产生的多重错误。
同时多重比较方法能够减少样本的假阳性结果，提高数据的可靠性和真实性。
但是多重比较方法也需要注意慎重选择，同时避免由于样本的选择和样本误差等问题引起的假阳性。
第五章结论通过对多重比较方法的介绍与应用，可以看出多重比较方法在实证分析中有着极大的作用，能够更好地了解总体之间的差异，避免在进行多重检验时产生的多重错误，同时减少研究时间和成本。
多重比较
四、多重比较F值显著或极显著，否定了无效假设H O，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。
因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。
统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiplecomparisons )。
多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD 法)和最小显著极差法(LSR 法)，现分别介绍如下。
（一）最小显著差数法 (LSD 法，least significant difference ) 此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..j i x x-与其比较。
若..j i x x -＞LSD a 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。
最小显著差数由(6-17)式计算。
..)(j i e x x df a a S t LSD -=(6-17)式中：)(e df t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由(6-18)式算得。
n MS S e x xj i /2..=- (6-18)其中e MS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t和)(01.0e df t ，代入(6-17)式得：....)(01.001.0)(05.005.0j i e j i e x x df x x df S t LSD S t LSD--==(6-19)利用LSD 法进行多重比较时，可按如下步骤进行：(1)列出平均数的多重比较表，比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列；(2)计算最小显著差数05.0LSD和LSD；.001(3)将平均数多重比较表中两两平均数的差数与05.0LSD比较，作LSD、01.0出统计推断。
多重比较的基本步骤
多重比较（Multiple Comparisons）是统计学中的一种方法，用于在进行方差分析（ANOVA）或其他假设检验后，对多个均值之间的差异进行细致的比较，以确定哪些组之间的差异是显著的。
以下是多重比较的基本步骤：1.进行初步分析：o首先进行一个总体的统计分析，如单因素或双因素方差分析（One-way ANOVA或Two-way ANOVA），以确定是否存在至少两个组别之间均值的显著差异。
2.选择多重比较方法：o根据研究目的和样本大小，选择合适的多重比较方法。
常见的多重比较方法包括：▪LSD（Least Significant Difference）法▪Tukey’s HSD（Honestly Significant Difference）法▪Bonferroni校正▪Dunnett’s test（主要用于与对照组比较）▪Sidak校正▪Šidák校正▪Benjamini-Hochberg校正（用于控制假阳性率）3.计算比较：o应用选定的方法，对所有可能的组间比较进行计算，得出每一对比较的p值和置信区间。
4.调整显著性水平：o为了控制I型错误（假阳性）的发生概率，通常会对原始的显著性水平（如α=0.05）进行调整。
例如，如果进行了k个比较，可能需要将每个比较的显著性水平设定为α/k（如使用Bonferroni校正）。
5.解释结果：o根据调整后的显著性水平，解释每对比较的结果，指出哪些组之间的差异在统计上是显著的。
6.报告结果：o报告每一对比较的统计量、p值和结论，必要时可以绘制图表直观展示显著差异。
7.评估假设检验结果：o评估所有比较结果的整体一致性，以及是否符合研究的假设和目标。
请注意，多重比较可能导致假阳性率增加，因此选择合适的校正方法很重要。
同时，分析结果不仅要基于统计显著性，还要结合实际研究背景和意义进行解读。
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原理
y ( p ) = max y 1 . , , y p . R p = y (p ) y (1 )
(
)
y (1 ) = min y 1 . , , y p .
(
)
当 H 0 S e σ2
设 r (p , f e ) =
Rp MS e m
具体步骤
谢菲多重比较法
既适用于等重复又适用于不等重复 具体步骤
当 H ij : i = j 成立时有 0 1 1 2 σ y i . y j. ~ N 0 , + ni n j 1 1 MS e + n nj i 当 H ij 成立时 , Fij 不应太大 , 过大应拒绝 H ij 0 0 Fij = ( y i . y j. ) 2 ~ F (1, f e )
∴ 拒绝域W = ∪ {Fij > c}
i< j
P( W ) = P ∪ {Fij > c} = 1 P ∩ {Fij ≤ c} i< j i< j = 1 P max Fij ≤ c = P max Fij > c i< j i< j max Fij . i< j Scheffe证明了 ~ F(a 1, f e ) a 1
SSe 而分母 2 ~ χ2 (f e ), 其分布与 和σ2 无关 σ yp. yp. Rp y1. y1. = max ,, ,, 分子 max σ σ σ σ σ m m m m m yi. ∵ ~ N(0,1) σ m ∴分子的分布与 和σ2 无关
要使 P ( W ) = α, 可取 c = (a 1) Fα (a 1, f e ) 即对一切 i < j,当 1 1 y i. y j. > (a 1) Fα (a 1, f e ) + MS e n n j i 拒绝 H
ij 0
�
§3 多重比较方法
问题 方差分析的假设H0:1= 2=…= a被拒绝, 说明至少一i≠ j i≠j 邓肯多重比较法 谢菲多重比较法
邓肯多重比较法
只适用于等重复情况 p级极差 将a个水平下观察值的平均值按从小到大的 次序排列,其中两个数之间如果还有p-2个 数,那么这两个数的差称为p级极差,用Rp 表示p级极差
∴ r (p, f e )的分布与和σ 2 无关
可通过随机模拟方法计算r (p, f e )的分位数 MSe m
当r (p, f e ) > rα (p, f e )即R p > rα (p, f e )
MSe 也即R p > rα (p, f e )Sy 时拒绝H 0 , 其中Sy = i. i. m